(整理)离散数学(左孝凌)课后习题解答(详细)

离散数学~
习题1.1
1.下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它的真值。

⑴中国有四大发明。

⑵计算机有空吗?
⑶不存在最大素数。

⑷21+3＜5。

⑸老王是山东人或河北人。

⑹2与3都是偶数。

⑺小李在宿舍里。

⑻这朵玫瑰花多美丽呀!
⑼请勿随地吐痰!
⑽圆的面积等于半径的平方乘以 。

⑾只有6是偶数，3才能是2的倍数。

⑿雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。

⒀如果天下大雨，他就乘班车上班。

解：⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑾⑿⒀是命题，其中⑴⑶⑽⑾是真命题，⑷⑹⑿是假命题，⑸⑺⒀的真值目前无法确定；⑵⑻⑼不是命题。

2. 将下列复合命题分成若干原子命题。

⑴李辛与李末是兄弟。

⑵因为天气冷，所以我穿了羽绒服。

⑶天正在下雨或湿度很高。

⑷刘英与李进上山。

⑸王强与刘威都学过法语。

⑹如果你不看电影，那么我也不看电影。

⑺我既不看电视也不外出，我在睡觉。

⑻除非天下大雨，否则他不乘班车上班。

解：⑴本命题为原子命题；
⑵p：天气冷；q：我穿羽绒服；
⑶p：天在下雨；q：湿度很高；
⑷p：刘英上山；q：李进上山；
⑸p：王强学过法语；q：刘威学过法语；
⑹p：你看电影；q：我看电影；
⑺p：我看电视；q：我外出；r：我睡觉；
⑻p：天下大雨；q：他乘班车上班。

3. 将下列命题符号化。

⑴他一面吃饭，一面听音乐。

⑵3是素数或2是素数。

⑶若地球上没有树木，则人类不能生存。

⑷8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。

⑸停机的原因在于语法错误或程序错误。

⑹四边形ABCD是平行四边形当且仅当它的对边平行。

⑺如果a和b是偶数，则a+b是偶数。

解：⑴p：他吃饭；q：他听音乐；原命题符号化为：p∧q
⑵p：3是素数；q：2是素数；原命题符号化为：p∨q
⑶p：地球上有树木；q：人类能生存；原命题符号化为：⌝p→⌝q
⑷p：8是偶数；q：8能被3整除；原命题符号化为：p↔q
⑸p：停机；q：语法错误；r：程序错误；原命题符号化为：q∨r→p
⑹p：四边形ABCD是平行四边形；q：四边形ABCD的对边平行；原命题符号化为：p↔q。

⑺p：a是偶数；q：b是偶数；r：a+b是偶数；原命题符号化为：p∧q→r
4. 将下列命题符号化，并指出各复合命题的真值。

⑴如果3+3=6，则雪是白的。

⑵如果3+3≠6，则雪是白的。

⑶如果3+3=6，则雪不是白的。

⑷如果3+3≠6，则雪不是白的。

⑸3是无理数当且仅当加拿大位于亚洲。

⑹2+3=5的充要条件是3是无理数。

(假定是10进制)
⑺若两圆O1，O2的面积相等，则它们的半径相等，反之亦然。

⑻当王小红心情愉快时，她就唱歌，反之，当她唱歌时，一定心情愉快。

解：设p：3＋3＝6。

q：雪是白的。

⑴原命题符号化为：p→q；该命题是真命题。

⑵原命题符号化为：⌝p→q；该命题是真命题。

⑶原命题符号化为：p→⌝q；该命题是假命题。

⑷原命题符号化为：⌝p→⌝q；该命题是真命题。

⑸p：3是无理数；q：加拿大位于亚洲；原命题符号化为：p↔q；该命题是假命题。

⑹p：2+3＝5；q：3是无理数；原命题符号化为：p↔q；该命题是真命题。

⑺p：两圆O1,O2的面积相等；q：两圆O1,O2的半径相等；原命题符号化为：p↔q；该命题是真命题。

⑻p：王小红心情愉快；q：王小红唱歌；原命题符号化为：p↔q；该命题是真命题。

习题1.2
1.判断下列公式哪些是合式公式，哪些不是合式公式。

⑴(p∧q→r)
⑵(p∧(q→r)
⑶((⌝p→q)↔(r∨s))
⑷(p∧q→rs)
⑸((p→(q→r))→((q→p)↔q∨r))。

解：⑴⑶⑸是合式公式；⑵⑷不是合式公式。

2.设p：天下雪。

q：我将进城。

r：我有时间。

将下列命题符号化。

⑴天没有下雪，我也没有进城。

⑵如果我有时间，我将进城。

⑶如果天不下雪而我又有时间的话，我将进城。

解：⑴⌝p∧⌝q
⑵r→q
⑶⌝p∧r→q
3.设p、q、r所表示的命题与上题相同，试把下列公式译成自然语言。

⑴r∧q
⑵¬ (r∨q)
⑶q↔ (r∧¬ p)
⑷(q→r)∧(r→q)
解：⑴我有时间并且我将进城。

⑵我没有时间并且我也没有进城。

⑶我进城，当且仅当我有时间并且天不下雪。

⑷如果我有时间，那么我将进城，反之亦然。

4. 试把原子命题表示为p、q、r等，将下列命题符号化。

⑴或者你没有给我写信，或者它在途中丢失了。

⑵如果张三和李四都不去，他就去。

⑶我们不能既划船又跑步。

⑷如果你来了，那末他唱不唱歌将看你是否伴奏而定。

解：⑴p：你给我写信；q：信在途中丢失；原命题符号化为：(⌝p∧⌝ q)∨(p∧q)。

⑵p：张三去；q：李四去；r：他去；原命题符号化为：⌝p∧⌝q→r。

⑶p：我们划船；q：我们跑步；原命题符号化为：⌝（p∧q）。

⑷p：你来了；q：他唱歌；r：你伴奏；原命题符号化为：p→（q↔r）。

5. 用符号形式写出下列命题。

⑴假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。

⑵我今天进城，除非下雨。

⑶仅当你走，我将留下。

解：⑴p：上午下雨；q：我去看电影；r：我在家读书；s：我在家看报；原命题符号化为：（⌝p→q）∧（p→r∨s）。

⑵p：我今天进城；q：天下雨；原命题符号化为：⌝q→p。

⑶p：你走；q：我留下；原命题符号化为：q→p。

习题1.3
1.设A、B、C是任意命题公式，证明：
⑴A⇔A
⑵若A⇔B，则B⇔A
⑶若A⇔B，B⇔C，则A⇔C
证明：⑴由双条件的定义可知A↔A是一个永真式，由等价式的定义可知A⇔A成立。

⑵因为A⇔B，由等价的定义可知A↔B是一个永真式，再由双条件的定义可知B↔A 也是一个永真式，所以，B⇔A成立。

⑶对A、B、C的任一赋值，因为A⇔B，则A↔B是永真式，即A与B具有相同的真值，又因为B⇔C，则B↔C是永真式，即B与C也具有相同的真值，所以A与C也具有相同的真值；即A⇔C成立。

2.设A、B、C是任意命题公式，
⑴若A∨C⇔B∨C, A⇔B一定成立吗？
⑵若A∧C⇔B∧C, A⇔B一定成立吗？
⑶若¬A⇔¬B，A⇔B一定成立吗？
解：⑴不一定有A⇔B。

若A为真，B为假，C为真，则A∨C⇔B∨C成立，但A⇔B 不成立。

⑵不一定有A⇔B。

若A为真，B为假，C为假，则A∧C⇔B∧C成立，但A⇔B不成立。

⑶一定有A⇔B。

3.构造下列命题公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。

⑴q∧(p→q)→p
⑵p→(q∨r)
⑶(p∨q)↔(q∨p)
⑷(p∧⌝q)∨(r∧q)→r
⑸((¬p→(p∧¬q))→r)∨(q∧¬r)
解：⑴q∧(p→q)→p的真值表如表1.24所示。

表1.24
p q p→q q∧(p→q)q∧(p→q)→p
0 0 1 0 1
0 1 1 1 0
1 0 0 0 1
1 1 1 1 1
使得公式q∧(p→q)→p成真的赋值是：00，10，11，使得公式q∧(p→q)→p成假的赋值是：01。

⑵p→(q∨r)的真值表如表1.25所示。

表1.25
p q r q∨r p→(q∨r)
0 0 0 0 1
0 0 1 1 1
0 1 0 1 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 1 1 1
1 1 0 1 1
1 1 1 1 1
使得公式p→(q∨r)成真的赋值是：000，001，010，011，101，110，111，使得公式p→(q∨r)成假的赋值是：100。

⑶(p∨q)↔(q∨p)的真值表如表1.26所示。

表1.26
p q p∨q q∨p (p∨q)↔(q∨p)
0 0 0 0 1
0 1 1 1 1
1 0 1 1 1
1 1 1 1 1
所有的赋值均使得公式(p∨q)↔(q∨p)成真，即(p∨q)↔(q∨p)是一个永真式。

⑷(p∧⌝q)∨(r∧q)→r的真值表如表1.27所示。

表1.27
p q r ⌝q p∧⌝q r∧q(p∧⌝q)∨(r∧q) (p∧⌝q)∨(r∧q)→r
0 0 0 1 0 001
0 0 1 1 0 001
0 1 0 0 0 001
0 1 1 0 0 111
1 0 0 1 1 010
1 0 1 1 1 011
1 1 0 0 0 001
1 1 1 0 0 111
使得公式(p∧⌝q)∨(r∧q)→r成真的赋值是：000，001，010，011，101，110，111，
使得公式(p∧⌝q)∨(r∧q)→r成假的赋值是：100。

