多项式除以多项式.docx
多项式除法
资料范本本资料为word版本,可以直接编辑和打印,感谢您的下载多项式除法地点:__________________时间:__________________说明:本资料适用于约定双方经过谈判,协商而共同承认,共同遵守的责任与义务,仅供参考,文档可直接下载或修改,不需要的部分可直接删除,使用时请详细阅读内容关于多项式除以多项式两个多项式相除,可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列,然后再仿照两个多位数相除的计算方法,用竖式进行计算.例如,我们来计算(7x+2+6x2)÷(2x+1),仿照672÷21,计算如下:∴(7x+2+6x2)÷(2x+1)=3x+2.由上面的计算可知计算步骤大体是,先用除式的第一项2x去除被除式的第一项6x2,得商式的第一项3x,然后用3x去乘除式,把积6x2+3x写在被除式下面(同类项对齐),从被除式中减去这个积,得4x+2,再把4x+2当作新的被除式,按照上面的方法继续计算,直到得出余式为止.上式的计算结果,余式等于0.如果一个多项式除以另一个多项式的余式为0,我们就说这个多项式能被另一个多项式整除,这时也可说除式能整除被除式.整式除法也有不能整除的情况.按照某个字母降幂排列的整式除法,当余式不是0而次数低于除式的次数时,除法计算就不能继续进行了,这说明除式不能整除被除式.例如,计算(9x2+2x3+5)÷(4x-3+x2).解:所以商式为2x+1,余式为2x+8.与数的带余除法类似,上面的计算结果有下面的关系:9x2+2x3+5=(4x-3+x2)(2x+l)+(2x+8).这里应当注意,按照x的降幂排列,如果被除式有缺项,一定要留出空位.当然,也可用补0的办法补足缺项.当除式、被除式都按降幂排列时,各项的位置就可以表示所含字母的次数.因此,计算时,只须写出系数,算出结果后,再把字母和相应的指数补上去.这种方法叫做分离系数法.按照分离系数法,上面例题的计算过程如下:于是得到商式=2x+1,余式=2x+8.对于多项式的乘法也可用分离系数法进行计算,例如,(2x3-5x-4)(3x2-7x+8)按分离系数法计算如下:所以,(2x3-5x-4)(3x2-7x+8)=6x5-14x4+x3+23x2-12x-32.如果你有兴趣,作为练习,可用上面的方法计算下面各题.1.(6x3+x2-1)÷(2x-1).2.(2x3+3x-4)÷(x-3).3.(x3-2x2-5)(x-2x2-1).4.(x+y)(x2-xy+y2).【本讲教育信息】一. 教学内容:单项式除以单项式、多项式除以单项式、多项式除以多项式二. 重点、难点整式的除法与我们以前所学的整式的加法、减法、乘法有很多不同,特别是多项式除以多项式,虽然是选学内容,但多项式除以多项式在解决代数式求值,及复杂的因式分解都有很大的用处。
多项式除以多项式
多项式除以多项式多项式除法示例多项式除以多项式的一般步骤:多项式除以多项式通常以垂直形式计算(1)把被除式、除式按某个字母作降幂排列,并把所缺的项用零补齐.(2)用除数的第一项去掉除数的第一项,得到商的第一项(3)用商式的第一项去乘除式,把积写在被除式下面(同类项对齐),消去相等项,把不相等的项结合起来.(4)将减少的差值作为一个新的除数,然后按照上述方法继续计算,直到余数为零或余数小于除数。
除数=除数×商+余数如果一个多项式除以另一个多项式,余式为零,就说这个多项式能被另一个多项式整除多项式除以多项式的运算多项式除以多项式,一般可用竖式计算,方法与算术中的多位数除法相似,现举例说明如下:例1计算(x?9x?20)?(x?4)规范解法2.∴(x2)?9x?20)?(x?4)?x?5.解算步骤说明:(1)将除法公式x(2)除以除法公式X22?9x?20和x组?按照字母的降序排列22?9x?20的第一项x除以除式x?4的第一项x,得x?x?x,这就是商的第一项.(3)商和除法的第一项x?乘以4得到x?4X,从x222开始用X(4)写?9x?20岁以下22?9x?20减去x?4x,得差5x?20,写在下面,就是被除式去掉x?4x后的一部分.(5) 5倍?将20的第一项5x除以除法的第一项x得到5x?十、5.这是商的第二项,以代数和的形式写在第一项x之后(6)以商式的第二项5与除式x?4相乘,得5x?20,写在上述的差5x?20的下面.(7)相减得差0,表示恰好能除尽.(8)写出运算结果,(x542?9x?20)?(x?4)?x?5.22案例2计算(6x?9x?7x?20x?3)?(2x×5)。
规范性解决方案-1-五千四百二十二∴(6x?9x?7x?20x?3)?(2x?x?5)32? 3倍?3倍?6x?1.你是9x吗?2.注①遇到被除式或除式中缺项,用0补位或空出;②余式的次数应低于除式的次数.另外,以上两例还可用分离系数法求解.如例2.∴(6x?9x?7x?20x?3)?(2x×5)32?3x?3x?6x?1???????????余9x?2.什么是综合部?由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行,但当除式为一次式,而且它的首项系数为1时,情况比较特殊.例如:计算(2x?3x?4)?(x?3)。
多项式除以多项式方法
多项式除以多项式方法多项式除以多项式是高中数学中的一个重要概念和计算方法。
在代数学中,多项式是由一个或多个变量以及它们的系数和指数的和组成的表达式。
多项式除法是指将一个多项式除以另一个多项式,并得到商和余数的过程。
我们来回顾一下多项式的基本概念。
