第29讲-平面向量的数量积及其应用(解析版)

第29讲-平面向量的数量积及其应用
一、 考情分析
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；
2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；
5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.
二、 知识梳理
1.两个向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 称
作向量a
和向量b 的夹角，记作〈a ，b 〉.
(2)范围：向量夹角〈a ，b 〉的范围是[0，π]，且〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉. (3)向量垂直：如果〈a ，b 〉＝π
2，则a 与b 垂直，记作a ⊥b . 2.向量在轴上的正射影
已知向量a 和轴l (如图)，作OA →＝a ，过点O ，A 分别作轴l 的垂线，垂足分别为O 1，A 1，则向量
O 1A 1→叫做向量a 在轴l 上的正射影(简称射影)，该射影在轴l 上的坐标，称作a 在轴l 上的数量或在轴l 的方向上的数量.
OA →＝a 在轴l 上正射影的坐标记作a l ，向量a 的方向与轴l 的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有a l ＝|a |cos__θ.
3.向量的数量积
(1)平面向量的数量积的定义：
(2)平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角.
②模：|a |＝a ·a ＝x 21＋y 2
1.
③夹角：cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2
x 21＋y 21·x 22＋y 2
2
.
4.平面向量数量积的运算律
[微点提醒]
2.平面向量数量积运算的常用公式
三、 经典例题
考点一 平面向量数量积的运算
A ．()0,12
B ．1,124⎡⎫
-
⎪⎢⎣⎭
C ．(]0,4
D ．(]
0,2 【答案】A
【解析】解：以B 为原点，BA 所在直线为x 轴建立坐标系，
∵602B AB AC BC =︒-==，
，
∴C （， 设0A x （，）
∵ABC 是锐角三角形，
∴120A C +=︒，∴3090A ︒︒＜＜，
即A 在如图的线段DE 上（不与D E ，重合），
∴14x ＜＜，
则2
2
1
12
4
AB AC x x x （）⋅=-=
--， ∴AB AC ⋅的范围为012（，）． 故选：A ．
A 2
B 3
C ．2
D 5
【答案】A 【解析】
||3||a b =，1cos ,3
a b 〈〉=
. 2
222()9||||8||16a a b a a b b b b ∴⋅-=-⋅=-==，
||2b ∴=.
A ．9
B ．12
C ．18
D ．32
【答案】C
【解析】设()00,P x y ，
因为抛物线2
4x y =的焦点为()0,1F ，5PF =，
所以015y +=，即04y =，因此2
00416x y ==，解得：04x =±，不妨取04x =，
则()4,4P ，
因此以P
为圆心，PF为半径的圆的方程为：()()
22
4425
x y
-+
-=，
令0
y =，解得：7
x=或1
x=，即圆()()
22
4425
x y
-+-=与x轴的两交点为()
7,0，()
1,0，不妨取()
7,0
A，()
10
B,，
则()
3,4
AP=-，()
6,0
AB=-，
因此18
AP AB
⋅=.
A．30B．60︒C．120︒D．150︒
【答案】D
【解析】将2+7
a b=两边平方得22
4+4+7
a a
b b
⋅=，所以0
a b⋅=，
又()222
2+4
b
a b
a b a
-=-⋅=，所以2
a b
-=，
设b与a b
-的夹角为θ，则
()23
cos
2
32
b a b a b
b a b
b
θ
⋅-⋅-
===-
⨯
⨯-
，
又0θπ
≤≤，所以150
θ=,故选：D.
【答案】2
【解析】过O作⊥
OD AB于D，则
1
cos
2
AO OAD AD AB
∠==，
2
AB AO
⋅=，cos2
AB AO OAD
⋅∠=，所以2
1
2,2
2
AB AB
==,
故答案为：2
2.在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平移”实现.
考点二 平面向量数量积的应用 角度1 平面向量的垂直
【例2－1】（1）设向量a ＝(1，0)，b ＝(－1，m ).若a ⊥(m a －b )，则m ＝________.
（2）已知△ABC 中，∠A ＝120°，且AB ＝3，AC ＝4，若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为( ) A.2215 B.103
C.6
D.127
∴m －(－1)＝0，∴m ＝－1. (2)因为AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，
整理可得(λ－1)×3×4×cos 120°－9λ＋16＝0， 解得λ＝2215.
规律方法 1.当向量a ，b 是非坐标形式时，要把a ，b 用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算.
角度2 平面向量的模
【例2－2】 (1)已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________.
所以|2α＋β|
＝10.
