2020-2021初三数学反比例函数的专项培优练习题含答案

2020-2021初三数学反比例函数的专项培优练习题含答案
一、反比例函数
1．如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A、B两点，点A的坐标为（2，3n），点B的坐标为（5n+2，1）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）将一次函数y=kx+b的图象沿y轴向下平移a个单位，使平移后的图象与反比例函数
y= 的图象有且只有一个交点，求a的值；
（3）点E为y轴上一个动点，若S△AEB=5，则点E的坐标为________．
【答案】（1）解：∵A、B在反比例函数的图象上，
∴2×3n=（5n+2）×1=m，
∴n=2，m=12，
∴A（2，6），B（12，1），
∵一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，
∴，
解得，
∴反比例函数与一次函数的表达式分别为y= ，y=﹣ x+7．
（2）解：设平移后的一次函数的解析式为y=﹣ x+7﹣a，
由，消去y得到x2+（2a﹣14）x+24=0，
由题意，△=0，（21a﹣14）2﹣4×24=0，
解得a=7±2 ．
（3）（0，6）或（0，8）
【解析】【解答】（3）设直线AB交y轴于K，则K（0，7），设E（0，m），
由题意，PE=|m﹣7|．
∵S△AEB=S△BEP﹣S△AEP=5，
∴ ×|m﹣7|×（12﹣2）=5．
∴|m﹣7|=1．
∴m1=6，m2=8．
∴点E的坐标为（0，6）或（0，8）．
故答案为（0，6）或（0，8）．
【分析】（1）由A、B在反比例函数的图象上，得到n，m的值和A、B的坐标，用待定系数法求出反比例函数与一次函数的表达式；（2）由将一次函数y=kx+b的图象沿y轴向下平移a个单位，得到平移后的一次函数的解析式，由平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，得到方程组求出a的值；（3）由点E为y轴上一个动点和S△AEB=5，求出点E的坐标.
2．给出如下规定：两个图形G1和G2，点P为G1上任一点，点Q为G2上任一点，如果线段PQ的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G1和G2之间的距离．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点．
（1）点A的坐标为A（1，0），则点B（2，3）和射线OA之间的距离为________，点C （﹣2，3）和射线OA之间的距离为________；
（2）如果直线y=x+1和双曲线y= 之间的距离为，那么k=________；（可在图1中进行研究）
（3）点E的坐标为（1，），将射线OE绕原点O顺时针旋转120°，得到射线OF，在
坐标平面内所有和射线OE，OF之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M．
①请在图2中画出图形M，并描述图形M的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示）．
②将射线OE，OF组成的图形记为图形W，直线y=﹣2x﹣4与图形M的公共部分记为图形N，请求出图形W和图形N之间的距离．
【答案】（1）3；
（2）﹣4
（3）解：①如图，x轴正半轴，∠GOH的边及其内部的所有点（OH、OG分别与OE、OF 垂直），
；
②由①知OH所在直线解析式为y=﹣ x，OG所在直线解析式为y= x，
由得，即点M（﹣，），
由得：，即点N（﹣，），
则﹣≤x≤﹣，
图形N（即线段MN）上点的坐标可设为（x，﹣2x﹣4），
即图形W与图形N之间的距离为d，
d=
=
=
∴当x=﹣时，d的最小值为 = ，
即图形W和图形N之间的距离．
【解析】【解答】解：（1）点（2，3）和射线OA之间的距离为3，点（﹣2，3）和射线OA之间的距离为 = ，
故答案分别为：3，；
（2）直线y=x+1和双曲线y= k x 之间的距离为，
∴k＜0（否则直线y=x+1和双曲线y= 相交，它们之间的距离为0）．
过点O作直线y=x+1的垂线y=﹣x，与双曲线y= 交于点E、F，过点E作EG⊥x轴，如图1，
由得，即点F（﹣，），
则OF= = ，
∴OE=OF+EF=2 ，
在Rt△OEG中，∠EOG=∠OEG=45°，OE=2 ，
则有OG=EG= OE=2，
∴点E的坐标为（﹣2，2），
∴k=﹣2×2=﹣4，
故答案为：﹣4；
【分析】（1）由题意可得出点B（2，3）到射线OA之间的距离为B点纵坐标，根据新定
义得点C（﹣2，3）和射线OA之间的距离；
（2）根据题意即可得k＜0（否则直线y=x+1和双曲线y= k x 相交，它们之间的距离为0）．过点O作直线y=x+1的垂线y=﹣x，与双曲线y= k x 交于点E、F，过点E作EG⊥x 轴，如图1，将其联立即可得点F坐标，根据两点间距离公式可得OF长，再由OE=OF+EF 求出OE长，在Rt△OEG中，根据等腰直角三角形的性质可得点E的坐标为（﹣2，2），将E点代入反比例函数解析式即可得出k值.