⑸((⌝p→(p∧⌝q))→r)∨(q∧⌝r)的真值表如表1.28所示。

表1.28
p q r p∧⌝q ⌝p→(p∧⌝q)(⌝p→(p∧⌝q))→r q∧⌝r ((⌝p→(p∧⌝q))→r)∨(q∧⌝r)
0 0 0 0010 1
0 0 1 0010 1
0 1 0 0011 1
0 1 1 0010 1
1 0 0 11000
1 0 1 1110 1
1 1 0 0101 1
1 1 1 0110 1
使得公式((⌝p→(p∧⌝q))→r)∨(q∧⌝r)成真的赋值是：000，001，010，011，101，110，111，使得公式((⌝p→(p∧⌝q))→r)∨(q∧⌝r)成假的赋值是：100。

4.用真值表证明下列等价式：
⑴⌝(p→q)⇔p∧⌝q
证明：证明⌝(p→q)⇔p∧⌝q的真值表如表1.29所示。

表1.29
p q p→q ⌝(p→q) ⌝q p∧⌝q
0 0 1010
011000
10011 1
111000
由上表可见：⌝(p→q)和p∧⌝q的真值表完全相同，所以⌝(p→q)⇔p∧⌝q。

⑵p→q⇔⌝q→⌝p
证明：证明p→q⇔⌝q→⌝p的真值表如表1.30所示。

表1.30
p q p→q ⌝p ⌝q ⌝q→⌝p
0 0 111 1
01110 1
100010
11100 1
由上表可见：p→q和⌝q→⌝p的真值表完全相同，所以p→q⇔⌝q→⌝p。

⑶⌝(p↔q)⇔p↔⌝q
证明：证明⌝(p↔q)和p↔⌝q的真值表如表1.31所示。

表1.31
p q p↔q ⌝(p↔q) ⌝q p↔⌝q
0 0 1010
01010 1
10011 1
111000
由上表可见：⌝(p↔q)和p↔⌝q的真值表完全相同，所以⌝(p↔q)⇔p↔⌝q。

⑷p→(q→r)⇔(p∧q)→r
证明：证明p→(q→r)和(p∧q)→r的真值表如表1.32所示。

表1.32
p q r q→r p→(q→r) p∧q (p∧q)→r
0 0 0110 1
001110 1
0 1 0 0 1 0 1
0 1 1 1 1 0 1
1 0 0 1 1 0 1
1 0 1 1 1 0 1
11000 1 0
11111 1 1
由上表可见：p→(q→r)和(p∧q)→r的真值表完全相同，所以p→(q→r)⇔(p∧q)→r。

⑸p→(q→p)⇔ ⌝p→(p→⌝q)
证明：证明p→(q→p)和⌝p→(p→⌝q)的真值表如表1.33所示。

表1.33
p q q→p p→(q→p) ⌝p ⌝q p→⌝q ⌝p→(p→⌝q)
0 0 1 1 1 1 1 1
010110 1 1
10 1 10 1 1 1
111100 0 1
由上表可见：p→(q→p)和⌝p→(p→⌝q)的真值表完全相同，且都是永真式，所以p→(q →p)⇔⌝p→(p→⌝q)。

⑹⌝(p↔q)⇔(p∨q)∧⌝(p∧q)
证明：证明⌝(p↔q)和(p∨q)∧⌝(p∧q)的真值表如表1.34所示。

表1.34
p q p↔q ⌝(p↔q) p∨q p∧q ⌝(p∧q) (p∨q)∧⌝(p∧q)
0 0 10 00 1 0
010110 1 1
100 110 1 1
11101 1 0 0
由上表可见：⌝(p↔q)和(p∨q)∧⌝(p∧q)的真值表完全相同，所以⌝(p↔q)⇔(p∨q)∧⌝(p ∧q)
⑺⌝(p↔q)⇔(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)
证明：证明⌝(p↔q)和(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)的真值表如表1.35所示。

表1.35
p q p↔q ⌝(p↔q) p∧⌝q ⌝p∧q (p∧⌝q)∨(⌝p∧q)
0 0 10 00 0
01010 1 1
100 110 1
111000 0
由上表可见：⌝(p↔q)和(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)的真值表完全相同，所以⌝(p↔q)⇔(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)。

⑻p→(q∨r)⇔(p∧⌝q)→r
证明：证明p→(q∨r)和(p∧⌝q)→r的真值表如表1.36所示。

表1.36
p q r q∨r p→(q∨r) ⌝q p∧⌝q (p∧⌝q)→r
0 0 001 1 0 1
00111 1 0 1
0 1 0 1 1 0 0 1
0 1 1 1 1 0 0 1
1 0 0 0 0 1 1 0
1 0 1 1 1 1 1 1
110110 0 1
111110 0 1
由上表可见：p→(q∨r)和(p∧⌝q)→r的真值表完全相同，所以p→(q∨r)⇔(p∧⌝q)→r。

5. 用等价演算证明习题4中的等价式。

⑴⌝(p→q)
⇔⌝(⌝p∨q) (条件等价式) ⇔p∧⌝q (德·摩根律)
⑵⌝q→⌝p
⇔⌝⌝q∨⌝p (条件等价式) ⇔q∨⌝p (双重否定律)
⇔⌝p∨q (交换律)
⇔ p→q (条件等价式)
⑶⌝(p↔q)
⇔⌝((p→q)∧(q→p)) (双条件等价式) ⇔⌝((⌝p∨q)∧(⌝q∨p)) (条件等价式) ⇔(p∧⌝q)∨(q∧⌝p) (德·摩根律) ⇔((p∧⌝q)∨q)∧((p∧⌝q)∨⌝p) (分配律)
⇔(p∨q)∧(⌝q∨⌝p) (分配律)
⇔(⌝p∨⌝q)∧(q∨p) (交换律)
⇔(p→⌝q)∧(⌝q→p) (条件等价式) ⇔p↔⌝q (双条件等价式) ⑷p→(q→r)
⇔⌝p∨(⌝q∨r) (条件等价式)
⇔(⌝p∨⌝q)∨r (结合律)
⇔⌝(p∧q)∨r (德·摩根律)
⇔(p∧q)→r (条件等价式) ⑸p→(q→p)
⇔⌝p∨(⌝q∨p) (条件等价式) ⇔T
⌝p→(p→⌝q)
⇔p∨(⌝p∨⌝q) (条件等价式) ⇔T
所以p→(q→p)⇔ ⌝p→(p→⌝q)
⑹⌝(p↔q)
⇔⌝((p∧q)∨(⌝p∧⌝q)) (例1.17)
⇔(p∨q)∧(⌝p∨⌝q) (德·摩根律) ⇔(p∨q)∧⌝(p∧q) (德·摩根律) 所以⌝(p↔q)⇔(p∨q)∧⌝(p∧q)
⑺⌝(p↔q)
⇔⌝((p→q)∧(q→p)) (双条件等价式) ⇔⌝((⌝p∨q)∧(⌝q∨p)) (条件等价式) ⇔(p∧⌝q)∨(⌝p∧q) (德·摩根律)
⑻p→(q∨r)
⇔⌝p∨(q∨r) (条件等价式)
⇔(⌝p∨q)∨r (结合律)
⇔⌝(p∧⌝q)∨r (德·摩根律)
⇔(p∧⌝q)→r (条件等价式)
6.试用真值表证明下列命题定律。

⑴结合律：(p∨q)∨r⇔p∨(q∨r)，(p∧q)∧r⇔p∧(q∧r)
证明：证明结合律的真值表如表1.37和表1.38所示。

表1.37
p q r p∨q (p∨q)∨r q∨r p∨(q∨r)
0 0 0000 0
00101 1 1
0 1 0 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 0 1
1 0 1 1 1 1 1
11011 1 1
11111 1 1
表1.38
p q r p∧q (p∧q)∧r q∧r p∧(q∧r)
0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0 0
1 1 0 1 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1
由真值表可知结合律成立。

⑵分配律：p∧(q∨r)⇔(p∧q)∨(p∧r)，
p∨(q∧r)⇔(p∨q)∧(p∨r)
证明：证明合取对析取的分配律的真值表如表1.39所示，析取对合取的的分配律的真值表如表1.40所示。

表1.39
p q r q∨r p∧(q∨r) p∧q p∧r (p∧q)∨(p∧r)
0 0 0000 0 0
001100 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 1 1 0 1 1
11011 1 0 1
11111 1 1 1
表1.40
p q r q∧r p∨(q∧r) p∨q p∨r (p∨q)∧(p∨r)
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 1 1
1 0 1 0 1 1 1 1
1 1 0 0 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
由真值表可知分配律成立。

⑶假言易位式：p→q⇔⌝q→⌝p
证明：证明假言易位式的真值表如表1.41所示。

表1.41
p q p→q ⌝q ⌝p ⌝q→⌝p
0 0 1 1 1 1
0 1 1 0 1 1
1 0 0 1 0 0
1 1 1 0 0 1
由真值表可知假言易位律成立。

⑷双条件否定等价式：p↔q⇔⌝p↔⌝q
证明：证明双条件否定的真值表如表1.42所示。

表1.42
p q p↔q ⌝p ⌝q ⌝p↔⌝q
0 0 1 1 1 1
0 1 0 1 0 0
1 0 0 0 1 0
1 1 1 0 0 1 由真值表可知双条件否定等价式成立。

