四川省攀枝花市2021届新高考适应性测试卷数学试题(2)含解析

四川省攀枝花市2021届新高考适应性测试卷数学试题（2）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．1x <是12x x
+<-的（ ）条件 A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要 【答案】B
【解析】
【分析】
利用充分条件、必要条件与集合包含关系之间的等价关系，即可得出。

【详解】
设:p 1x <对应的集合是(,1)A =-∞，由12x x
+<-解得0x <且1x ≠- :q 12x x
+<-对应的集合是()(),11,0B =-∞--U ，所以B n A ， 故1x <是12x x
+
<-的必要不充分条件，故选B 。

【点睛】 本题主要考查充分条件、必要条件的判断方法——集合关系法。

设{}{}
B A x x p x x q =∈=∈， ，
如果A B ⊆，则p 是q 的充分条件；如果A n B 则p 是q 的充分不必要条件；
如果B A ⊆，则p 是q 的必要条件；如果B n A ，则p 是q 的必要不充分条件。

2．10
2
12
x ⎛ ⎝的展开式中有理项有（ ） A ．3项
B ．4项
C ．5项
D ．7项 【答案】B
【解析】
【分析】
由二项展开式定理求出通项，求出x 的指数为整数时r 的个数，即可求解.
【详解】 720103110(1)2r r r r
r T C x --+=-，010r ≤≤，
当0r =，3，6，9时，1r T +为有理项，共4项.
故选:B.
【点睛】
本题考查二项展开式项的特征，熟练掌握二项展开式的通项公式是解题的关键，属于基础题.
3．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）
A ．23
B ．1
C ．43
D ．8
3
【答案】C
【解析】
该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，体积1
1
4
222323V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭．故选C .
4．已知实数集R ，集合{|13}A x x =<<，集合|2B x y x ⎧==⎨-⎩，则()R A C B ⋂=（
）
A ．{|12}x x <≤
B ．{|13}x x <<
C ．{|23}x x ≤<
D ．{|12}x x <<
【答案】A
【解析】
【分析】
20x ->可得集合B ,求出补集R C B ,再求出()R A C B ⋂即可.
【详解】
20x ->,得2x >,即(2,)B =+∞,
所以R C B (,2]=-∞,
所以()R A C B ⋂=(1,2].
故选:A
【点睛】
本题考查了集合的补集和交集的混合运算,属于基础题.
5．已知集合{}{}22(,)4,(,)2
x A x y x y B x y y =+===，则A B I 元素个数为( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】B
【解析】
【分析】
作出两集合所表示的点的图象，可得选项.
【详解】
由题意得，集合A 表示以原点为圆心，以2为半径的圆，集合B 表示函数2x y =的图象上的点，作出两集合所表示的点的示意图如下图所示，得出两个图象有两个交点:点A 和点B ，所以两个集合有两个公共元素，所以A B I 元素个数为2，
故选：B.
【点睛】
本题考查集合的交集运算，关键在于作出集合所表示的点的图象，再运用数形结合的思想，属于基础题. 6．相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的x 的值为1，输出的x 的值为（ ）
A．64
81
B．
32
27
C．
8
9
D．16
27
【答案】B
【解析】
【分析】
根据循环语句，输入1
x=，执行循环语句即可计算出结果. 【详解】
输入1
x=，由题意执行循环结构程序框图，可得：
第1次循环：
2
3
x=，24
i=<，不满足判断条件；
第2次循环：
8
9
x=，34
i=<，不满足判断条件；
第4次循环：
32
27
x=，44
i=≥，满足判断条件；输出结果
32
27
x=.
故选：B
【点睛】
本题考查了循环语句的程序框图，求输出的结果，解答此类题目时结合循环的条件进行计算，需要注意跳出循环的判定语句，本题较为基础.
