现代信号处理方法2-2

2.2 Radon-Wignel 变换
2.2.1 Wigner-Ville 分布的时频聚集性
时变信号中，线性调频（LFM ）信号特别引人关注：首先， LFM 信号广泛用于各种信息系统，如通信、雷达和地震勘探等；其次，探测系统的目标多普勒频率与目标速度近似成正比，当目标作等加速运动时，回波即为线性调频；再次，复杂运动目标回波在一段短的时间里，常可用线性调频作为其一阶近似；另外，对于空间线性阵列，若信号源位于近场，则沿阵列分布的信号也近似为线性调频。

因此深入研究线性调频信号具有重大的理论价值与实际应用价值。

用Ville Wigner -分布研究单分量LFM 信号是十分有效的：现考虑幅度为1的单分量信号
)5.0(220)(m t t f j e
t z +=π （2.2.1） 因为 τπττπττπττ)(2])2(21)2([2])2(21)2([2*02020)2
()2(mt f j t m t f j t m t f j e e e
t z t z +-+--+++=⋅=-+ （2.2.2） 故根据（1.3.32）可求得其Ville Wigner -分布为
⎰∞∞--+⋅=τπττπd e e f t W f j mt f j LFM 2)(20),(
)]([0mt f f +-=δ （2.2.3） 从（2.2.3）说明单分量LFM 信号的Ville Wigner -分布是沿直线mt f f +=0分布的冲激线谱，即分布的幅值集中出现在表示信号的瞬时频率变化率的直线上，因此，从最佳展现LFM 信号的频率调制率这一意义上讲Ville Wigner -分布具有理想的时频聚集性。

在实际中由于LFM 信号的长度有限，其Ville Wigner -分布往往显示为背鳍状如图2.2.1所示，能够看出信号的能量集中于瞬时频率附近。

图2.2.1 实际LFM 信号的Ville Wigner -分布呈背鳍状 若所研究的LFM 信号是多分量的，那么信号各分量之间的交叉项就会使时－频平面变得模糊不清，尤其是在信噪比不高的情况下，甚至难于区分各个LFM 信号分量。

交叉项是Ville Wigner -分布的双线性性质固有的结果，有时即便两个LFM 信号分量在时－频平面上相距足够远，但其Ville Wigner -分布的交叉项仍然会出现。

尽管交叉项在实际应用中有时也表现出有利的一面，如交叉项强时对信号检测将带来便利，但它在大多数情况下还是有害的，因此也就有必要采用适当的方法来抑制它。

在实际信号处理时虽然通过选择合适的核函数可对Ville Wigner -分布的交叉项起到平滑抑制的作用，但在交叉项抑制的同时，信号项的时频聚集性也会有所下降；另外，核函数应该根据它所作用的信号形式及处理目的进行选择，这也为利用Ville Wigner -分布处理多分量LFM 信号增加了困难。

由于理想的LFM 信号的Ville Wigner -分布为直线型冲激函数，因此对其Ville Wigner -分布的时－频平面沿相应冲激直线作积分平滑是一种理想选择，Wigner Radon -变换正是基于此理论而提出的。

2.2.2 Radon 变换回顾
Radon 变换：将原直角坐标旋转α角得到新的直角坐标),(v u ，这时以不同的u 值平行于v 轴积分，所得的结果即为Radon 变换。

二元函数),(ωt f 的Radon 变换
⎰=线PQ dv t f u P ),()(ωα （2.1.1）
利用三角运算，可以得出),(ωt 与),(v u 两平面坐标之间的关系为:
⎩
⎨⎧+=-=ααωααcos sin sin cos v u v u t （2.1.2） 将（2.1.2）代入（2.1.1）得
⎰+-=线PQ dv v u v u f u P )cos sin ,sin cos ()(ααααα （2.1.3）
由（2.1.3）可以看出Radon 变换)(u P α是关于α和u 的二维函数，通常用符号),(αu P f 表示),(ωt f 的Radon 变换。

（2.1.2）的逆坐标变换公式为
⎩
⎨⎧+-=+=αωααωαcos sin sin cos t v t u （2.1.2）’
图2.1.1
Radon 变换的几何关系 ωf
2.2.3 Wigner Radon -变换的定义
Wigner Radon -变换是对Ville Wigner -分布的时－频平面作直线积分投影的Radon 变换。

在上一节讨论的Radon 变换中，如果将（2.1.1）中的变换对象由一般的二维函数),(ωt f 代之以信号)(t z 的Ville Wigner -分布),(ωt W z ，则所得Radon 变换即是信号)(t z 的Wigner Radon -变换，常用符号),(αu D z 来表示。

