材料力学第七章 组合变形 PPT课件

7-2 斜弯曲
一、斜弯曲： 横向力通过梁横截面的弯心，不与形心主惯性轴重合或
平行，而是斜交，梁的挠曲线不再与荷载纵平面重合或平行。
例：下列图中给出几种常见截面，其中图（b）、（c）、
（d）、（f）是斜弯曲；图（a）是平面弯曲；图（e）
是斜弯曲与扭转的组合变形。
Fp
Fp
Fp
Fp
Fp Fp
弯心
(a)
(b)
三、组合变形下的变形计算 (1)外力分析：将载荷简化成符合各基本变形外力作用条件的 静力等效力系。 (2)变形(位移)计算：按各基本变形计算相应的变形（截面位 移）。对于不同变形性质的位移相互独 立，对于同一变形性质的位移进行叠加。
注：平面弯曲时, 剪力引起的最大剪应力值一般远小于正应力 值，也远小于扭矩引起的最大剪应力值，在组合变形的应 力计算中，由剪力引起的剪应力一般都忽略不计 。
故
h
5 21 z
34
yP
iz2 ay
0
zP
iy2 az

b2 12 b 2

b 6
2
1y
此同即理相可应得的与压中力性作轴用l2、点1l3的、坐l4标对。应的偏心力作用点图2、133.、154
的位置。但是通过角点 a 而与截面相切的中性轴有无穷多
个，由此法计算不简便。
解续
截面上中性轴上的点的坐标(y0,z0)与偏心压力作用点的坐
max A
I yc
100 103 500 103 55 800 7.27 105
P
12537.8162.8MPa
孔移至板中间时
A N 100103 631.9mm2 10(100 x)
max 162.8
x36.8mm
四、中性轴位置
由式
K


P A
(3)规律： 截面直线边界
核心边界上的一个角点；
截面角点边界
核心边界上的一条直线；
截面曲线边界
核心边界上的一条曲线。
例：
求右图示矩形截面的截面核心。
解：取截面切线 l1作为中性轴，其截距：
b
az


b 2
ay
4
3
a
并注意到： iz2 Iz / A h2 /12 iy2 I y / A b2 /12
例题： 图（a）示某多层建筑的底层柱，截面为
b3h=4003500mm2的矩形，柱高H=4200mm ，试计
算柱横截面上的最大压应力，最大剪应力和最大拉应力。
解：1、内力计算 ：画出 柱的轴力图、弯矩图和剪 力图如图（b）、（c）、 （d）示。
解续
M max M B 140kN m
2、最大压应力
r3
M2 max
T
2
W
3.312407.10.3332(11200.824 )
xX 97.5MPa
安全
7-4 拉伸（压缩）与弯曲 当构件同时承受轴向力与横向力时，将同时产生轴向
拉压和平面弯曲两种基本变形。 现以图（a）示矩形截面杆为例分析拉弯、压弯组合变形 的强度计算。
标(yP,zP)间有固定的对应关系。
b
角点a的坐标为(y0,z0)=(-h/2,-b/2)
代入中性轴方程
4
3
1
yP iz2

y0

zP iy2
z0

0
h
a
5 21 z
34
得
1

6 h
yP

6 b
zP

0
2
1y
图13.15
解续
1
6 h
yP

6 b
zP

0
此即过角点a的所有直线作
为中性轴时，相应的压力作用 点的轨迹，即：过同一点的若 干中性轴，对应的压力作用点
(c)
(d)
(e)
(f)
二、斜弯曲的研究方法
图13.2
现以下图所示矩形截面悬臂梁为例来说明斜弯曲时应力 和变形的计算。
五、强度条件
危险点（K1 或K2）处于二向应力状态，其主应力为：
1
3
2
2 2
2
2 0
第三或第四强度理论，强度条件为：
r3 1 3 2 4 2
1