7．金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节，“……洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了”.现有五种不同的肉，任何两种（含两种）以上的肉混合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（）A．20 B．24 C．25 D．26
【答案】D
【解析】
【分析】
利用组合的意义可得混合后所有不同的滋味种数为23455555C C C C +++，再利用组合数的计算公式可得所
求的种数.
【详解】
混合后可以组成的所有不同的滋味种数为23455555205126C C C C +++=++=（种），
故选：D.
【点睛】
本题考查组合的应用，此类问题注意实际问题的合理转化，本题属于容易题.
8．半正多面体(semiregular solid) 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A ．83
B ．4
C ．163
D ．203
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三视图作出该二十四等边体如下图所示，求出该几何体的棱长，可以将该几何体看作是相应的正方体沿各棱的中点截去8个三棱锥所得到的，可求出其体积.
【详解】
如下图所示，将该二十四等边体的直观图置于棱长为2的正方体中，由三视图可知，2，它是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，
∴该几何体的体积为11202228111323
V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=， 故选：D.
【点睛】
本题考查三视图，几何体的体积，对于二十四等边体比较好的处理方式是由正方体各棱的中点得到，属于中档题.
9．231+=-i i （ ） A ．15i 22-+ B ．1522i -- C ．5522i + D ．5122
i - 【答案】A
【解析】 【分析】
分子分母同乘1i +,即根据复数的除法法则求解即可.
【详解】
解:23(23)(1)151(1)(1)22
i i i i i i i +++==-+--+, 故选:A
【点睛】
本题考查复数的除法运算,属于基础题.
10．“是函数()()1f x ax x =-在区间内单调递增”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】 ()()21f x ax x ax x =-=-，令20,ax x -=解得1210,x x a
==
当0a ≤，()f x 的图像如下图
当0a >，()f x 的图像如下图
由上两图可知，是充要条件
【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念，以及函数图像的画法.
11．已知函数2211()log 13||f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
(lg )3f x >的解集为（ ） A ．1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,(10,)10⎛
⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭ C ．(1,10) D ．1,1(1,10)10⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭
【答案】D
【解析】
【分析】
先判断函数的奇偶性和单调性，得到1lg 1x -<<，且lg 0x ≠，解不等式得解.
【详解】
由题得函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U .
因为()()f x f x -=，
所以()f x 为(,0)(0,)-∞+∞U 上的偶函数， 因为函数21113||y y x x
=+=+，都是在(0,)+∞上单调递减. 所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递减.
因为(1)3,(lg )3(1)f f x f =>=，
所以1lg 1x -<<，且lg 0x ≠， 解得1,1(1,10)10x ⎛⎫∈⋃
⎪⎝⎭
. 故选：D
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
12．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别为棱1AA 、1CC 、11B C 、11A B 的中点，则下列各直线中，不与平面1ACD 平行的是（ ）
A ．直线EF
B ．直线GH
C ．直线EH
D ．直线1A B
【答案】C
【解析】
【分析】 充分利用正方体的几何特征，利用线面平行的判定定理，根据//EF AC 判断A 的正误.根据
1111//,//GH A C A C AC ，判断B 的正误.根据11//,EH C D C D 与 1D C 相交，判断C 的正误.根据11//A B D C ，判断D 的正误.
【详解】
在正方体中，因为//EF AC ，所以//EF 平面1ACD ，故A 正确.
因为1111//,//GH A C A C AC ，所以//GH AC ，所以//GH 平面1ACD 故B 正确.
因为11//A B D C ，所以1//A B 平面1ACD ，故D 正确.
因为11//,EH C D C D 与 1D C 相交，所以 EH 与平面1ACD 相交，故C 错误.
