100中考专题：解直角三角形

解直角三角形
【重点难点提示】
重点：应用直角三角形中的边，角及边角关系解直角三角形． 难点：将实际问题转化为解直角三角形的问题．
考点：近几年中考注重考查学生应用解Rt △的知识解决实际问题的能力，以及化未知为已知的转化思想．这部分知识在各地中考试题中，约占考量的5～7%。

【经典范例引路】
例1 （2001年上海市中考题）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 在BC 上，BD ＝4，AD ＝BC ，cos ∠ADC=
5
3
．求：（1）DC 的长；（2）sinB 的值．
解 （1）∵在Rt △ABC 中，cos ∠ADC ＝
53＝AD
CD ，设CD ＝3k ，∴AD ＝5k 又∵BC ＝AD ，∴3k+4＝5k ，∴k ＝2． ∴CD ＝3k ＝6 （2）∵BC ＝3k ＋4＝6＋4＝10，AC ＝22CD AD -＝4k ＝8
∴AB ＝
22BC AC +＝22108+＝241
∴sinB=
AB AC =4128=41
41
4
【解题技巧点拨】
本题的关键是抓住“AD ＝BC ”这一相等的关系，应用锐角三角函数的定义及勾股定理解题．
例2 （中考题）如图，美国侦察机B 飞抵我近海搞侦察活动，我战斗机A 奋起拦截，地面雷达C 测得：当两机都处在雷达的正东方向，且在同一高度时，它们的仰角分别为∠DCA=16°，∠DCB ＝15°，它们与雷达的距离分别为AC ＝80千米，BC=81千米，求此时两机距离是多少千米（精确到0.01千米）？（sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tg15°≈0．27，sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tg16°≈0.29）
解 如图，作AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F ，则∵cos16°=80
CE
, ∴CE ＝80cos16°≈80×0.96≈76.80 ∵cos15°=
81
CF
, ∴CF=81·cos15°≈81·0.97＝78.57
依题意，AB ∥CD ，∴AB ＝EF ＝CF-CE ＝78.57-76.80=1.77（千米） 答：此时的两机相距1.77千米．
【解题技巧点拨】
解决本题的关键是将一般的△ABC 的问题，通过添加辅助线转化为解Rt △AEC 和Rt △BCF ，分别求得CE 和CF ，最终求出AB ＝EF ＝CF －CE ．
【综合能力训练】 一、填空题
1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，b ＝15，∠B ＝45°，则α＝ 。

2.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA=
13
5
，则cosB ＝ .
3.等腰三角形的腰长为3，底边长为2，则底角的余弦值为 .
4.在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 的高，如果BC ＝a ，∠B ＝α，那么AD ＝ 。

