教师招聘考试数学专业知识讲义

第一部分小学数学
第一章数与代数
第一节数的认识
一、基础知识
（一）整数：
1.整数的读法和写法
例：“3121700”读作：三百一十二万一千七百
2.整数的近似数
“四舍五入”
3.整数的运算
加法：
减法：
乘法：
除法：
四则混合运算：
4.自然数：
5.数的整除：
①整数a除以整数b(b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。

②如果数a能被数b（b≠0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。

倍数和约数是相互依存的。

③个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除。

个位上是0或5的数，都能被5整除。

一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除。

一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。

能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。

一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。

④偶数、奇数
⑤一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数）
⑥一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。

注意：1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。

⑦每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。

其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

⑧几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。

其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。

⑨公约数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况：1和任何自然数互质；相邻的两个自然数互质；两个不同的质数互质。

当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。

⑩几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

（二）小数：
1.小数的读法和写法:
2.小数的分类：
①纯小数、带小数
②有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数；
无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。

③无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限.
循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。

（三）分数：
1.分数的意义
①把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。

②在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。

③把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。

2.分数的分类
①真分数：
②假分数：
③带分数：
3.约分和通分
①把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数，叫做约分。

②分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。

③把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。

4.百分数
①表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫做百分率或百分比。

②百分数通常用"%"来表示。

百分号是表示百分数的符号。

（四）常见的量
1.时间
2.长度
3.面积
4.体积
5.容积
6.质量
二、能力训练
1．一个九位数，最高位是是奇数中最小的合数，百万位上是最小的质数，万位上是最大的一位数，千位上是同时能被2和3整除的一位数，百位上是最小的合数，其余各位上都是最小的自然数，这个数写作________________，读作________________。

2.三个连续奇数的和是645。

这三个奇数中，最小的奇数是________________。

3.在一条长50米的大路两旁，每隔5米栽一棵树（两端都要栽），一共可栽___________棵树。

4.被减数减去减数，差是0.4，被减数、减数与差的和是2，减数是____________。

5.两个数的积是45.6，一个因数扩大100倍，另一个因数缩小到原来的10
1
,积是____________。

6.
7
4
的分数单位是____________，它含有____________个这样的单位，它的倒数是____________。

7.
7
3
的分子加上12，要使分数的大小不变，分母应加上____________。

8.一个三位小数，保留两位小数取近似值后是5.60，这个三位小数最小是____________，最大是____________。

9.5是8的____________%，8是5的____________%，5比8少____________%，8比5多____________%。

10.自然数按因数的个数分，可以分为（ ）. A.奇数和偶数 B.素数和合数 C.奇数、偶数和1 D.素数、合数、0和1 11.已知a+b=5，（a 、b 均为自然数），则a 和b 两个数的最大公因数是（ ）。

A.5 B.b C.a D.1
12.分数单位是1/11的最大真分数和最小假分数的和是（ ）。

A ．21/11 B.2 C.20/11 D.1 13.下面各组数，一定不能成为互质数的一组是（ ）。

A.质数与合数
B.奇数与偶数
C.质数与质数
D.偶数与偶数 14.把210分解质因数是（ ）。

A.210＝2×7×3×5×1
B.210＝2×5×21
C.210＝3×5×2×7
D.210=2×5×21×1 15.两个奇数的和（ ）。

A.是奇数
B.是偶数
C.可能是奇数，也可能是偶数
D.一定不是奇数 16.一个合数至少有（ ）个约数。

A.1
B.2
C.3
D.4 17.有4、5、7、8这四个数，能组成（ ）组互质数。

A.3 B.4 C.5 D.6
18.四位数“3AA1”是9的倍数，则A=________。

19.能同时被2，3，5整除的最大三位数是_______。

20.所有能被3整除的两位数的和是________。

三、拓展提高
1.在10以内任意选两个不同的素数，就可以写一个分数，其中最小的是____________。

2.如果A和B是自然数，并且A÷B=5.那么A和B的最小公倍数是____________，5是____________的因数。

3.两个素数的和是31，这两个素数的积是____________。

4.将循环小数3.102
&&和0.215&&转换成分数。

5.有三十个数：1.64,1.64+1
30
，1.64+
2
30
，……，1.64+
28
30
，1.64+
29
30
，如果取每
个数的整数部分（例如：1.64的整数部分是1,1.64+11
30
的整数部分是2）。

