2021-2022学年山东省日照市高二下学期期末校际联合考试数学试题(解析版)

2021-2022学年山东省日照市高二下学期期末校际联合考试
数学试题
一、单选题
1．已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,7},B={3,4,5},则(∁UA )∪(∁UB )等于( ) A ．{1,6} B ．{4,5} C ．{2,3,4,5,7} D ．{1,2,3,6,7}
【答案】D
【分析】由题意首先求解补集，然后进行并集运算即可. 【详解】由补集的定义可得：∁UA={1,3,6},∁UB={1,2,6,7}, 所以(∁UA )∪(∁UB )={1,2,3,6,7}. 本题选择D 选项.
【点睛】本题主要考查补集的运算，并集运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2．函数()1
x x
f =的定义域为（ ） A ．()1,00,2⎛⎫-+∞ ⎪
⎝⎭
B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭
C ．()1,00,2⎡⎫-+∞⎪
⎢⎣⎭
D ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
【答案】C
【分析】根据所给函数，利用函数有意义列出不等式组，再求解即得.
【详解】函数()1x x f =有意义，则必有2100
x x +≥⎧⎨≠⎩，解得21
x ≥-且0x ≠．
函数()1x x f =的定义域为()1,00,2⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
．
故选：C
3．已知x ，y R ∈，且0x >，0y >，2x y +=，那么xy 的最大值为（ ）
A ．1
4
B ．12
C ．1
D ．2
【答案】C
【分析】根据题意，由基本不等式的性质可得2
12x y xy +⎛⎫
= ⎪⎝⎭，即可得答案.
【详解】根据题意，0x >，0y >，2x y +=，
则2
12x y xy +⎛⎫= ⎪⎝⎭，当且仅当1x y ==时等号成立，
即xy 的最大值为1.
故选：C
4．下列函数中，是偶函数且在区间()0,∞+上单调递减的函数是 A ．2x y = B ．y x = C ．y x = D ．21y x =-+
【答案】D
【分析】由奇函数和偶函数图象的对称性，根据2x y =的图象和y x =的定义域便可判断出,A B 错误，而由y x =的单调性便可判断选项C 错误，从而得出D 正确． 【详解】A 选项：根据2x y =的图象知该函数非奇非偶，可知A 错误；
B 选项：y x =
的定义域为[)0,+∞，知该函数非奇非偶，可知B 错误；
C 选项：()0,x ∈+∞时，y x x ==为增函数，不符合题意，可知C 错误；
D 选项：()2
211x x -+=+，可知函数为偶函数，根据其图象可看出该函数在()0,∞+上
单调递减，可知D 正确. 本题正确选项：D
【点睛】本题考查奇函数和偶函数图象的对称性，函数单调性的问题，属于基础题． 5．如图所示，函数()y f x =的图像在点P 处的切线方程是210y x =-+，则()()44f f +'的值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．-1
D ．2
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义求解即可
【详解】因为切线方程为：210y x =-+，故()42f '=-，且()42f =，故()()440f f '+= 故选：A
6．若数列{xn }满足lg xn ＋1＝1＋lg xn (n ∈N ＋)，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100＝100，则lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)的值为( ) A ．102 B ．101 C ．100 D ．99
【答案】A
【详解】 由1lg 1ln n n x x +=+，得
1
10n n
x x +=， 所以数列{}n x 是公比为10的等比数列，
又100100
10010111022200100,,
,x x q x x q x x q =⋅=⋅=⋅，
所以10010010210110220012100()1010010x x x q x x x +++=++
+=⋅=，
所以()101102200lg 102x x x +++=，故选A ．
7．已知函数()()()2241020e
x
x x x f x x ⎧++<⎪
=⎨≥⎪⎩，则()()y f x x =∈R 的图象上关于坐标原点O 对
称的点共有（ ） A ．0对 B ．1对 C ．2对 D ．3对
【答案】C
【分析】函数2241,0()2,0e
x x x x f x x ⎧++<⎪
=⎨⎪⎩的图象上关于坐标原点对称的点，即为当0x <时，
2()241f x x x =++关于原点对称的函数图象，与2
e
x y =的图象的交点，画出函数图象，即
可求出结果．
【详解】作出函数2241,0()2,0e
x x x x f x x ⎧++<⎪
=⎨⎪⎩的图象，如图示，
则()()=R y f x x ∈的图象上上关于坐标原点对称的点，
即为当0x <时，2()241f x x x =++关于原点对称的函数图象，与2
e x
y =
的图象的交点，
由图象可知，交点有2个，
所以函数2241,0()2,0e
x x x x f x x ⎧++<⎪
=⎨≥⎪⎩的图象上关于坐标原点对称的点共有2对．
故选：C ．
8．已知()2y f x =+是定义域为R 的奇函数，()1y g x =-是定义域为R 的偶函数，且
()y f x =与()y g x =的图像关于y 轴对称，则（ ）
A ．()y f x =是奇函数
B ．()y g x =是偶函数
C ．2是()y f x =一个周期
D ．()y g x =关于直线2x =对称
【答案】A
【分析】根据函数奇偶性，对称性、周期性的定义一一判断即可；
【详解】解：根据题意，()2y f x =+是定义域为R 的奇函数，则()y f x =关于点()2,0成中心对称，
()1y g x =-是定义域为R 的偶函数，则()y g x =关于1x =-对称， ()y f x =与()y g x =的图像关于y 轴对称，则()y f x =关于1x =对称，
所以()y f x =关于原点中心对称，故()y f x =是奇函数，故A 正确.
