第4章-4.4.1-对数函数的概念、图象和性质及习题

单调递增.
图1
(2)∵f(x)=log5|x|,∴f(x)是偶函数,其图象如图2所示.其定义域为
(-∞,0)∪(0,+∞),值域为R,函数的单调递增区间为(0,+∞),单调递减区间为
(-∞,0).
图2
探究五
利用对数函数的性质比较大小
例5比较下列各组中两个值的大小:
(1)ln 0.3,ln 2;
(2)loga3.1,loga5.2(a>0,且a≠1);
4
定义域为( ,1).
5
探究三
指数函数与对数函数关系的应用
例3(2020四川宜宾高一检测)已知函数f(x)=log2x,若函数g(x)是f(x)的反函数,
则f(g(2))=(
A.1
B.2
)
C.3
D.4
答案 B
解析 ∵g(x)是f(x)的反函数,∴g(x)=2x.
∵g(2)=22=4,∴f(g(2))=f(4)=log24=2.
lo g 2 (-1)
(1)y=
;(2)f(x)=
2-
1
.
lo g 0.3 (5-4)
-1 > 0,
解 (1)由题得
解得 1<x<2.
2- > 0,
所以函数的定义域为(1,2).
4
4
5
5
(2)由题得 log0.3(5x-4)>0 且 5x-4>0,则 0<5x-4<1,x> ,解得 <x<1.故函数的
方的部分不变),即得出函数y=|lg(x-1)|的图象(如图3).
图3
由图易知其定义域为(1,+∞),值域为[0,+∞),单调递减区间为(1,2],单调递增
区间为(2,+∞).
反思感悟 求解与对数函数有关的函数图象问题,首先应明确对数函数
y=logax(a>0,a≠0)的图象特征,结合函数解析式以及函数图象的变换规律求
(3)分析对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象,需找三个关键点:
1
(a,1),(1,0),(

,-1).
微练习1
(多选题)若函数y=logax的图象如图所示,则a的值可能是(
A.0.3
1
B.5
3
C.2
D.π
答案 AB
)
微练习2
(1)下列函数中,在区间(0,+∞)内不是增函数的是(
)
A.y=5x
1
(2)
4
2 -2-8 = 0,
解析 (1)由题意可知 + 1 > 0, 解得 a=4.
+ 1 ≠ 1,
(2)设对数函数为 f(x)=logax(a>0,且 a≠1).
则由题意可得 f(8)=-3,即 loga8=-3,
1
所以 a =8,即 a=2.
-3
所以 f(x)=log 1 x,故由 B(n,2)在函数图象上可得 f(n)=log 1 n=2,
(5)在(0,+∞)上是减函数.当x值趋近于正
无穷大时,函数值趋近于负无穷大;当x值
趋近于0时,函数值趋近于正无穷大
名师点析 (1)对数函数的符号常受到底数和真数的范围的制约,注意对底
数a的分类讨论.
(2)当底数a>1时,图象在第一象限内越接近x轴,a越大;当底数0<a<1时,图
象在第数是一个形式定义:
2.对数函数解析式中只有一个参数a,用待定系数法求对数函数解析式时只
需一个条件即可求出.
变式训练1(1)若函数f(x)=log(a+1)x+(a2-2a-8)是对数函数,则a=
(2)点A(8,-3)和B(n,2)在同一个对数函数图象上,则n=
.
.
答案 (1)4
象在f(x)≥0的部分相同,在f(x)<0的部分关于x轴对称.
变式训练4画出下列函数的图象,并根据图象写出函数的定义域与值域以
及单调区间:
(1)y=log3(x-2);(2)y=log5|x|.
解 (1)函数y=log3(x-2)的图象如图1.其定义域为(2,+∞),值域为R,在区间(2,+∞)上
＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(x＋1)．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
(2)若对数函数f(x)的图象过点(4，－2)，则f(8)＝________．
素养点睛：考查数学抽象的核心素养．
【答案】(1)B (2)－3
【解析】(1)由于①中自变量出现在底数上，所以①不是对数函数；
由于②中底数 a∈R 不能保证 a>0 且 a≠1，所以②不是对数函数；由于
2
所以 n=
1 2
2
2
1
= .