习题 1.4
1.用真值表或等价演算判断下列命题公式的类型。

⑴(p∨⌝q)→q
⇔⌝(p∨⌝q)∨q （条件等价式）
⇔(⌝p∧q)∨q （德·摩根律）
⇔q （可满足式）（吸收律）
⑵⌝(p→q)∧q
⇔⌝(⌝p∨q)∧q （条件等价式）
⇔(p∧⌝q)∧q （德·摩根律）
⇔F（永假式）（结合律、矛盾律）
⑶(p→q)∧p→q
⇔(⌝p∨q)∧p→q （条件等价式）
⇔(⌝p∧p)∨(q∧p)→q （分配律）
⇔(q∧p)→q （同一律、矛盾律）
⇔⌝(q∧p)∨q （条件等价式）
⇔(⌝q∨⌝p)∨q （德·摩根律）
⇔T(永真式) （零律、排中律）
⑷(p→q)∧q
⇔(⌝p∨q)∧q （条件等价式）
⇔q（可满足式）（吸收律）
⑸(p→q)→(⌝q→⌝p)
⇔(p→q)→(p→q) （假言易位式）
⇔T(永真式)
⑹((p→q)∧(q→r))→(p→r)
⇔⌝((⌝p∨q)∧(⌝q∨r))∨(⌝p∨r) （条件等价式）
⇔(p∧⌝q)∨(q∧⌝r)∨(⌝p∨r) （德·摩根律）
⇔(p∧⌝q)∨((⌝p∨q∨r)∧(⌝p∨⌝r∨r)) （分配律）
⇔(p∧⌝q)∨(⌝p∨q∨r) （同一律、排中律、零律）⇔(⌝p∨q∨r∨p)∧(⌝p∨q∨r∨⌝q) （分配律）
⇔T(永真式)
⑺⌝p→(p→q)
⇔ p∨(⌝p∨q) （条件等价式）
⇔T(永真式)
⑻p→(p∨q∨r)
⇔⌝p∨(p∨q∨r) （条件等价式）
⇔T(永真式)
2.用真值表证明下列命题公式是重言式。

⑴(p∧(p→q))→q
(p∧(p→q))→q的真值表如表1.43所示。

由表1.43可以看出(p∧(p→q))→q是重言式。

表1.43
p q p→q p∧(p→q) (p∧(p→q))→q
0 0 1 0 1
0 1 1 0 1
1 0 0 0 1
1 1 1 1 1
⑵(⌝q∧(p→q))→⌝p
(⌝q∧(p→q))→⌝p的真值表如表1.44所示。

由表1.44可以看出(⌝q∧(p→q))→⌝p是重言式。

表1.44
p q p→q ⌝q ⌝q∧(p→q) ⌝p (⌝q∧(p→q))→⌝p
0 0 1 1 1 1 1
0 1 1 0 0 1 1
1 0 0 1 0 0 1
1 1 1 0 0 0 1
⑶(⌝p∧(p∨q))→q
(⌝p∧(p∨q))→q的真值表如表1.45所示。

由表1.45可以看出(⌝p∧(p∨q))→q是重言式。

表1.45
p q p∨q ⌝ p ⌝p∧(p∨q) (⌝p∧(p∨q))→q
0 0 0 1 0 1
0 1 1 1 1 1
1 0 1 0 0 1
1 1 1 0 0 1
⑷((p→q)∧(q→r))→(p→r)
((p→q)∧(q→r))→(p→r)的真值表如表1.46所示。

由表1.46可以看出((p→q)∧(q→r))→(p→r)是重言式。

表1.46
p q r p→q q→r(p→q)∧(q→r) p→r((p→q)∧(q→r))→(p→r)
0 0 0 1 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1 1 1
0 1 0 1 0 0 1 1
0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 0 0 1
1 0 1 0 1 0 1 1
1 1 0 1 0 0 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1
⑸((p∨q)∧(p→r)∧(q→r))→r
((p∨q)∧(p→r)∧(q→r))→r的真值表如表1.47所示。

由表1.47可以看出((p∨q)∧(p →r)∧(q→r))→r是重言式。

表1.47
p q r p∨q p→r q→r (p∨q)∧(p→r)∧(q→r) ((p∨q)∧(p→r)∧(q→r))→r
0 0 0 0 1 1 0 1
0 0 1 0 1 1 0 1
0 1 0 1 1 0 0 1
0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 0 1 0 1
1 0 1 1 1 1 1 1
1 1 0 1 0 0 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1
⑹((p→q)∧(r→s))→((p∧r)→(q∧s))
((p→q)∧(r→s))→((p∧r)→(q∧s))的真值表如表1.48所示。

由表1.48可以看出((p→q)∧(r→s))→((p∧r)→(q∧s))是重言式。

表1.48
p q r s p→q r→s (p→q)∧(r→s) p∧r q∧s (p∧r)→(q∧s) 原公式
0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1
0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1
0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1
0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1
0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1
0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1
1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1
1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1
1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1
1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1
1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1
1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1
1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
⑺((p↔q)∧(q↔r))→(p↔r)
((p↔q)∧(q↔r))→(p↔r)的真值表如表1.49所示。

由表1.49可以看出((p↔q)∧(q↔r))→(p↔r)是重言式。

表1.49
p q r p↔q q↔r(p↔q)∧(q↔r) p↔r((p↔q)∧(q↔r))→(p↔r)
0 0 0 1 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 0 1
0 1 0 0 0 0 1 1
0 1 1 0 1 0 0 1
1 0 0 0 1 0 0 1
1 0 1 0 0 0 1 1
1 1 0 1 0 0 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1
3.用等价演算证明题2中的命题公式是重言式。

⑴(p∧(p→q))→q
⇔⌝(p∧(⌝p∨q))∨q
⇔(⌝p∨(p∧⌝q))∨q
⇔((⌝p∨p)∧(⌝p∨⌝q))∨q
⇔(⌝p∨⌝q)∨q
⇔T
⑵(⌝q∧(p→q))→⌝p
⇔(⌝q∧(⌝p∨q))→⌝p
⇔⌝(⌝q∧(⌝p∨q))∨⌝p
⇔(q∨(p∧⌝q))∨⌝p
⇔(⌝p∨q)∨(p∧⌝q)
⇔⌝(p∧⌝q)∨(p∧⌝q)
⇔T
⑶(⌝p∧(p∨q))→q
⇔(⌝p∧q)→q
⇔⌝(⌝p∧q)∨q
⇔p∨⌝q∨q
⇔T
⑷((p→q)∧(q→r))→(p→r)
⇔⌝((⌝p∨q)∧(⌝q∨r))∨(⌝p∨r)
⇔(p∧⌝q)∨(q∧⌝r)∨(⌝p∨r)
⇔(p∧⌝q)∨((⌝p∨q∨r)∧(⌝p∨⌝r∨r))
⇔(p∧⌝q)∨(⌝p∨q∨r)
⇔(⌝p∨q∨r∨p)∧(⌝p∨q∨r∨⌝q)
⇔T
⑸((p∨q)∧(p→r)∧(q→r))→r
⇔((p∨q)∧(⌝p∨r)∧(⌝q∨r))→r
⇔((p∨q)∧(⌝(p∨q)∨r))→r
⇔((p∨q)∧r)→r
⇔⌝((p∨q)∧r)∨r
⇔⌝(p∨q)∨⌝r∨r
⇔T
⑹((p→q)∧(r→s))→((p∧r)→(q∧s))
⇔⌝((⌝p∨q)∧(⌝r∨s))∨(⌝(p∧r)∨(q∧s))
⇔((p∧⌝q)∨(r∧⌝s))∨((⌝p∨⌝r)∨(q∧s))
⇔((p∧⌝q)∨(r∧⌝s))∨((⌝p∨⌝r∨q)∧(⌝p∨⌝r∨s))
⇔((p∧⌝q)∨(r∧⌝s)∨(⌝p∨⌝r∨q))∧((p∧⌝q)∨(r∧⌝s)∨(⌝p∨⌝r∨s)) ⇔((r∧⌝s)∨((⌝p∨⌝r∨q∨p)∧(⌝p∨⌝r∨q∨⌝q)))∧((r∧⌝s)∨
((⌝p∨⌝r∨s∨p)∧(⌝p∨⌝r∨s∨⌝q)))
⇔((r∧⌝s)∨T)∧((r∧⌝s)∨(⌝p∨⌝q∨⌝r∨s))
⇔(r∧⌝s)∨(⌝p∨⌝q∨⌝r∨s)
⇔(⌝p∨⌝q∨⌝r∨s∨r)∧(⌝p∨⌝q∨⌝r∨s∨⌝s)
⇔T
⑺((p↔q)∧(q↔r))→(p↔r)
⇔((⌝p∨q)∧(⌝q∨p)∧(⌝q∨r)∧(⌝r∨q))→(p↔r)
⇔⌝((⌝p∨q)∧(⌝q∨p)∧(⌝q∨r)∧(⌝r∨q))∨(p∧r)∨(⌝p∧⌝r)
⇔(p∧⌝q)∨(p∧r)∨(r∧⌝q)∨(q∧⌝r)∨(q∧⌝p)∨(⌝p∧⌝r)
⇔((p∧(⌝q∨r))∨⌝(⌝q∨r))∨(r∧⌝q)∨(q∧⌝p)∨(⌝p∧⌝r)
⇔((⌝(⌝q∨r)∨(⌝q∨r))∧(p∨⌝(⌝q∨r)))∨(r∧⌝q)∨(q∧⌝p)∨(⌝p∧⌝r) ⇔(T∧(p∨⌝(⌝q∨r)))∨(r∧⌝q)∨(q∧⌝p)∨(⌝p∧⌝r)
⇔p∨(q∧⌝r)∨(r∧⌝q)∨(q∧⌝p)∨(⌝p∧⌝r)
⇔p∨(q∧⌝r)∨((q∧⌝p)∨(⌝p∧⌝r))∨(r∧⌝q)
⇔p∨(q∧⌝r)∨((⌝p∧(q∨⌝r))∨⌝(q∨⌝r))
⇔p∨(q∧⌝r)∨⌝p∨(⌝q∧r)
⇔T
4.证明下列等价式：
⑴((p→r)∧(q→r))
⇔(⌝p∨r)∧(⌝q∨r)
⇔(⌝p∧⌝q)∨r
⇔⌝(p∨q)∨r
⇔(p∨q)→r
⑵(p→q)∧(p→⌝q)
⇔(⌝p∨q)∧(⌝p∨⌝q)
⇔⌝p∨(q∧⌝q)
⇔⌝p∨F
⇔⌝p
⑶p∧(p→q)
⇔p∧(⌝p∨q)
⇔(p∧⌝p)∨(p∧q)
⇔F∨(p∧q)
⇔p∧q
习题 1.5
1.求下列命题公式的析取范式。

