人教版高三理科数学课后习题(含答案)课时规范练66不等式的证明

课时规范练66不等式的证明
基础巩固组
1.已知a,b都是正数,且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab
2.
2.(2019湖南雅礼中学月考五,23)已知定义在R上的函数f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值为a.
(1)求a的值;
(2)若p,q是正实数,且满足p+q=a,求证:1
p +1
q
≥4
3
.
3.(2017全国2,理23)已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明:
(1)(a+b)(a5+b5)≥4;
(2)a+b≤2.
4.(2019广东韶关1月调研,23)(1)不等式:|x-1|+|x+3|>6;
(2)若a>0,b>0,a+b=2,证明:4
a2-14
b2
-1≥9.
5.已知f(x)=ax2+bx+c,a,b,c∈R,定义域为[-1,1].
(1)当a=1,|f(x)|≤1时,求证|1+c|≤1;
(2)略.
6.已知a,b,c均为正实数,求证:
(1)1
a +1
b
≥4
a+b
;
(2)1
2a +1
2b
+1
2c
≥1
a+b
+1
b+c
+1
c+a
.
综合提升组
7.(2019全国卷1联考,23)已知函数f(x)=|x-1|+|2x|.
(1)在给出的平面直角坐标系中作出函数f(x)的图象,并解不等式f(x)≥2;
≥5.
(2)若不等式f(x)+|x-1|≤k-1对任意的x∈R恒成立,求证:k+6
k
创新应用组
8.(2019安徽安庆二模,23)已知函数f(x)=2|x+1|+|2x-1|.
(1)若f(x)>f(1),求实数x的取值范围;
(2)f(x)≥1
m +1
n
(m>0,n>0)对任意的x∈R都成立,求证:m+n≥4
3
.
9.(2019福建厦门期末,23)函数f(x)=|ax+2|,其中a∈R,若
f(x)≤a的解集为[-2,0].
(1)求a的值;
成(2)求证:对任意x∈R,存在m>1,使得不等式f(x-2)+f(2x)≥m+1
m-1立.
参考答案
课时规范练66 不等式的证明
1.证明 (a 3+b 3)-(a 2b+ab 2)=(a 3-a 2b )+(b 3-ab 2)=a 2(a-b )+b 2(b-a )=(a 2-b 2)(a-b )=(a-b )2(a+b ).
∵a ≠b ,a ,b>0,
∴(a-b )2>0,a+b>0, ∴(a-b )2(a+b )>0, ∴a 3+b 3>a 2b+ab 2. 2.(1)解 因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,
当且仅当-1≤x ≤2时,等号成立, 所以f (x )的最小值等于3,即a=3. (2)证明 由(1)知p+q=3,
又因为p ,q 是正实数,
所以1
p +1
q =1
p +1
q
p 3+q 3
=13+q 3p +p 3q +13≥23+2√q 3p ·p 3q =4
3,
当且仅当p=q=3
2时,等号成立. 3.证明 (1)(a+b )(a 5+b 5)=a 6+ab 5+a 5b+b 6
=(a 3+b 3)2-2a 3b 3+ab (a 4+b 4) =4+ab (a 2-b 2)2≥4.
(2)因为(a+b )3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3
=2+3ab (a+b )≤2+3(a+b )
2
4
(a+b )
=2+,当且仅当a=b=1时等号建立.
所以(a+b )3≤8,因此a+b ≤2. 4.(1)解 不等式|x-1|+|x+3|>6⇔{
x ≤-3,-2x -2>6或{-3<x ≤1,
4>6
或{x >1,2x +2>6,
解得x<-4或x ∈⌀或x>2,
故不等式的解集为(-∞,-4)∪(2,+∞). (2)证明 (法1)∵(4
a 2-1)
4b
2-1=(2a -1)(2a +1)(2b -1)(2
b +1).