(2)建立平面直角坐标系如图所示，则A (2，0)，
设P (0，y )，C (0，b )，则B (1，b ).
所以P A →＋3PB →＝(2，－y )＋3(1，b －y )＝(5，3b －4y )， 所以|P A →＋3PB
→|＝25＋（3b －4y ）2(0≤y ≤b )，
所以当y ＝34b 时，|P A →＋3PB →|取得最小值5.
2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解. 角度3 平面向量的夹角
【例2－3】 (1)知非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝23
3|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角为________.
(2)若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________.
∴b 2＝13a 2.
设a ＋b 与a －b 的夹角为θ，
∴cos θ＝（a ＋b ）·（a －b ）|a ＋b |·|a －b |＝a 2
－b 2
233|a |·233
|a |＝23a 2
43a 2
＝1
2.
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π
3.
(2)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角，
又若(2a －3b )∥c ，
则2k －3＝－12，即k ＝－9
2.
当k ＝－9
2时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ， 此时2a －3b 与c 反向，不合题意.
综上，k 的取值范围为⎝ ⎛
⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫－92，3.
规律方法 1.研究向量的夹角应注意“共起点”；两个非零共线向量的夹角可能是0或π；注意向量夹角的取值范围是[0，π]；若题目给出向量的坐标表示，可直接套用公式cos θ＝
x 1x 2＋y 1y 2
x 21＋y 2
1·
x 2
2＋y 22
求解.
2.数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角. 考点三 平面向量与三角函数
(1)求sin A 的值；
(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影.
得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－3
5
，
所以cos A ＝－3
5.因为0<A <π， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－352
＝45. (2)由正弦定理，得a sin A ＝b
sin B ，
则sin B ＝
b sin A a ＝5×4
5
42
＝2
2， 因为a >b ，所以A >B ，且B 是△ABC 一内角，则B ＝π
4. 由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫
－35，
解得c ＝1，c ＝－7舍去，
故向量BA
→在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.
规律方法 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路：
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.
[方法技巧]
1.计算向量数量积的三种方法
定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活运用，与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.
2.求向量模的常用方法
利用公式|a |2＝a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算.
3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.
四、 课时作业
A ．6-
B ．8
3
-
C ．83
D ．6
【答案】A 【解析】()3,2m =，()4,n x =且m n ⊥，则3421220m n x x ⋅=⨯+=+=，解得6x =-.
A ．3
B ．3-
C ．6
D ．6-
【答案】A
【解析】因为正方形ABCD 的边长为3，2DE EC =， 则2()()()3AE BD AD DE AD AB AD AB AD AB ⎛⎫
⋅=+⋅-=+⋅- ⎪⎝⎭
A ．
1
2
B ．32
-
C ．12
-
D ．
32
【答案】A
【解析】2
2
1()(2)22312
a b a b a b a b +⋅-=-+⋅=-+=. A ．0 B ．
1
2
C ．1
D ．2
【答案】C
【解析】因为单位向量a 、b 满足a b ⊥， 所以1a b ==，0a b ⋅=，
所以()
2
21a a b a a b a a b ⋅-=-⋅=-⋅=，故选：C. A ．10 B ．80
C ．－10
D ．－80
【答案】A
【解析】因为A ,B ,C 三点共线, 所以AB
BC ,则24x =-,2x =-,
所以()1,2AC AB BC =+=--, 故2810AC BC ⋅=+=.
A ．
3
π B ．
6
π C
．
34
π D ．
4
π 【答案】A
【解析】22224cos 0a b a a a b θ→→→→
→→
⎛⎫-=-=-= ⎪⎝⎭
得1cos 2θ=，求得a 与b 的夹角是3π.
A ．5
2
-
B ．
52
C ．54
-
D ．
54
【答案】C
【解析】如图所示，
∵BD =
12BC =()
1
2AC AB -， ∴()
1
2
AD AC AB =+，
A ．
6
π B ．
3
π C ．
23
π D ．
56
π 【答案】C
【解析】设(,)b x y =，
则2(32,2)(1,23)a b x y +=+=，
3211233x x y y ⎧+==-⎧⎪⎪∴∴⎨⎨==⎪⎪⎩⎩
(1,3)b ∴=-，
31
cos ,32
2||||a b a b a b ⋅-∴〈〉=
==-⨯⋅，
则a 与b 的夹角等于23
π.