()y f x =是奇函数，且()y f x =与()y g x =的图像关于y 轴对称，故()y g x =是奇函数，
故B 错误.
()2y f x =+是定义域为R 的奇函数，则()()22f x f x -+=-+，①
()y f x =关于1x =对称，故()()11f x f x -+=+，可得()()2f x f x +=-，联立①得()()2f x f x -=--+，
故()()2=-+f x f x ，可得()()24f x f x +=-+，
故()()()24f x f x f x =-+=+，函数()f x 是周期为4的周期函数，由题意可得出4是函数()f x 的周期，故C 错误.
因为4是函数()f x 的周期，()y f x =关于点()2,0中心对称，
所以()2,0-是()y f x =的中心对称，()2,0-关于y 轴对称为()2,0，为()y g x =的对称中心，故D 错误. 故选：A 二、多选题
9．实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则（ ）
A ．a c b c +<+
B ．ac bc >
C ．
a c
b b
>
D ．()()ln ln c a c b -<-
【答案】AC
【分析】由数轴可得0a b c <<<，再根据不等式得性质结合对数函数得性质逐一判断即可得出答案.
【详解】解：由数轴可以看出0a b c <<<. 对于A ，∵a b <，∴a c b c +<+，故A 正确； 对于B ，∵a b <，0c >，∴ac bc <，故B 错误； 对于C ，∵0a b c <<<，∴
0a c
b b
>>，故C 正确； 对于D ，∵0a b c <<<，∴0c a c b ->->，∴()()ln ln c a c b ->-，故D 错误. 故选：AC.
10．下列说法正确的是（ ）
A ．命题“0x ∀>，都有e 1x x >+”的否定是“0x ∃≤，使得e 1≤+x x ”
B ．当1x >时，4
1
x x +
-的最小值是5 C ．若不等式220ax x c ++>的解集为{}12x x -<<，则2a c += D ．“1a >”是“1
1a
<”的充要条件 【答案】BC
【分析】对A ，根据全称命题的否定判断即可 对B ，根据基本不等式求解即可；
对C ，根据二次不等式根与系数的关系求解即可； 对D ，根据分式不等式求解判断即可
【详解】对A ，命题“0x ∀>，都有e 1x x >+”的否定是“0x ∃>，使得e 1≤+x x ”，故A 错误；
对B ，当1x >时，44111511
x x x x +
=-++≥=--，当且仅当411x x -=-，
即3x =时，等号成立，故B 正确；
对C ，由不等式220ax x c ++>的解集为{}12x x -<<，可知212a
-+=-，()12c
a -⨯=，
∴2a =-，4c =，2a c +=，故C 正确； 对D ，由“1a >”可推出“11a <”，由1
1a
<，可得1a >或0a <，推不出“1a >”，故D 错误. 故选：BC
11．已知函数()21
e x
x x f x +-=，则（ ）
A ．函数()f x 存在两个不同的零点
B ．函数()f x 既存在极大值又存在极小值
C ．若方程()f x k =有两个实根，则e 0k -<<
D ．若[),x t ∈+∞时，()2
max 5
e f x =，则t 的最小值为2 【答案】AB
【分析】对于A ，由()0f x =求解判断，对于B ，求导后，通过判断函数的单调性来判断函数的极值，对于C ，若方程()f x k =有两个实根，则()y f x =的图象与直线y k =有两个交点，利用图象判断即可，对于D ，利用函数图象判断
【详解】对于A ，()2
010f x x x =⇒+-=，解得x =A 正确；
对于B ，()()()2122e e x x
x x x x f x +---'=-
=-， 当()0f x '>时，12x -<<，当()0f x '<时，1x <-或2x >，
所以(),1f -∞-，()2,+∞是函数的单调递减区间，()1,2-是函数的单调递增区间， 所以()1f -是函数的极小值，()2
5
2e f =
是函数的极大值，所以B 正确. 对于C ，当x →+∞时，0y →，根据B 可知，函数的最小值是()1e f -=-，再根据单调性可知，结合图像可知若方程()f x k =有两个实根，则e 0k -<≤或2
5
e k =，所以C 错误；
对于D ，由图象可知，t 的最大值是2，所以D 错误. 故选：AB.
