第2周培优 M型相似

A D
F A A' E B C D D' A A' C D C B A E D A E
D C B 第2周培优 相似三角形中“ M 型”的识别和运用
教学目标:
1.掌握相似三角形中“M 型”的特点,并能运用或构造 “M 型”求线段的长或线段之间的关系式.
2.能在 “M 型”的运用中结合“方程思想”解决动态几何求值问题.
1、引例. 如图一，CD 是直角△ABC 的斜边AB 上的高，请问△ADC 和△BDA 有什么关系？为什么？ 图一
二、平移图形,形成M 型.
1、图一中△ADC 不动,将△BDA 沿着直线DC 向右平移,得图二、图三，则图二中△ADC ∽△BCA '，
图三中△ADC ∽△CDA '。

图二与图三有什么相同点？我们把这两个图形称为“垂线M 型”；
2、如果图三的∠D 、∠D'和∠ACA'都是相等的锐角（比如60º或45º），如图四、图五还存在相似三
角形吗？为什么？
3、“垂线M 型”和“斜线M 型”都有什么共同的特点？
垂线M 型
图二 图三
M 型
斜线M 型:
图四 图五
三、尝试探究，识别M 型.
例1.矩形ABCD 中，把DA 沿AF 对折，使D 与CB 边上的 点E 重合，若AD=10, AB= 8,
（1）求EB 的长. （2）求EF 的长。

A E C
B E B
C
D F
A
尝试练习: 如图在等边三角形ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADE=60°．
（1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）若BD=3，CE=2，求△ABC 的边长．
四、思维提升构造M 型.
例2.（2014•武汉市） 如图①，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，动点P 从点B 出发，在BA 边上以每秒5cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点Q 从点C 出发，在CB 边上以每秒4cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t s （0＜t ＜2），连接PQ ．连接AQ ，CP ，若AQ ⊥CP ，求t 的值．
五、变式训练，拓展升华
1、已知：D 为BC 上一点，∠B=∠C=∠EDF,BE=6 , CD=3 , CF=4 ,求BC 的长.
2.如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D 在BC 上运动（不能到达点B ，C ），过D 作∠ADE=45°，DE 交AC 于E ．
（1）求证：△ABD ∽△DCE ．
（2）设BD=x ，AE=y ，请建立y 与x 的函数关系式.
（3）如果△ADE 是等腰三角形时，能否求出AE 的长？如果能，
请把它求出来．
3.(2014年•广东省) 如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC 点D ，BC =10cm ，AD =8cm ，点P 从点B 出发，在线段BC 上以每秒3cm 的速度向点C 匀速运动，与此同时，垂直于AD 的直线m 从底边BC 出发，以每秒2cm 的速度沿DA 方向匀速平移，分别交AB 、AC 、AD 于E 、F 、H ，当点P 到达点C 时，点P 与直线m 同时停止运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）。

（1）当t =2时，连接DE 、DF ，求证：四边形AEDF 为菱形；
（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF 的面积存在最大值，当△PEF 的面积最大时，求线段BP 的长；
（3）是否存在某一时刻t ，使△PEF 为直角三角形？若存在，请求出此时刻t 的值，若不存在，请说明理由。

4、已知ABC ∆为等腰直角三角形，∠ACB =90°，CD 是斜边AB 上的中线，且2=CD ,点E 是线段BD
上任意一点，以CE 为边向左侧作正方形CEFG ,EF 交BC 于点M ，连接BG 交EF 于点N .
（1）证明：CBG CAE ∆≅∆；
（2）设x DE =，y BN =，求y 关于x 的函数关系式，
并求出y 的最大值；
（3）当2-22=DE 时，求BFE ∠的度数.。