并且将这些的整
数相加，那么它们的和是多少？
6.设一个五位数abcad，其中d-b=3，若这个数能被11整除，则a的范围是_________，c=_____。

7.能同时被2,5,7整除的最大五位数是_________。

8.六位数X2010Y能被88整除，则X、Y的取值分别为多少？
A.X=9，Y=4
B.X=7，Y=4
C.X=9，Y=8
D.X=8，Y=4
9.有一大筐苹果和梨分成若干堆，如果你一定可以找到这样的两堆，其苹果数之和与梨数之和都是偶数，最少要把这些苹果和梨分成_______堆。

10.有两个容器，一个容量为27升，一个容量为15升，如何利用他们从一桶油中倒出6升油来？
要点回顾
第二节比与比例
一、基础知识
1.比的意义和性质
（1）比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。

①“：”是比号，读作“比”。

比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项（比的后项不能是零）。

比的前项除以后项所得的商，叫做比值。

②同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。

③比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。

④根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。

（2）比的性质：比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。

（3）求比值和化简比
①求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。

②根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。

它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。

（4）比例尺
①数值比例尺：图上距离：实际距离=比例尺
②线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离。

2.比例的意义和性质
（1）比例的意义
表示两个比相等的式子叫做比例。

组成比例的四个数，叫做比例的项。

两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。

（2）比例的性质
在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。

这叫做比例的基本性质。

（3）解比例
根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。

求比例中的未知项，叫做解比例。

3.正比例和反比例
（1）成正比例的量
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。

用字母表示y/x=k(一定）
（2）成反比例的量
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。

用字母表示x×y=k(一定)
二、能力训练
1.在比例中，两个内项的积是6，其中一个外项是2
3
，另一个外项__________。

2.如果y=5x，那么x和y成__________比例。

3.一幅地图上用5厘米表示实际距离20千米，这幅地图的比例尺是__________。

4.1.2千克∶250克化成最简整数比是__________，比值是__________。

5.一个三个角形三个内角度数的比是1∶4∶1，这是一个__________三角形。

6.如果7x=8y，那么x∶y=__________。

7.男生人数比女生多20％，则女生人数与男生人数的比是__________，女生比男生少__________。

8.已知甲数的1/6相当于乙数的1/5，那么甲数的一半相当于乙数的__________。

9．把一堆化肥装入麻袋，麻袋的数量和每袋化肥的重量．（）
A．成正比例B．成反比例C．不成比例
10．和一定，加数和另一个加数．（）
A．成正比例B．成反比例C．不成比例
11．在汽车每次运货吨数，运货次数和运货的总吨数这三种量中，成正比例关系是（），成反比例关系是（）．
A．汽车每次运货吨数一定，运货次数和运货总吨数．
B．汽车运货次数一定，每次运货的吨数和运货总吨数．
C．汽车运货总吨数一定，每次运货的吨数和运货的次数．
三、拓展提高
1.把280棵树苗栽在两块长方形地上，一块长15米，宽8米；另一块长12米，宽4米，如按面积大小分配栽种，这两块地分别要栽多少棵？
2.配制一种农药，其中药与水的比为1∶150。

①要配制这种农药755千克，需要药和水各多少千克？
②有药3千克，能配制这种农药多少千克？
③如果有水525千克，要配制这种农药，需要放进多少千克的药？
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第三节计算和巧算
一、基础知识
1.运算定律
（1）加法交换律：a+b=b+a。