故选：C
【点睛】
本题主要考查正方体的几何特征，线面平行的判定定理，还考查了推理论证的能力，属中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知关于x的方程
1
|sin|sin
2
a x x
+=在区间[0,2]π上恰有两个解，则实数a的取值范围是
________ 【答案】
31
(,)
22
-
【解析】
【分析】
先换元，令sin
t x
=，将原方程转化为
1
2
a t t
+=，利用参变分离法转化为研究两函数的图像交点，观察图像，即可求出．
【详解】
因为关于x的方程
1
|sin|sin
2
a x x
+=在区间[0,2]π上恰有两个解，令sin
t x
=，所以方程
1
2
a t t
+=在()()
1,00,1
t∈-U上只有一解，即有
1
1201
2
1
210
t
t
t
t
a
t
t
t
t
⎧
-
⎪
<<
-⎪
⎪
==⎨
⎪-
⎪-<<
⎪-
⎩
，
直线y a
=与
1
2
t
y
t
-
=在
()()
1,00,1
t∈-U的图像有一个交点，
由图可知，实数a的取值范围是
31
[,)
22
-，但是当
3
2
a=-时，还有一个根1
t=，所以此时共有3个根. 综上实数a的取值范围是
31
(,)
22
-.
【点睛】
本题主要考查学生运用转化与化归思想的能力，方程有解问题转化成两函数的图像有交点问题，是常见的转化方式．
14．()62
x y
-的展开式中，24
x y的系数为_______（用数字作答）.
【答案】60
【解析】
【分析】
根据二项式定理展开式通项，即可求得24x y 的系数.
【详解】 因为()6162r r r r T C x y -+=-， 所以4r =，
则所求项的系数为()446260C -=.
故答案为：60
【点睛】
本题考查了二项展开式通项公式的应用，指定项系数的求法，属于基础题.
15．已知2a b ==r r ，()()
22a b a b +⋅-=-r r r r ，则a r 与b r 的夹角为 . 【答案】60︒
【解析】
【分析】
【详解】
根据已知条件(2)()2a b a b +⋅-=-r r r r ，去括号得：222422cos 242a a b b θ+⋅-=+⨯⨯-⨯=-r r r r ，
1cos ,602
θθ︒⇒== 16．设x 、y 满足约束条件20200x y x y y m +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩
，若2z x y =+的最小值是1-，则m 的值为__________.
【答案】1-
【解析】
【分析】
画出满足条件的平面区域，求出交点的坐标，由2z x y =+得2y x z =-+，显然直线过()2,A m m ---时，z 最小，代入求出m 的值即可．
【详解】
作出不等式组20200x y x y y m +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩所表示的可行域如下图所示：
联立20
x y y m -+=⎧⎨
+=⎩，解得2x m y m =--⎧⎨=-⎩，则点()2,A m m ---.
由2z x y =+得2y x z =-+，显然当直线2y x z =-+过()2,A m m ---时，该直线y 轴上的截距最小，此时z 最小，
241m m ∴---=-，解得1m =-.
故答案为：1-． 【点睛】
本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()2
1ln 2
f x x ax bx =-
+，函数()f x 在点()()1,1f 处的切线斜率为0. （1）试用含有a 的式子表示b ，并讨论()f x 的单调性；
（2）对于函数()f x 图象上的不同两点()11,A x y ，()22,B x y ，如果在函数()f x 图象上存在点
()()()00012M x y x x x ∈,,，使得在点M 处的切线//l AB ，则称AB 存在“跟随切线”.特别地，当
12
02
x x x +=
时，又称AB 存在“中值跟随切线”.试问：函数()f x 上是否存在两点,A B 使得它存在“中值跟随切线”，若存在，求出,A B 的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】（1）1b a =-，单调性见解析；（2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】
（1）由题意得()10f '=，即可得1b a =-；求出函数()f x 的导数()()()11ax x f x x
+-+'=
，再根据
0a ≥、10a -<<、1a =-、1a <-分类讨论，分别求出()0f x '>、()0f x '<的解集即可得解；
（2）假设满足条件的A 、B 存在，不妨设()11A x y ，，()22B x y ，且120x x <<，由题意得122AB x x f k +⎛='⎫
⎪
⎝⎭
可得1211
22
21ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪
⎝⎭=+，令12x t x =（01t <<），构造函数()()21ln 1t g t t t -=-+（01t <<），求导后证
明()0g t <即可得解. 【详解】
（1）由题可得函数()y f x =的定义域为()0+∞，
且()1
f x ax b x
-'=+， 由()10f '=，整理得1b a =-.