（3）①如图，x轴正半轴，∠GOH的边及其内部的所有点（OH、OG分别与OE、OF垂直）；
②由①知OH所在直线解析式为y=﹣ x，OG所在直线解析式为y= x，分别联立即可得出点M、N坐标，从而得出x取值范围，根据题意图形N（即线段MN）上点的坐标可设为（x，﹣2x﹣4），从而求出图形W与图形N之间的距离为d，由二次函数性质知d 最小值.
3．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为梦之点，例如，点（1，1），（﹣ 2，﹣ 2），（，），…，都是梦之点，显然梦之点有无数个．
（1）若点P（2，b）是反比例函数 (n为常数，n≠0)的图象上的梦之点，求这个反比例函数解析式；
（2）⊙O的半径是，
①求出⊙O上的所有梦之点的坐标；
②已知点M（m，3），点Q是（1）中反比例函数图象上异于点P的梦之点，过点Q的直线l与y轴交于点A，∠OAQ＝45°．若在⊙O上存在一点N，使得直线MN∥l或MN⊥l，求出m的取值范围．
【答案】（1）解：∵P（2，b）是梦之点，∴b=2
∴P（2，2）
将P（2，2）代入中得n=4
∴反比例函数解析式是
（2）解：①设⊙O上梦之点坐标是（，）∴∴
=1或 =-1
∴⊙O上所有梦之点坐标是（1，1）或（-1，-1）
②由（1）知，异于点P的梦之点Q的坐标为（-2，-2）
由已知MN∥l或MN⊥l
∴直线MN为y=-x+b或y=x+b
当MN为y=-x+b时，m=b-3
由图可知，当直线MN平移至与⊙O相切时，
且切点在第四象限时，b取得最小值，
此时MN记为，
其中为切点，为直线与y轴的交点
∵△O 为等要直角三角形，
∴O =
∴O =2
∴b的最小值是-2，
∴m的最小值是-5
当直线MN平移至与⊙O相切时，且切点在第二象限时，
b取得最大值，此时MN记为，
其中为切点，为直线与y轴的交点。

同理可得，b的最大值为2，m的最大值为-1．
∴m的取值范围为-5≤m≤-1．
当直线MN为y=x+b时，
同理可得，m的取值范围为1≤m≤5，
综上所述，m的取值范围为-5≤m≤-1或1≤m≤5
【解析】【分析】（1）由“ 梦之点”的定义可得出b的值，就可得出点P的坐标，再将点
P的坐标代入函数解析式，求出n的值，即可得出反比例函数的解析式。

（2）①设⊙O上梦之点坐标是（a，a ）根据已知圆的半径，利用勾股定理建立关于a的方程，求出方程的解，就可得出⊙O上的所有梦之点的坐标；② 由（1）知，异于点P 的梦之点Q的坐标为（-2，-2），由已知直线MN∥l或MN⊥l，就可得出直线MN的解析式为y=-x+b或y=x+b。

分两种情况讨论：当MN为y=-x+b时，m=b-3，当直线MN平移至与⊙O相切时，且切点在第四象限时，b取得最小值，当直线MN平移至与⊙O相切时，且切点在第二象限时，b的最大值为2，m的最大值为-1，就可得出m的取值范围，当直线MN为y=x+b时，同理可得出m的取值范围。

4．【阅读理解】对于任意正实数a、b，因为≥0，所以≥0，所以≥2 ，只有当时，等号成立．
【获得结论】在≥2 （a、b均为正实数）中，若为定值，则≥2 ，只有当时，有最小值2 ．
（1）根据上述内容，回答下列问题：若 >0，只有当 =________时，有最小值________．
（2）【探索应用】如图，已知A（－3，0），B（0，－4），P为双曲线（＞0）上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D．求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．
【答案】（1）1；2