⑴(p∧⌝q)→r
⇔⌝(p∧⌝q)∨r
⇔⌝p∨q∨r
⑵⌝(p→q)→r
⇔⌝⌝(⌝p∨q)∨r
⇔(⌝p∨q)∨r
⇔⌝p∨q∨r
⑶p∧(p→q)
⇔ p∧(⌝p∨q)
⇔(p∧⌝p)∨(p∧q)
⇔ p∧q
⑷(p→q)∧(q∨r)
⇔(⌝p∨q)∧(q∨r)
⇔ q∨(⌝p∧r)
⑸⌝(p∨⌝q)∧(r→t)
⇔(⌝p∧q)∧(⌝r∨t)
⇔(⌝p∧q∧⌝r)∨(⌝p∧q∧t)
2. 求下列命题公式的合取范式。

⑴⌝(p→q)
⇔⌝(⌝p∨q)
⇔p∧⌝q
⑵⌝q∨(p∧q∧r)
⇔(⌝q∨p)∧(⌝q∨q)∧(⌝q∨r)
⇔(⌝q∨p)∧(⌝q∨r)
⑶(⌝p∧q)∨(p∧⌝q)
⇔((⌝p∧q)∨p)∧((⌝p∧q)∨⌝q))
⇔(⌝p∨p)∧(q∨p)∧(⌝p∨⌝q)∧(q∨⌝q)
⇔(p∨q)∧(⌝p∨⌝q)
⑷⌝(p↔q)
⇔⌝((p∧q)∨(⌝p∧⌝q))
⇔(⌝p∨⌝q)∧(p∨q)
⑸⌝(p→q)→r
⇔⌝⌝(⌝p∨q)∨r
⇔(⌝p∨q)∨r
⇔⌝p∨q∨r
3.求下列命题公式的主析取范式，并求命题公式的成真赋值。

⑴(p∧q)∨(p∧r)
作(p∧q)∨(p∧r)的真值表，如表1.50所示。

表1.50
p q r p∧q p∧r(p∧q)∨(p∧r)
0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0
1 0 1 0 1 1
1 1 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1
由真值表可知，原式⇔(p∧⌝q∧r)∨(p∧q∧⌝r)∨(p∧q∧r)(主析取范式)⇔∑5,6,7
使得命题公式(p∧q)∨(p∧r)成真的赋值是：101，110，111。

⑵⌝(p∨q)→(⌝p∧r)
⇔⌝⌝(p∨q)∨(⌝p∧r)
⇔(p∨q)∨(⌝p∧r)
⇔(p∨q∨⌝p)∧(p∨q∨r)
⇔p∨q∨r
⇔(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧⌝r)∨(⌝p∧q∧r)∨(p∧⌝q∧⌝r)∨
(p∧⌝q∧r)∨(p∧q∧⌝r)∨(p∧q∧r)(主析取范式)
⇔∑1,2,3,4,5,6,7
使得命题公式⌝(p∨q)→(⌝p∧r)成真的赋值是：001，010、011，100，101，110，111。

⑶(⌝p∨⌝q)→(p↔⌝q)
作(⌝p∨⌝q)→(p↔⌝q)的真值表，如表1.51所示。

表1.51
p q p q p∨q p↔q (p∨q)→(p↔q)
0 0 1 1 1 0 0
0 1 1 0 1 1 1
1 0 0 1 1 1 1
1 1 0 0 0 0 1
由真值表可知:
原式⇔(⌝p∧q)∨(p∧⌝q)∨(p∧q) (主析取范式)⇔∑1,2,3
使得命题公式(⌝p∨⌝q)→(p↔⌝q)成真的赋值是：01，10，11。

⑷(⌝p→q)→(p∨⌝q)
⇔⌝(⌝⌝p∨q)∨(p∨⌝q)
⇔⌝(p∨q)∨(p∨⌝q)
⇔(⌝p∧⌝q)∨(p∨⌝q)
⇔(p∨⌝q∨⌝p)∧(p∨⌝q∨⌝q)
⇔p∨⌝q
⇔(⌝p∧⌝q)∨(p∧⌝q)∨(p∧q)(主析取范式)
⇔∑0,2,3
使得命题公式(⌝p→q)→(p∨⌝q)成真的赋值是：00,10,11。

⑸(p→(q∧r))∧(⌝p→(⌝q∧⌝r))
⇔(⌝p∨(q∧r))∧(⌝⌝p∨(⌝q∧⌝r))
⇔(⌝p∨q)∧(⌝p∨r)∧(p∨⌝q)∧(p∨⌝r)
⇔(⌝p∨q∨r)∧(⌝p∨q∨⌝r)∧(⌝p∨q∨r)∧(⌝p∨⌝q∨r)∧(p∨⌝q∨r)∧
(p∨⌝q∨⌝r)∧(p∨q∨⌝r)∧(p∨⌝q∨⌝r)
⇔(⌝p∨q∨r)∧(⌝p∨q∨⌝r)∧(⌝p∨⌝q∨r)∧(p∨⌝q∨r)∧(p∨q∨⌝r)∧(p∨⌝q∨⌝r) ⇔(⌝p∧⌝q∧⌝r)∨(p∧q∧r)(主析取范式)
使得命题公式(p→(q∧r))∧(⌝p→(⌝q∧⌝r))成真的赋值是：000,111。

4.求下列命题公式的主合取范式，并求命题公式的成假赋值。

⑴(p→q)∧r
⇔(⌝p∨q)∧r
⇔(⌝p∨q∨r)∧(⌝p∨q∨⌝r)∧(⌝p∨r)∧(p∨r)
⇔(⌝p∨q∨r)∧(⌝p∨q∨⌝r)∧(⌝p∨q∨r)∧(⌝p∨⌝q∨r)∧(p∨q∨r)∧(p∨⌝q∨r)
⇔(⌝p∨q∨r)∧(⌝p∨q∨⌝r)∧(⌝p∨⌝q∨r)∧(p∨q∨r)∧(p∨⌝q∨r)
⇔∏0,2,4,5,6
使得命题公式(p→q)∧r成假的赋值是：000,010,100,101,110。

⑵⌝(p→q)↔(p→⌝q)
作⌝(p→q)↔(p→⌝q)的真值表，如表1.52所示。

表1.52
p q p→q⌝(p→q)q p→⌝q ⌝(p→q)↔(p→⌝q)
0 0 1 0 1 1 0
0 1 1 0 0 1 0
1 0 0 1 1 1 1
1 1 1 0 0 0 1
由真值表可知:
原式⇔(p∨q)∧(p∨⌝q)⇔∏0,1
使得命题公式⌝(p→q)↔(p→⌝q)成假的赋值是：00,01。

⑶⌝(p∨q)→(⌝p∧r)
⇔⌝⌝(p∨q)∨(⌝p∧r)
⇔(p∨q)∨(⌝p∧r)
⇔(p∨q∨⌝p)∧(p∨q∨r)
⇔p∨q∨r
⇔∏0
使得命题公式⌝(p∨q)→(⌝p∧r)成假的赋值是：000。

⑷⌝(p→⌝q)∧⌝p
⇔⌝(⌝p∨⌝q)∧⌝p
⇔p∧q∧⌝p
⇔F
⇔∏0,1,2,3
使得命题公式⌝(p→⌝q)∧⌝p成假的赋值是：00,01,10,11。