一个多项式可以写成如下形式:f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0,其中a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0为常数,x为变量,n为非负整数。
多项式的次数是指最高次项的指数,记作deg(f)。
如果一个多项式的系数都为0,那么它是一个零多项式。
多项式除法的目的是将一个多项式f(x)除以另一个多项式g(x),并得到商q(x)和余数r(x)。
可以表示为f(x) = g(x)·q(x) + r(x),其中r(x)的次数小于g(x)的次数。
商q(x)和余数r(x)可以通过多项式除法算法来求解。
多项式除法的算法可以通过长除法的思想来理解。
首先,我们将被除式f(x)和除式g(x)按照次数从高到低排列,并对齐各项的同类项。
然后,从最高次项开始,将f(x)的最高次项除以g(x)的最高次项,得到一个部分商。
将这个部分商乘以g(x),得到一个中间结果,并将其与f(x)相减,得到一个新的多项式。
重复这个过程,直到新的多项式的次数小于g(x)的次数为止。
通过多项式除法,我们可以得到商和余数。
商表示被除式能够被除式整除的次数,而余数表示除法的余项。
多项式除法可以用来求解多项式的根和因式分解,是代数学中的重要工具。
除了长除法的方法,还有其他的方法可以进行多项式的除法运算。
比如,可以使用多项式的因式分解来进行除法运算。
如果被除式和除式都可以进行因式分解,那么我们可以将它们进行因式分解后进行简化,然后进行除法运算。
这种方法在一些特殊情况下可以更加高效。
在实际应用中,多项式除法在代数学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
多项式除以多项式
多项式除以多项式一般用竖式进行演算(1)把被除式、除式按某个字母作降幂排列,并把所缺的项用零补齐.(2)用被除式的第一项除以除式第一项,得到商式的第一项.(3)用商式的第一项去乘除式,把积写在被除式下面(同类项对齐),消去相等项,把不相等的项结合起来.(4)把减得的差当作新的被除式,再按照上面的方法继续演算,直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止.被除式=除式×商式+多项式除法示例余式2例[编辑]编辑计算把被除式、除式按某个字母作降幂排列,并把所缺的项用零补齐,写成以下这种形式:然后商和余数可以这样计算:.将分子的第一项除以分母的最高次项(即次数最高的项,此处为x)。
结果写在横线之上(x3÷ x = x2)...将分母乘以刚得到结果(最终商的第一项),乘积写在分子前两项之下(同类项对齐) (x2·(x−3) = x3−3x2)...从分子的相应项中减去刚得到的乘积(消去相等项,把不相等的项结合起来),结果写在下面。
((x3−12x2)−(x3−3x2) = −12x2+3x2 = −9x2)然后,将分子的下一项“拿下来”。
..把减得的差当作新的被除式,重复前三步(直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止.被除式=除式×商式+余式)..重复第四步。
这次没什么可以“拿下来”了。
.横线之上的多项式即为商,而剩下的 (−123) 就是余数。
算数的长除法可以看做以上算法的一个特殊情形,即所有x被替换为10的情形。
3整除编辑如果一个多项式除以另一个多项式,余式为零,就说这个多项式能被另一个多项式整除4应用编辑多项式的因式分解有时某个多项式的一或多个根已知,可能是使用Rational root theorem(英语:)得到的。
如果一个次多项式的一个根已知,那么可以使用多项式长除法因式分解为的形式,其中是一个次的多项式。
简单来说,就是长除法的商,而又知是的一个根、余式必定为零。
如何进行多项式除以多项式的运算
如何进行多项式除以多项式的运算多项式除以多项式的运算是一种基本的数学运算,其步骤与一般的除法类似,只不过这里的除数和被除数都是多项式。
具体步骤如下:首先,我们需要理解多项式。
多项式是包含多个项的数学表达式,每个项都由一个系数和一个变量的幂组成。
例如, 3x2+2x−5 是一个多项式,其中 3x2、2x 和−5 是它的项。
在多项式除以多项式的运算中,我们首先要确定一个除数多项式和一个被除数多项式。
例如,我们选择 3x2+2x−5 作为被除数,选择 x2−3x+2 作为除数。
接下来,进行以下步骤:1.确定可以相除的项:只有当被除数的每一项都能被除数的每一项整除时,才能进行多项式除以多项式的运算。
在这个例子中,被除数的每一项都能被除数的每一项整除。
2.计算商的系数:这是被除数每一项与除数每一相应项的系数相除的结果。
例如,(3x2)÷(x2)=3,因为 3 是 3x2 的系数, x2 是 x2 的系数。
类似地,(2x)÷(x)=2 和(5)÷(1)=5。
将这些结果相加,得到 3+2+5=10,因此,商是 10。
3.计算余数:将商乘以除数,得到结果后减去被除数,得到余数。
在这个例子中,余数是 (10(x2−3x+2))−(3x2+2x−5)=4x−13。
最后,商和余数共同构成了多项式除以多项式的结果。
在这个例子中,结果是10+(4x−13)=4x−3。
需要注意的是,多项式除以多项式的运算和普通除法有一个主要区别:在多项式除法中,余数可以是任何形式的多项式,而不一定是常数。
而在普通的除法中,余数一般是常数。
另外,要注意在进行多项式除以多项式的运算时,我们要把每一个步骤都看作一个整体,然后对它们进行整理和简化。