（2）解：设P（x，），则C（x，0），D（0，），∴CA=x+3，BD= +4，∴S四边形
= CA×BD= （x+3）（ +4），化简得：S=2（x+ ）+12．∵x＞0，＞0，∴x+ ≥2 ABCD
=6，只有当x= ，即x=3时，等号成立，∴S≥2×6+12=24，∴四边形ABCD的面积有最小值24，此时，P（3，4），C（3，0），D（0，4），AB=BC=CD=DA=5，∴四边形ABCD是菱形．
【解析】【解答】解：（1）根据题目所给信息可知m+ ≥2 ，且当m= 时等号，∴当m=1时，m+ ≥2，即当m=1时，m+ 有最小值2．故答案为：1，2；
【分析】（1）此题是一道阅读题，根据题中所给的信息可知：，只有当
m=时等号成立，一个正数只有1和它的倒数相等，从而得出答案；
（2）根据双曲线上点的坐标特点设出P点的坐标，根据垂直于坐标轴上的点的坐标特点表示出C,D两点的坐标，从而表示出AC,BD的长，根据对角线互相垂直的四边形的面积等于两对角线积的一半建立出S与x的函数关系式，根据题干提供的信息得出得出
,只有在，即x=3时，等号成立，从而得出S的最小值，从而得出P,C,D三点的坐标，进而算出AB=BC=CD=DA=5，根据四边相等的四边形是菱形得出结论。

5．如图，一次函数y=﹣x+3的图象与反比例y= （k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．
【答案】（1）解：∵点A（1，a）在一次函数y=﹣x+3的图象上，
∴a=﹣1+3=2，
∴点A（1，2）．
∵点A（1，2）在反比例y= （k为常数，且k≠0）的图象上，
∴k=1×2=2，
∴反比例函数的表达式为y= ．
联立一次函数与反比例函数关系式成方程组，得：
，解得：，，
∴点B（2，1）
（2）解：作B点关于x轴的对称点B′（2，﹣1），连接AB’，交x轴于点P，连接PB，如
图所示．
∵点B、B′关于x轴对称，
∴PB=PB′．
∵点A、P、B′三点共线，
∴此时PA+PB取最小值．
设直线AB′的函数表达式为y=mx+n（m≠0），
将A（1，2）、B（2，﹣1）代入y=mx+n，
，解得：，
∴直线AB′的函数表达式为y=﹣3x+5．
当y=﹣3x+5=0时，x= ，
∴满足条件的点P的坐标为（，0）．
【解析】【分析】（1）将x=1代入直线AB的函数表达式中即可求出点A的坐标，由点A 的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的表达式，联立两函数表达式成方程组，通过解方程组即可求出点B的坐标；（2）作B点关于x轴的对称点B′（2，﹣1），连接AB’，交x轴于点P，连接PB，由两点之间线段最短可得出此时PA+PB 取最小值，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的函数表达式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标．
6．在平面直角坐标系中，我们定义点P（a，b）的“变换点”为Q．且规定：当a≥b时，Q 为（b，﹣a）；当a＜b时，Q为（a，﹣b）．
（1）点（2，1）的变换点坐标为________；
（2）若点A（a，﹣2）的变换点在函数y= 的图象上，求a的值；
（3）已知直线l与坐标轴交于（6，0），（0，3）两点．将直线l上所有点的变换点组成一个新的图形记作M．判断抛物线y=x2+c与图形M的交点个数，以及相应的c的取值范围，请直接写出结论．
【答案】（1）（1，﹣2）
（2）解：当a≥﹣2时，则A（a，﹣2）的变换点坐标为（﹣2，﹣a），
代入y= 可得﹣a= ，解得a= ；
当a＜﹣2时，则A（a，﹣2）的变换点坐标为（a，2），