5.一个斜坡的坡度i ＝l ∶2，则坡角α的正弦值为。

二、选择题：
6.若∠B 是Rt △ABC 的内角，且sinB=
2
3
，则cos 2B 等于（ ）
A.
2
2
B.
2
3
C.
2
1 D.
3
3 7.两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在C 的北偏东60°，灯塔B 在C 的东南方向，则灯塔A 在灯塔B 的（ ）
A ．北偏东7.5°
B ．北偏西7.5°
C ．南偏东7.5°
D ．南偏西7.5°
8.如图，PT 切⊙O 于T ，BP 为经过圆心O 的割线，如果 PT ＝4，PA ＝2那么cos ∠BPT 等于（ ）
A ．
5
4 B ．
2
1 C ．
8
3 D ．
4
3
9.已知A、B为直角三角形ABC的两个锐角，那么方程tanAx2-2x+tanB=0( )
A.有两个不相等的实根
B.有两个相等的实根
C.没有实根
D.根的情况不确定
10.已知等腰梯形ABCD的腰AB＝CD＝a，AB⊥BD，∠ABC＝α，则BC+AD＝（）
A.2acosαB．acosαC．asinαD．2asinα
三、解答下列各题：
11.（中考题）在数学活动课上，老师带领学生去测河宽，如图，某学生在点A处观测到河对岸水边处有一点 C，并测得∠CAD＝45°，在距离A点30米的 B处测得∠CBD＝3O°，求河宽CD（结果可带根号）
12.（中考题）如图，从某海岛上的观察所 A测得海上某船只 B的俯角α＝8°18′，若观察所A距离海平面的垂直高度AC＝50m，则船只B到观察所A的水平距离BC为多少米？（精确到1m，sin8°18′＝0.14，cos8°18′＝0.99，tg8°18′＝0.15）
13.（中考题）如图，从B点测得塔顶A的仰角为60°，测得塔基D的仰角为45°，已知塔基高出测量仪器20米（即DC＝20米），求塔身AD的高．（精确到1米）
14.（中考题）如图，为了测量河流某一段的宽度，在河北岸选了一点A,在河南岸选相距200米的B、C两点，分别测得∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，求这段河的宽度（取2=1.414，3=1.732，答案精确到0.1米）
15.（中考题）去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成一所综合性大学，为了方便
A、B两地师生的交往，学校准备在相距2千米的A、B两地之间修筑一条笔直公路（即图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向，B地向西偏北45°方向的C处有一个半径为0.7千米的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？
16.（中考题）城市规划期间，欲拆除一电线杆AB（如图），已知距电线杆AB水平距离14米的D处有一大坝，背水坡CD的坡度i＝2∶1，坝高CF为2米，在坝顶C处测得杆顶A 的仰角为30°，D、E之间是宽为2米的人行道，试问：在拆除电线杆AB时，为确保行人安
全，是否需要将此人行道封上？请说明理由（在地面上，以点B为圆心，以AB为半径的圆形区域为危险区域）（3≈1.732，2≈1.414）
17.（中考题）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现在以15千米／时的速度沿北偏东3O°方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响．
（1）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由．
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
18.（中考题）已知：如图，塔AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶C处及楼底D 处测得塔顶A的仰角分别为45°和60°，试求塔高与楼高（精确到0.01米）（参考数据：
2=1.41421…，3=1.73205…）
19．（中考题）为了农田灌溉的需要，某乡利用一土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出深为1.2米，下底宽为2米，坡度为1∶0.8的渠道，（其横断面的等腰梯形），并把挖出来的土堆在两旁，使上堤高度比原来增加了0．6米（如图）求：（1）渠面宽EF ；（2）修200米的渠道需挖的土方数．
20.（中考题）如图，一轮船在海上以每小时30海里的速度向正西方向航行，上午8时，在B 处测得小岛A 在北偏东3O °方向，之后轮船继续向正西方向航行，于上午9时到达C 处，这时测得小岛A 在北偏东60°方向，如果轮船继续向正西方向航行，于上午11时到D 处，这时轮船与小岛A 相距多远？
【创新思维训练】
21．在△ABC 中，BC ＝2001，AC ＝2002，AB ＝20022001 ，求sinA ·cosC ．
22．如图ABCD 为矩形，BD ＝a ，∠ABD ＝α，AE ⊥BD ， EF ⊥BC ，EG ⊥DC ．（1）用含有a 和α的式子表示EF 和EG 的长．
（2）求证：32EF +32EG =3
2BD
23.已知方程 4x 2
+m=5x 的两根分别是一个直角三角形的两个锐角的正弦值，求m 的值．
参考答案
【综合能力训练】 一、1.15 2.
135 3. 31 4. αsin αtan α 5. 3
3 二、6.B 7.A 8.A 9.B 10.D
三、11.(153+15)米 12.333m 13.约为15米 14.约为126.8m 15.不会 16.略 17.（1）该城市会受到这次台风的影响 （2）这次台风影响该城市的持续时间为415小时 （3）最大风力为6.5级 18.塔AB 的高约为138.56米，楼CD 的高约为58.56米 19.渠面宽EF 为4.88米，挖土710.4立方米 20.3013海里
21.（2002
2001）2
22.(1)EF=a cos 3α EG=a sin 3α (2)略 23.（略）。