相似三角形的常见模型

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【基本模型】
①如图，在ABC 中，点D 在AB 上，点E 在AC 上，
//DE
BC ，则
ADE ABC △△∽，
AD AE DE
AB AC BC
．
②模型拓展1：斜交A 字型条件：C ADE ，图2结论：~ADE ACB ；
③模型拓展2： 如图，∠ACD ＝∠B ⇔△ADC ∽△ACB ⇔
AD AC CD
AC AB BC
．
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【例1】如图，王华晚上由路灯A 下的B 处走到C 处时，测得影子CD 的长为1米，继续往前走2米到达B 处时，测得影子EF 的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A 的高度等于_________．
【变式1-1】有一块直角三角形木板，∠B ＝90°，AB ＝1.5m ，BC ＝2m ，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图1、图2所示．请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好（加工损耗忽略不计）．
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培优篇 【变式1-2】（2022•衢州二模）已知菱形ABCD ，E 是BC 边上一点，连接AE 交BD 于点F （1）如图1，当E 是BC 中点时，求证：AF ＝2EF ；
（2）如图2，连接CF ，若AB ＝5，BD ＝8，当△CEF 为直角三角形时，求BE 的长； （3）如图3，当∠ABC ＝90°时，过点C 作CG ⊥AE 交AE 的延长线于点G ，连接DG ，若BE ＝BF ，求tan ∠BDG 的值．
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培优篇 ③模型拓展：如图，∠A ＝∠C ⇔△AJB
∽△
CJD ⇔
A B JA C D JC
【例2】如图，在平行四边形ABCD 中，E 为边AD 的中点，连接AC 、BE 交于点F ．若△AEF 的面积为2，则△ABC 的面积为（ ） A ．8
B ．10
C ．12
D ．14
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培优篇 【变式2-1】如图，在△ABC 中，BC ＝6，AE
A F EB
FC
，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于点
D ，∠CBP 的平分线交C
E 于点Q ，当CQ ＝1
4
CE 时，EP ＋BP 的值为（ ）
A ．9
B ．12
C ．18
D ．24
【变式2-2】如图，在Rt △ACB 中，∠ACB =90°，AC =4，BC =3，点D 为AC 上一点，连接BD ，E 为AB 上一点，CE ⊥BD 于点F ，当AD =CD 时，求CE 的长．
【变式2-3】如图，已知D 是BC 的中点，M 是AD
的中点．求
AN:NC
的值．
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篇
【例3】如图，在平行四边形ABCD 中，∠ABC 的平分线交AC 于点E ，交AD 于点F ，交CD 的延长线于点G ，若AF ＝2FD ，则BE
EG
的值为（ ） A ．12
B ．13
C ．2
3
D ．34
【变式3-1】（2020•杭州）如图，在正方形ABCD 中，点E 在BC 边上，连接AE ，∠DAE 的平分线AG 与CD 边交于点G ，与BC 的延长线交于点F ．设＝λ（λ＞0）．
（1）若AB ＝2，λ＝1，求线段CF 的长． （2）连接EG ，若EG ⊥AF ， ①求证：点G 为CD 边的中点． ②求λ的值．
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【例4】如图，在△ABC 中，45ABC ，AB A D A E ，D A E 90 ，
C E
，则CD 的长为______．
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优篇 【变式4-1】矩形ABCD 中，AD ＝9，AB ＝12，点E 在对角线BD 上（不与B 、D 重合），EF ⊥AE 交CD 于F 点，连接AF 交BD 于G 点． （1）如图1，当G 为DE 中点时． ①求证：FD ＝FE ； ②求BE 的长．
（2）如图2，若E 为BD 上任意点，求证：AG 2＝BG •GE ．
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培优篇 【变式4-2】如图，ABC 中，,,AB AC AB AC 点D E 、分别是BC AC 、的中点，
AF BE ⊥与点F ．
（1）求证：2AE FE BE ；
（2）求A F C 的大小；
（3）若DF=1，求△ABF 的面积．
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篇
结论：AH ⊥GF ，△AGF ∽△ABC ，
GF AH
BC AM
【例5】如图1，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，正方形DEFG 的顶点D 、G 分别在AB 、AC 上，EF 在BC 上． （1）求正方形DEFG 的边长；
（2）如图2，在BC 边上放两个小正方形DEFG 、FGMN ，则DE= ．
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培优篇 【变式5-1】有一块锐角三角形卡纸余料ABC ，它的边BC ＝120cm ，高AD ＝80cm ，为使卡纸余料得到充分利用，现把它裁剪成一个邻边之比为2：5的矩形纸片EFGH 和正方形纸片PMNQ ，裁剪时，矩形纸片的较长边在BC 上，正方形纸片一边在矩形纸片的较长边EH 上，其余顶点均分别在AB ，AC 上，具体裁剪方式如图所示． （1）求矩形纸片较长边EH 的长；