()()()1111
1ax x f x ax b ax a x x x
+-+=
-+=-+-=
'. （ⅰ）当0a ≥时，易知()01x ∈，，()0f x '>，()1x ∈+∞，
时()0f x '<. 故()y f x =在()01，上单调递增，在()1+∞，
上单调递减. （ⅱ）当0a <时，令()0f x '=，解得1x =或1
x a
=-，则 ①当1
1a
-=，即1a =-时，()0f x '≥在()0+∞，
上恒成立，则()y f x =在()0+∞，上递增. ②当11a -
>，即10a -<<时，当()101x a ⎛⎫
∈⋃-+∞ ⎪⎝⎭，
，时，()0f x '>； 当11x a ⎛⎫
∈- ⎪⎝
⎭
，
时，()0f x '<. 所以()y f x =在()01，上单调递增，11a ⎛
⎫- ⎪⎝⎭，
单调递减，1a ，⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
单调递增.
③当11a -
<，即1a <-时，当()101x a ⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪⎝⎭，，时，()0f x '>；当11x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
，时，()0f x '<. 所以()y f x =在10a ⎛
⎫- ⎪⎝⎭，
上单调递增，11a ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，单调递减，()1+∞，单调递增. 综上，当0a ≥时，()y f x =在()01，上单调递增，在()1+∞，
单调递减. 当10a -<<时，()y f x =在()01，及1
a
，
⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增；()y f x =在11a ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
，上单调递减. 当1a =-时，()y f x =在()0+∞，
上递增. 当1a <-时，()y f x =在10a ⎛⎫- ⎪⎝
⎭，
及()1+∞，上单调递增；()y f x =在11a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，上递减. （2）满足条件的A 、B 不存在，理由如下：
假设满足条件的A 、B 存在，不妨设()11A x y ，，()22B x y ，且120x x <<， 则()1212121212ln ln 1
12
AB y y x x k a x x a x x x x --=
=-++---， 又()1212012
2122x x x x f x f a a x x ++⎛⎫'==-⨯+- ⎪
+⎝⎭'， 由题可知()
AB
k f x 0='，整理可得：12121121
12122122
21ln ln 222ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫
- ⎪--⎝⎭=⇒==-+++， 令12x t x =
（01t <<），构造函数()()21ln 1
t g t t t -=-+（01t <<）. 则()()()()2
22
114
011t g t t t t t -'=-=>++，
所以()g t 在()01，上单调递增，从而()()10g t g <=，
所以方程112212
22ln
x x x x x x -=+无解，即()
AB k f x 0='无解. 综上，满足条件的A 、B 不存在. 【点睛】
本题考查了导数的应用，考查了计算能力和转化化归思想，属于中档题.
18．已知△ABC 三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且3sin 2A+3sin 2B ＝4sinAsinB+3sin 2C ． （1）求cosC 的值； （2）若a ＝3，
c =
△ABC 的面积．
【答案】（1）23；（2
． 【解析】 【分析】
（1）利用正弦定理对已知代数式化简，根据余弦定理求解余弦值； （2）根据余弦定理求出b ＝1或b ＝3，结合面积公式求解. 【详解】
（1）已知等式3sin 2A+3sin 2B ＝4sinAsinB+3sin 2C ，利用正弦定理化简得：3a 2+3b 2﹣3c 2＝4ab ，即a 2+b 2﹣c 24
3
=
ab ， ∴cosC 2222
23
a b c ab +-==；
（2）把a ＝3，c =3a 2+3b 2﹣3c 2＝4ab 得：b ＝1或b ＝3，
∵cosC 2
3
=
，C 为三角形内角，
∴sinC ==
，
∴S △ABC 12=
absinC 12=⨯3×b 32
=
b ，
则△ABC 的面积为2或2
． 【点睛】
此题考查利用正余弦定理求解三角形，关键在于熟练掌握正弦定理进行边角互化，利用余弦定理求解边长，根据面积公式求解面积.