在上述例子中,步骤是先计算商的系数,再计算余数,最后得到结果。
这些步骤并不是独立的,而是相互关联的。
在进行每一步时,我们都要考虑到下一步的需要和上一步的结果。
例如,在计算商的系数时,我们不仅要得到正确的结果,还要考虑到这个结果会对余数的计算产生影响。
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多项式除法示例多项式除以多项式的一般步骤:多项式除以多项式一般用竖式进行演算(1)把被除式、除式按某个字母作降幂排列,并把所缺的项用零补齐.(2 )用被除式的第一项去除除式的第一项,得商式的第一项.(3)用商式的第一项去乘除式,把积写在被除式下面(同类项对齐),消去相等项,把不相等的项结合起来.( 4)把减得的差当作新的被除式,再按照上面的方法继续演算,直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止.被除式=除式×商式+ 余式如果一个多项式除以另一个多项式,余式为零,就说这个多项式能被另一个多项式整除多项式除以多项式的运算多项式除以多项式,一般可用竖式计算,方法与算术中的多位数除法相似,现举例说明如下:例 1 计算( x29x 20) ( x 4)规范解法∴( x 29x20)(x 4)x 5.解法步骤说明:(1)先把被除式x29x20 与除式x 4 分别按字母的降幂排列好.(2)将被除式x29x20 的第一项 x2除以除式 x 4 的第一项x,得x2x x ,这就是商的第一项.(3)以商的第一项x 与除式x 4 相乘,得x24x ,写在 x29x20 的下面.(4)从x29x20 减去 x24x ,得差5x20,写在下面,就是被除式去掉x24x 后的一部分.(5)再用5x20 的第一项 5x 除以除式的第一项x ,得5x x 5 ,这是商的第二项,写在第一项x 的后面,写成代数和的形式.(6)以商式的第二项 5 与除式x 4 相乘,得 5x20 ,写在上述的差5x 20的下面.(7)相减得差0,表示恰好能除尽.(8)写出运算结果, (x 29x20)( x 4)x 5.例 2 计算(6x59x47x220 x3) (2x2x 5) .规范解法∴ (6x59x 47x220x 3) ( 2x2x 5)3x33x26x1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯余9x 2.注①遇到被除式或除式中缺,用0 位或空出;②余式的次数低于除式的次数.另外,以上两例可用分离系数法求解.如例2.∴ (6x59x 47x220x 3) ( 2x2x 5)3x33x26x1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯余9x 2.8.什么是合除法由前面的 4我知道两个多式相除可以用式行,但当除式一次式,而且它的首系数 1 ,情况比特殊.如:算 ( 2x33x4)( x 3) .因除法只系数行,和x 无关,于是算式(1)就可以化成算式(2).可以再化.方框中的数2、6、21 和余式首系数重复,可以不写.再注意到,因除式的首系数是1,所以余式的首系数 6、21 与商式的系数重复,也可以省略.如果再把代数和中的“+”号省略,除式的首系数也省略,算式( 2)就化成了算式(30 的形式:将算式( 3)改写成比较好看的形式得算式(4),再将算式( 4)中的除数- 3 换成它的相反数3,减法就化为了加法,于是得到算式(5).其中最下面一行前三个数是商式的系数,末尾一个数是余数.多项式相除的这种算法,叫做综合除法,它适合于除式为一次式,而且一次项系数为1.例 1 用综合除法求x43x33x 23x 12 除以x 1的商式和余式.规范解法∴商式x32x 2x 2 ,余式=10.例 2用综合除法证明2x515x3 10 x29 能被x 3整除.规范证法这里 x 3x( 3) ,所以综合除法中的除数应是-3.(注意被除式按降幂排列,缺项补0.)因余数是 0,所以2x515x310 x29 能被x 3 整除.当除式为一次式,而一次项系数不是 1 时,需要把它变成 1以后才能用综合除法..例 3 求2x3x7 除以2x 1 的商式和余数.规范解法把 2x1除以2,化为x1,用综合除法.2但是,商式2x2x3,这是因为除式除以2,被除式没变,商式扩大了 2 倍,应当除以 2 才是所求的商2式;余数没有变.∴ 商式x21x3,余数73.244为什么余数不变呢我们用下面的方法验证一下.用 2x 3x 7 除以 x1 ,得商式 2x2 x3 ,余数为 7 3 ,即2 2 4 ∴2x3x 3x 12x2x3 7 322 42x 1 x 21 x 37 3.2 44即2x3x 3 除以 2x 1的商式x21 x 3 ,余数仍为 73.244综合除法与余数定理综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容,它们是研究多项式除法的有力工具。
多项式除以多项式——长除法
多项式除以多项式的法则如下:
1.多项式除以多项式,先把被除式、除式都按某 一字母的降幂排列(被除式有缺项要留出空位 或加0)
2.用除式的第一项除被除式的第一项,得商式的 第一项
3.用商式的第一项去乘除式,把积写在被除式下 面(同类项对齐),从被除式减去这个积,得 第一余式
4.把所得余式当作新的被除式,再按上面的方法 继续演算直到余式为0或者余式的次数低于除式 的次数为止。