（2）裁剪正方形纸片时，小聪同学是按以下方法进行裁剪的：先沿着剩余料△AEH 中与边EH 平行的中位线剪一刀，再沿过该中位线两端点向边EH 所作的垂线剪两刀，请你通过计算，判断小聪的剪法是否正确．
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篇 ②拓展：
（1）在正方形、长方形中经常会出现射影定理模型，如图，在有射影定理模型．
（2）如图，在圆中也会出现射影定理模型．
【例
6】如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，E 为AB 上一点，分别以ED 、EC 为折痕将两个角(∠A 、∠B )向内折起，点A 、B 恰好落在CD 边的点F 处，若AD ＝3，BC ＝5，则EF 的长是（ ） A.15
B ．215
C ．17
D ．217
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培优篇 【变式6-1】如图所示，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，DE ⊥BC ，垂足分别为D 、E 两点，则图中与△ABC 相似的三角形有（ ） A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
【变式6-2】如图，在R t △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 在AB 上，且AD AC ＝AC
AB
． （1）求证 △ACD ∽△ABC ；
（2）若AD ＝3，BD ＝2，求CD 的长．
【变式6-3】ABC 中，90ABC ，BD AC ，点E 为B D 的中点，连接A E 并延长交B C 于点F ，且有AF CF ，过F 点作FH AC 于点H ． （1）求证：AD E CD B ∽； （2）求证：=2A E E
F ； （3）若
FH
B C 的长．
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②如图所示，BDE 和ABC 则ABD CBE ∽△△，且相似比为
总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似．
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【例7】如图，在△ABC 与△ADE 中，∠ACB ＝∠AED ＝90°，∠ABC ＝∠ADE ，连接BD 、CE ，若AC ：BC ＝3：4，则BD ：CE 为（ ） A ．5：3
B ．4：3
C ．√5：2
D ．2：√3
【变式7-1】如图，点E 是菱形ABCD 对角线CA 的延长线上任意一点，以线段AE 为边作一个菱形AEFG ，且菱形AEFG ∽菱形ABCD ，相似比是：2，连接EB ，GD ．
（1）求证：EB ＝GD ；
（2）若∠DAB ＝60°，AB ＝2，求GD 的长．
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培优篇 【变式7-2】如图，正方形ABCD ，对角线AC ，BD 相交于O ，Q 为线段DB 上的一点，
90MQN ，点M 、N 分别在直线BC 、DC 上．
（1）如图1，当Q 为线段OD 的中点时，求证：11
32
DN BM BC ；
（2）如图2，当Q 为线段OB 的中点，点N 在CD 的延长线上时，则线段DN 、BM 、BC 的数量关系为 ；
（3）在（2）的条件下，连接MN ，交AD 、BD 于点E 、F ，若:3:1
M B M C ，N Q ，求EF 的长．
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培优篇 补充：其他常见的一线三等角图形
【例8】【感知】如图①，在四边形ABCD 中，点P 在边AB 上（点P 不与点A 、B 重合），90A B DPC ．易证DAP PBC △△∽
．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD 中，点P 在边AB 上（点P 不与点A 、B 重合），
A B D PC ．若4PD ，8P C ，6BC ，求AP 的长．
【拓展】如图③，在ABC 中，8AC BC ，12A B ，点P 在边AB 上（点P 不与点A 、B 重合），连结CP ，作CPE A ，PE 与边BC 交于点E ，当CPE △是等腰三角形时，直接写出AP 的长．
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优篇 【变式8-1】如图，在矩形ABCD 中，CD ＝4，E 是BC 的中点，连接AE ，tan ∠AEB 43
，P 是AD 边上一动点，沿过点P 的直线将矩形折叠，使点D 落在AE 上的点D ¢处，当
A P D △是直角三角形时，PD 的值为（ ）
A ．2
3或67
B ．83
或247
C ．83或307
D ．
103或187
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培优篇 【变式8-2】（2022秋•温州校级月考） 【推理】
如图1，在正方形ABCD 中，点E 是CD 上一动点，将正方形沿着BE 折叠，点C 落在点F 处，连结BE ，CF ，延长CF 交AD 于点G ． （1）求证：BCE CDG △△≌． 【运用】
（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF 交AD 于点H ．若4
5
HD HF ，9C E ，求线段DE 的长．
【拓展】
（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE 折叠，连结CF ，延长CF ，BF 交直线AD 于G ，两点，若
AB k BC ，45HD HF ，求DE
EC
的值（用含k 的代数式表示）．。