2016-2017学年高中数学人教A版必修五 第三章 不等式 第2节 第1课时

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第十页，编辑于星期五：十六点 十五分。
3．设集合 M＝{x|x2－x<0}，N＝{x|x2<4}，则 M 与 N 的关系为________． 【解析】 因为 M＝{x|x2－x<0}＝{x|0<x<1}， N＝{x|x2<4}＝{x|－2<x<2}， 所以 M N. 【答案】 M N
[探究共研型]
一元二次不等式、二次方程、二次函数的关系
探究 1 利用函数 y＝x2－2x－3 的图象说明当 y>0、y<0、y＝0 时 x 的取
值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？ 【提示】 y＝x2－2x－3 的图象如图所示．
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第二十七页，编辑于星期五：十六点 十五分。
f(x) ＞0 f(x) ＜0
_{_x_|x_＜__x1_或__x_＞_x_2_}___ __x_x_≠__－__2_ba__
Hale Waihona Puke R___{x_|_x_1_＜__x＜__x_2_} _
_∅_
_∅_
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第八页，编辑于星期五：十六点 十五分。
1．不等式 x2≤1 的解集为________．
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第二十五页，编辑于星期五：十六点 十五分。
当 a<－2 时，－1≤x≤2a. 综上所述，
当－2<a<0 时，解集为x2a≤x≤－1
；
当 a＝－2 时，解集为{x|x＝－1}；
当 a<－2 时，解集为x－1≤x≤2a
.
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第二十六页，编辑于星期五：十六点 十五分。
【解析】 令 x2－1＝0，其两根分别为－1,1，故 x2≤1 的解集为{x|－ 1≤x≤1}．
【答案】 {x|－1≤x≤1}
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第九页，编辑于星期五：十六点 十五分。
2．不等式 2x≤x2＋1 的解集为________．
【解析】 2x≤x2＋1⇔x2－2x＋1≥0⇔(x－1)2≥0， ∴x∈R. 【答案】 R
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第四页，编辑于星期五：十六点 十五分。
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)mx2－5x<0 是一元二次不等式． (2)若 a>0，则一元二次不等式 ax2＋1>0 无解． (3)x＝1 是一元二次不等式 x2－2x＋1≥0 的解． (4)x2－ x>0 为一元二次不等式．
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第二十一页，编辑于星期五：十六点 十五分。
(3)当 a<0 时，x1<x2， 不等式的解集为 {x|2a<x<－a}． 综上所述，原不等式的解集为： a>0 时，{x|－a<x<2a}； a＝0 时，x∈∅； a<0 时，{x|2a<x<－a}．
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第二十二页，编辑于星期五：十六点 十五分。
1．含参数的不等式的解题步骤 (1)将二次项系数转化为正数； (2)判断相应方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省去此步)； (3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有相异根，为了写出解集还要分析 根的大小)．
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第二十三页，编辑于星期五：十六点 十五分。
2．解含参数的一元二次不等式 (1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于 0 与小于 0 进行讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式 Δ 进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
[小组合作型]
求下列一元二次不等式的解集．
(1)x2－5x>6；
(2)4x2－4x＋1≤0；
(3)－x2＋7x>6. 【精彩点拨】
一元二次不等式 → 一元二次不等式的一般形式
→ 相应一元二次方程的解 → 结合相应二次函数图象写解集
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第十四页，编辑于星期五：十六点 十五分。
【自主解答】 (1)由 x2－5x>6，得
(3)由－x2＋7x>6，得 x2－7x＋6<0， 而 x2－7x＋6＝0 的两个根是 x＝1 或 6. ∴不等式 x2－7x＋6<0 的解集为 {x|1<x<6}．
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第十六页，编辑于星期五：十六点 十五分。
1．在解一元二次不等式中，需求所对应的一元二次方程的根，可借用求根 公式法，或“十字相乘法”求解，根据数形结合写出解集．
x2－5x－6>0.
∵x2－5x－6＝0 的两根是 x＝－1 或 6.
∴原不等式的解集为
{x|x<－1，或 x>6}．
(2)4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0，
方程(2x－1)2＝0 的根为 x＝12.
∴4x2－4x＋1≤0 的解集为xx＝12
.
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第十五页，编辑于星期五：十六点 十五分。
[基础·初探]
教材整理 1 一元二次不等式的概念
阅读教材 P76 第一行～P76 倒数第四行，完成下列问题． 1．一元二次不等式的概念 一般地，含有_一_个__未知数，且未知数的最高次数为_2_的整式不等式，称为 一元二次不等式．
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第三页，编辑于星期五：十六点 十五分。
2．一元二次不等式的一般形式 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)． (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)． (3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)． (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． 3．一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的未__知__数__的__值__，叫做这个一元二次不等式的解__，其 解的_集__合__，称为这个一元二次不等式的_解__集__．
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第十八页，编辑于星期五：十六点 十五分。
[再练一题] 1．解下列不等式： (1)2x2－x＋6>0； (2)－12x2＋3x－5>0； (3)(5－x)(x＋1)≥0.
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第十九页，编辑于星期五：十六点 十五分。
【解】 (1)∵方程 2x2－x＋6＝0 的判别式 Δ＝(－1)2－4×2×6<0， ∴函数 y＝2x2－x＋6 的图象开口向上， 与 x 轴无交点． ∴原不等式的解集为 R. (2)原不等式可化为 x2－6x＋10<0， ∵Δ＝62－40＝－4<0， ∴原不等式的解集为∅. (3)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0， ∴原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}.