4
探究二
与对数函数有关的定义域、值域问题
例 2(1)函数 y= lg(4 + 5) +
1
lo g 3
的定义域为
.
(2)已知函数 f(x)=2log 1 x 的值域为[-1,1],则函数 f(x)的定义域是
2
.
答案 (1){x|x>0,且 x≠1} (2)[
2
2
⑤⑦的真数分别为(x＋2)，(x＋1)，所以⑤⑦也不是对数函数；由于⑥中
log4x 的系数为 2，所以⑥也不是对数函数；只有③④符合对数函数的定
义．
(2)由题意设 f(x)＝logax(a>0，且 a≠1)，则 f(4)＝loga4＝－2，所以 a
1
＝4，故 a＝2，f(x)＝log12x，所以 f(8)＝log128＝－3.
C.y=logx3(x>0,且x≠1)
D.y=log6x(x>0)
答案 D
微拓展
1.若函数y=f(x)图象上有一点(a,b),则点(b,a)必在其反函数图象上;反之亦然.
2.单调函数的反函数与原函数有相同的单调性.
3.若一个奇函数存在反函数,则这个反函数也是奇函数.
知识点二:对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象和性质
较,常数形结合.
(3)当底数和真数都不相同时,可考虑引进第三个数(常用“0”或“1”)分别与
之比较,然后通过第三个数的传递进行比较.
变式训练5比较下列各组中两个值的大小:
(1)log31.9,log32;
(2)log23,log0.32;
(3)logaπ,loga3.141(a>0,且a≠1).
是(0,+∞).
(2)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数.
两者的定义域与值域正好互换.
2.两种特殊的对数
特别地,我们称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作y=lg x;称以无理
数e为底的对数函数为自然对数函数,记作y=ln x.
名师点析 1.判断一个函数是不是对数函数的依据:(1)形如y=logax;
, 2]
lg(4 + 5) ≥ 0,
4 + 5 > 0,
解析 (1)要使函数有意义,需
log 3 ≠ 0,
> 0,
4 + 5 ≥ 1,
5
即
>- ,
4
∴x>0 且 x≠1.
≠ 1,
> 0,
∴函数的定义域为{x|x>0,且 x≠1}.
(2)∵已知函数 f(x)=2log 1 x 的值域为[-1,1],
B.y=lg x+2
C.y=x2+1
D.y=log 1 x
2
(2)函数f(x)=loga(x-2)-2x的图象必经过定点
答案 (1)D
(2)(3,-6)
.
课堂篇 探究学习
探究一
对数函数的概念
(1)下列函数表达式中，是对数函数的有
(
)
①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln x；⑤y＝logx(x
解.
(1)一般地,函数y=f(x±a)+b(a,b为实数)的图象是由函数y=f(x)的图象沿x轴
向左或向右平移|a|个单位长度,再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得
到的.
(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地,y=f(|x-a|)
的图象是关于直线x=a对称的轴对称图形;函数y=|f(x)|的图象与y=f(x)的图
y=log 1 x,即 f(x)=log 1 x,所以
2
2
1
1
g
f(4x-1)=lo (4x-1),其定义域满足 4x-1>0,即 x>4.故定义域为
2
(方法 2)因为原函数的定义域与反函数的值域相同,g(x)=
1
,+∞
.
4
1 x
的值域为
2
(0,+∞),
1
所以 f(x)的定义域为(0,+∞),所以 4x-1>0,解得 x>4,所以函数 f(4x-1)的定义
2
∴-1≤2log 1 x≤1,即
2
2
1 -1
1 1
1
log 1 (2) ≤2log 1 x≤log 1 (2) ,化简可得2≤x2≤2.
2
2
2
2
再由 x>0 可得 2 ≤x≤ 2,故函数 f(x)的定义域为[ 2 , 2].
反思感悟 求解与对数函数有关的函数的定义域的方法
(1)求与对数函数有关的函数的定义域时,除遵循前面已学过的求函数定义
(2)底数a满足a>0,且a≠1;(3)真数为x,而不是x的函数.