19．已知动圆Q 经过定点()0,F a ，且与定直线:l y a =-相切（其中a 为常数，且0a >）.记动圆圆心Q 的轨迹为曲线C ．
（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线？
（2）设点P 的坐标为()0,a -，过点P 作曲线C 的切线，切点为A ，若过点P 的直线m 与曲线C 交于M ，N 两点，则是否存在直线m ，使得AFM AFN ∠=∠？若存在，求出直线m 斜率的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）2
4x ay =，抛物线；（2）存在，()(),11,-∞-+∞U .
【解析】 【分析】
（1）设(),Q x y y a =+，化简即得；
（2）利用导数几何意义可得()2,A a a ，要使AFM AFN ∠=∠，只需0FM FN k k +=. 联立直线m 与抛物线方程，利用根与系数的关系即可解决. 【详解】
（1）设(),Q x y y a =+，化简得2
4x ay =，
所以动圆圆心Q 的轨迹方程为2
4x ay =， 它是以F 为焦点，以直线l 为准线的抛物线.
（2）不妨设()2,04t A t t a ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
.
因为2
4x y a
=，所以2x y a '=，
从而直线PA 的斜率为2
402t a
t a
t a
+=-，解得2t a =，即()2,A a a ， 又()0,F a ，所以//AF x 轴.
要使AFM AFN ∠=∠，只需0FM FN k k +=.
设直线m 的方程为y kx a =-，代入2
4x ay =并整理， 得22440x akx a -+=. 首先，()2
2
1610a
k
∆=->，解得1k <-或1k >.
其次，设()11,M x y ，()22,N x y ，
则124x x ak +=，2
124x x a =.
()()2112121212
FM FN x y a x y a y a y a k k x x x x -+---+=
+= ()()()
2112121212
2222x kx a x kx a a x x k x x x x -+-+==-
2
24204a ak
k a
⋅=-
=. 故存在直线m ，使得AFM AFN ∠=∠，
此时直线m 的斜率的取值范围为()(),11,-∞-+∞U . 【点睛】
本题考查直线与抛物线位置关系的应用，涉及抛物线中的存在性问题，考查学生的计算能力，是一道中档题.
20．已知函数1()x
x f x e --=，
（1）证明：()f x 在区间(0,1)单调递减；
（2）证明：对任意的(0,1)x ∈有11x
x x e x e ---<-<． 【答案】（1）答案见解析．（2）答案见解析 【解析】 【分析】
（1）利用复合函数求导求出()f x '，利用导数与函数单调性之间的关系即可求解. （2）首先证1x x e --<，令()(1)x
g x e
x -=--，求导可得()g x 单调递增，由(0)0g =即可证出；再令
()ln(1)1x
g x x x
=-+
-，再利用导数可得()h x 单调递增，由()0h x >即可证出. 【详解】 （1）1121()1(1)x
f x e
x -
-⎛⎫'=⋅- ⎪-⎝⎭
显然()0,1x ∈时，()0f x '<，故f 在(0,1)单调递减． （2）首先证1x x e --<，令()(1)x
g x e x -=--，
则()10,(0,1)x
g x e
x -'=-+>∈
()g x 单调递增，且(0)0g =，所以()0,(0,1)g x x >∈
再令()ln(1)1x
g x x x
=-+
-， 2
(0)0,()0,(0,1)(1)
x
h h x x x '==
>∈- 所以()h x 单调递增((0,1)x ∈，即()0h x >，(0,1)x ∈
∴ln(1),(0,1)1x
x x x
->-
∈- 11,(0,1)x x
x e
x --⇒->∈
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数证明不等式，解题的关键掌握复合函数求导，属于难题.