yP iz2

y

zP iy2

z =0
可得中性轴方程，即
1
yP iz2

y0

zP iy2
z0

0
可见，偏心拉压时，横截面上中性
轴为一条不通过截面形心的直线。
设 a y 和 az 分别为中性轴在坐
标轴上的截距，则由上式可得：
ay


iz2 yP
az


iy2 zP
用截距表示的 中性轴方程为
一、外力分析
二、内力分析
三、应力分析
三、正应力分布图 固定端右邻截面上的正应力分布如图所示。
拉伸（压缩）与弯曲： 因为危险点处于单向应力状态，故其强度条件为：
max
例：斜梁
对于工程中常见的斜梁如图（a），亦可按上述方法分 析。图（a）可看作图（b）和图（c）的组合，显然AC段 的变形为压弯组合变形，BC段的变形为拉弯组合变形。
y0 z0 1 ay az
四、中性轴位置
ay


iz2 yP
az


iy2 zP
上式表明：ay 与yP ，az 与 zP 总 是符号相反，所以中性轴n-n与
偏心外力作用点的投影点分别位 于截面形心的相对两侧，在周边 上作平行于中性轴的切线，切点
A1和A2是截面上两侧距中性轴
最远的两点，故为危险点。 将该两点的坐标代入 式
(
x)
解续
MMZz ((NNmm)) 71.25
40.6
MMyy ((NNmm)) MT n (（NNmm)）
7.05 120 Mn
+
MM ((NNmm)) Mmax=71.3
41.2
②内力分析：危 险面内力为：
xX M max 71.3N m
T 120N m Xx
③应பைடு நூலகம்分析：
xx
1.截面核心：使横截面上只产生同号应力(均为拉应力或均 为压应力时)的偏心轴向外力作用的区域。
ay


iz2 yP
az


iy2 zP
当偏心外力作用在截面 形心周围一个小区域内， 而对应的中性轴与截面周 边相切或位于截面之外时， 整个横截面上就只有压应 力而无拉应力。
2.截面核心的性质及其确定
(1)性质：是截面的一种几何特征，它只与截面的形状、尺
Myz Iy
在偏心拉压情况下，各横截面上的内力分量相同，
应力情况也相同。故任一点K(y，z)处的应力为
K
xP
xMz
xMy
P A
Mzy Iz

Myz Iy
或
K


P A
1
yP iz2

y

zP iy2

z
三、强度计算
从右图可以看出，任一横截面上的角点A和C即 x
力；若将缺口移至板宽的中央，且使最大正应力保持不
变，则挖空宽度为多少？ 解：内力分析如图
P
y yC
Pz
坐标如图，挖孔处的形心
zC 5mm
20 20 100
N
M
IyC 7.27105 mm4
M 5 P 500N m
P P
P
y
yC
z
N
20 20
M
100
应力分析如图
N M z max
h (yP,zP)位于一条直线上。因此，
过角点a与矩形相切的各中性轴，
对应的截面核心边界线为1、4 点间一段直线。
最后连接1、2点，2、3点，3、4 点，4、1点即可得截面核心。
b
4
3
a
5 21 z
34
2
1y
本章结束！ 谢谢大家！
1.计算步骤
(1)外力分析：将载荷简化成符合各基本变形外力作用条件的 静力等效力系。
(2)内力分析：作出各基本变形的内力图，确定其危险截面 位置及其内力分量。
(3)应力分析：根据基本变形下横截面上的应力变化规律，确 定危险点的位置及其应力分量，并按叠加原理 作出危险点的应力状态。
(4)强度分析：按危险点的应力状态及材料的破坏可能性，选 取适当的强度理论建立强度条件，进行强度计算。
为危险点，A和C点的正应力分别是截面上的最
大拉应力 t max 和最大压应力 c max 。
Mz
tmax P M z ymax M y zmax
A
cmax
A
Iz
Iy
P Mz My A Wz Wy
因危险点A，C均处于单向应力状态，故 强度条件为：
tmax t
cmax c
P y Cz My
例： 校核下图所示矩形截面松木短柱的强度。已知P1=50kN，
e=ez=20mm，P2=5kN，材料许用应力 t 10MPa
c 12MPa H 1.2m a 0.2m b 0.12m
解： 固定端上邻截面为危险截面， 其内力大小为：
N 50kN
M y P1 e 1kN m M z P2 H 6kN m 由直接观察可知，点A点处有最大压
应力，C点处有最大拉应力 ，又因
t c 所以应对这两个危险点
的强度分别进行校核 。
Wy

