2021-2022学年华东师大版数学八年级上册《勾股定理的应用》导学案

华师版数学八年级上14.2.1勾股定理的应用导学案
课题14.2.1 勾股定理的应用单元第14章学科数学年级八年级
学习目标1、了解勾股定理的作用是“在直角三角形中已知两边求第三边”;而勾股逆定理的作用是由“三角形边的关系得出三角形是直角三角形”.
2、掌握勾股定理及其逆定理，运用勾股定理进行简单的长度计算.
重点难点勾股定理的应用.
将实际问题转化为“应用勾股定理及其逆定理解直角三角形的数学问题”.
导学
环节
导学过程
自主学习预习课本，完成下列各题：
1、如图，圆柱的底面周长是14cm，圆柱高为24cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（）
A. 14cm
B. 15cm
C. 24cm
D. 25cm
2、如图，圆柱形容器高为8cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm
的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿1cm与蜂
蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为
______cm．
合作探究探究一：
例1 如图14.2. 1,一圆柱体的底面周长为20cm,高AB为4cm,BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程.(精确到0.01cm)
分析蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行，如果将这半个侧面展开(如图14. 2.2) ,得到长方形ABCD,根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是这一展开图长方形ABCD 的对角线AC之长.
探究二：
例2 一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如所示的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门.(厂门上方为半圆形拱门)
分析：由于车宽1.6米,所以卡车能否通过，只要比较距厂门中线0.8米处的高度与车高即可.如所示，点D在离厂门]中线0.8米处,且CD⊥AB,与地面相交于点H.
探究三：
如,以Rt△ABC的三边为边分别向外作正方形.在以BC为边所作的正方形中，点O是正方形对角线的交点,过点O作AB的平行线，交正方形于M、N两点，过点O作MN的垂线，交正方形于E、F两点，这样把正方形划分成四个形状与大小都一样的四边形.试将图中5个着色的图形拼入到上方空白的大正方形中，填满整个大正方形.
勾股定理在生活中的应用十分广泛，利用勾股定理解决问题，关键是找出问题中隐藏的直角三角形或自己构造合适的直角三角形，尝试把立体图形转换为平面图形.
1、如图，一个无盖长方形盒子的长宽高分别是4cm，4cm，6cm，一只蚂蚁想从盒底的A点沿盒的表面爬到盒顶的B点，蚂蚁要爬的最短路程是（）
A. 5cm
B. 8cm
C. 10cm
2、如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面30cm．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为60cm，则水深是（）cm．
A. 35
B. 40
C. 50
D. 45
3、如图，高速公路上有A、B两点相距10km，C、D为两村庄，已知DA=4km，CB=6km．DA ⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则EA的长是（）km
A. 4
B. 5
C. 6
D. 9
参考答案
自主学习：
1、解：把圆柱沿母线AC剪开后展开，点B展开后的对应点为B′，则蚂蚁爬行的最短路径为AB′，如图，
AC=24，CB′=7，
在Rt△ACB′，AB′==25，
所以它爬行的最短路程为25cm．
故选：D．
2、解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A'，
连接A'B，则A'B即为最短距离，
过点A'作A'D垂直BE，交BE延长线于点D，
由题意知A'D=12cm,DE=1cm，BE=8-4=4cm，则BD=5cm，
故A'B===13（cm）．
故答案为：13．
合作探究：
探究一：
解：如图14. 2.2,在Rt△ABC中, BC=底面周长的一半=10cm.由勾股定理,可得
AC =
2
2BC
AB+
=
2
210
4+
=
116
≈10.77( cm).
答:爬行的最短路程约为10.77 cm.
探究二：
解：在Rt△OCD中，由勾股定理,可得
CD=
2
2OD
OC-= 2
28.0
1-= 0.6,
CH = CD + DH=0.6+2.3=2.9>2.5.
可见高度上有0.4米的余量,因此卡车能通过厂门。

探究三：
当堂检测：
1、解：长方体展开，将长方体展开，进而得出最短路线．
可得：AB2=62+82=100
∴AB=10（cm），
故最短路程为10cm；
故选：C．
2、解：红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即AC为红莲的长．设水深h尺，由题意得：
Rt△ABC中，AB=h，AC=h+30，BC=60，
由勾股定理得：AC2=AB2+BC2，
即（h+30)2=h2+602，
解得：h=45．
故选：D．
3、解：设BE=x，则AE=（10-x）km，
由勾股定理得：
在Rt△ADE中，
DE2=AD2+AE2=42+（10-x）2，
在Rt△BCE中，
CE2=BC2+BE2=62+x2，
由题意可知：DE=CE，
所以：62+x2=42+（10-x）2，
解得：x=4km．
所以，EB的长是4km．
所以，EA=10-4=6（km）．
故选：C．
课堂小结：
1、立体图形中路线最短的问题，往往是把立体图形展开，得到平面图形．根据“两点之间，线段最短”确定行走路线，根据勾股定理计算出最短距离．
2、在解决实际问题时，首先要画出适当的示意图，将实际问题抽象为数学问题，并构建直角三角形模型，再运用勾股定理解决实际问题.。