12．若正整数m ，n 只有1为公约数，则称m ，n 互质，对于正整数k ，()k ϕ是不大于k 的正整数中与k 互质的数的个数，函数()k ϕ以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：()21ϕ=，()32ϕ=，()62ϕ=，()84ϕ=.已知欧拉函数是积性函数，即如果m ，n 互质，那么()()()mn m n ϕϕϕ=，例如：()()()623ϕϕϕ=，则（ ） A ．()()58ϕϕ=
B ．数列(){}
2n
ϕ是等比数列
C ．数列(){}
6n
ϕ不是递增数列
D ．数列()6n
n ϕ⎧⎫⎪⎪
⎨⎬⎪⎪⎩⎭
的前n 项和小于1825 【答案】ABD
【分析】根据欧拉函数定义可判断A ；小于2n 的正整数中所有不是2的倍数的整数都与
2n 互质，然后可判断B ；由B 中方法可得()3n
ϕ，然后由性质可判断C ；由错位相减法
可判断D.
【详解】()54ϕ=，()84ϕ=，∴()()58ϕϕ=，A 对；
∵2为质数，∴在不超过2n 的正整数中，所有偶数的个数为12n -， ∴()112
2
22n
n
n n ϕ--=-=为等比数列，B 对；
∵与3n 互质的数为1，2，4，5，7，8，10，11，…，32n -，31n -.共有()1
1
313
23n n ---⋅=⋅个，∴()1
323n n ϕ-=⋅，
又∵()()()1
6
2326
n
n
n
n ϕϕϕ-==⋅，∴(){}
6n
ϕ是递增数列，故C 错误；
()1
626
n
n ϕ-=⋅，()6n n ϕ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩
⎭的前n 项和为n S 设01112262626n n n S -=
++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯，则121116262626n
n
n S =++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯，012215111162626262626n n n
n S -=+++⋅⋅⋅+-⨯⨯⨯⨯⨯ 所以01215111162626262626n n n
n
S -=+++⋅⋅⋅++⨯⨯⨯⨯⨯，
1115332616265562616
n n n n n
n n S ⎛⎫
⨯- ⎪
⎝⎭
=-=-⨯⨯⨯-， 所以181838252565625
n n n n S =
--≤⨯⨯， 所以数列()6n
n ϕ⎧⎫⎪⎪
⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和小于1825，故D 正确. 故选：ABD. 三、填空题
13．设函数0.55
,0()1log ,0
x f x x x x ⎧≤⎪
=-⎨⎪>⎩，则
32f f ⎛
⎫
⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
___________. 【答案】1-
【分析】先求出32f ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，再求
32f f ⎛⎫
⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
即可 【详解】因为0.55
,0()1log ,0x f x x x x ⎧≤⎪
=-⎨⎪>⎩，
所以352
3212f ⎛⎫
-== ⎪⎛⎫⎝⎭
-- ⎪⎝⎭
所以()10.50.532log 2log 0.512f f f -⎛⎫
⎛⎫-====- ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
， 故答案为：1-
14．设函数()31
27ln 3
f x x x =-在区间[]1,1a a -+上单调递减，则实数a 的取值范围是
___________. 【答案】12a <≤
【分析】首先利用导数求函数的单调递减区间，再结合区间的包含关系，列式求实数a 的取值范围
【详解】()32
2727
x f x x x x
-'=-=
，0x >，令()0f x '≤，得03x <≤，而因为函数()31
27ln 3f x x x =-在区间[]1,1a a -+上单调递减，故1013a a ->⎧⎨+≤⎩，故12a <≤.