21．定义：若数列{}n a 满足所有的项均由1,1﹣构成且其中1﹣有m 个，1有p 个()3m p +≥，则称{}n a 为
“(),m p ﹣数列”．
（1）(),,i j k a a a i j k ＜＜为“()3,4﹣数列”{}n a 中的任意三项，则使得1i j k a a a ＝的取法有多少种？ （2）(),,i j k a a a i j k ＜＜为“(),m p ﹣数列”{}n a 中的任意三项，则存在多少正整数(),m p 对使得
1100,m p ≤≤≤且1i j k a a a =的概率为
12
. 【答案】（1）16；（2）115. 【解析】 【分析】
(1)易得使得1i j k a a a ＝的情况只有“
1,1,1﹣﹣”,“1,1,1”两种,再根据组合的方法求解两种情况分别的情况数再求和即可.
(2)易得“
1,1,1﹣﹣”共有2
1m p C C 种,“1,1,1”共有3P
C 种.再根据古典概型的方法可知2133
1
2
m p p
m p
C C C C ++=
,利用组合数的计算公式可得()()
2232320p
m p p mp m m +﹣﹣﹣﹣﹣＝,当p m =时根据题意有
()(),,,2,3,4,{},100m p k k k ∈⋯=,共99个；
当2
2
32320p p mp m m +﹣
﹣﹣﹣＝时求得(
)232
m p +±
＝,再根据1100,m p ≤≤≤换元根据整除的
方法求解满足的正整数对即可. 【详解】
解：（1）三个数乘积为1有两种情况：“1,1,1﹣﹣”,“1,1,1”, 其中“
1,1,1﹣﹣”共有：2
1
3412C C ＝种, “1,1,1”共有：3
44C =种,
利用分类计数原理得：
(),,i j k a a a i j k ＜＜为“()3,4﹣数列”{}n a 中的任意三项,
则使得1i j k a a a ＝的取法有：12416+＝种．
（2）与(1)同理,“
1,1,1﹣﹣”共有21
m p C C 种, “1,1,1”共有3
P C 种,
而在“(),m p ﹣数列”中任取三项共有3
m p C +种,
根据古典概型有：
21
33
1
2
m p p
m p
C C C C ++=
, 再根据组合数的计算公式能得到：
()()2232320p
m p p mp m m +﹣﹣﹣﹣﹣＝, p m ①＝时,应满足1100
3m p m p p m ≤≤≤⎧⎪
+≥⎨⎪=⎩
,
()(),,,2,3,{,}4,100m p k k k ∴∈⋯=,共99个,
2232320p p mp m m +②﹣﹣﹣﹣＝时,
应满足221100
3
32320m p m p p p mp m m <≤<⎧⎪
+≥⎨⎪--+--=⎩
,
视m 为常数,可解得()232
m p +＝
,
1,m ≥Q
5≥,
根据p m ≥可知,()232
m p ++＝
,
1m ≥Q ,
5≥,
根据p m ≥可知,()232
m p ++＝
,（否则1p m
≤﹣）,
下设k ,
则由于p 为正整数知k 必为正整数,
1100m ≤≤Q , 549k ∴≤≤,
化简上式关系式可以知道：()()21112424k k k m -+-=＝, 1,1k k ∴+﹣均为偶数, ∴设()
*21,k t t N +∈＝,
则224,t ≤≤
()211246
t t k m +-∴=
＝, 由于,1t t +中必存在偶数,
∴只需,1t t +中存在数为3的倍数即可,
2,3,5,6,8,9,11,,23,24t ∴⋯＝, 5,11,13,,47,49k ∴⋯＝．
检验：()()()23114850100,2
24
24
m k k p +-++=
≤＝
＝ 符合题意,
∴共有16个,
综上所述：共有115个数对(),m p 符合题意．
【点睛】
本题主要考查了排列组合的基本方法,同时也考查了组合数的运算以及整数的分析方法等,需要根据题意
22．在极坐标系中，已知曲线1:cos sin 10C ρθθ-=，2:2cos C ρθ=． （1）求曲线1C 、2C 的直角坐标方程，并判断两曲线的形状； （2）若曲线1C 、2C 交于A 、B 两点，求两交点间的距离．
【答案】（1）1:10C x -=表示一条直线，()2
22:11C x y -+=是圆心为()1,0，半径为1的圆；（2）
2.