Wigner Radon -变换就是信号)(t z 的Ville Wigner -分布),(ωt W z 的Radon 变换。

即
)],([)]([),(ωαωt W t z u D z z ℜ=ℜ=
⎰+-=线PQ z dv v u v u W )cos sin ,sin cos (αααα
'
'''''')()cos sin ,sin cos (⎰⎰∞
∞-∞∞--+-=dv du u u v u v u W z δαααα
（2.2.4） （2.2.4）是以参数),(αu 来表示)(t z 的Wigner Radon -变换，而在Ville Wigner -分布的时－频平面里，习惯用ω轴的截距0ω和斜率m 为参数来表示直线，因此当需要沿作直线积分时，可将积分路径（PQ ）参数),(αu 替换成（0,ωm ），这两对参数之间的关系为
αωαsin /,cot 0u m =-= （2.2.5） 现以参数（0,ωm ）表示积分路径，求)(t z 的Wigner Radon -变换 ),(αu D z ⎰+-=线PQ z dv v u v u W )cos sin ,sin cos (αααα ⎰⎰∞
∞-∞∞
--+-=''''''')()cos sin ,sin cos (dv du u u v u v u W z δαααα ⎰⎰∞∞-∞∞--+=dt d t t W z ωαωαωαδω]sin sin cos [),(0
⎰⎰∞∞-∞
∞--+-=dt d tm t W z ωαωαωαδω]sin sin sin [),(0
⎰⎰∞
∞-∞∞---=dt
d mt t W z ωωωαδω)]([sin ),(0 ⎰⎰∞∞-∞
∞-+-=dt d mt t W z ωωωδωα)]([),(sin 10
αωα
ωαsin /cot 00),(sin 1u m z dt mt t W =-=∞
∞-⎰+= αωαωsin /cot 020),(1u m z dt mt t W m =-=∞∞-⎰++= （2.2.6）
（2.2.6）表明，若)(t z 是参数为0ω和m 的LFM 信号，则积分值最大；而当参数偏离0ω和m 时，积分值将会迅速减小，即对一定的LFM 信号，其Wigner Radon -变换会在对应的参数（0,ωm ）处呈现尖峰，如
图2.2.2和图2.2.3分别是单个LFM 信号的Wigner Radon -变换分布图和两个LFM 信号之和的Wigner Radon -变换分布图，由它们的分布图可以看出它们各自的信号项在图中均得到很好的体现（尖峰），图
2.2.3尽管有两个信号分量组成，但仍然没有交叉项出现，说明经过Wigner Radon -变换，在Ville Wigner -平面中的交叉项已得到抑制。

图2.2.2 单个LFM 信号的Wigner Radon -变换分布图
图2.2.3 两个LFM 信号之和的Wigner Radon -变换分布图 （ 图中的ω应换成0ω）
若将积分路径的直线参数改用t 轴的载距0t 和相对于ω轴的斜率
p 表示，写成ωp t t +=0的形式，参数间的关系为
ααcos /,tan 0u t p =-= （2.2.7）
那么信号)(t z 的Wigner Radon -变换的另外一种形式可写为 ⎰⎰⎰∞
∞-∞∞--==线PQ z z z dv du u u t W dv t W u D '''')(),(),(),(δωωα
⎰⎰∞
∞-∞∞---=dt d p t t t W z ωωαδω)]([cos ),(0
⎰⎰
∞∞-∞∞-+-=dt d p t t t W z ωωδωα)]([),(cos 10 α
αωωωcos /tan 020),(1u t p z d p t W p =-=∞
∞-⎰++= （2.2.8）
Wigner Radon -变换通过Ville Wigner -分布和Radon 变换二者的结合，提供了信号处理技术与图像处理技术之间的联系桥梁，它可将信号检测与参数估计转化为图像中直线的检测问题。

2.2.4 Wigner Radon -变换的性质
假设)(t f 和)(t g 为任意的两个信号，)(ωF 和)(ωG 分别是它们的Fourier 变换，),(αu D f 和),(αu D g 分别是)(t f 和)(t g 的Wigner Radon -变
换，而][⋅ℜ和][⋅W 则分别代表Radon 算子和Ville Wigner -分布算子，
b a 和为常数。