⑸(p→(q∨r))∨r
⇔⌝p∨q∨r∨r
⇔⌝p∨q∨r
⇔∏4
使得命题公式(p→(q∨r))∨r成假的赋值是：100。

5.求下列命题公式的主析取范式，再用主析取范式求出主合取范式。

⑴(p→q)∧(q→r)
⇔(⌝p∨q)∧(⌝q∨r)
⇔((⌝p∨q)∧⌝q)∨((⌝p∨q)∧r)
⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝p∧r)∨(q∧r)
⇔(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧⌝q∧⌝r)∨(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧r)∨(⌝p∧q∧r)∨(p∧q∧r) ⇔(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧⌝q∧⌝r)∨(⌝p∧q∧r)∨(p∧q∧r)(主析取范式)
⇔∑0,1,3,7
⇔∏2,4,5,6
⇔(p∨⌝q∨r)∧(⌝p∨q∨r)∧(⌝p∨q∨⌝r)∧(⌝p∨⌝q∨r)(主合取范式)
⑵⌝(⌝p∨⌝q)∨r
⇔(p∧q)∨r
⇔(p∧q∧r)∨(p∧q∧⌝r)∨(p∧r)∨(⌝p∧r)
⇔(p∧q∧r)∨(p∧q∧⌝r)∨(p∧q∧r)∨(p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧r)∨(⌝p∧⌝q∧r)
⇔(p∧q∧r)∨(p∧q∧⌝r)∨(p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧r)∨(⌝p∧⌝q∧r)(主析取范式)
⇔∑1,3,5,6,7
⇔∏0,2,4
⇔(p∨q∨r)∧(p∨⌝q∨r)∧(⌝p∨q∨r)(主合取范式)
6. 求下列命题公式的主合取范式，再用主合取范式求出主析取范式。

⑴(p↔q)∧r
⇔(p→q)∧(q→p)∧r
⇔(⌝p∨q)∧(⌝q∨p)∧r
⇔(⌝p∨q∨r)∧(⌝p∨q∨⌝r)∧(⌝q∨p∨r)∧(⌝q∨p∨⌝r)∧(⌝p∨r)∧(p∨r)
⇔(⌝p∨q∨r)∧(⌝p∨q∨⌝r)∧(p∨⌝q∨r)∧(p∨⌝q∨⌝r)∧(⌝p∨q∨r)∧
(⌝p∨⌝q∨r)∧(p∨q∨r)∧(p∨⌝q∨r)
⇔(⌝p∨q∨r)∧(⌝p∨q∨⌝r)∧(p∨⌝q∨r)∧(p∨⌝q∨⌝r)∧
(⌝p∨⌝q∨r)∧(p∨q∨r)(主合取范式)
⇔∏0,2,3,4,5,6⇔∑1,7⇔(⌝p∧⌝q∧r)∨(p∧q∧r)(主析取范式)
⑵(p∧q)→q
⇔⌝(p∧q)∨q
⇔⌝p∨⌝q∨q
⇔T(无主合取范式)
⇔∑0,1,2,3⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝p∧q)∨(p∧⌝q)∨(p∧q)
7.用主析取范式判断下列命题公式是否等价。

⑴p→(q→r)和q→(p→r)
p→(q→r)⇔⌝p∨(⌝q∨r)⇔⌝p∨⌝q∨r
⇔(⌝p∧⌝q∧⌝r)∨(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧⌝r)∨(⌝p∧q∧r)∨
(p∧⌝q∧⌝r)∨(p∧⌝q∧r)∨(p∧q∧r)(主析取范式)
⇔∑0,1,2,3,4,5,7
q→(p→r)⇔⌝q∨(⌝p∨r)⇔⌝p∨⌝q∨r
⇔(⌝p∧⌝q∧⌝r)∨(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧⌝r)∨(⌝p∧q∧r)∨
(p∧⌝q∧⌝r)∨(p∧⌝q∧r)∨(p∧q∧r)(主析取范式)
⇔∑0,1,2,3,4,5,7
因为p→(q→r)与q→(p→r)的主析取范式相同，所以p→(q→r)⇔q→(p→r)。

⑵(p→q)∧(p→r)和p→(q∧p)
(p→q)∧(p→r)⇔(⌝p∨q)∧(⌝p∨r)⇔⌝p∨(q∧r)
⇔(⌝p∧q)∨(⌝p∧⌝q)∨(⌝p∧q∧r)∨(p∧q∧r)
⇔(⌝p∧q∧r)∨(⌝p∧q∧⌝r)∨(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧⌝q∧⌝r)∨(⌝p∧q∧r)∨(p∧q∧r) ⇔(⌝p∧q∧⌝r)∨(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧⌝q∧⌝r)∨(⌝p∧q∧r)∨(p∧q∧r)(主析取范式) ⇔∑0,1,2,3,7
p→(q∧p)⇔⌝p∨(q∧p)⇔(⌝p∨q)∧(⌝p∨p)⇔⌝p∨q
⇔(⌝p∧q)∨(⌝p∧⌝q)∨(⌝p∧q)∨(p∧q)
⇔(⌝p∧q)∨(⌝p∧⌝q)∨(p∧q) (主析取范式)
⇔∑0,1,3
因为(p→q)∧(p→r)与p→(q∧p)的主析取范式不相同，所以(p→q)∧(p→r)与p→(q∧p)不等价。

8. 用主合取范式判断下列命题公式是否等价。

⑴(p→q)→r和p→(q→r)
(p→q)→r⇔⌝(⌝p∨q)∨r⇔(p∧⌝q)∨r⇔(p∨r)∧(⌝q∨r)
⇔(p∨⌝q∨r)∧(p∨q∨r)∧(⌝p∨⌝q∨r)
⇔∏0,2,6
p→(q→r)⇔⌝p∨(⌝q∨r)⇔⌝p∨⌝q∨r
⇔∏6
因为(p→q)→r与p→(q→r)的主合取范式不相同，所以(p→q)→r与p→(q→r)不等价。

⑵(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)和(p∨q)∧⌝(p∧q)
(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔∑1,2⇔∏0,3⇔(p∨q)∧(⌝p∨⌝q)
(p∨q)∧⌝(p∧q)⇔(p∨q)∧(⌝p∨⌝q)⇔∏0,3
因为(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)和(p∨q)∧⌝(p∧q)的主合取范式相同，所以(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔ (p∨q)∧⌝(p∧q)。

习题1.6
1.将下列命题公式用只含⌝，∧，∨的等价式表示。

⑴(p↔⌝q)→r⇔⌝((⌝p∨⌝q)∧(q∨p))∨r⇔(p∧q)∨(⌝p∧⌝q)∨r
⑵⌝(p→(q↔(q∧r)))⇔⌝(⌝p∨((q∧q∧r)∨(⌝q∧⌝(q∧r))))
⇔p∧⌝(q∧r)∧(q∨(q∧r))
⇔p∧(⌝q∨⌝r)∧q
⇔p∧q∧⌝r
⑶p∨(p→q)⇔p∨(⌝p∨q)
⇔(p∧⌝(⌝p∨q))∨(⌝p∧(⌝p∨q))
⇔(p∧⌝q)∨⌝p
⇔⌝p∨⌝q
⑷(p↔q)↔r⇔((p∧q)∨(⌝p∧⌝q))↔r
⇔(((p∧q)∨(⌝p∧⌝q))∧r)∨(⌝((p∧q)∨(⌝p∧⌝q))∧⌝r)
⇔((p∧q∧r)∨(⌝p∧⌝q∧r))∨(((⌝p∨⌝q)∧(p∨q))∧⌝r)
⇔(p∧q∧r)∨(⌝p∧⌝q∧r)∨((⌝p∨⌝q)∧(p∨q)∧⌝r)
⑸(p↔q)∨(r→t)⇔((⌝p∨q)∧(⌝q∨p))∨(⌝r∨t)
⇔((⌝p∨q)∧(⌝q∨p)∧⌝(⌝r∨t))∨(⌝((⌝p∨q)∧(⌝q∨p))∧(⌝r∨t))
⇔((⌝p∨q)∧(⌝q∨p)∧(r∧⌝t))∨(((p∧⌝q)∨(q∧⌝p))∧(⌝r∨t))
2.将下列命题公式用只含⌝，∨的等价式表示。

⑴(p∧q)∧⌝p⇔⌝((⌝p∨⌝q)∨p)
⑵p↔q⇔(⌝p∨q)∧(⌝q∨p)⇔⌝(⌝(⌝p∨q)∨⌝(⌝q∨p))
⑶(p↑q)∧r⇔⌝(p∧q)∧r⇔⌝(⌝(⌝p∨⌝q)∨⌝r)
⑷p∨q⇔⌝(p↔q)⇔⌝(p∧q)∧⌝(⌝q∧⌝p) ⇔⌝(⌝(⌝p∨⌝q)∨⌝(p∨q))
⑸(p↔q)∧r⇔(⌝p∨q)∧(⌝q∨p)∧r⇔⌝(⌝(⌝p∨q)∨⌝(⌝q∨p)∨⌝r)
3.将下列命题公式用只含⌝，∧的等价式表示。

⑴⌝p∨⌝q∨(⌝r→p)
⇔⌝p∨⌝q∨(r∨p)
⇔⌝(p∧q∧⌝r∧⌝p)
⑵⌝(p∨q)→(⌝p↔r)
⇔(p∨q)∨(⌝p∧r)∨(p∧⌝r)
⇔⌝((⌝p∧⌝q)∧⌝(⌝p∧r)∧⌝(p∧⌝r))
⑶(⌝p∨⌝q)∨(p→⌝q)
⇔(⌝p∨⌝q)∨(⌝p∨⌝q)
⇔⌝p∨⌝q
⇔⌝(p∧q)
⑷(⌝p→q)→(p∨⌝q)
⇔⌝(p∨q)∨⌝(p↔⌝q)
⇔(⌝p∧⌝q)∨⌝((p∧⌝q)∨(⌝p∧q))
⇔⌝(⌝(⌝p∧⌝q)∧⌝(⌝(p∧⌝q)∧⌝(⌝p∧q)))
⑸(p→(q∨r))∨(⌝p→r)
⇔(⌝p∨q∨r)∨(p∨r)
⇔T
4.下列结论是否成立？若成立，请证明。

