12.11近似法计算自振频率

解： (1) 选择自重作用下的弹性曲线作为振型曲线（注意：应 在各楼层水平方向分别施加自重m1g、m2g、m3g)，如图所示。
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(2)求 Yi i 1,2,3：
3
Yi
Yi1
r i
mr
g
ki
于是，可得
3
Y1
r 1
mr
g
k1
m1
m2 k1
m1
m2
m3 B
y (t)
1
y (x,t )
y2(t) y3(t)
x
T
1 2
l 0
m
xyx,
t
2
d
x
1 2
i
mi
yi t
2
y
x
1 2 cos2 (t )
2
l m(x)[Y (x)]2 d x 1 2 cos2 t
0
2
i
mi Yi 2
其最大值为:
Tmax
1 2
2
l m(x)[Y (x)]2 d x 1 2
为-0.05%，-0.7%，-4.8%。
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l2
l2
(3)计算前三个频率：
ml 6
ml 8 ml 4 ml 4 ml 4 ml 8
3
l4 l4 l4 l4
将体系简化为三个自由度体系，如图所示，可解得
1
9.865 l2
EI , m
2
39.2 l2
EI , m
3
84.6 l2
EI m
其精确解
3
88.83 l2
EI m
，故此时1，2，3的误差分别
1
22.45 l2
EI m
与精确值相比，其误差为+0.4%。
【讨论】由以上结果可以看出：所选的两种振型函数，或 是大部或是全部符合边界处位移和力的实际情况，因此所 得结果误差都很小。由于第二种振型函数更接近第一振型， 所得结果精度更高。
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【例12-35】试用瑞利法计算图12-94a所示三层刚架的第一自 振频率。
l
[Y
(x)]2
d
x
0
q 2l 5
q
l 0
ql 4 24EI
x4 l4
2
x3 l3
x2 l2
d
x
m
l 0
ql 4 24E
I
2
x4 l4
2
x3 l3
x2 l2
2
dx
720EI q2ml9
504 l4
EI m
576 630EI2
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故第一自振频率
l3
l3
式中，m1
m2
1 3
ml
，柔度系数为
11
22
4l 3 243 EI
,
12
21
7l 3 4867 EI
代入频率方程，可解得
1
9.86 l2
EI , m
2
38.2 l2
EI m
其精确解 -3.24%。
2
39 .48 l2
EI m
，故此时1和2的误差分别为-0.1%和
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12.11.1 能量法求第一自振频率——瑞利(Rayleigh)法
瑞利法适用于求第一自振频率；瑞利—里兹(Rayleigh-Ritz) 法是其推广形式，可用于求最初几个频率。
1.出发点(依据) 瑞利法的出发点是能量守恒原理，即一个无阻尼的弹性体系 自由振动时，它在任一时刻的总能量(应变能U与动能T之和) 应当保持不变，即
0
l m(x)[Y (x)]2 d x
0
a2EI ma2
l 0
4 π2 l2
cos 2
π l
x
2
d
x
l 1 cos 2 π x 2 d x
8 π4 EIa2
0
l
l3 3 mla2
16 2
3l 4
EI m
2
故第一自振频率
1
22.8 l2
EI m
与精确值
1
22.37 l2
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根据静力等效原则，把无限自由度换成单自由度或多自由度，
使集中后的重力与原来的重力互为静力等效(它们的合力彼此
相等)。例如，每段分布质量可按杠杆原理换成位于两端的集
中质量。
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【例12-36】用集中质量法求图a所示简支梁自振频率。
EI m
(a)
其精确解为
1
9.87 l2
EI m
，故误差为-0.7%。
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(2)计算前两个自振频率：
EI m
将体系简化为两个自由度体系，如图所示，此时的频l 率方程
为
11m1
1
2
21m1
12m2
22 m2
1
2
0
ml 6 ml 3 ml 3 ml 6
l3
EI 相比，其误差为+1.9%。
m
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(2)改取均布荷载q作用下的挠度曲线
ql 4 x 4
x3 x2
Y (x)
( 2 ) (b)
24 EI l 4
l3 l2
作为振型函数，这时，Y x 满足全部边界条件。
将式(b)代入式（12-125），得
l
q Y (x) d x
12
m
0
能可用重力所做的功来代替，即
U 1
2
l mgY (x) d x 1
0
2
i
mi gYi
于是式(12-124)可改写为
l
2
m
0
x
gY
(
x)
d
x
i
mi
gYi
l 0
mx[Y (x)]2
d
x
i
mi Yi 2
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(12-126)
【例12-34】试用瑞利法计算图12-93所示等截面两端固定梁的 第一自振频率。设EI＝常数，梁单位长度的质量为。
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1 2
2
l m(x)[Y (x)]2 d x 1 2
0
2
i
miYi 2
1 2
l EI[Y (x)]2 d x
0
由此，求得计算频率的公式为