（2）加法结合律：（a+b)+c=a+(b+c)。

（3）乘法交换律：a×b=b×a。

（4）乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)。

（5）乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c。

（6）减法的性质：a-b-c=a-(b+c)。

2.运算顺序
（1）小数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。

（2）分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。

（3）没有括号的混合运算:同级运算从左往右依次运算；两级运算先算乘、除法，后算加减法。

（4）有括号的混合运算:先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。

（5）第一级运算：加法和减法叫做第一级运算。

（6）第二级运算：乘法和除法叫做第二级运算。

二、能力训练
1.有13个自然数，小红计算它们的平均数精确到百分位是1
2.56，老师说最后一个数字写错了，那么正确的答案应该是____________。

2.直接写出得数：
（1）11
45
+=____________ （2）8.5÷0.01=__________
（3）0.1×99-0.1=____________ （4）
9
(0.27)
10
+=____________
（5）27.25×4÷27.25×4=____________ （6）777×9+111×37=____________
（7）1÷0.625=____________ （8）512
8
9
÷=____________
3.计算下列各题：
（1）123+234+345+456+567+678 （2）789×788788-788×789789
（3）1627+27018×25 （4）0.888×125×73+999×3 （5）6789×6789-6790×6788
三、拓展提高
1.（1）
11111 123423453456678978910 +++⋅⋅⋅++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
（2）
333
...... 1234234517181920 +++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
2.（1）
11111111111111 (1)()(1)()
23423452345234 +++⨯+++-++++⨯++
（2）
1111111111111111 11213141213141511121314151213141⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯+++-++++⨯++
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
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第二章空间与图形
第一节平面图形一、基础知识
1．长方形
（1）特征：
（2）计算公式：c=2(a+b)；s=ab。

2．正方形
（1）特征：
（2）计算公式：c=4a，s=a²。

3．三角形
（1）特征：
（2）计算公式：s=ah/2。

（3）分类：
①按角分
锐角三角形：
直角三角形：
钝角三角形：
②按边分
不等边三角形：
等腰三角形：
等边三角形：
4．平行四边形
（1）特征：
（2）计算公式：s=ah。

5．梯形
（1）特征：
（2）计算公式：s=(a+b)h/2
6．圆
（1）圆的认识
圆心：
半径：
直径：
（2）圆的画法：
（3）圆的周长：C =πd，C=2πr（d是直径，r是半径）
（4）圆的面积：s=πr2
7．扇形
（1）扇形的认识：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。

圆上AB两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”。

(2)扇形面积计算公式：
2 360
n r。

8．环形
(1)特征：由两个半径不相等的同心圆相减而成，有无数条对称轴。

(2)计算公式：s=∏(R²-r²）。

9．轴对称图形
特征：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。

折痕所在的这条直线叫做对称轴。

正方形有4条对称轴，长方形有2条对称轴。

等腰三角形有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴。

等腰梯形有一条对称轴，圆有无数条对称轴。

菱形有4条对称轴，扇形有一条对称轴。

二、能力训练
1.一个平行四边形底缩小10倍，高扩大10倍，这个平行四边形的面积( )。

A.大小与原来相等
B.缩小10倍
C.扩大10倍
D.扩大100倍
2.将一个长方形拉成一个平行四边形（四条边长度不变），它的面积( )。

A.比原来小
B.比原来大
C.与原来相等
D.无法比较
3.两个完全一样的直角三角形，不可能拼成一个（）。

A.梯形
B.正方形
C.三角形
D.平行四边形
4.在面积为42平方米的平行四边形内画一个最大的三角形，这个三角形的面积是（）。

A.21
B.30
C.14
D.42
5.周长都相等，（）的面积最大。

A.正方形
B.长方形
C.圆
D.一样大
6.面积都相等，（）的周长最大。

A.正方形
B.长方形
C.圆
D.三角形
7.下列叙述中，正确的是( )
A．只有一组对边平行的四边形是梯形
B．矩形可以看作是一种特殊的梯形
C．梯形有两个内角是锐角，其余两个角是钝角
D．梯形的对角互补
8．等腰梯形的上底与高相等，下底是上底的3倍，则底角的度数是( )
A．30º和150ºB．45º和135º
C．60º和120ºD．都是90º
9．菱形和矩形一定都具有的性质是（）
A．对角线相等．B．对角线互相平分．
C．对角线互相垂直．D．每条对角线平分一组对角．
10．下列说法正确的是（）
A．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．对角线互相平分且相等的四边形是菱形
D．对角线相等的四边形是菱形
三、拓展提高
1.将一个平行四边形拼成一个长方形，面积___________，周长___________；将一个平行四边形拉成一个长方形，面积___________，周长___________。