1.(2x3 9 x2 3x 5) ( x2 4 x 3) 2.(3x4 13x3 x) (x2 4x 3) 3.(2x5 10x 15 7 x3 6x4 ) (x2 4 3x) 4.( x4 3x3 2 x2 1) ( x2 1) 5.(8x4 6 x3 13x2 4) (2 x2 x 2) 6.(10 xy 2 7 x2 y 2 x3 10 y3 ) ( x 2 y)
练习
1.求x5y5除以xy的商 2.(34a2b2ab2)(ab)
例 4 . ( 2 x 4 3 x 3 1 0 x 2 1 3 x 2 7 ) ( x 2 2 x 3 )
注意:当余式不是零而次数低于除式的次数 时,除法演算就不能继续进行,这说明除式 不能整除被除式
被除式=除式×商式+余式
验算
例 1 : (5x22x3 1 )(12x)
注意:被除式按x降幂排列时如有缺 项,要留出空位,也可以采用加零的 办法补足缺项
例 2 : ( a 4 4 0 b 4 5 a 3 b 2 2 a b 3 ) ( a 2 4 b 2 3 a b )
例 3 : 2 x 2 4 x 4 除 2 x 4 5 x 3 x 2 2 的 商
多项式除以多项式——长除法
多项式除以多项式
多项式除以多项式计算题及答案
多项式除以多项式计算题及答案多项式除以多项式是实际中最常见的数学运算,它是指将一个多项式用另一个多项式除以得出商以及余数的运算。
在实际中,多项式除以多项式的应用极为广泛,如在经济、航天、医学和物理等各个领域都有应用。
多项式除以多项式可以分为两类:简单多项式除以多项式,即当除数和被除数只含有一个元素时;复杂多项式除以多项式,含有多个元素的多项式除以多项式。
二、多项式除以多项式的计算1、如何计算简单多项式除以多项式?简单多项式除以多项式可以分为几种情况。
(1)当被除数和除数的指数相等时,只需将被除数的系数除以除数的系数,得到商中的系数,同时将余数置零,即可得到商和余数。
(2)当被除数的指数大于除数的指数时,可先将被除数的系数除以除数的系数,再将商的指数减去除数的指数,得到商的指数,同时将被除数的指数乘以除数的系数,得到余数,即可得到商和余数。
(3)当除数的指数大于被除数的指数时,则可将商置零,将被除数保留为余数,即可得到商和余数。
2、如何计算复杂多项式除以多项式?复杂多项式除以多项式可以分为以下几个步骤:(1)首先,将多项式从小指数到大指数排序;(2)其次,找出除数中指数最大的项;(3)再次,将被除数中比除数最大指数小的项,用除数最大指数的项乘以它,消去被除数中的此项;(4)然后,将乘积的系数相加,得到新的被除数;(5)最后,重复上述步骤,直到被除数的指数为零,则可得到商和余数。
三、多项式除以多项式的答案1、简单多项式除以多项式答案(1)x^2-2x+2÷x+2=x-2,余数为0。
(2)3x^3-9x^2+3x+18÷3x+6=x^2-3x+2,余数为0。
(3)2x^2-x+2÷2x+1=x-1,余数为3。
2、复杂多项式除以多项式答案(1)2x^6-x^4-3x^3+5x^2-9x+6÷2x+1=x^5-x^4-x^3+3x^2-5x+6,余数为0。
(2)3x^4-4x^3+2x^2-2x-3÷x+2=x^3-2x^2+3x-3,余数为3。
拓展材料:如何进行多项式除以多项式的运算
如何进行多项式除以多项式的运算多项式除以多项式,一般可用竖式计算,方法与算术中的多位数除法相似,现举例说明如下:例1 计算)4()209(2+÷++x x x规范解法∴ .5)4()209(2+=+÷++x x x x解法步骤说明:(1)先把被除式2092++x x 与除式4+x 分别按字母的降幂排列好.(2)将被除式2092++x x 的第一项2x 除以除式4+x 的第一项x ,得x x x =÷2,这就是商的第一项.(3)以商的第一项x 与除式4+x 相乘,得x x 42+,写在2092++x x 的下面.(4)从2092++x x 减去x x 42+,得差205+x ,写在下面,就是被除式去掉x x 42+后的一部分.(5)再用205+x 的第一项x 5除以除式的第一项x ,得55=÷x x ,这是商的第二项,写在第一项x 的后面,写成代数和的形式.(6)以商式的第二项5与除式4+x 相乘,得205+x ,写在上述的差205+x 的下面.(7)相减得差0,表示恰好能除尽.(8)写出运算结果,.5)4()209(2+=+÷++x x x x例2 计算)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x .规范解法∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x 163323-+-=x x x ……………………………余29-x .注 ①遇到被除式或除式中缺项,用0补位或空出;②余式的次数应低于除式的次数.另外,以上两例还可用分离系数法求解.如例2.∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x163323-+-=x x x ……………………………余29-x .8.什么是综合除法?由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行,但当除式为一次式,而且它的首项系数为1时,情况比较特殊.如:计算)3()432(3-÷-+x x x .因为除法只对系数进行,和x 无关,于是算式(1)就可以简化成算式(2).还可以再简化.方框中的数2、6、21和余式首项系数重复,可以不写.再注意到,因除式的首项系数是1,所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复,也可以省略.