若不成立，举反例说明。

⑴p↑q⇔q↑p
成立。

p↑q⇔⌝(p∧q)⇔⌝(q∧p)⇔q↑p
⑵p↓q⇔q↓p
成立。

p↓q⇔⌝(p∨q)⇔⌝(q∨p)⇔q↓p
⑶p↑(q↑r)⇔(p↑q)↑r
不成立。

p↑(q↑r)⇔p↑⌝(q∧r)⇔⌝(p∧⌝(q∧r))⇔⌝p∨(q∧r)
⇔(⌝p∨q∨r)∧(⌝p∨q∨⌝r)∧(⌝p∨⌝q∨r)⇔∏4,5,6 而(p↑q)↑r⇔⌝(p∧q)↑r⇔⌝(⌝(p∧q)∧r)⇔(p∧q)∨⌝r
⇔(p∨q∨⌝r)∧(p∨⌝q∨⌝r)∧(⌝p∨q∨⌝r)⇔∏1,3,5
显然上式不成立
⑷p↓(q↓r)⇔(p↓q)↓r
不成立。

p↓(q↓r)⇔p↓⌝(q∨r)⇔⌝(p∨⌝(q∨r))⇔⌝p∧(q∨r)
⇔(⌝p∧q∧r)∨(⌝p∧q∧⌝r)∨(⌝p∧⌝q∧r)⇔∑1,2,3 而(p↓q)↓r⇔⌝(p∨q)↓r⇔⌝(⌝(p∨q)∨r)⇔(p∨q)∧⌝r
⇔(p∧q∧⌝r)∨(p∧⌝q∧⌝r)∨(⌝p∧q∧⌝r)⇔∑2,4,6
显然上式不成立。

5.证明下列等价式。

⑴⌝(p↑q)⇔⌝p↓⌝q
证明：⌝(p↑q)⇔⌝(p↑q)⇔⌝⌝(p∧q)⇔p∧q
⌝p↓⌝q⇔⌝(⌝p∨⌝q)⇔ p∧q
所以：⌝(p↑q)⇔⌝p↓⌝q
⑵⌝(p↓q)⇔⌝p↑⌝q
证明：⌝(p↓q)⇔⌝⌝(p∨q)⇔p∨q
⌝p↑⌝q⇔⌝(⌝p∧⌝q)⇔p∨q
所以：⌝(p↓q)⇔⌝p↑⌝q
6.将下列命题公式仅用“↓”表示。

⑴⌝p⇔p↓p
⑵p∨q⇔⌝(p↓q)⇔(p↓q)↓(p↓q)
⑶p∧q⇔⌝(⌝p∨⌝q)⇔⌝p↓⌝q⇔(p↓p)↓(q↓q)
7.将下列命题公式仅用“↑”表示。

⑴⌝p⇔⌝(p∧p)⇔p↑p
⑵p∨q⇔⌝(⌝p∧⌝q)⇔⌝p↑⌝q⇔(p↑p)↑(q↑q)
⑶p∧q⇔⌝⌝(p∧q)⇔⌝(p↑q)⇔(p↑q)↑(p↑q)
习题 1.7
1.写出下列命题公式的对偶式。

⑴⌝(⌝p∧⌝q)∧r的对偶式是：⌝(⌝p∨⌝q)∨r
⑵(p∨⌝q)∧(r∨p)对偶式是(p∧⌝q)∨(r∧p)
⑶p∨q⇔⌝(p↔q)
⇔⌝(p→q)∨⌝(q→p)
⇔⌝(⌝p∨q)∨⌝(⌝q∨p)
⇔(p∧⌝q)∨(q∧⌝p)
所以p∨q的对偶式是(p∨⌝q)∧(q∨⌝p)
而(p∨⌝q)∧(q∨⌝p)
⇔(⌝p→⌝q)∧(⌝q→⌝p)
⇔⌝p↔⌝q
⇔p↔q
⇔⌝⌝(p↔q)
⇔⌝(p∨q)
所以p∨q的对偶式是⌝(p∨q)
⑷(p∧q)→r
⇔⌝(p∧q)∨r
⇔⌝p∨⌝q∨r
所以(p∧q)→r的对偶式是⌝p∧⌝q∧r
⑸(p∧q)↓r的对偶式是(p∨q)↑r
⑹(p↑q)→r⇔⌝(p↑q)∨r
所以(p↑q)→r的对偶式是⌝(p↓q)∧r
⑺p→((q→r)∧(p∧⌝q))
⇔⌝p∨((⌝q∨r)∧(p∧⌝q))
⇔(⌝p∨⌝q)∧(⌝p∨⌝q∨r)
所以p→((q→r)∧(p∧⌝q))的对偶式是(⌝p∧⌝q)∨(⌝p∧⌝q∧r)
⑻(p↔q)→r
⇔⌝(p↔q)∨r
⇔⌝(p→q)∨⌝(q→p)∨r
⇔⌝(⌝p∨q)∨⌝(⌝q∨p)∨r
⇔(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)∨r
所以(p↔q)→r的对偶式是(p∨⌝q)∧(⌝p∨q)∧r
2.设p→q为公式，则q→p称为该公式的逆换式，⌝p→⌝q称为反换式，⌝q→⌝p称为逆反式。

证明：
⑴公式与它的逆反式等价，即p→q⇔⌝q→⌝p
证明：p→q⇔⌝p∨q
而⌝q→⌝p⇔⌝⌝q∨⌝p⇔⌝p∨q
所以p→q⇔⌝q→⌝p
⑵公式的逆换式与公式的反换式等价，即q→p⇔⌝p→⌝q
证明：q→p⇔⌝q∨p
而⌝p→⌝q⇔⌝⌝p∨⌝q⇔p∨⌝q⇔⌝q∨p
所以q→p⇔⌝p→⌝q
3.用真值表或等价演算证明下列蕴含式。

⑴p∧q⇒p→q
证明：(p∧q)→(p→q)
⇔⌝(p∧q)∨(⌝p∨q)
⇔⌝p∨⌝q∨⌝p∨q
⇔T
所以，p∧q⇒p→q
⑵p→q⇒p→(p∧q)
证明：作(p→q)→(p→(p∧q))的真值表，如表1.53所示。

表1.53
p q p→q p∧q p→(p∧q)(p→q)→(p→(p∧q))
0 0 1 0 1 1
0 1 1 0 1 1
1 0 0 0 0 1
1 1 1 1 1 1
由以上真值表可知：(p→q)→(p→(p∧q))是一个永真式，所以p→q⇒p→(p∧q)⑶p⇒⌝p→q
证明：p→(⌝p→q)
⇔⌝p∨⌝⌝p∨q
⇔⌝p∨p∨q
⇔T
所以，p⇒⌝p→q
⑷p→(q→r)⇒(p→q)→(p→r)
证明：(p→(q→r))→((p→q)→(p→r))
⇔⌝(⌝p∨⌝q∨r)∨(⌝(⌝p∨q)∨(⌝p∨r))
⇔(p∧q∧⌝r)∨(p∧⌝q)∨⌝p∨r
⇔((p∧q∧⌝r))∨r)∨((p∧⌝q)∨⌝p)
⇔((p∨r)∧(q∨r)∧(⌝r∨r))∨((p∨⌝p)∧(⌝p∨⌝q))
⇔((p∨r)∧(q∨r))∨⌝p∨⌝q
⇔((p∨r∨⌝p)∧(q∨r∨⌝p))∨⌝q
⇔q∨r∨⌝p∨⌝q
⇔1
所以，p→(q→r)⇒(p→q)→(p→r)
⑸p∧(p→q)⇒q
证明：作(p∧(p→q))→q的真值表，如表1.54所示。

表1.54
p q p→q p∧(p→q)(p∧(p→q))→q
0 0 1 0 1
0 1 1 0 1
1 0 0 0 1
1 1 1 1 1
由以上真值表可知：(p∧(p→q))→q是一个永真式，所以p∧(p→q)⇒q
⑹⌝q∧(p→q)⇒⌝p
证明：作(p∧(p→q))→q的真值表，如表1.55所示。

表1.55
p q ⌝q p→q ⌝q∧(p→q)(⌝q∧(p→q))→⌝p
0 0 1 1 1 1
0 1 0 1 0 1
1 0 1 0 0 1
1 1 0 1 0 1
由以上真值表可知：(⌝q∧(p→q))→⌝p是一个永真式，所以⌝q∧(p→q)⇒⌝p
4.用“假设前件为真，推证后件也为真或假设后件为假，推证前件也为假“的方法证明下列蕴含式。

⑴p∧q⇒p→q
证明：假设前件p∧q为真，证明后件p→q也为真。

因为p∧q为真，所以p为真并且q也为真，根据条件的定义可知p→q也为真。

所以，p∧q⇒p→q
⑵p→q⇒p→(p∧q)
证明:假设后件p→(p∧q)为假,证明前件p→q必为假；
因为p→(p∧q)为假，则p为真,q为假；根据条件的定义可知p→q也为假。

即：p→q⇒p→(p∧q)
⑶p⇒⌝p→q
证明:假设前件p为真,则⌝p为假, 根据条件的定义可知⌝p→q必为真。

所以，原蕴含式成立。

⑷p→(q→r)⇒(p→q)→(p→r)
证明:假设后件(p→q)→(p→r)为假, 证明前件p→(q→r)必为假。

因为(p→q)→(p→r)为假，所以，p→q为真，p→r为假；因为p→r为假，所以p为真，r为假；所以，q必为真；
因为q为真，r为假，所以q→r 必为假；因为p为真，所以，p→(q→r)必为假。