故答案为：12a <≤
15．已知前n 项和为n S 的等差数列{}n a （公差不为0）满足11,n n S a a ⎧⎫
=⎨⎬⎩⎭仍是等差数列，
则通项公式n a =___________. 【答案】n
【分析】根据n n S a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列列方程，求得数列{}n a 的公差d ，由此求得n a .
【详解】设{}n a 公差为d ，则1
1231
1,1,12,
1S a a d a d a ==+=+=， 3223233332,,120112121S S d d d d d a d a d d d ++++==∴+=⋅⇒=++++或1d =，而0d =不合题意，故1,n d a n =∴=.
故答案为：n 四、双空题
16．π是圆周率，e 是自然对数的底数，在e 3，3e ，3
3，e e ，πe ，3π，π3，e π八个数中，
最小的数是___________，最大的数是___________. 【答案】 e e π3
【分析】分别利用指数函数的单调性，判断出底数同为3,e 以及π的数的大小关系，再由幂函数的单调性，找出最小的数，最后利用函数()ln x
f x x
=的单调性，判断出最大的数．
【详解】显然八个数中最小的数是e e .
函数3x y =是增函数，且e 3π<<，∴e 3π333<<； 函数e x y =是增函数，且e 3π<<，e 3πe e e <<； 函数πx y =是增函数，且e 3π<<，e 3ππ<；
函数e y x =在()0,∞+是增函数，且e 3π<<，e e e e 3π<<，则八个数中最小的数是e e 函数πy x =在()0,∞+是增函数，且e 3<，ππe 3<， 八个数中最大的数为3π或π3，构造函数()ln x
f x x
=
，
求导得()2
1ln x
f x x -'=
，当()e,x ∈+∞时()0f x '<，函数()f x 在()e,+∞是减函数，()()3πf f >，
即
ln 3ln π
3π
>，即πln33ln π>，即π3ln 3ln π>，π33π∴>， 则八个数中最大的数是π3. 故答案为：e e ；π3． 五、解答题
17．已知集合()(){}
10A x x a x a =-++≤，{}36B x x x =≤≥或. (1)当4a =时，求A B ；
(2)当0a >时，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，求实数a 的取值范围. 【答案】(1){}53x x -≤≤ (2)(]0,3
【分析】(1)将5a =代入得{}5|3A x x =-≤≤，求出A B 即可. (2)化简A ，将已知条件转化为A B ⊆，列出不等式求解，写出范围. 【详解】(1)当4a =时，由不等式()()450-+≤x x ，得54x -≤≤， 故{}|54A x x =-≤≤，又{}|36B x x x =≤≥或 所以{}|53A B x x ⋂=-≤≤.
(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，等价于A B ⊆，
因为0a >，由不等式()()10x a x a -++≤，得{}|1A x a x a =--≤≤ ， 又{}|36B x x x =≤≥或
要使A B ⊆，则3a ≤或16a --≥，又因为0a >
综上可得实数a 的取值范围为(]03，
. 18．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，27a =，555S =. (1)求n a ，n S ；
(2)若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前项和为n T ，求满足225n T >
的最小正整数n . 【答案】(1)41n a n =-，2
2n S n n =+
(2)19
【分析】（1）设等差数列的公差为d ，根据题意求出数列的首项与公差，再根据等差数列的通项公式及前n 项和公式即可得解；
（2）利用裂项相消法求出数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和为n T ，再解不等式即可得解.
【详解】(1)解：设等差数列的公差为d ，
则117
545552a d a d +=⎧⎪
⎨⨯+=⎪⎩
，即117211a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得134a d =⎧⎨
=⎩， 所以()34141n a n n =+-=-，()
234122
n n n S n n +-=
=+； (2)解：由（1）得，1111111414344143n n a a n n n n +⎛⎫
=⋅=- ⎪-+-+⎝⎭
， 故1111111111114374711441434343129
n n
T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令2
25n T >，有129225
n n +>，
即241825n n >+，解得18n >， 故满足满足2
25
n T >
的最小正整数为19. 19．已知函数11
()()ln f x m x x m x
=+
+-，（其中常数0m >） （1）当2m =时，求()f x 的极大值； （2）试讨论()f x 在区间(0,1)上的单调性.
【答案】(1)53
()(2)ln 222
f x f ==-极大；(2)答案见解析.
【详解】试题分析：(1)求得()()()2
221
(0)2x x f x x x --=->'，可以得到函数的单调性，
从而得到函数的极值; (2)求导数
()()2
1x m x m f x x ⎛⎫--
⎪⎝⎭'=-
,再分01m << ，
1m =， 1m >三类情况,利用导数的正负,确定函数的单调性.