如果再把代数和中的“+”号省略,除式的首项系数也省略,算式(2)就简化成了算式(30的形式:将算式(3)改写成比较好看的形式得算式(4),再将算式(4)中的除数-3换成它的相反数3,减法就化为了加法,于是得到算式(5).其中最下面一行前三个数是商式的系数,末尾一个数是余数.多项式相除的这种算法,叫做综合除法,它适合于除式为一次式,而且一次项系数为1.例1 用综合除法求12333234+-+-x x x x 除以1-x 的商式和余式.规范解法∴ 商式2223-+-=x x x ,余式=10.例2 用综合除法证明910152235-+-x x x 能被3+x 整除.规范证法 这里)3(3--=+x x ,所以综合除法中的除数应是-3.(注意被除式按降幂排列,缺项补0.)因余数是0,所以910152235-+-x x x 能被3+x 整除.当除式为一次式,而一次项系数不是1时,需要把它变成1以后才能用综合除法..例3 求723-+x x 除以12+x 的商式和余数.规范解法 把12+x 除以2,化为21+x ,用综合除法.但是,商式2322+-≠x x ,这是因为除式除以2,被除式没变,商式扩大了2倍,应当除以2才是所求的商式;余数没有变.∴ 商式43212+-=x x ,余数437-=. 为什么余数不变呢?我们用下面的方法验证一下. 用723-+x x 除以21+x ,得商式2322+-x x ,余数为437-,即 ∴ 437232213223-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+x x x x x ()4374321122-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=x x x . 即 323-+x x 除以12+x 的商式43212+-=x x ,余数仍为437-.。
多项式除以多项式的运算法则
多项式除以多项式的运算法则多项式除以多项式的运算法则,听起来是不是有点儿复杂?别担心,今天咱们就来轻松聊聊这个话题。
想象一下,你在厨房里做饭,准备把不同的食材混合在一起,结果出来的菜就像一个多项式。
如果你把这些食材的数量和种类看作是多项式,那就可以理解为我们在做一个“多项式大杂烩”。
得先明白什么是多项式。
简单来说,多项式就是一些数字和字母的组合,比如 (2x^2 + 3x + 5)。
就像你在逛超市的时候,看到各种各样的食材,组合起来的方式多得很。
好啦,接下来就进入正题了,如何将一个多项式除以另一个多项式呢?这就像是在切蛋糕,想把大蛋糕分成若干小块。
先看看你要分的蛋糕有多大,得清楚它的“体积”。
就拿 (6x^3 + 11x^2 + 3) 这个多项式来说吧,先把它的头脑风暴进行到底。
想要除的多项式,比如说 (3x + 1),得好好琢磨琢磨它的性质。
这里就有个技巧,先把较大的项进行“比大小”,这就像我们在选食材的时候,挑最显眼的那一个。
开始除的时候,先把头一个项“对比”一下。
比如说 (6x^3) 除以 (3x),结果是 (2x^2)。
哇,别急,这就像是你找到了一块大蛋糕,觉得这块是最好的。
然后把这个结果乘以(3x + 1),得到了 (6x^3 + 2x^2)。
记得哦,别把这些东西抹掉,还是得写在一边。
然后,把刚刚得到的结果从原来的多项式里减去,像是从蛋糕里切下一块,剩下的就是新鲜的部分。
此时就得再看看剩下的部分了。
就像是你在做拼图,慢慢地填补空缺。
剩下的(11x^2 2x^2 = 9x^2),然后再降一个级别,继续进行除法。
咱们再把 (9x^2) 除以 (3x),结果是 (3x)。
这一步也很关键,像是调整你的食谱,确保每样都有恰到好处的味道。
把这个 (3x) 再乘以 (3x + 1),得到 (9x^2 + 3x)。
同样地,别忘了要减去哦,像是从盘子里把多余的食材挑出来。
继续这样下去,剩下的部分就越来越少,最后如果有常数项了,就像是最后一口美味的蛋糕。
多项式除以多项式
多项式除法示例 多项式除以多项式的一般步骤:多项式除以多项式一般用竖式进行演算(1)把被除式、除式按某个字母作降幂排列,并把所缺的项用零补齐.(2)用被除式的第一项去除除式的第一项,得商式的第一项.(3)用商式的第一项去乘除式,把积写在被除式下面(同类项对齐),消去相等项,把不相等的项结合起来.(4)把减得的差当作新的被除式,再按照上面的方法继续演算,直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止.被除式=除式×商式+余式如果一个多项式除以另一个多项式,余式为零,就说这个多项式能被另一个多项式整除多项式除以多项式的运算多项式除以多项式,一般可用竖式计算,方法与算术中的多位数除法相似,现举例说明如下: 例1 计算)4()209(2+÷++x x x规范解法∴.5)4()209(2+=+÷++x x x x解法步骤说明: (1)先把被除式2092++x x 与除式4+x 分别按字母的降幂排列好.(2)将被除式2092++x x的第一项2x 除以除式4+x 的第一项x ,得x x x =÷2,这就是商的第一项.(3)以商的第一项x 与除式4+x 相乘,得x x 42+,写在2092++x x 的下面.(4)从2092++x x减去x x 42+,得差205+x ,写在下面,就是被除式去掉x x 42+后的一部分.(5)再用205+x 的第一项x 5除以除式的第一项x ,得55=÷x x ,这是商的第二项,写在第一项x 的后面,写成代数和的形式.