ab2 6

48104 mm3
Wz

ba2 6
80104 mm3
K


P A
1

yP iz2

y
zP iy2
z
即可求得横截面上数值最大的拉、压应力。
五、截面核心
在一般情况下中性轴将截面分成拉伸和压缩两个区域。工 程上常用的砖石、混凝土、铸铁等脆性材料的抗压性能好而抗 拉能力差，对于这些材料制成的偏心受压杆，应避免截面上出 现拉应力。为此，要对偏心距（即偏心力作用点到截面形心的 距离）的大小加以限制。
A 0.20.12m2 2.4104 mm2
在A点处：
c max
FN A
My Mz Wy Wz
11.67MPa
c
在C点处：
t max
FN A
My Wy
Mz Wz
7.5MPa
t
所以松木短柱的强度足够。
例：
图示钢板受力P=100kN，厚度t=10mm。试求最大正应
r4 2 3 2
将和代入上式，并注意到圆截面的Wt=2W ，可得到用危
险截面上的弯矩和扭矩表示的强度条件：
r3

1 W
M 2 T 2
r4

1 W
M 2 0.75T 2
例 图示空心圆杆，内径d=24mm，外径D=30mm，
P1=600N，r1=200mm，r2=300mm，[]=100MPa，
cmax
B


Fp A

MB Wz
Fp 6M B 13.4MPa bh bh2
在 B 截面右边缘处
3、最大拉应力

t
max


Fp A
MB Wz
3.4MPa
4、最大剪应力
在B截面左边缘处
max 出现在任一横截面的中性轴上：
max

3 2
V A

0.375MPa
叠加原理：杆件在几个载荷同时作用下所产生的效果，就等 于每个载荷单独作用下所产生的效果的总和。
2.计算原理及限制条件 (1)圣维南原理：以静力等效力系替代构件原有的载荷。因此，
要求构件为细长杆，且所求应力的截面稍离外 力作用点处。
(2)叠加原理：按各基本变形计算后进行叠加，要求构件材料 符合胡克定律，且变形很小。
第7章 组合变形
7-1 概 述
一、组合变形
构件在外载作用下，常常同时产生两种或两种以上的基 本变形，当几种基本变形所对应的应力或变形属同一量级时， 在杆件设计计算时均需要同时考虑，这类构件的变形称为组 合变形。
e
Fp q
Fp1
Fp2
m
m
Fp
(c)
(a)
(b)
(d)
图13.1
实例
P q
gh
水坝
二、组合变形下强度计算的方法
试用第三强度理论校核此杆的强度。
P1
P2 z 80º
P1
z
A 150 B 200 C 100 D
P2z
x
A 150
Mx B 200
Mx
P2xy
C 100 D y
y
解： ①外力分析：
P2=406N
外力向形心简化并分解 弯扭组合变形
每个外力分量对应 的内力方程和内力图
M (x)
M
2 y
(
x)M
2 z
寸有关，而与外力无关。
(2)确定：根据中性轴方程知，截面上中性轴上的点的坐标
(y0,z0)与偏心压力作用点的坐标(yP,zP)间有固定的对应关系。
1
yP iz2

y0

zP iy2

z0

0
ay


iz2 yP
az


iy2 zP
利用这个关系得：所有与截面相切的中性轴，其相应的偏心 压力作用点必然在围绕截面形心的一条闭合曲线上，该闭合 曲线就是截面的核心边界，其包围区域就是截面核心。
7-5 偏心拉伸（压缩） 截面核心
一、概念：当外力作用线与杆的轴线平行，但不重 合时，杆件的变形称为偏心拉压。
双向偏心压缩 x y P (yp,zp)
z
单向偏压缩 x
P yz My
x
P
Mz
y z
My
二、应力分析：
x
Mz P y z
P
MZ
My
My
xP


P A

x
M
z

M I
z z
y
xM y