24.1.2 垂直于弦的直径 初中数学人教版数学九年级上册课件

符号语言：
∵在⊙O中，CD是直径，弦AB不是
直径，且AE＝BE， ∴CD⊥AB，AC＝BC， AD＝BD ． A
C
O E
B D
垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧．
题设
结论
①过圆心 ③平分弦
②垂直于弦 ⇒ ④平分弦所对的优弧
⑤平分弦所对的劣弧
在这个推论中，“③平分弦”的“弦”一定是非直径的弦，否 则命题就不一定成立．
已知：如图，⊙O的直径CD交弦AB（不是直径）于点P，
AP＝BP．求证：CD⊥AB， AC＝BC， AD＝BD．
D
证明：连接OA，OB，则AO＝BO．
∴△AOB是等腰三角形．
O
∵AP＝BP， ∴CD⊥AB ，
A
PB
C
∴ AC＝BC， AD＝BD（垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧）．
垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的两条弧．
2023—2024学年人教版数学九年级上册
24.1.2 垂直于弦的直径
连接圆上任意两点的_线__段___叫做弦，经过__圆__心__的弦叫做直 径．如图，__A__B_，__C_D__，__A_C__是弦，____A__B___是直径．
_圆__上___任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．_大__于___半圆的弧
A′ M
A
D
圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都
是圆的对称轴．
O
探究 如果我们在圆形纸片上任意画一条弦AB，如图，观察这个图形，
它还是轴对称图形吗？若是，请找出它的对称轴．
A
如图，作出垂直于弦AB的直径CD，沿着
这条直径所在的直线对折，图形在这条直径两 C
O
D
侧的部分能完全重合，即图形关于这条直径所 B
例2 如图， M 是⊙O中的弦CD的中点，EM经过圆心 O 交⊙O 于点 E，并且CD＝6 cm，EM＝9 cm，求⊙O的半径．
解：如图，连接OC．设OC＝r cm，则OM＝(9－r)cm．
∵EM经过圆心 O，M是CD的中点，CD＝6 cm， E
∴EM⊥CD，CM＝ 1 CD＝3 cm．
2
在Rt△OCM中，由勾股定理，得
你发现了什么？由此你能得出什么结论？你能证明你的结论吗？
C
圆是轴对称图形，任何一条直径所在
的直线都是圆的对称轴．
A
O
B
D
证明
分析：要想证明这个结论，只需要证明圆上任意的一点关于直
径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上． C
证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径，
A 为⊙O上除点 C，D以外的任意一点．
例1 如图，在⊙O中，弦AB的长为 8 cm，圆心 O 到AB的距离 为 3 cm，求⊙O的半径．
解：过点 O 作OE⊥AB，垂足为 E，连接OA．
∵OE⊥AB，AB＝8 cm， ∴AE＝ 1 AB＝4 cm．
2
在Rt△OEA中，由勾股定理，得
A
E
B
O
OA2＝42＋32， ∴OA＝5，即⊙O的半径为 5 cm．
分析：解决此问题的关键是根 据赵州桥的实物图画出几何图形．
7.23 m 37 m
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R． 经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点C， 连接OA． 根据垂径定理，D是AB的中点，C 是 AB的中点，CD就是拱高.
在这个定理中， ①过圆心，②垂直于弦，这两个条件缺一不可， 同时满足这两个条件时才能推出结论③平分弦，④平分弦所对的优 弧，⑤平分弦所对的劣弧．
探究
反过来，平分弦的直径一定垂直于这条弦吗？
请在纸上画一个以点O为圆心的圆，在⊙O上任意画出一条弦
CD（不是直径）．找到弦CD的中点 E，过点 E 作⊙O的直径MN，
O
r2＝(9－r)2＋32，
解得r＝5，即⊙O的半径为 5 cm．
CMD
归纳
垂径定理基本图形的四变量、两关系
1．四变量：如图，弦长a，圆心到弦的距离d，半径r， 弧的中点到弦的距离（弓形高）h，已知这四个 变量中的任意两个可求其他两个．
2．两关系：（1）
a 2
2
＋d2＝r2；
（2）h＋d＝r．
例3 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1 400年的历 史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它 的跨度（弧所对的弦的长）为 37 m，拱高（弧的中点到弦的距离） 为 7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）．
MN与CD有什么位置关系？ M
测量∠MED的度数，得∠MED＝90°， 即MN⊥CD．
OEC
如果弦CD是直径呢？
N D
两条直径任何时候都是互相平分的，但是不一定相互垂直．
M1
M
C
M2
O
N2
D
N
N1
猜想：如果有一条直径平分一条不是直径的弦，那么它就能垂
直于这条弦，也能平分这条弦所对的两条弧．
思考
你能对猜想进行证明吗？
在直线对称．
探究 设直径CD与弦AB垂直于点 E（如图），在沿直径CD所在直线
对折的过程中，观察图中有哪些相等的线段和相等的弧．
AE＝BE，AC＝BC， AD＝BD ．
A
C EO
D
B
思考 结合下面的动图，你能将你的发现归纳成一般结论吗？
思考 结合下面的动图，你能将你的发现归纳成一般结论吗？
垂径定理
叫做优弧；__小__于__半圆的弧叫做劣弧．
D
如图，_A_D__C_，__A_C_D_，__B_D__C_，__B_C_D_， __C_A__D_是优弧，
B
_A__C_，__A_D_，__B_C_，__B_D_，__C_D__是劣弧， AB 是_半__圆___．
E
O
C
A
探究 剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
符号语言： ∵CD是直径，AB为⊙O的弦，且 CD⊥AB， 垂足为E． ∴AE＝BE，AC＝BC， AD＝BD ．
C
Hale Waihona Puke OEAB
D
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
题设
结论
①过圆心 ②垂直于弦
③平分弦 ⇒ ④平分弦所对的优弧
⑤平分弦所对的劣弧
O
过点 A 作AA′⊥CD，交⊙O于点A′，垂足 A′ M
A
为M，连接OA，OA′．
D
在△OAA′中，∵OA＝OA′，
∴△OAA′是等腰三角形．
又AA′⊥CD， C
∴AM＝MA′．
即CD是AA′的垂直平分线．
O
这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都
有关于直线CD的对称点A′， 因此⊙O关于直线CD对称．