2
l EI[Y (x)]2 d x
0
l 0
m ( x)[Y
( x)]2
d
x
miYi 2
上式就是瑞利法求自振频率的公式。
6.能量法的关键
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12.11.2 集中质量法求自振频率
如果把体系中的分布质量换成集中质量，则体系即由无限自由 度换成单自由度或多自由度。关于质量的集中方法很多，诸如：
1) 静力等效的集中质量法； 2) 动能等效的集中质量法； 3) 转移质量法等。 下面，着重介绍静力等效的集中质量法。
故第一自振频率
1 13.66 s1
精确解为13.46s-1，其误差为+1.56%。
【注】采用瑞利法计算1，其计算结果一般均高于精确值。
这是因为假设某一与实际振型有出入的特定曲线作为振型曲 线，即相当于给体系加上某种约束，增大了体系的刚度，使 其变形能增加，从而使计算的自振频率偏大。因此，用这种 方法所求的基本频率为真实频率的高限。在对用此法求得的 近似结果加以选择时，应取频率最低者。
两端力边界条件MFQ((尽对量位使移之影满响足较)小，可以放松要求)
3) 通常对 Y x作如下选择：
其一，选取某个静力荷载q(x)(例如结构自重)作用下的弹性曲
线作为Y x 的近似表示式，由式（12-124）即可求得第一频
率的近似值。此时，应变能可用相应荷载q(x)所做的功来代 替，即
U 1
l
q(x)Y (x) d x
A y
EI , m l
B x
解： (1) 假设振幅曲线 Y x 为
Y
x
a1
cos
2
π
x
(a)
l
满足几何边界条件和力的边界条件中梁端弯矩非零的要求， 但梁端剪力为零则与实际情况不符。
将式(a)代入式（12-124），得
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12
l EI[Y (x)]2 d x
m2g2
(4)求Tmax：
Tm a x
12
2
3 i 1
mi Yi 2
1 2 32.11010
2
m3g2
(5)由Tmax=Umax求第一频率：由式(12-126)，可得
mi gYi 12 i miYi2
i
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1.867 102 s2
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(12-124)
能量法的关键是假设振型函数 Y x ：
1) 若假设的位移形状函数正好与第i个主振型相符，则可求得
该i的精确值。此法一般用于计算第一自振频率1。
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2) 振型函数 Y x 的假定原则：应满足边界条件——
两端位移边界条件(必须满足)
机械能=应变能(U)+动能(T)=常数
2.位移表达式
yx, t Y xsint
EI , m(x)
A
m1
m2
m3 B
y1(t) y(x,t)
y2(t)
y (t) 3
x
x
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y
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yx,t Y xcost
梁的动能:
EI , m(x)
A
A
m1
m2
m3
B
y1(t) y(x,t)
y2(t)
y (t) 3
x
x
1 sin 2 (t ) l EI[Y (x)]2 d x
2
0
y
其最大值为
U m ax
1 2
l EI[Y (x)]2 d x
0
5.应用能量守恒原理
根据能量守恒原理，可知
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Tmax=Umax
12.11 近似法计算自振频率
近似法通常有三种途径： (1) 能量法：对体系的振动形式给以简化假设，但不改变结构的 刚度和质量分布，然后根据能量守恒原理求得自振频率。
(2) 集中质量法：将体系的质量分布加以简化，以集中质量代 替分布质量，采用近似算法求解，算出自振频率。
20
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因而式(12-124)可改写为
l
q(x)Y (x) d x
2
0
l m(x)[Y (x)]2 d x
0
miYi 2
i
(12-125)
其二，选取结构自重作用下的变形曲线作为Y x 的近似表达式
(注意，如果考虑水平振动，则重力应沿水平方向作用)，则应变
l
ml 4
ml 2
ml 4
(b)
l2
l2
解：m(l16) 求最ml 小3 自m振l 3频率m：l 6
ml 8 ml 4 ml 4 ml 4 ml 8
将原简支l 3梁简l化3 为单l 自3 由度体系，如图l 4 所示l 4，得l 4 l 4
1
1 1
m11
ml l3 2 48EI
9.8 l2
EI m
0
2
i
miYi 2
4.梁的弯曲应变能
U
1 2
l
0
M 2x, t
d EI
x
1 2
l
0
EI yx, t2
d
x
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U
1 2
l
0
M 2x, t
d EI
x
1 2
l
0
EI yx, t2
d
x
EI , m(x)
1 l EI[Y (x) sin(t )]2 d x 20
m3 g
1.632105 mg
3
Y2
Y1
r2
mr
g
k2
Y1
m2
m3 g
k2
2.907105 mg
Y3
Y2
m3 g k3
3.928
10 5 mg
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(3)求Umax(用外力所做的功来代替)：
U max
1 2
3 i1
mi g
Yi
1 10.737 105 2