性质1 双线性性
尽管Radon 变换是线性的，但是由于Ville Wigner -分布的双线性性导致了Wigner Radon -变换也具备双线性性质。

)]]()([[)]()([t bg t af W t bg t af D +ℜ=+
)],(),(),(),([**2
2ωωωωt W ba t W ab t W b t W a gf fg g f +++ℜ=
),(),(),(),(**22ααααu D ba u D ab u D b u D a gf fg g f +++= （2.2.9） 式中)],([),(ωαt W u D fg fg ℜ=称为信号g f 和的互Wigner Radon -变换，Ville Wigner -分布的交叉项),(ωt W fg 定义为 ττ
τωωτd e t g t f t W j fg -∞∞-⎰-+=)2()2(),(* (2.2.10)
性质2 时移和频移特性
根据Ville Wigner -分布的移不变特性，信号的平移将在时频平面上产生相应的平移，但在Radon 变换中情况有所不同，因为Radon 变换以α和u 为变量，所以对于时频平面内任何ω和t 的平移，均可通过改变u 的值使其积分不变，即有
),sin cos (11ααωα++=t u D D f f
（2.2.12）
式中1t 和1ω分别代表积分路径的水平移动和垂直移动。

于是就有
)],([)]}([{)]([000ωt t W t t f W t t f f W -ℜ=-ℜ=-ℜ
),cos (0ααt u D f -=
（2.2.13）
)],([]})([{])([000ωωωω-ℜ=ℜ=ℜt W e t f W e t f f t j t j W
),sin (0ααω-=u D f
（2.2.14）
这就说明信号的时移和频移只是在Wigner 时频平面里作Wigner Radon -变换时使积分路径u 发生平移，而并不改变α的值。

一些只与旋转角度α有关的统计量对小的信号时移或频率调制是不敏感的。

性质3 投影特性
如果),(ωt W f ，),(θτf A 和),(αu D f 分别是信号)(t f 的Ville Wigner -分布，模糊函数和Wigner Radon -变换，则 ),(),(),(cos ;sin αλθτααλθαλτλp f f ju f A A du e u D ====∞
∞--⎰ （2.2.15） 式中p f A 是f A 的极坐标表示。

上式称为投影切片定理：以某一角度α
从Wigner Radon -变换切得的切片和用与频率滞后轴所夹的角度α通过模糊平面原点切得的切片之间存在着Fourier 变换关系。

性质4 卷积特性
考虑两个函数在Wigner Radon -域的卷积，由投影切片定理可知，函数)(t f 和)(t g 在Wigner Radon -域的对u 的一维卷积产生时频平面的
二维卷积，即有
)],(**),([),(*),(ωωααωt W t W u D u D g t f g u f ℜ=
（2.2.16）
如果),(αu D g 对于所有α不是)(u δ函数，则径向卷积给出不同Cohen 类变换的Radon 变换。

因此利用（2.2.16）右边的二维卷积就可以由Ville Wigner -分布和给定的核函数计算不同的Cohen 类变换，从而其Radon 变换可以用),(αu D 的一维卷积计算得到。

性质5 遮隔特性
多分量LFM 信号的Wigner Radon -变换仍然存在交叉项，但是信号项呈现尖峰，所以交叉项和信号容易区分开。

通过加阀值或其它方法实现交叉项的遮隔，可有效地用于信号检测或分离。

一个Wigner Radon -变换与一个遮隔),(αu m 相乘将在模糊平面产生一个径向卷积，即
),(*),(),(),(αλαλααλM A u m u D f f =
（2.2.17）
式中),(αλM 是),(αu m 关于u 的Wigner Radon -变换。

这表明如果在Wigner Radon -域沿u 作很窄的遮隔，则在模糊域沿λ的响应将被展宽。

2.2.5 Wigner Radon -变换的计算
利用（2.2.6）或（2.2.8）计算)(t z 的Wigner Radon -变换需要计算)(t z 的Wigner-Ville 分布，计算量较大，下面讨论另外的方法。

令)(t z 是一个单分量连续LFM 信号，所谓解线调就是解除)(t z 的线性调制，而将)(t z 变成单频率信号。

从参数估计的角度来讲，解线调就是估计信号)(t z 的两个参数，即起始频率0ω和调频斜率m 。

若解线调在时域中进行则称为时域解线调，若在频域中进行则称为频域解线调。

1、 时域解线调
假设LFM 信号)21(20)
(mt t j e t z +=ω的m 值为已知，并用22
1jmt e -与信号相乘，即
t j jm t m e e t z t f 02
21)()(ω==- （2.2.18）
这样)(t f m 变成了单频信号，其频率等于起始频率0ω，)(t f m 关于t 的Fourier 变换为 ⎰⎰∞∞-∞∞-+--==dt e t z dt e t f m F t mt j t j m )21(0020)()(),(ωωω（2.2.19）
然而在实际中，m 值是未知的。