代入y= 可得2= ，解得a= ，不符合题意；
综上可知a的值为；
（3）解：设直线l的解析式为y=kx+b （k≠0 ），将点（6，0）、（0，3）代入y=kx+b 得：，解得，
∴直线l的解析式为y=﹣ x+3．
当x=y时，x=﹣ x+3，解得x=2．
点C的坐标为（2，﹣2），点C的变换点的坐标为C′（ 2，﹣2 ），
点（6，0）的变换点的坐标为（0，﹣6），点（0，3）的变换点的坐标为（0，﹣3），
当x≥2时，所有变换点组成的图形是以C′（ 2，﹣2）为端点，过（0，﹣6 ）的一条射线；即：y=2x﹣6，其中x≥2，
当x＜2时，所有变换点组成的图形是以C′（2，﹣2）为端点，过（0，﹣3）的一条射线，
即y= x﹣3，其中，x＜2．
所以新的图形M是以C′（2，﹣2）为端点的两条射线组成的图形．
如图所示：
由和得：x2﹣x+c+3=0①和x2﹣2x+c+6=0②
讨论一元二次方程根的判别式及抛物线与点C′的位置关系可得：
①当方程①无实数根时，即：当c＞﹣时，抛物线y=x2+c与图形M没有交点；
②当方程①有两个相等实数根时，即：当c=﹣时，抛物线y=x2+c与图形M有一个交点；
③当方程②无实数根，且方程①有两个不相等的实数根时，即：当﹣5＜c＜﹣时，抛物线y=x2+c与图形M有两个交点；
④当方程②有两个相等实数根或y=x2+c恰好经过经过点C′时，即：当c=﹣5或c=﹣6时，抛物线y=x2+c与图形M有三个交点；
⑤当方程②方程①均有两个不相等的实数根时，且两根均小于2，即：当﹣6＜c＜﹣5时，抛物线y=x2+c与图形M有四个交点；
⑥当c＜﹣6时，抛物线y=x2+c与图形M有两个交点．
【解析】【解答】解：（1）∵2≥﹣1，
∴点（2，1）的变换点坐标为（1，﹣2），
故答案为：（1，﹣2）；
【分析】（1）由变换点的定义可求得答案；（2）由变换点的定义可求得A的变换点，代入函数解析式可求得a的值；（3）先求得直线y=x与直线l的交点坐标，然后分为当x≥2和x＜2两种情况，求得M的关系式，然后在画出M的大致图象，然后将抛物线y=x2+c与M的函数关系式组成方程组，然后依据一元二次方程根的判别式进行判断即可．
7．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.
（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，则∠B=________°；
（2）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=5.若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”.试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由.
（3）如图②，在四边形ABCD中，AB=7，CD=12，BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长.
【答案】（1）15
（2）解：如图①中，
在Rt△ABC中，∵∠B+∠BAC=90°，∠BAC=2∠BAD，
∴∠B+2∠BAD=90°，
∴△ABD是“准互余三角形”，
∵△ABE也是“准互余三角形”，
∴只有2∠B+∠BAE=90°，
∵∠B+∠BAE+∠EAC=90°，
∴∠CAE=∠B，∵∠C=∠C=90°，
∴△CAE∽△CBA，可得CA2=CE•CB，
∴CE= ，
∴BE=5﹣ = .
（3）解：如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF.