【精彩点拨】 一元二次不等式解集的两个端点值是一元二次方程的两个 根．
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第三十页，编辑于星期五：十六点 十五分。
【自主解答】 法一：由 ax2＋bx＋c≥0 的解集是x－13≤x≤2 ，知 a＜ 0, 又－13×2＝ac＜0，则 c＞0.
又－13，2 为方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根， ∴－ba＝53. ∴ba＝－53. 又ac＝－23，
设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程 ax2＋bx＋c＝0 的判别式 Δ＝b2－4ac
判别式
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
解不等 式 f(x)
求方程 f(x)＝0 的解
有两个不等的实数 解 x1，x2
有两个相等 的实数解 x1
＝x2
没有实数 解
＞0 或 画函数 y＝f(x) 的示意图
f(x) ＜
0 的步 骤 得等的集 不式解
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第二十页，编辑于星期五：十六点 十五分。
解含参数的一元二次不等式
解关于 x 的不等式 x2－ax－2a2<0(a∈R)．
【精彩点拨】 因式分解 → 比较根的大小 → 分类讨论求解
【自主解答】 原不等式转化为(x－2a)(x＋a)<0. 对应的一元二次方程的根为 x1＝2a，x2＝－a. (1)当 a>0 时，x1>x2， 不等式的解集为{x|－a<x<2a}； (2)当 a＝0 时，原不等式化为 x2<0，无解；
方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和不等式 ax2＋bx＋c>0(a>0)或 ax2＋bx＋c<0(a>0) 是函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就 是当 y＝0 时，函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)就转化为方程，当 y>0 或 y<0 时，就转 化为一元二次不等式．
【答案】 {x|x＜－2 或 x＞3}
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第十二页，编辑于星期五：十六点 十五分。
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑：
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第十三页，编辑于星期五：十六点 十五分。
解一元二次不等式
() () () ()
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第五页，编辑于星期五：十六点 十五分。
【解析】 (1)×.当 m＝0 时，是一元一次不等式； 当 m≠0 时，它是一元二次不等式． (2)×.因为 a>0，所以不等式 ax2＋1>0 恒成立，即原不等式的解集为 R. (3)√.因为 x＝1 能使不等式 x2－2x＋1≥0 成立．故该说法正确． (4)×.因为一元二次不等式是整式不等式，而不等式中含有 x，故该说法错 误．
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第十一页，编辑于星期五：十六点 十五分。
4．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
34
y
6
0
－4
－6
－6
－4
06
则不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解集是________．
【解析】 可根据图表求得两个零点为 x1＝－2，x2＝3，结合二次函数的图 象(略)求解．
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第二十四页，编辑于星期五：十六点 十五分。
[再练一题] 2．解关于 x 的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0). 【导学号：05920047】
【解】 原不等式移项得 ax2＋(a－2)x－2≥0， 化简为(x＋1)(ax－2)≥0. ∵a<0，∴(x＋1)x－2a≤0. 当－2<a<0 时，2a≤x≤－1； 当 a＝－2 时，x＝－1；
阶
阶
段
段
一
三
3.2 一元二次不等式及其解法
第 1 课时 一元二次不等式及其解法
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
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第一页，编辑于星期五：十六点 十五分。
1．掌握一元二次不等式的解法．(重点) 2．能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题．(难点)
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第二页，编辑于星期五：十六点 十五分。
{x|x<x1 或 x>x2}，{x|x1<x<x2}(x1<x2)，则xx11x＋2＝x2a＝c，－ba， 值是相应方程的根．
即不等式的解集的端点
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第二十九页，编辑于星期五：十六点 十五分。
若不等式 ax2＋bx＋c≥0 的解集是x－13≤x≤2
，求不等式 cx2＋
bx＋a<0 的解集．
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第二十八页，编辑于星期五：十六点 十五分。
探究 2 方程 x2－2x－3＝0 与不等式 x2－2x－3>0 的解集分别是什么？观
察结果你发现什么问题？这又说明什么？
【提示】 方程 x2－2x－3＝0 的解集为{－1,3}． 不等式 x2－2x－3>0 的解集为{x|x<－1 或 x>3}，观察发现不等式 x2－2x－3>0 解集的端点值恰好是方程 x2－2x－3＝0 的根．这说明： 一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0(a>0)和 ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为
2．解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准．通过对不等式的变形，使不等式右侧为 0，使二次项系数为正． (2)判别式．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别 式．
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第十七页，编辑于星期五：十六点 十五分。
(3)求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． (4)画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． (5)写解集．根据图象写出不等式的解集．
【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)×
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第六页，编辑于星期五：十六点 十五分。
教材整理 2 一元二次不等式、二次函数、二次方程间的关 系
阅读教材 P76 倒数第三行～P78 例 2，完成下列问题． 三个“二次”的关系：
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第七页，编辑于星期五：十六点 十五分。
函数 y＝x2－2x－3 的值满足 y>0 时自变量 x 组成的集合，亦即二次函数 y ＝x2－2x－3 的图象在 x 轴上方时点的横坐标 x 的集合{x|x<－1 或 x>3}；同理， 满足 y<0 时 x 的取值集合为{x|－1<x<3}，满足 y＝0 时 x 的取值集合，亦即 y＝ x2－2x－3 图象与 x 轴交点横坐标组成的集合{－1,3}．这说明：