（填“增大”或者“减小”）A．变大 B.变小 C.不变 D.无法比较
2.能拼成一个平行四边形的两个三角形必须具备( )。

A.面积相等
B.形状相同
C.完全一样
D.任意两个均可
3.周长相等的一个正方形，一个长方形，一个平行四边形，( )面积最大。

A.正方形
B.长方形
C.平行四边形
D.无法比较
4.把一个平行四边形任意分割成两个梯形，这两个梯形的( )总是相等的。

A.高
B.面积
C.上、下底的和
D.无法确定
5.一个三角形和一个平行四边形底相等，面积也相等，如果平行四边形的高是6厘米，那么三角形的高是( )厘米。

A.6
B.3
C.12
D.18
6.一个梯形的上底长36dm，如果补上一块底为64dm，面积为64dm2的三角形，就变成了一个平行四边形，这个梯形的面积是( )。

A.200dm2
B.136dm2
C.272dm2
D.68dm2
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第二节空间图形
一、基础知识
（一）长方体
1．特征：
2.计算公式：s=2(ab+ah+bh)，V=sh，V=abh（a表示长，b表示宽，h表示高）。

（二）正方体
1.特征：
2.计算公式：S表=6a²，v=a³（a表示棱长）。

（三）圆柱
1.圆柱的认识：圆柱的上下两个面叫做底面。

圆柱有一个曲面叫做侧面。

圆柱两个底面之间的距离叫做高。

2.计算公式：S表=S侧+S底×2，V=sh/3。

（四）圆锥
1.圆锥的认识：
2.计算公式：V=sh/3。

二、能力训练
1.一个正方体的底面周长与高分别与一个圆柱体的底周长和高相等，那么体积比较（）
A.正方体大
B.圆柱体大
C.两者一样大
D.无法判断
2.一个圆锥的底面半径和高都扩大2倍，体积扩大了（）
A．12倍 B.8倍 C.4倍 D.6倍
3.一个底面积为24平方厘米的圆锥体和一个棱长为4厘米的正方体的体积相等，圆锥的高是（）。

A.3厘米
B.4厘米
C.8厘米
D.12厘米
4.圆柱底面直径是圆锥底面直径的1/2，如果高相等，那么圆锥的体积是圆柱体积的（）
A.1
3
B.
1
6
C.
3
4
D.
4
3
5.把一个棱长2分米的正方体锯成两个长方体，表面积总和（）。

A.不变
B.增加4平方分米
C.增加8平方分米
D.不一定
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第三章统计与可能性
一、基础知识
（一）统计：
1.条形统计图：用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直线按照一定的顺序排列起来。

优点：很容易看出各种数量的多少。

2.折线统计图：用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来。

优点：不但可以表示数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况。

3.扇形统计图：用整个圆的面积表示总数，用扇形面积表示各部分所占总数的百分数。

优点：很清楚地表示出各部分同总数之间的关系。

4.平均数：
中位数：
众数：
（二）可能性：
随机事件的概率
二、能力训练
1.从标有1，2，3，4的四张卡片中任抽一张。

（1）抽到卡片“1”的可能性是____________。

（2）抽到卡片“2”、“4”的可能性是____________。

（3）抽到数字小于4的卡片的可能性是____________。

2.口袋里有大小相同的6个球，1个红球，2个白球，3个黄球，从袋中任意摸出一个球。

（1）摸出什么颜色的球的可能性最大，是多少？
（2）摸出什么颜色的球的可能性最小，是多少？
（3）摸出不是红球的可能性是多少？
3.盒子装有15个球，分别写着1—15各数。

如果摸到是2的倍数，小刚赢，如果摸到不是2的倍数，小强赢。

（1）这样约定公平吗？为什么？
（2）小强一定会输吗？
4.某商品举行促销活动，前100名的购买者可以抽奖，一等奖20个，二等奖30个，三等奖50个。

（1）这次抽奖活动，中奖的可能性是____________。

（2）第一个人抽奖中一等奖可能性是___________，中二等奖的可能性是___________，中三等奖的可能性是___________。

（3）抽奖到一半，已经有8人中一等奖，15人中二等奖，24人中三等奖。

这里李明第51个抽奖，中一等奖的可能性是___________，中三等奖的可能性是___________，中三等奖的可能性是___________。

5.下面记录的是五（3）班第1组女生的一次跳远成绩。

（单位：m）
2.83
3.32 2.75 3.17 2.58 2.65 3.24 3.29 3.41 3.26 2.98 3.52
（1）这组数据的中位数，平均数各是多少？
（2）用哪个数代表这个组数据的一般水平更合适？
（3）如果2.80m以上为及格，有多少名同学及格了，超过半数了吗？
6.8个数的平均数是2.1，前3个数的平均数为2.6，后4个数的平均数为1.4，第四个数是多少？
要点回顾
第四章实践与综合应用
一、基础知识
1.归一问题
含义：在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。