∴CF=CD=12，∠BCF=∠BCD，∠CBF=∠CBD，
∵∠ABD=2∠BCD，∠BCD+∠CBD=90°，
∴∠ABD+∠DBC+∠CBF=180°，
∴A、B、F共线，
∴∠A+∠ACF=90°
∴2∠ACB+∠CAB≠90°，
∴只有2∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠FCB=∠FAC，∵∠F=∠F，
∴△FCB∽△FAC，
∴CF2=F B•FA，设FB=x，
则有：x（x+7）=122，
∴x=9或﹣16（舍去），
∴AF=7+9=16，
在Rt△ACF中，AC=
【解析】【解答】（1）∵△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，
∴2∠B+∠A=90°，
解得，∠B=15°；
【分析】（1）根据“准互余三角形”的定义构建方程即可解决问题；（2）只要证明△CAE∽△CBA，可得CA2=CE•CB，由此即可解决问题；（3）如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF.只要证明△FCB∽△FAC，可得CF2=FB•F A，设FB=x，则有：x（x+7）=122，推出x=9或﹣16（舍弃），再利用勾股定理求出AC即可；
8．综合与探究
如图，抛物线的图象经过坐标原点O，且与轴的另一交点为( ，0).
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线与抛物线相交于点A和点B(点A在第二象限)，设点A′是点A关于原点O的对称点，连接A′B，试判断ΔAA′B的形状，并说明理由；
（3）在问题(2)的基础上，探究：平面内是否存在点P，使得以点A，B，A′，P为顶点的四边形是菱形？若存在直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c的图象经过点（0，0）和( ，0)，
∴，
解得：；
∴ .
（2）解：ΔAA′B是等边三角形；
∵，
解得：，
∴A( )，B( )，
过点A分别作AC⊥轴，AD⊥A′B，垂足分别为C，D，
∴AC= ，OC= ，
在RtΔAOC中
OA= ，
∵点A′与点A关于原点对称，
∴A′( )，AA′= ，
∵B( )，
∴A′B=2-(- )= ，
又∵A( )，B( )，
∴AD= ，BD= ，
在RtΔABD中
AB= ，
∴AA′=A′B=AB，
∴ΔAA′B是等边三角形
（3）解：存在正确的点P，且以点A、B、A′、P为顶点的菱形分三种情况；设点P的坐标为：（x，y）．
①当A′B为对角线时，有，
解得：，
∴点P为：；
②当AB为对角线时，有，
解得：，
∴点P为：；
③当AA′为对角线时，有，
解得：，
∴点P为：；
综合上述， , ,
【解析】【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线F的解析式；（2）先求出点A、B的坐标，利用对称性求出点A′的坐标，利用两点间的距离公式（勾股
定理）可求出AB、AA′、A′B的值，由三者相等即可得出△AA′B为等边三角形；（3）根据等边三角形的性质结合菱形的性质，可得出存在正确得点P，设点P的坐标为（x，y），分三种情况考虑：①当A′B为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P 的坐标；②当AB为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标；
③当AA′为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标．综上即可得出结论．
9．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），BC＝AC．
（1）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；
（2）在（1）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP＝DQ＝m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：如图1，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，
∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ABD＝90°，
∴△ABC∽△ADB，
∴∠ABC＝∠ADB，且∠ACB＝∠BCD＝90°，
∴△ABC∽△BDC，
∴
∵A（﹣3，0），C（1，0），
∴AC＝4，
∵BC＝AC．
∴BC＝3，
∴AB＝＝＝5，
∵，
∴，
∴CD＝，
∴AD＝AC+CD＝4+ ＝，
∴OD＝AD﹣AO＝，
∴点D的坐标为：（，0）；
（2）解：如图2，当∠APC＝∠ABD＝90°时，
∵∠APC＝∠ABD＝90°，∠BAD＝∠PAQ，∴△APQ∽△ABD，
∴，
∴
∴m＝，
如图3，当∠AQP＝∠ABD＝90°时，
∵∠AQP＝∠ABD＝90°，∠PAQ＝∠BAD，
∴△APQ∽△ADB，
∴，
∴
∴m＝；
综上所述：当m＝或时，△APQ与△ADB相似．