(6)以商式的第二项5与除式4+x 相乘,得205+x ,写在上述的差205+x 的下面. (7)相减得差0,表示恰好能除尽. (8)写出运算结果,.5)4()209(2+=+÷++x x x x例2 计算)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x .规范解法∴)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x163323-+-=x x x ……………………………余29-x .注 ①遇到被除式或除式中缺项,用0补位或空出;②余式的次数应低于除式的次数. 另外,以上两例还可用分离系数法求解.如例2.∴)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x163323-+-=x x x ……………………………余29-x .8.什么是综合除法由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行,但当除式为一次式,而且它的首项系数为1时,情况比较特殊.如:计算)3()432(3-÷-+x x x.因为除法只对系数进行,和x 无关,于是算式(1)就可以简化成算式(2).还可以再简化.方框中的数2、6、21和余式首项系数重复,可以不写.再注意到,因除式的首项系数是1,所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复,也可以省略.如果再把代数和中的“+”号省略,除式的首项系数也省略,算式(2)就简化成了算式(30的形式:将算式(3)改写成比较好看的形式得算式(4),再将算式(4)中的除数-3换成它的相反数3,减法就化为了加法,于是得到算式(5).其中最下面一行前三个数是商式的系数,末尾一个数是余数.多项式相除的这种算法,叫做综合除法,它适合于除式为一次式,而且一次项系数为1. 例1 用综合除法求12333234+-+-x x x x 除以1-x 的商式和余式.规范解法∴ 商式2223-+-=x x x ,余式=10.例2 用综合除法证明910152235-+-x x x 能被3+x 整除.规范证法 这里)3(3--=+x x ,所以综合除法中的除数应是-3.(注意被除式按降幂排列,缺项补0.)因余数是0,所以910152235-+-x x x能被3+x 整除.当除式为一次式,而一次项系数不是1时,需要把它变成1以后才能用综合除法.. 例3 求723-+x x除以12+x 的商式和余数.规范解法 把12+x 除以2,化为21+x ,用综合除法.但是,商式2322+-≠x x ,这是因为除式除以2,被除式没变,商式扩大了2倍,应当除以2才是所求的商式;余数没有变.∴ 商式43212+-=x x ,余数437-=. 为什么余数不变呢我们用下面的方法验证一下.用723-+x x除以21+x ,得商式2322+-x x ,余数为437-,即 ∴437232213223-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+x x x x x()4374321122-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=x x x .即 323-+x x 除以12+x 的商式43212+-=x x ,余数仍为437-.综合除法与余数定理综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容,它们是研究多项式除法的有力工具。
多项式除以多项式例题
多项式除以多项式例题多项式除以多项式是高中数学中的基础概念之一,也是后续学习中的重要基础。
在多项式除法中,被除数是一个高次多项式,除数是一个低次多项式,而商及余数都是多项式。
多项式除法实际上就是对多项式进行分解的过程,也可以理解为对多项式进行因式分解的过程。
我们接下来来看一个多项式除以多项式的例子:将多项式 f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x + 1 除以 g(x) = x^2 -2x + 3。
多项式除法的步骤如下:1. 将被除数的各项按次数从高到低排列,确保各项系数对应次数正确。
2. 将除数的各项按次数从高到低排列,确保各项系数对应次数正确。
3. 如果被除数的次数小于除数的次数,则商为零,余数为被除数的本身,直接求解即可。
4. 如果被除数的次数大于或等于除数的次数,则进行多项式除法运算,具体步骤如下:1. 列出商式,将被除数的最高次项除以除数的最高次项得到商式的首项系数。
2. 将商式的首项和除数相乘,得到一个新的多项式,将该多项式从被除数中减去。
3. 对所得到的新多项式重复以上两个步骤,直到被减数的次数小于除数的次数为止。
4. 最后剩下的部分即为余数。
通过上述步骤,我们可以计算出f(x) ÷ g(x) 的过程如下:(1) 商式的首项系数: 3x / x^2 = 3 / x商式为: q(x) = 3 / x(2) 将商式的首项和除数相乘:(3 / x) * (x^2 - 2x + 3) = 3 - 6x / x + 3 / x化简后,得到:(3x - 6) / x(3) 将被除数和上式相减即可得到余数:f(x) - (3x - 6) = 3x^3 - 5x^2 - x + 7因此,f(x) ÷ g(x) 的商为: q(x) = 3 / x余数为: r(x) = 3x^2 - 5x - 19 / (x^2 - 2x + 3) 需要注意的是,当除数的次数大于被除数的次数时,商为零,余数为被除数本身。