为此以m 为变量，搜索计算)(t f m 的相关函数和功率谱（它们均是m 的函数），相关函数（注意到2
21)()(jmt m e t z t f -=）为
dt e t z t z dt t f t f m R jmt m m f ττ
ττττ-∞∞-∞∞--+=-+=⎰⎰
)2()2()2()2(),(** （2.2.20）
功率谱函数为 τταατωd e m R u F u S j f s s s s f 0),(),(),(2-∞∞
-⎰== ⎰⎰∞∞-+-∞∞--+=dt d e t z t z mt j ])2()2([)(*0ττ
ττω （2.2.21） 式中),(s s u F α为)(t f m 的Fourier 变换即频谱。

若以),(s s u α为坐标画出)(t f m 的功率谱，则其图形中峰值点的坐标0ω和m 分别是LFM 信号)(t z 的起始频率和调频斜率。

亦即如果把0ω和m 视为两个需要搜索的变量，就可以利用（2.2.21）对所有可能的0ω和m 值计算)(t f m 的功率谱),(s s f u S α，其峰值坐标给出单分量LFM 信号的起始频率和调频斜率。

如果)(t z 是多分量LFM 信号 ∑=+=p i t m t j i i e
t z 1)21(20)(ω （2.2.22）
则),(s s f u S α在二维),(s s u α平面上会有p 个峰值，对应的p 组坐标点),(s s u α给出p 个调频分量的起始频率和调频斜率。

观察（2.2.21）可以知道其括号内的积分就是)(t z 的Ville Wigner -分布的“切片”（直线方程mt +=0ωω）。

于是，（2.2.21）等价于 dt mt t W u F u S z s s s s f ),(),(),(02+==⎰∞
∞-ωαα （2.2.23） 这就是时域解线调公式。

由（2.2.6）（2.2.23）可以知道)(t z 的Wigner Radon -变换与其时域解线调之间有密切联系： 2sin /cot 0),(sin 1),(sin 1),(0s s u m z z u F dt mt t W u D ααωα
ααωα=+==-=∞∞-⎰ αωαωαsin /cot 2)21(002)(sin 1
u m t mt j dt e t z =-=∞
∞-+-⎰= （2.2.24）
由（2.2.24）可知，Wigner Radon -变换完成了解线调的二维搜索，同时也可以利用解线调来计算Wigner Radon -变换。

但是由于当0→α时，（2.2.24）中的参数-∞→m ，因此在这种情况下不能使用（2.2.24）来计算Wigner Radon -变换。

时域解线调计算Wigner Radon -变换的步骤：
（1） 对给定的实信号s(t),求解析信号z(t)；
（2） 构造2
21)()(jm t m e t z t f -=；
（3） 计算)(t f m 的Fourier 变换)(0ωm F ；
（4） 计算)(t z 的Wigner Radon -变换：2
020)(1)(ωωm m F m D +=。

2、 频域解线调
频域解线调解决了0→α时利用时域解线调计算Wigner Radon -变换的局限性。

设信号)(t z 的频谱为)(ωZ ，若)(ωZ 是相位为0，而且具有一定宽频带的矩形函数，则原函数)(t z 对应为窄的c sin 函数形式。

因此若将频谱乘以与频率平方成正比的相位旋转因子221ωp j e ，那么信号将被展宽为LFM 形式，即
221)()(ωωωp j p e
Z G = （2.2.25） 其Fourier 反变换为 ⎰∞
∞-=ωωπωd e G t g t j p p )(21)( （2.2.26） 现考虑频谱)(ωp G 的频域自相关函数 ⎰∞∞--+=ωθ
ωθωθd G G p R p p G )2()2(),(* （2.2.27） 其Fourier 变换为信号的瞬时功率2
0)(t g p ，即
⎰∞∞--=θθθd e p R t g t j G p 0),()(20 ⎰⎰∞∞-+-∞∞--+=ωθθωθωθωd d e Z Z t p j ])2
()2([)(*0 （2.2.28） 与时域解线调相类似，（2.2.28）中括号内的积分就是)(ωZ 的Ville Wigner -分布的“切片”（直线方程ωp t t +=0），于是（2.2.28）等价于 ⎰∞∞-+=ωωωd p t W t g z p ),()(020 （2.2.29） 同样地，由（2.2.8）（2.2.29）可以知道)(t z 的Wigner Radon -变换与其频域解线调之间有密切联系：
20cos /tan 0)(cos 1),(cos 1
),(0t g d p t W u D p u t p z z αωωωα
ααα=+==-=∞∞-⎰ ααωωωπαcos /tan 2)21(002)(21
cos 1u t p t p j dt e Z =-=∞∞-+⎰= （2.2.30）
上式表明，信号)(t z 的Wigner Radon -变换可用其频域解线调模的平方与尺度因子1cos -α的乘积计算，但由于2/πα→时，∞→p ，因此此时不能用（2.2.30）来计算Wigner Radon -变换。