所以，原蕴含式成立。

⑸p∧(p→q)⇒q
证明：假设前件p∧(p→q)为真，证明后件q也为真。

因为p∧(p→q)为真，所以p为真，p→q也为真，根据条件的定义q必为真。

所以，原蕴含式成立。

⑹⌝q∧(p→q)⇒⌝p
证明：假设前件⌝q∧(p→q)为真，证明后件⌝p也为真。

因为⌝q∧(p→q)为真，所以，⌝q为真，q为假，又因为p→q为真，根据条件的定义p 为假，所以⌝p必为真。

所以，原蕴含式成立。

5.设A是任意的命题公式，证明A⇒A
证明：由条件的定义可知：A→A是一个永真式；根据蕴含式的定义可知A⇒A。

习题 1.8
1.用全真值表或部分真值表证明下列各题的有效结论。

⑴(p→(q→r))，p∧q⇒r
((p→(q→r))∧(p∧q))→r的全真值表如表1.56所示。

表1.56
p q r q→r p→(q→r) p∧q (p→(q→r))∧(p∧q) ((p→(q→r))∧(p∧q))→r
0 0 0 1 1 0 0 1
0 0 1 1 1 0 0 1
0 1 0 0 1 0 0 1
0 1 1 1 1 0 0 1
1 0 0 1 1 0 0 1
1 0 1 1 1 0 0 1
1 1 0 0 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1
由真值表可知，((p→(q→r))∧(p∧q))→r是永真式，所以(p→(q→r))，p∧q⇒r。

⑵⌝p∨q,⌝(q∧⌝r),⌝r⇒⌝p
((⌝p∨q)∧(⌝(q∧⌝r))∧⌝r)→⌝p的全真值表如表1.57所示。

表1.57
p q r ⌝p∨q ⌝r ⌝(q∧⌝r) (⌝p∨q)∧(⌝(q∧⌝r))∧⌝r((⌝p∨q)∧(⌝(q∧⌝r))∧⌝r)→⌝p
0 0 0 1 1 1 1 1
0 0 1 1 0 1 0 1
0 1 0 1 1 0 0 1
0 1 1 1 0 1 0 1
1 0 0 0 1 1 0 1
1 0 1 0 0 1 0 1
1 1 0 1 1 0 0 1
1 1 1 1 0 1 0 1
由真值表可知：((⌝p∨q)∧(⌝(q∧⌝r))∧⌝r)→⌝p是永真式，所以⌝p∨q，⌝(q∧⌝r)，⌝r⇒⌝p。

⑶⌝p∨q,r→⌝q⇒p→⌝r
((⌝p∨q)∧(r→⌝q))→(p→⌝r)的真值表如表1.58所示。

表1.58
p q r ⌝p∨q r→⌝q p→⌝r (⌝p∨q)∧(r→⌝q) ((⌝p∨q)∧(r→⌝q))→(p→⌝r)
0 0 0 1 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1 1 1
0 1 0 1 1 1 1 1
0 1 1 1 0 1 0 1
1 0 0 0 1 1 0 1
1 0 1 0 1 0 0 1
1 1 0 1 1 1 1 1
1 1 1 1 0 0 0 1
由真值表可知：((⌝p∨q)∧(r→⌝q))→(p→⌝r)是永真式，所以⌝p∨q,r→⌝q⇒p→⌝r。

⑷p→q，q→r⇒p→r
((p→q)∧(q→r))→(p→r)的真值表如表1.59所示。

表1.59
p q r p→q q→r p→r (p→q)∧(q→r) ((p→q)∧(q→r))→(p→r)
0 0 0 1 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 0 0 1
1 0 1 0 1 1 0 1
1 1 0 1 0 0 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1
由真值表可知：((p→q)∧(q→r))→(p→r)是永真式，所以p→q，q→r⇒p→r。

⑸p∨⌝p,p→q,⌝p→q⇒q
((p∨⌝p)∧(p→q)∧(⌝p→q))→q的真值表如表1.60所示。

表1.60
p q r p∨⌝p p→q⌝p→q (p∨⌝p)∧(p→q)∧(⌝p→q) ((p∨⌝p)∧(p→q)∧(⌝p→q))→q
0 0 0 1 1 0 0 1
0 0 1 1 1 0 0 1
0 1 0 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 0 1 0 1
1 0 1 1 0 1 0 1
1 1 0 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
由真值表可知：((p∨⌝p)∧(p→q)∧(⌝p→q))→q是永真式，所以p∨⌝p,p→q,⌝p→q⇒q。

⑹p↔q，q↔r⇒p↔r
((p↔q)∧(q↔r))→(p↔r)的真值表如表1.61所示。

表1.61
p q r p↔q q↔r p↔r (p↔q)∧(q↔r) ((p↔q)∧(q↔r))→(p↔r)
0 0 0 1 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 0 1
0 1 0 0 0 1 0 1
0 1 1 0 1 0 0 1
1 0 0 0 1 0 0 1
1 0 1 0 0 1 0 1
1 1 0 1 0 0 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1
由真值表可知：((p↔q)∧(q↔r))→(p↔r)是永真式，所以p↔q，q↔r⇒p↔r。

2.用等价演算法，主析取范式法或蕴含演算法证明上题中的各有效结论。

⑴(p→(q→r)),p∧q⇒r
((p→(q→r))∧(p∧q))→r
⇔⌝((p→(q→r))∧(p∧q))∨r
⇔⌝((⌝p∨⌝q∨r)∧(p∧q))∨r
⇔(p∧q∧⌝r)∨⌝(p∧q)∨r
⇔(p∧q∧⌝r)∨⌝(p∧q∧⌝r)
⇔1
所以(p→(q→r)),p∧q⇒r
⑵⌝p∨q,⌝(q∧⌝r),⌝r⇒⌝p
((⌝p∨q)∧(⌝(q∧⌝r))∧⌝r)→⌝p
⇔⌝((⌝p∨q)∧(⌝(q∧⌝r))∧⌝r)∨⌝p
⇔((p∧⌝q)∨(q∧⌝r)∨r)∨⌝p
⇔(p∧⌝q)∨(q∧⌝r)∨r∨⌝p
⇔((p∧⌝q)∨⌝p)∨((q∧⌝r)∨r)
⇔(⌝p∨⌝q)∨(q∨r)
⇔1
所以⌝p∨q,⌝(q∧⌝r),⌝r⇒⌝p
⑶⌝p∨q,r→⌝q⇒p→⌝r
((⌝p∨q)∧(r→⌝q))→(p→⌝r)
⇔((⌝p∨q)∧(⌝r∨⌝q))→(⌝p∨⌝r)
⇔⌝((⌝p∨q)∧(⌝r∨⌝q))∨(⌝p∨⌝r)
⇔((p∧⌝q)∨(r∧q))∨(⌝p∨⌝r)
⇔((p∧⌝q)∨⌝p)∨((r∧q)∨⌝r)
⇔(⌝p∨⌝q)∨(q∨⌝r)
⇔1
所以⌝p∨q,r→⌝q⇒p→⌝r
⑷p→q，q→r⇒p→r
((p→q)∧(q→r))→(p→r)
⇔((⌝p∨q)∧(⌝q∨r))→(⌝p∨r)
⇔⌝((⌝p∨q)∧(⌝q∨r))∨(⌝p∨r)
⇔(p∧⌝q)∨(⌝r∧q)∨⌝p∨r
⇔((p∧⌝q)∨⌝p)∨((⌝r∧q)∨r)
⇔(⌝p∨⌝q)∨(q∨r)
⇔1
所以p→q，q→r⇒p→r
⑸p∨⌝p,p→q,⌝p→q⇒q
((p∨⌝p)∧(p→q)∧(⌝p→q))→q
⇔(1∧(⌝p∨q)∧(p∨q))→q
⇔⌝((⌝p∨q)∧(p∨q))∨q
⇔(p∧⌝q)∨(⌝p∧⌝q)∨q
⇔⌝q∨q
⇔1
所以p∨⌝p,p→q,⌝p→q⇒q
⑹p↔q，q↔r⇒p↔r
((p↔q)∧(q↔r))→(p↔r)
⇔((⌝p∨q)∧(⌝q∨p)∧(⌝q∨r)∧(⌝r∨q))→(p↔r)
⇔⌝((⌝p∨q)∧(⌝q∨p)∧(⌝q∨r)∧(⌝r∨q))∨(p∧r)∨(⌝p∧⌝r)
⇔(p∧⌝q)∨(p∧r)∨(r∧⌝q)∨(q∧⌝r)∨(q∧⌝p)∨(⌝p∧⌝r)
⇔((p∧(⌝q∨r))∨⌝(⌝q∨r))∨(r∧⌝q)∨(q∧⌝p)∨(⌝p∧⌝r)
⇔((⌝(⌝q∨r)∨(⌝q∨r))∧(p∨⌝(⌝q∨r)))∨(r∧⌝q)∨(q∧⌝p)∨(⌝p∧⌝r)
⇔(T∧(p∨⌝(⌝q∨r)))∨(r∧⌝q)∨(q∧⌝p)∨(⌝p∧⌝r)
⇔p∨(q∧⌝r)∨(r∧⌝q)∨(q∧⌝p)∨(⌝p∧⌝r)
⇔p∨(q∧⌝r)∨((q∧⌝p)∨(⌝p∧⌝r))∨(r∧⌝q)
⇔p∨(q∧⌝r)∨((⌝p∧(q∨⌝r))∨⌝(q∨⌝r))
⇔p∨(q∧⌝r)∨⌝p∨(⌝q∧r)
⇔T
所以p↔q，q↔r⇒p↔r
3.推理证明下列各题的有效结论。