【解析】 【分析】
（1）直接利用极坐标方程与直角坐标方程之间的转换关系可将曲线1C 的方程化为直角坐标方程，进而可
判断出曲线1C 的形状，在曲线2C 的方程两边同时乘以ρ得2
2cos ρρθ=，由222
cos x y x
ρρθ⎧=+⎨=⎩可将曲线2
C 的方程化为直角坐标方程，由此可判断出曲线2C 的形状；
（2）由直线1C 过圆2C 的圆心，可得出AB 为圆2C 的一条直径，进而可得出AB . 【详解】
（1）1:cos sin 10C ρθθ-=Q ，则曲线1C 的普通方程为10x -=， 曲线1C 表示一条直线；
由2:2cos C ρθ=，得22cos ρρθ=，则曲线2C 的直角坐标方程为22
2x y x +=，即()2
211x y -+=．
所以，曲线2C 是圆心为()1,0，半径为1的圆；
（2）由（1）知，点()1,0在直线10x -=上，∴直线1C 过圆2C 的圆心． 因此，AB 是圆2C 的直径，212AB =⨯=∴． 【点睛】
本题考查曲线的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化，同时也考查了直线截圆所得弦长的计算，考查计算能力，属于基础题.
23．已知函数()sin 2f x x x =-，将()f x 的图象向左移()0αα>个单位，得到函数()y g x =的图象. （1）若4
π
α
=
，求()y g x =的单调区间；
（2）若0,
2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，()y g x =的一条对称轴是12
x π
=，求()y g x =在0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
的值域.
【答案】（1）增区间为()5,63k k k Z ππππ⎛⎫--∈ ⎪⎝
⎭，减区间为(),36k k k Z ππππ⎛
⎫-+∈ ⎪⎝
⎭；（2）⎡-⎣. 【解析】 【分析】
（1）由题意利用三角函数图象变换规律求得()y g x =的解析式，然后利用余弦函数的单调性，得出结论； （2）由题意利用余弦函数的图象的对称性求得α，再根据余弦函数的定义域和值域，得出结论． 【详解】
由题意得()2cos 26f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
（1）()y f x =向左平移
4π个单位得到()22cos 22cos 2463g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫
=++=+
⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭
⎣⎦， 增区间：解不等式()22223k x k k Z ππππ-+≤+≤∈，解得()563
k x k k Z ππππ-≤≤-∈， 减区间：解不等式()22223k x k k Z ππππ≤+
≤+∈，解得()36
k x k k Z ππ
ππ-≤≤+∈. 综上可得，()y g x =的单调增区间为()5,63k k k Z ππππ⎛
⎫
-
-∈ ⎪⎝
⎭
， 减区间为(),3
6k k k Z π
πππ⎛
⎫
-
+
∈ ⎪⎝
⎭
； （2）由题易知，()2cos 226g x x π
α⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭
， 因为()y g x =的一条对称轴是12
x π
=，
所以
26
6
k π
π
απ+
+=，k ∈Z ，解得26
k ππ
α=-，k ∈Z . 又因为0,
2πα⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，所以3
π
α=
，即()52cos 26g x x π⎛⎫=+
⎪⎝
⎭
.
因为0,
2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以55112,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则5cos 26x π⎡
⎛⎫+∈-⎢
⎪⎝
⎭⎣⎦
，
所以()y g x =在0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
的值域是⎡-⎣. 【点睛】
本题主要考查三角函数图象变换规律，余弦函数图象的对称性，余弦函数的单调性和值域，属于中档题．。