2.根据指数式与对数式的关系知,y=logax可化为ay=x,由指数函数的性质可
知在对数函数中,有a>0且a≠1,x>0,y∈R.
微练习
下列函数是对数函数的是(
)
A.y=logax+2(a>0,且a≠1,x>0) B.y=log2 (x>0)
【2023年高中数学必修课第一册人教版】
内
容
索
引
01
课前篇 自主预习
02
课堂篇 探究学习
课标阐释
1.通过具体实例,了解对数函数的概念.(数学抽象)
2.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,探索并了解对数
函数的单调性与特殊点.(直观想象)
3.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数(a>0,且a≠1).(数学抽象)
a>1
图
象
0<a<1
a>1
(1)定义域:(0,+∞)
(2)值域:R
(3)过定点(1,0),即x=1时,y=0
性 (4)当x>1时,y>0;0<x<1时,y<0
质 (5)在(0,+∞)上是增函数.当x值
趋近于正无穷大时,函数值趋
近于正无穷大;当x值趋近于0
时,函数值趋近于负无穷大
0<a<1
(4)当x>1时,y<0;0<x<1时,y>0
思维脉络
课前篇 自主预习
[激趣诱思]
某种物质的细胞分裂,由1个分裂成2个,2个分裂成4个……则1个这样的细
胞分裂x次后得到的细胞个数y如何表示?那么如果知道这种物质的一个细
胞经过x次分裂后得到了1 024个细胞,如何求解x的值呢?
[知识点拨]
知识点一:对数函数
1.对数函数的概念
(1)一般地,函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域
(4)因为函数y=log3x在定义域内是增函数,且π>3,所以log3π>log33=1.
同理,1=logππ>logπ3,所以log3π>logπ3.
反思感悟 比较两个对数式大小的常用方法
(1)当底数相同、真数不相同时,直接利用对数函数的单调性进行比较.
(2)当底数不同,真数相同时,可根据图象与底数的关系所反映出的规律比
要点笔记 涉及指数和对数函数互为反函数问题,一定注意前提是“同底数”,
且它们的图象关于直线y=x对称;反之,两个函数图象关于直线y=x对称,则
这两个函数互为反函数.
变式训练 3 函数 f(x)与 g(x)=
为
答案
.
1
,+∞
4
1 x
互为反函数,则
2
f(4x-1)的定义域
解析 (方法
1 x
1)g(x)=( 2) 的反函数是
域为
1
4
,+∞ .
探究四
对数函数的图象
例4作出函数y=|lg(x-1)|的图象,并根据图象写出函数的定义域、值域以及
单调区间.
解 先画出函数y=lg x的图象(如图1).
再将该函数图象向右平移1个单位长度得到函数y=lg(x-1)的图象(如图2).
图1
图2
最后把y=lg(x-1)的图象在x轴下方的部分对称翻折到x轴上方(原来在x轴上
(3)log30.2,log40.2;
(4)log3π,logπ3.
解 (1)因为函数y=ln x在定义域内是增函数,且0.3<2,所以ln 0.3<ln 2.
(2)当a>1时,函数y=logax在(0,+∞)上是增函数,又3.1<5.2,所以
loga3.1<loga5.2;
当0<a<1时,函数y=logax在(0,+∞)上是减函数,又3.1<5.2,所以
loga3.1>loga5.2.
故当a>1时,loga3.1<loga5.2;
当0<a<1时,loga3.1>loga5.2.
(3)(方法1)因为0>log0.23>log0.24,
1
所以lo g
0.2 3
1
< lo g
0.2 4
,即 log30.2<log40.2.
(方法2)画出y=log3x与y=log4x的图象,如图所示,由图可知log40.2>log30.2.
域的方法外,还要根据对数函数自身的特点满足以下要求:一是要对数真数
大于零;二是要注意对数的底数;三是根据底数的取值结合函数的单调性,
转化为关于真数的不等式求解.
(2)遵循对数函数自身的要求:一是真数大于零;二是底数大于零且不等于1;
三是按底数的取值应用单调性,有针对性地解不等式.
变式训练 2 求下列函数的定义域.