2017_2018学年高中数学第三章概率3.2古典概型3.2.1古典概型优化练习新人教A版必修320

3.2.1 古典概型
[课时作业] [A 组 学业水平达标]
1．一个家庭有两个小孩，则所有可能的基本事件有( ) A ．(男，女)，(男，男)，(女，女) B ．(男，女)，(女，男)
C ．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)
D ．(男，男)，(女，女)
解析：由于两个孩子出生有先后之分． 答案：C
2．下列试验中，是古典概型的为( ) A ．种下一粒花生，观察它是否发芽
B ．向正方形ABCD 内，任意投掷一点P ，观察点P 是否与正方形的中心O 重合
C ．从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率
D ．在区间[0,5]内任取一点，求此点小于2的概率
解析：对于A ，发芽与不发芽的概率一般不相等，不满足等可能性；对于B ，正方形内点的个数有无限多个，不满足有限性；对于C ，满足有限性和等可能性，是古典概型；对于D ，区间内的点有无限多个，不满足有限性，故选C. 答案：C
3．甲，乙，丙三名学生随机站在一排，则甲站在边上的概率为( ) A.1
3 B.23 C.12
D.56
解析：甲，乙，丙三名学生随机站成一排，基本事件有：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6个，甲站在边上包含的基本事件有：甲乙丙，甲丙乙，乙丙甲，丙乙甲，
共4个，所以甲站在边上的概率P ＝m n ＝46＝2
3
.
答案：B
4．将一个骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则两数之和是3的倍数的概率是( ) A.1
9 B.16 C.1
4
D.13
解析：抛掷2次所得结果共有36种，点数之和是3的倍数的有(1,2)，(1,5)，(2,1)，(2,4)，
(3,3)，(3,6)，(4,2)，(4,5)，(5,1)，(5,4)，(6,3)，(6,6)，共12种结果，因此所求概率为1236＝13. 答案：D
5．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是( ) A.1
2 B.1
3 C.14
D.15
解析：送卡方法有：(甲送给丙、乙送给丁)、(甲送给丁、乙送给丙)、(甲、乙都送给丙)、(甲、乙都送给丁)共4种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有2种，所以概率为24＝1
2.
答案：A
6．从2男3女共5名同学中任选2名，每名同学被选中的机会均等，则这2名都是男生或都是女生的概率为________．
解析：从5名同学中任选2名，有10种不同的选法：这2名都是男生或都是女生，有4种不同的选法．所以所求概率为P ＝410＝2
5.
答案：25
7．从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则log a b 为整数的概率是________． 解析：由题意得，a ，b 有(2,3)，(2,8)，(2,9)，(3,8)，(3,9)，(8,9)，(3,2)，(8,2)，(9,2)，(8,3)，(9,3)，(9,8)，共12种取法．若满足log a b 为整数，则仅有a ＝2，b ＝8和a ＝3，b ＝9两种情况，
∴log a b 为整数的概率为212＝1
6.
答案：16
8．将一个各个面上均涂有红漆的正方体锯成27个大小相同的小正方体，从这些小正方体中任取一个，其中恰有2面涂有红漆的概率是__________． 解析：在27个小正方体中，有8个(8个顶点上)三面涂漆； 12个(在12条棱上，每条棱上1个)两面涂漆；
6个(在6个面上，每个面上1个)一面涂漆；1个(中心)各面都不涂漆． ∴所求概率为1227＝4
9
.
答案： 4
9
9．某商场举行抽奖活动，从装有编号0,1,2,3四个球的抽奖箱中，每次取出后放回，连续取两次，取出的两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖． (1)求中二等奖的概率； (2)求未中奖的概率．
解析：(1)设“中二等奖”的事件为A ，
所有基本事件包括(0,0)，(0,1)，…，(3,3) 共16个， 事件A 包含基本事件(1,3)，(2,2)，(3,1)共3个， 所以P (A )＝3
16
.