试题解析：（1）当2m =时，()51
ln 2f x x x x
=+-
()()()2222151
1(0)22x x f x x x x x --=
--=->' 当10,22x x <时，()0f x '<；当1
22
x <<时，()0f x '>
()f x ∴在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
和()2,+∞上单调递减，在1,22⎛⎫
⎪⎝⎭单调递减
故()()53
2ln222
f x f ==-极大
(2)()()2222
111111(0,0)
x m x x m x m m m m f x x m x x x x ⎛⎫⎛⎫-++--'+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--=-=->> ①当01m <<时，则
1
1m
>，故()0,x m ∈时，()0f x '<；(),1x m ∈时，()0f x '>， 此时()f x 在()0,m 上单调递减，在(),1m 单调递增；
②当1m =时，则11m =，故()0,1x ∈，有()()2
210x f x x
-'=-<恒成立， 此时()f x 在（0，1）上单调递减； ③当1m >时，则101m <
<，故10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()0f x '<；1,1x m ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '> 此时()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,1m ⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递增.
点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
20．已知定义在R 上的函数()()12,2x
x b f x a R b R a
+-=∈∈+是奇函数.
（1）求a ，b 的值；
（2）当()1,2x ∈时，不等式()230x
kf x +->恒成立，求实数k 的取值范围.
【答案】（1）2a =，1b =；（2）6k ≤-.
【解析】（1）由题意可得(0)0f =，求得b ，再由(1)f f -=-（1），求得a ，检验可得所求值；
（2）运用参数分离和换元法、结合指数函数的单调性，以及反比例函数、一次函数的单调性，求得函数的值域，结合恒成立思想，可得所求范围． 【详解】（1）由题意可得(0)0f =，解得1b =， 再由f （1）(1)f =--， 得1
0121242a a
---=-++，解得2a =， 当2a =，1b =时，112()2x x f x 2
+-=+的定义域为R ，
由1
1
1212()()2222x x
x x f x f x --++--+-===-++，可得()f x 为奇函数， 所以2a =，1b =；
（2）由2()30x kf x +->，得1
123222
x
x x k +-⨯
>-+， 因为(1,2)x ∈，所以121
022
x x +-+<+，
所以1(32)(22)
12x x x
k +-+<-．
令21x t -+=，则(3,1)t ∈--，此时不等式可化为42()k t t
<-， 记4()2()h t t t
=-，因为当(3,1)t ∈--时，4
y t
=和y t =-均为减函数， 所以()h t 为减函数，故10
()(6,
)3
h t ∈-， 因为()k h t <恒成立，所以6k -．
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，以及不等式恒成立问题解法，属于中档题．对于求不等式恒成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数, 这样就把问题转化为一端是函数, 另一端是参数的不等式，便于问题的解决. 但要注意分离参数法不是万能的, 如果分离参数后,得出的函数解析式较为复杂, 性质很难研究, 就不要使用分离参数法.
21．数学的发展推动着科技的进步，得益于线性代数､群论等数学知识的应用，5G 技术正蓬勃发展.目前某区域市场中5G 智能终端产品的制造仅能由H 公司和G 公司提供技术支持.据市场调研预测，5G 商用初期，该区域市场中采用H 公司与G 公司技术的智能终端产品分别占比05%a =及095%b =.假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现，每次技术更新后，上一周期采用G 公司技术的产品中有20%转而采用H 公司技术，采用H 公司技术的仅有5%转而采用G 公司技术.设第n 次技术更新后，该区域市场中采用H 公司与G 公司技术的智能终端产品占比分别为n a 及n b ，不考虑其它因素的影响. (1)求1a ，1b ；
(2)用n a 表示1n a +，并求实数λ使{}n a λ+是等比数列；
(3)经过若干次技术更新后该区域市场采用H 公司技术的智能终端产品占比能否达到75%以上？若能，至少需要经过几次技术更新？若不能，请说明理由.（参考数据：lg 20.301≈，lg30.477≈）
【答案】(1)11980a =
，161
80
b =
(2)13145n n a a +=+，4
5
λ=-
(3)能，至少经过10次技术更新
【分析】（1）根据1a 与0a 的关系，列式求1a ，再根据111b a =-，即可求解； （2）根据条件得到数列{}n a 的递推关系，利用数列{}n a λ+是等比数列，求λ的值； （3）首先由（2）得数列{}n a 的通项公式，再解不等式75%n a >，即可求n 的值. 【详解】(1)()10019119120580a a a =
+-=，1161
180
b a =-=； (2)由题意，可设5G 商用初期，该区域市场中采用H 公司与G 公司技术的智能终端产品的占比分别为01
5%20
a ==
，01995%20b ==.易知经过n 次技术更新后1n n a b +=， 则()()11913115%20%120545n n n n n n a a b a a a +=-+=+-=+，()131
45
n n a a n +=+∈N …① 由①式，可设()1133444n n n n a a a a λλλ+++=+⇔=-，对比①式可知14455
λλ-=⇒=-.由（1）可得11980a =
，故141949580516
a -=-=-. 从而当45λ=-时，45n a ⎧
⎫-⎨⎬⎩
⎭是以916-为首项，34为公比的等比数列；
(3)由（2）可知1
1
493351644n n n a -+⎛⎫
⎛⎫
-=-⋅=- ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
，所以经过n 次技术更形后，该区域市场
采用H 公司技术的智能终端产品占比1
4354n n a +⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭.