【解析】【分析】（1）如图1，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，可证
△ABC∽△ADB，可得∠ABC＝∠ADB，可证△ABC∽△BDC，可得，可求CD 的长，即可求点D坐标；（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解．
10．如图，已知直线y＝﹣2x+6与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，4）为抛物线的顶点，点B在x轴上
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的第三象限图象上是否存在一点P，使△POB≌△POC？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由y＝﹣2x+6＝0，得x＝3
∴B（3，0）．
∵A（1，4）为顶点，
∴设抛物线的解析为y＝a（x﹣1）2+4，解得a＝﹣1．
∴y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；
（2）解：存在．
当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，
∴C（0，3）．
∵OB＝OC＝3，OP＝OP，
∴当∠POB＝∠POC时，△POB≌△POC．
作PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，则∠POM＝∠PON＝45°．
∴PM＝PN．
设P（m，m），则m＝﹣m2+2m+3，解得m＝．
∵点P在第三象限，
∴P（，）．
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可；（2）先确定出点C坐标，然后根据△POB≌△POC建立方程，求解即可
11．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．（1）抛物线的对称轴为直线x=-3，AB=4．求抛物线的表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标；
（3）当m=4时，抛物线上有两点M（x1， y1）和N（x2， y2），若x1＜2，x2＞2，x1+x2＞4，试判断y1与y2的大小，并说明理由．
【答案】（1）解：抛物线 y=-x2+mx+n的对称轴为直线x=-3，AB=4．
∴点 A（-5，0），点B（-1，0）．
∴抛物线的表达式为y=-（x+5）（ x+1）
∴y=-x2-6x-5．
（2）解：如图1，
依题意，设平移后的抛物线表达式为：y=-x2+bx．
∴抛物线的对称轴为直线x＝，抛物线与x正半轴交于点C（b，0）．∴b＞0．
记平移后的抛物线顶点为P，
∴点P的坐标（，），
∵△OCP是等腰直角三角形，
∴ =
∴b=2．
∴点P的坐标（1，1）．
（3）解：如图2，
当m=4时，抛物线表达式为：y=-x2+4x+n．
∴抛物线的对称轴为直线 x=2．
∵点M（x1， y1）和N（x2， y2）在抛物线上，
且x1＜2，x2＞2，
∴点M在直线x=2的左侧，点N在直线x=2的右侧．
∵x1+x2＞4，
∴2-x1＜x2-2，
∴点M到直线x=2的距离比点N到直线x=2的距离近，
∴y1＞y2．
【解析】【分析】（1）先根据抛物线和x轴的交点及线段的长，求出抛物线的解析式；（2）根据平移后抛物线的特点设出抛物线的解析式，再利用等腰直角三角形的性质求出抛物线解析式；（3）根据抛物线的解析式判断出点M，N的大概位置，再关键点M，N的横坐标的范围即可得出结论．
12．已知：抛物线y＝﹣mx2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点，且开口向上
（1）求抛物线的解析式；
（2）结合图象写出，0＜x＜4时，直接写出y的取值范围________；
（3）点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C．当BC＝1时，求出矩形ABCD的周长．【答案】（1）解：∵y＝x2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点，
∴0＝0+0+m2﹣1，即m2﹣1＝0
解得m＝±1．
又∵开口向上，
∴﹣m＞0，
∴m＜0，
∴m＝﹣1，
∴二次函数解析式为y＝x2﹣3x．
（2）﹣≤y＜4
（3）解：如图，
∵BC＝1，B、C关于对称轴对称，
∴B（1，0），C（2，0），
∵AB⊥x轴，DC⊥x轴，
∴A（1，﹣2），D（2，﹣2），
∴AB＝DC＝2，BC＝AD＝1，
∴四边形ABCD的周长为6，
当BC＝1时，矩形的周长为6．
【解析】【解答】解：（2）∵y＝x2﹣3x═（x﹣）2﹣，
∴x＝时，y最小值为﹣，
x＝0时，y＝0，
x＝4时，y＝4，
∴0＜x＜4时，﹣≤y＜4．
故答案为﹣≤y＜4．
【分析】（1）把（0，0）代入抛物线解析式求出m的值，再根据开口方向确定m的值即可．（2）求出函数最小值以及x＝0或4是的y的值，由此即可判断．（3）由BC＝1，B、C关于对称轴对称，推出B（，1，0），C（2，0），由AB⊥x轴，DC⊥x轴，推出A （1，﹣2），D（2，﹣2），求出AB，即可解决问题．。