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多项式除法示例多项式除以多项式的一般步骤:多项式除以多项式一般用竖式进行演算(1 )把被除式、除式按某个字母作降幂排列,并把所缺的项用零补齐.(2 )用被除式的第一项去除除式的第一项,得商式的第一项.(3)用商式的第一项去乘除式,把积写在被除式下面(同类项对齐),消去相等项,把不相等的项结合起来.(4)把减得的差当作新的被除式,再按照上面的方法继续演算,直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止.被除式= 除式×商式+余式如果一个多项式除以另一个多项式,余式为零,就说这个多项式能被另一个多项式整除多项式除以多项式的运算多项式除以多项式,一般可用竖式计算,方法与算术中的多位数除法相似,现举例说明如下:例 1 计算(x29 x20)( x4)规范解法∴ ( x 29x20)(x4)x 5.解法步骤说明:(1)先把被除式x29x20 与除式x 4 分别按字母的降幂排列好.(2)将被除式x29x20 的第一项 x2除以除式 x 4 的第一项x,得x2x x ,这就是商的第一项.(3)以商的第一项x与除式x 4 相乘,得x24x ,写在 x29x20 的下面.(4)从x29x20 减去 x24x ,得差5x20 ,写在下面,就是被除式去掉x24x 后的一部分.(5)再用 5x20 的第一项 5x 除以除式的第一项x ,得5x x 5 ,这是商的第二项,写在第一项x 的后面,写成代数和的形式.(6)以商式的第二项 5 与除式x4 相乘,得5x20 ,写在上述的差5x 20的下面.(7)相减得差0,表示恰好能除尽.(8)写出运算结果,(x 29x20)( x4)x 5.例 2 计算(6x59x47x220x3) (2x2x5) .规范解法∴ (6x59x 47x220x3) ( 2x2x 5)3x33x26x1余9x 2 .注①遇到被除式或除式中缺项,用0 补位或空出;②余式的次数应低于除式的次数.另外,以上两例还可用分离系数法求解.如例2.∴ (6x59x47x220x3) ( 2x2x5)3x 3 3x 26x 1 余9x 2 .8.什么是综合除法?由前面的问题 4 我们知道两个多项式相除可以用竖式进行,但当除式为一次式,而且它的首项系数为 1 时,情况比较特殊.如:计算 ( 2x 33x 4) ( x 3) .因为除法只对系数进行,和 x 无关,于是算式(1)就可以简化成算式( 2).还可以再简化.方框中的数2、6、21 和余式首项系数重复,可以不写.再注意到,因除式的首项系数是 1,所以余式的首项系数6、 21 与商式的系数重复,也可以省略.如果再把代数和中的“+”号省略,除式的首项系数也省略,算式( 2)就简化成了算式(30 的形式:将算式( 3)改写成比较好看的形式得算式(4),再将算式( 4)中的除数- 3 换成它的相反数 3,减法就化为了加法,于是得到算式(5).其中最下面一行前三个数是商式的系数,末尾一个数是余数.多项式相除的这种算法,叫做综合除法,它适合于除式为一次式,而且一次项系数为 1.例 1 用综合除法求 x43x 3 3x 2 3x 12除以 x 1的商式和余式.规范解法∴商式x 3 2x 2 x2 ,余式= 10.例 2 用综合除法证明 2x 515x 3 10x 2 9 能被 x 3 整除.规范证法这里 x3 x ( 3) ,所以综合除法中的除数应是-3.(注意被除式按降幂排列,缺项补 0.)因余数是 0,所以2x 5 15x 3 10 x 2 9 能被 x 3 整除.当除式为一次式,而一次项系数不是 1 时,需要把它变成1 以后才能用综合除法..例 3 求 2x 3x 7 除以 2x 1的商式和余数.规范解法把 2x1除以 2,化为 x1,用综合除法.23但是,商式2x 2x ,这是因为除式除以2,被除式没变,商式扩大了2 倍,应当除以 2 才是所求的商2式;余数没有变.∴商式x 2 1 x 3 ,余数73.24 4为什么余数不变呢?我们用下面的方法验证一下.用 2x3x 7 除以 x 1 ,得商式 2x2x3 ,余数为 73,即224∴2x3x 3x 1 2x2x3732242x 1 x21 x 3 73.2 44即 2x3x 3 除以 2x1的商式 x21 x 3 ,余数仍为 73.244综合除法与余数定理综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容,它们是研究多项式除法的有力工具。
综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。
本节我们将作一些初步介绍。
一、综合除法一个一元多项式除以另一个一元多项式,并不是总能整除。
当被除式 f ( x) 除以除式 g (x), (g (x)0) 得商式q(x) 及余式 r (x) 时,就有下列等式:f ( x)g( x)q(x)r (x) 。
其中 r (x) 的次数小于 g (x) 的次数,或者 r ( x)0 。
当r ( x) 0时,就是f (x)能被g( x)整除。
下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。
例 1、用综合除法求2x414 x 4 7x 3除以 x 2 所得的商和余式。