由题意，令75%n a >，得()1
1
4333131
1lg lg 544420420
n n n ++⎛⎫
⎛⎫->⇔<
⇔+< ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
lg3lg510.4770.301 1.176
9.42lg 2lg320.3010.4770.125
n ++-⇔>
≈=>-⨯-.
故10n ≥，即至少经过10次技术更新，该区域市场采用H 公司技术的智能终端产品占比能达到75%以上.
22．设函数()()n e l 1x
x x a x f =--，其中R a ∈.
(1)若1a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)若10e
a <<
， ①证明：函数()f x 恰有两个零点；
②设0x 为函数()f x 的极值点，1x 为函数()f x 的零点，且10x x >，证明：1002ln x x x <+. 【答案】(1)()1e 1e y x =--+ (2)①证明见解析；②证明见解析
【分析】（1）先()f x '，再求()1f '与()1f ，由点斜式即可求解；
（2）①求导得()21x ax e f x x
-'=，构造2()1x g x ax e =-并应用导数研究单调性，进而判断
()f x '符号确定()f x 单调性，可求极值点所在的区间为1
(1,ln )a
，再证1x >上ln 1x x <-，
由此得11ln ln 0f h a a ⎛⎫⎛⎫
=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，结合零点存在性定理即可证结论；
②由①结合题设可得10
2
011ln 1
x x x x e
x -=-，结合1x >上ln 1x x <-，即可证结论. 【详解】(1)由题设，()()ln 1e x
f x x x =--且0x >，则()1
e x
f x x x
'=
-， 所以()11e f '=-，又()10f =， 所以切线方程为()()01e 1y x -=--， 即：()1e 1e y x =--+.
(2)①由()21e x ax f x x
-'=，令()21e x
g x ax =-，又10e a <<，
易知()g x 在()0,∞+上递减，
又()11e 0g a =->，2
11ln 1ln 0g a a ⎛⎫⎛⎫
=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
∴()g x 在()0,∞+上有唯一零点，即()f x '在()0,∞+上唯一零点，设零点为0x ，则01
1ln
x a
<<， ∴00x x <<，()0f x '>，()f x 递增；0x x >，()0f x '<，()f x 递减； ∴0x 是()f x 唯一极值点，且为极大值， 令()ln 1h x x x =-+且1x >，则()1
10h x x
'=-<，故()h x 在()1,+∞上递减， ∴()()0h x h x <=，即ln 1x x <-，
∴1111ln ln ln ln 1ln 0f h a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-+=< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，又()()010f x f >=，
根据零点存在性定理∴()f x 在01,ln x a ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭上存在零点，又∵()f x 在()0,x +∞单调递减；
∴()f x 在()0,x +∞存在唯一零点，
又∵()10f =，()f x 在()00,x 上单调递增；01x <， ∴()f x 在()00,x 上的唯一零点为1，
故()f x 恰有两个零点；
②由题意，()01
201
1e 1ln 1e x x ax x a x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，则1011201ln x x x x e x --=⋅，即10
2011ln e 1x x x x x -=-， 当1x >时，ln 1x x <-，又101x x >>，则()10
2
012011e
1
x x x x x x --<=-，
∴1002ln x x x -<，即是1002ln x x x <+，得证.
【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，导数与不等式的综合应用，在利用导数证明不等式时，一般会构造一个函数，转化为求解函数的取值情况进行研究，考查了逻辑推理能力与化简运算能力.。