这类应用题叫做归一问题
数量关系：总量÷份数＝1份数量
1份数量×所占份数＝所求几份的数量
另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数
解题思路：先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。

2.归总问题
含义：解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。

所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。

数量关系：1份数量×份数＝总量
总量÷1份数量＝份数
总量÷另一份数＝另一每份数量
解题的思路和方法：先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。

3.和差问题
含义：已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。

数量关系：大数＝（和＋差）÷2
小数＝（和－差）÷ 2
解题思路和方法：简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。

4.和倍问题
含义：已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。

数量关系：总和÷（几倍＋1）＝较小的数
总和－较小的数＝较大的数
较小的数×几倍＝较大的数
解题思路和方法：简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

5.差倍问题
含义：已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。

数量关系：两个数的差÷（几倍－1）＝较小的数
较小的数×几倍＝较大的数
解题思路和方法：简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

6.倍比问题
含义：有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。

数量关系：总量÷一个数量＝倍数
另一个数量×倍数＝另一总量
解题思路与方法：先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。

7.相遇问题
含义：两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。

这类应用题叫做相遇问题。

数量关系：相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速）
总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间
解题思路和方法：简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。

8.追及问题
含义：两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。

这类应用题就叫做追及问题。

数量关系：追及时间＝追及路程÷（快速－慢速）
追及路程＝（快速－慢速）×追及时间
解题思路和方法：简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

9.植树问题
含义：按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。

数量关系：线形植树棵数＝距离÷棵距＋1
环形植树棵数＝距离÷棵距
方形植树（端点不植树）棵数＝距离÷棵距－4
三角形植树（端点不植树）棵数＝距离÷棵距－3
面积植树棵数＝面积÷（棵距×行距）
解题思路和方法：先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。

10.年龄问题
含义：这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。

数量关系：年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。

解题思路和方法：可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。

11.行船问题
含义：行船问题也就是与航行有关的问题。

解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差。

数量关系：（顺水速度＋逆水速度）÷2＝船速
（顺水速度－逆水速度）÷2＝水速
顺水速＝船速×2－逆水速＝逆水速＋水速×2
逆水速＝船速×2－顺水速＝顺水速－水速×2
解题思路和方法：大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

12.列车问题
含义：这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。

数量关系：火车过桥：过桥时间＝（车长＋桥长）÷车速
火车追及：追及时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速－乙车速）
火车相遇：相遇时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速＋乙车速）
解题思路和方法：大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

13.时钟问题
含义：就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。

时钟问题可与追及问题相类比。

数量关系：分针的速度是时针的12倍，二者的速度差为11
12。

通常按追及问题来对待，
也可以按差倍问题来计算。

解题思路和方法：变通为“追及问题”后可以直接利用公式。

14.盈亏问题
含义：根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。

数量关系：一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：
参加分配总人数＝（盈＋亏）÷分配差
如果两次都盈或都亏，则有：
参加分配总人数＝（大盈－小盈）÷分配差
参加分配总人数＝（大亏－小亏）÷分配差
解题思路和方法：大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

15.工程问题
含义：工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。

这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。

数量关系：解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。

工作量＝工作效率×工作时间
工作时间＝工作量÷工作效率
工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）
解题思路和方法：变通后可以利用上述数量关系的公式。

16.正反比例问题
含义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。

正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。

反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。

数量关系：判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。

许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。

解题思路和方法：解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。

正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。

17.按比例分配问题
含义：所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。

这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。

数量关系：从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。

总份数＝比的前后项之和
解题思路和方法：先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子），再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。

18.百分数问题
含义：百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。

百分数是一种特殊的分数。

分数常常可以通分、约分，而百分数则无需；分数既可以表示“率”，也可以表示“量”，而。