27014 4 2解:4612482362余式商的各项的系数∴ (2x 414 x 4 7x3 )( x2) 的商是 2 x33x26x 2 ,余式是8。
上述综合除法的步骤是:(1)把被除式按降幂排好,缺项补零。
(2)把除式的第二项 -2 变成 2,写在被除式的右边,中间用一条竖线隔开。
(3)把被除式的第一项的系数 2 移到横线的下面,得到商的第一项的系数。
( 4)用 2乘商的第一项的系数2,得 4,写在被除式的第二项的系数-7 的下面,同-7 相加,得到商的第二项系数 -3 。
( 5)用 2乘商的第二项的系数-3 ,得 -6 ,写在被除式的第三项的系数0 的下面,同 0相加,得到商的第三项的系数-6 。
( 6)用 2乘商的第三项的系数-6 ,得 -12 ,写在被除式的第四项的系数14 的下面,同 14 相加,得到商的第三项系数2。
( 7)用 2乘商的常数项2,得 4,写在被除式的常数项 4 的下面,同 4 相加,得到余式 8。
前面讨论了除式都是一次项系数为 1 的一次式的情形。
如果除式是一次式,但一次项系数不是1,能不能利用综合除法计算呢?例 2、求(3x310x 223x16)( 3x 2) 的商式Q和余式R。
解:把除式缩小 3 倍,那么商就扩大 3 倍,但余式不变。
因此先用x 23 倍去除被除式,再把所得的商缩小3即可。
∴ Q=x24x 5 ,R=6。
下面我们将综合除法做进一步的推广,使除式为二次或者二次以上的多项式时也能够利用综合除法来求商和余式。
例 3、用综合除法求(3x47 x311x210x4) ( x23x2) 的商Q和余式R。
37 11 104329664解:3 23232 1∴Q=3x 2 2 x 5 , R=3x 2 。
二、余数定理余数定理又称裴蜀定理。
它是法国数学家裴蜀( 1730~1783)发现的。
余数定理在研究多项式、讨论方程方面有着重要的作用。
余数定理:多项式 f (x) 除以xa 所得的余数等于 f (a) 。
略证:设 f (x)Q( x) ( xa) R将 x=a 代入得 f (a)R。
例 4、确定 m 的值使多项式f ( x) x 53x 4 8x 3 11x m 能够被 x-1 整除。
解:依题意 f (x) 含有因式 x-1 ,故 f (1) 0 。
∴ 1- 3+8+ 11+m=0。
可得m=- 17。
求一个关于 x 的二次多项式, 它的二次项系数为 1,它被 x-3 除余 1,且它被 x-1 除和被 x-2 除所得的余数相同。
解:设 f ( x) x 2 ax b∵ f (x) 被 x 3 除余 1,∴ f (3) 9 3ab 1①∵f (x) 被x1除和x2 除所得的余数相同,∴f (1) f (2)即1 a b 4 2a b②由②得 a 3 ,代入①得 b 1∴f ( x)x 2 3x 1。
注:本例也可用待定系数法来解。
同学们不妨试一试。
即:2(1)( )(2)( )(3)() 1x ax bxx x x px m Rx n R由( x 1)( x m) R (x 2)( x n) R ,可得 m 2,n 1 再由 (x 2)( x 1) R ( x 3)( x p) 1 ,解得 p 0 。
∴ f ( x)x 2 3x 1。
练习:1、综合除法分别求下面各式的商式和余式。
( 1) (3x4 4 x 3 5x 2 6x7) ( x2) ;( 2) ( x5 6 x 4 9x 3 14x8) ( x 4) ;( 3) ( x 3 ( a bc) x 2 (ab bc ca)x abc) ( x a) ;( 4) (9x 4 5 x 2 y 2 8 y 4 8xy 3 18x 3 y) (3x2 y) ;( 5) ( 2x 47 x 3 16 x 2 15 x15) ( X 2 2x 3) ;( 6)(x6x512x37x) ( x 33x 25x2)2、一个关于 x 的二次多项式 f ( x),它被 x-1除余 2,被 x-3除余 28,它可以被x+1 整除,求 f ( x) 。
3、一个整系数四次多项式 f (x) ,有四个不同的整数 1 , 2 , 3 ,4,可使 f (1 ) 1, f ( 2 ) 1,f ( 3 )1,f ( 4 )1,求证:任何整数都不能使 f () 1 。
综合除法:当除式 g( x)= x a 时,我们介绍综合除法去求商式、余式。
【范例】:设 f ( x)=2 x4+x25x,g( x)= x 2,求 f ( x)除以 g( x)的商式、余式。
解: 2x4+x2 5x=(2x 3+4x2+9x+23)(x – 2)+46综合除法的原理:设f(x)=3 3 +22+ 1+0 ,(x)=x b,若存在商式(x)=c22 + 1+0 ,余式r()=。
01a x a x a x a g q x c x c x 2 d由除法的定义:( a3x3 +a2x2 +a1x+a0 )=(c2 x2+c1 x+c 0)( x b)+ d()48 a3c2c2a3249经比较系数可得:a2c2 b c1c1a2c2 b商a1c1 b c0c0a1c1ba2a1a0 a0c0 b df (x)a3d a0c0 bc2 b c1b c0b( )上面的关系可写成以下的形式:a3a2c2 b a1c1b, a0c0当f( ) 除以(x)=+时,我们也可利用综合除法求余式(x) 、商式 () 。
由除法的定义: f ( x)=( ax+b)q( x)+ r ( x)=( x+)q( x)c2c1c0除以, d [ aq( x)]+r ( x)可先利用综合除法求出f( x)( x+) 的商式与余式r ( ) ,而所要求的商式()=,余式r() 不变。