⑴p→(q∨r)，(t∨s)→p，(t∨s)⇒q∨r
证明：
⑴t∨s P
⑵(t∨s)→p P
⑶p T⑴⑵假言推理
⑷p→(q∨r) P
⑸q∨r T⑶⑷假言推理
⑵p∧q，(p↔q)→(t∨s)⇒(t∨s)
证明:
⑴p∧q P
⑵p T⑴化简律
⑶q T⑴化简律
⑷p→q T⑶例1.30(2)
⑸q→p T⑵例1.30(2)
⑹(p→q)∧(q→p) T⑷⑸合取引入
⑺p↔q T⑹双条件等价式
⑻(p↔q)→(t∨s) P
⑼t∨s T⑺⑻假言推理
⑶⌝(p→q)→⌝(r∨s)，(q→p)∨⌝r,r⇒p↔q
证明:
⑴r P
⑵(q→p)∨⌝r P
⑶q→p T⑴⑵析取三段论
⑷r∨s T⑴附加律
⑸⌝(p→q)→⌝(r∨s) P
⑹p→q T⑷⑸拒取式
⑺(p→q)∧(q→p) T⑶⑹合取引入
⑻p↔q T⑹双条件等价式
⑷p∧q→r，⌝r∨s，⌝s⇒⌝p∨⌝q
证明:
⑴⌝s P
⑵⌝r∨s P
⑶⌝r T⑴⑵析取三段论
⑷p∧q→r P
⑸⌝(p∧q) T⑶⑷拒取式
⑹⌝p∨⌝q T⑸德·摩根律
⑸p∨⌝p,p→q,⌝p→q⇒q
证明:
⑴⌝q P(附加前提)
⑵p→q P
⑶⌝p T⑴⑵拒取式
⑷⌝p→q P
⑸q T⑶⑷假言推理
⑹⌝q∧q(矛盾)T⑴⑸合取引入
⑹⌝p∨⌝s，p→q，r→s⇒⌝p∨⌝r
证明:
⑴⌝(⌝p∨⌝r) P(附加前提)
⑵p∧r T⑴条件等价式
⑶p T⑵化简律
⑷r T⑵化简律
⑸r→s P
⑹s T⑷⑸假言推理
⑺⌝p∨⌝s P
⑻⌝p T⑹⑺析取三段论
⑼⌝p∧p(矛盾)T⑶⑻合取引入
4.用CP规则推证下列各题的有效结论。

⑴⌝p∨q,r→⌝q⇒p→⌝r
证明:
⑴p P(附加前提)
⑵⌝p∨q P
⑶q T⑴⑵析取三段论
⑷r→⌝q P
⑸⌝r T⑶⑷拒取式
⑹p→⌝r CP规则
⑵p∨q→r∧s，s∨t→u⇒p→u
证明:
⑴p P(附加前提)
⑵p∨q T⑴附加律
⑶p∨q→r∧s P
⑷r∧s T⑵⑶假言推理
⑸s T⑷化简律
⑹s∨t T⑸附加律
⑺s∨t→u P
⑻u T⑹⑺假言推理
⑼p→u CP规则
⑶p→(q∧r)，⌝q∨s，(t→⌝u)→⌝s，q→(p∧⌝t)⇒q→t
证明:
⑴q P(附加前提)
⑵⌝q∨s P
⑶s T⑴⑵析取三段论
⑷(t→⌝u)→⌝s P
⑸⌝(t→⌝u) T⑶⑷拒取式
⑹⌝(⌝ t∨⌝u) T⑸条件等价式
⑺t∧u T⑹德·摩根律
⑻t T⑺化简律
⑼q→t CP规则
⑷p∨q，p→r，q→s⇒s∨r
证明:因为s∨r⇔⌝s→r，原题可改写为：p∨q，p→r，q→s⇒⌝s→r。

⑴⌝s P(附加前提)
⑵q→s P
⑶⌝q T⑴⑵拒取式
⑷p∨q P
⑸p T⑶⑷析取三段论
⑹p→r P
⑺r T⑸⑹假言推理
⑻⌝s→r CP规则
⑸p∧q→r，⌝r∨s，p→⌝s⇒p→⌝q
证明:
⑴p P(附加前提)
⑵p→⌝s P
⑶⌝s T⑴⑵假言推理
⑷⌝r∨s P
⑸⌝r T⑶⑷析取三段论
⑹p∧q→r P
⑺⌝(p∧q) T⑸⑹拒取式
⑻⌝p∨⌝q T⑺德·摩根律
⑼⌝q T⑴⑻析取三段论
⑽p→⌝q CP规则
⑹p→r∧q，⌝s∨p，r⇒s→q
证明:
⑴s P(附加前提)
⑵⌝s∨p P
⑶p T⑴⑵析取三段论
⑷p→r∧q P
⑸r∧q T⑶⑷假言推理
⑹q T⑸化简律
⑺s→q CP规则
5.用归谬法推证下列各题的有效结论。

⑴p∧q，(p↔q)→(t∨s)⇒t∨s
证明:
⑴⌝(t∨s) P(附加前提)
⑵(p↔q)→(t∨s) P
⑶⌝(p↔q)T⑴⑵拒取式
⑷⌝((p∧q)∨(⌝p∧⌝q))T⑶例1.17
⑸⌝(p∧q)∧⌝ (⌝p∧⌝q)T⑷德·摩根律
⑹⌝(p∧q) T⑸化简律
⑺p∧q P
⑻(p∧q)∧⌝(p∧q)(矛盾)T⑹⑺合取引入
⑵r→⌝q，r∨s，s→⌝q，p→q⇒⌝p
证明:
⑴⌝⌝p P(附加前提)
⑵p T⑴双重否定律
⑶p→q P
⑷q T⑵⑶假言推理
⑸r→⌝q P
⑹⌝r T⑷⑸拒取式
⑺r∨s P
⑻s T⑹⑺析取三段论
⑼s→⌝q P
⑽⌝q T⑻⑼假言推理
⑾q∧⌝q（矛盾）T⑷⑽合取引入⑶p→q，(⌝q∨r)∧⌝r，⌝(⌝p∧s)⇒⌝s
证明:
⑴⌝⌝s P(附加前提)
⑵s T⑴双重否定律
⑶⌝(⌝p∧s) P
⑷p∨⌝s T⑶德·摩根律
⑸p T⑵⑷析取三段论
⑹p→q P
⑺q T⑸⑹假言推理
⑻(⌝q∨r)∧⌝r P
⑼⌝q∨r T⑻化简律
⑽⌝r T⑻化简律
⑾r T⑺⑼析取三段论
⑿r∧⌝r(矛盾) T⑽⑾合取引入
⑷(p→q)∧(r→s)，(q→t)∧(s→u)，⌝(t∧u)，p→r⇒⌝p
证明:
⑴⌝⌝p P(附加前提)
⑵p T⑴双重否定律
⑶p→r P
⑷r T⑵⑶假言推理
⑸(p→q)∧(r→s)P
⑹p→q T⑸化简律
⑺r→s T⑸化简律
⑻q T⑵⑹假言推理
⑼s T⑷⑺假言推理
⑽(q→t)∧(s→u)P
⑾q→t T⑽化简律
⑿s→u T⑽化简律
⒀t T⑻⑾假言推理
⒁u T⑼⑿假言推理
⒂t∧u T⒀⒁合取引入
⒃⌝(t∧u) P
⒄(t∧u)∧(⌝(t∧u))(矛盾) T⒂⒃合取引入
⑸p→(q∨r)，(t∨s)→p，(t∨s)⇒q∨r
证明：
⑴⌝(q∨r) P(附加前提)
⑵p→(q∨r)P
⑶⌝p T⑴⑵拒取式
⑷(t∨s)→p P
⑸⌝(t∨s)T⑶⑷拒取式
⑹(t∨s)P
⑺⌝(t∨s)∧(t∨s)(矛盾)T⑸⑹合取引入
⑹p→q，r→⌝q，r⇒⌝p
证明：
⑴⌝⌝p P(附加前提)
⑵p T⑴双重否定律
⑶p→q P
⑷q T⑵⑶假言推理
⑸r→⌝q P
⑹⌝r T⑷⑸拒取式
⑺r P
⑻r∧⌝r（矛盾）T⑹⑺合取引入
6.证明下面各命题推得的结论是有效的：如果今天是星期三，那么我有一次离散数学或数字逻辑测验。

如果离散数学课老师有事，那么没有离散数学测验。

今天是星期三且离散数学老师有事。

所以，我有一次数字逻辑测验。

证明：设p：今天是星期三。

q：我有一次离散数学测验。

r：我有一次数字逻辑测验。

s：离散数学课老师有事。

该推理就是要证明：p→(q∨r)，s→⌝q，p∧s⇒r
⑴p∧s P
⑵p T⑴化简律
⑶s T⑴化简律
⑷s→⌝q P
⑸⌝q T⑶⑷假言推理
⑹p→(q∨r) P
⑺q∨r T⑵⑹假言推理
⑻r T⑸⑺析取三段论
习题 2.1
1．将下列命题符号化。