又∵a+b=2,∴2
a -1
2a +12b -12b
+1=2+b
a
b a
(2+a b )(a b )=5+2a
b +
2b a
≥5+2√2a b ·2b
a =9,
当且仅当a=b=1时等号建立.
(法2)∵
(4a 2-1)(4
b
2-1)
=
16
a 2
b 2−4a 2−4b 2+1=16-4(a 2+b 2)a 2b 2+1=16-4(a+b )2
+8ab a 2b 2+1, ∵a+b=2, ∴
16-4(a+b )2
+8ab
a 2b
2
+1=8
ab +1,
∵a>0,b>0,2=a+b ≥2√ab , ∴ab ≤1,8
ab +1≥9,
当且仅当a=b=1时,等号成立.
5.(1)证明 因为|f (-1)|=|1-b+c|≤1,|f (1)|=|1+b+c|≤1,
所以|1-b+c+1+b+c|≤|1-b+c|+|1+b+c|≤2, 即|2+2c|≤2,化简得|1+c|≤1.
6.证明 (1)由a,b,c 均为正实数,得a+b≥22,
相乘可得(a+b )1
a +1
b ≥2√ab ·2√1
ab =4, 当且仅当a=b 取得等号. 则1
a +1
b ≥4a+b .
(2)由(1)可得1
a +1
b ≥4
a+b ;
同理,由b ,c 为正实数,可得1
b +1
c ≥4
b+c ; 由c ,a 为正实数,可得1
c +1
a ≥4c+a .
相加可得21
a +1
b +1
c ≥4
a+b +4
b+c +4
c+a ,即有1
2a +1
2b +1
2c ≥1
a+b +1
b+c +1
c+a . 7.(1)解 f (x )=|x-1|+|2x|={1-3x ,x <0,
x +1,0≤x ≤1,3x -1,x >1,
其图象如下图所示.
令f(x)=2,得x=-1
3
或x=1,
由f(x)的图象可知,不等式f(x)≥2的解集为xx≤-或x≥1.
(2)证明因为f(x)+|x-1|=|2x-2|+|2x|≥|2x-2-2x|=2,
所以k≥3.
因为k+6
k
-5=k
2-5k+6
k
=(k-2)(k-3)
k
,
又由k≥3,得k-2>0,k-3≥0,
所以(k-2)(k-3)
k ≥0,即k+6
k
≥5.
8.(1)解f(x)>f(1),
即2|x+1|+|2x-1|>5.
①当x>1
2
时,2(x+1)+(2x-1)>5,得x>1;
②当-1≤x≤1
2
时,2(x+1)-(2x-1)>5,得3>5,不成立;
③当x<-1时,-2(x+1)-(2x-1)>5,得x<-3
2
.
综上,所求的x的取值范围是(-∞,-3
2
)∪(1,+∞).
(2)证明因为2|x+1|+|2x-1|=|2x+2|+|2x-1|≥|(2x+2)-(2x-1)|=3,
所以1
m +1
n
≤3.因为m>0,n>0时,1
m
+1
n
≥2√1
mn
,
所以2√
1
mn
≤3,得√mn≥2
3
,
所以m+n≥2√mn≥4 3 .
11
12
9.(1)解 由题意知a≤0不满意题意,
当a>0时,由|ax+2|≤a 得-a ≤ax+2≤a ,
∴-1-2a ≤x ≤1-2a ,
则{-1-2a =-2,1-2a =0,
解得a=2. (2)证明 由(1)得f (x )=|2x+2|,
设g (x )=f (x-2)+f (2x )
=|2x-2|+|4x+2|,
对于任意实数x ,存在m>1,使得f (x+2)+f (2x )≥m+1m -1,
只需g (x )min ≥(m +
1m -1)min , 因为g (x )={ 6x ,x >1,2x +4,-12≤x ≤1,-6x ,x <-12
, 当x=-12时,g (x )min =3. 由m+=m-1++1≥2+1=3,当且仅当m=2时取等号,以是原命题建立.。