(2)设“未中奖”的事件为B ，
所有基本事件包括(0,0)，(0,1)，…，(3,3)共16个，
“两个小球号码相加之和等于3”这一事件包括基本事件(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0) 共4个，“两个小球号码相加之和等于5”这一事件包括基本事件(2,3)，(3,2)共2个．P (B )＝1
－P (B )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫316＋416＋216＝7
16
.
所以未中奖的概率为7
16
.
10．设关于x 的方程x 2
＋4mx ＋4n ＝0.
(1)若m ∈{1,2,3}，n ∈{0,1,2}，求方程有实根的概率；
(2)若m ，n ∈{－2，－1,1,2}，求当方程有实根时，两根异号的概率． 解析：方程有实根⇔Δ＝16m 2
－16n ≥0，即m 2
≥n ， (1)m 与n 的所有可能结果为9种， 为使m 2
≥n ，则当m ＝3时，n ＝0,1,2； 当m ＝2时，n ＝0,1,2； 当m ＝1时，n ＝0,1. 共有8种结果．
所以方程有实根的概率P ＝8
9
.
(2)由条件知，在m 2
≥n 的条件下，求n ＜0的概率． 当m ＝－2时，n ＝－2，－1,1,2； 当m ＝－1时，n ＝－1,1； 当m ＝1时，n ＝－1,1； 当m ＝2时，n ＝－2，－1,1,2. 共有12种结果．
其中使n 为负数的有6种情况， 故所求概率为P ＝612＝1
2.
[B 组 应考能力提升]
1．从1,2,3,4这四个数字中依次取(不放回)两个数a ，b ，使得lg(3a )≥lg(4b )成立的概率是( )
A.1
3 B.512
C.12
D.712
解析：因为lg(3a )≥lg(4b )，所以3a ≥4b .从1,2,3,4这四个数字中依次取两个数所包含的基本事件有(1,2)，(2,1)， (1,3)，(3,1)，(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)，(2,4)，(4,2)，(3,4)，(4,3)，共12个，符合条件3a ≥4b 的有(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(4,2)，(4,3)，共6个，所以所求概率为612＝1
2，故选C.
答案：C
2．某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x ，第二次向上的点数记为y ，则在直角坐标系xOy 中，以(x ，y )为坐标的点落在直线2x －y ＝1上的概率为( ) A.112 B.19 C.536
D.16
解析：先后投掷一枚骰子两次，所有可能的结果有36种，其中以(x ，y )为坐标的点落在直线2x －y ＝1上的结果有(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3种，所以所求概率p ＝336＝1
12.
答案：A
3．若将甲、乙两个球随机放入编号为1,2,3的三个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1,2号盒子中各有一个球的概率是________．
解析：将甲、乙两个球放入同一个盒子中有3种放法，放入两个盒子中有6种放法，所以共有9个基本事件，其中在1,2号盒子中各有一个球的事件包含2个基本事件，因此所求概率是2
9.
答案：29
4．甲、乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲、乙两人依次各抽一道题．
(1)甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？
(2)甲、乙两人中至少有1人抽到选择题的概率是多少？
解析：甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题，先抽的有10种抽法，后抽的有9种抽法，故所有可能的抽法是10×9＝90种，即基本事件总数是90.
(1)记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A ，下面求事件A 包含的基本事件数： 甲抽到选择题有6种抽法，乙抽到判断题有4种抽法，所以事件A 的基本事件数为6×4＝24.
P (A )＝m n ＝2490＝415
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(2)先考虑问题的对立面：“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的对立事件是“甲、乙两人都未抽到选择题”，即都抽到判断题．
记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件B ，“至少一个人抽到选择题”为事件C ，则B 包含的基本事件数为4×3＝12.∴由古典概型概率公式得P (B )＝1290＝2
15，
∴P (C )＝1－P (B )＝1－215＝13
15
.。