A ．()a b b +⊥
B ．()a b a +⊥
C ．()()a b a b +⊥-
D ．()//()a b a b +-
【答案】C
【解析】311,22a b ⎛⎫
-+= ⎪ ⎪⎝⎭；
()
3312•0442
a b b -∴+=
-=≠； a b ∴+不与b 垂直；
∴A 错误；
(
)
13•a b a C -+=
+=≠； a b ∴+不与a 垂直；
∴B 错误；
又()()
22
•110a b a b a b +-=-=-=；
()()
a b a b ∴+⊥-；
∴C 正确，D 错.
A B C ．13
D ．17
【答案】A
【解析】()1,2a =，212a ∴=+=
又2b =
，且a b ⊥，所以0a b ⋅=，
22244542a b a a b b ∴+=+⋅+=+⨯=
A ．()a b b +⊥
B ．()a b a +⊥
C ．()()a b a b +⊥-
D ．()//()+-a b a b
【答案】C
【解析】由题意0a b ⋅=，1a b ==，
因此2
()10a b b a b b +⋅=⋅+=≠，同理()10a b a +⋅=≠，
22
()()0a b a b a b +⋅-=-=，因此只有()()a b a b +⊥-正确．
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【答案】B
【解析】外心O 在,AB AC 上的投影恰好为它们的中点，分别设为,P Q ，所以AO 在,AB AC 上的投影为
11
,22AP AB AQ AC =
=，而M 恰好为BC 中点，故考虑()
12
AM AB AC
=+，所以()()
2211111
+522222AM AO AB AC AO AB AO AC AO AB AC ⎛⎫⋅=
+⋅=⋅+⋅== ⎪⎝⎭
A ．1
B ．2
C ．3
D ．
2
3
【答案】C
【解析】由抛物线定义知PH PF =，结合60HPF ︒∠=知HPF 为等边三角形. 故HF 和准线夹角30θ︒=，过Q 作QE 垂直于准线，垂足为E ，则QF QE =
||||1sin sin 30||||2QE QF QH QH θ︒==
==，故||||||2||||
3||||||
HF HQ QF QF QF FQ QF QF ++===
A ．213
B 213
C ．613
D 613
【答案】B
【解析】依题意,2(2,3)a b m -=+-,而(2)0a b b -⋅=,即260m ---=,解得8m =-,则(8,1)a =-,故
213
cos ,565
a b <>=
=⋅故选：B.
A ．(
)
13,-+∞
B ．()
133,++∞
C ．(()
13,133
13
3,+++∞
D ．(()
13,133
13
3,+++∞
【答案】C 【解析】因为(
)
3,1a =
，()1,3b m =-，
所以()313a b m ⋅=-+；
因为向量a ，b )3130m -+>，解得13m >又当向量a ，b 共线时，()3310m -=，解得：133m =+ 所以实数m 的取值范围为(()
13,13313
3,+++∞.
A ．
13
B ．
23
C ．1
D ．2
【答案】A
【解析】在Rt ABC 中，1AB AC ==， 所以A ∠为直角，
以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，建立平面直角坐标系，
则()10
B ,，()0,1
C ，设(),
D x y ，()1,BD x y =-，(),1DC x y =--， 由2BD DC =，可得()1,x y -()2,1x y =--，
即1222x x y y
-=-⎧⎨=-⎩，解得13x =，23y =，
所以12,33D ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
由()1,0AB = ，12,33AD ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
所以12110333
AB AD ⋅=⨯+⨯=. A ．圆 B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线
【答案】D
【解析】∵动点P （x ，y ）满足2PA PB x ⋅=，
∴（﹣2﹣x ）（3﹣x ）+y 2=x 2，解得y 2=x+6， ∴点P 的轨迹是抛物线． A ．
3
π
B ．
6
π C ．
23
π D ．
2
π 【答案】B
【解析】记向量a 与向量b 的夹角为θ，
a ∴在
b 上的投影为cos 2cos a θθ=．
a 在b
cos θ∴=
[]0θπ∈，，
6
π
θ∴=
．
A ．
12
B ．1
C ．2
D ．4
【答案】B
【解析】||||AB AC AB AC +=-，两边平方得，
2222
22AB AB AC AC AB AB AC AC +⋅+=-⋅+，
0,AB AC AB AC ∴⋅=∴⊥，
M 是线段BC 的中点，1
||||12
AM BC ∴==.
【答案】B 【解析】由已知，
(cos18,sin18)AB =︒︒,(2sin 27,2cos 27)BC =︒︒,
2||cos 18sin 181AB =+=，2||2cos 27sin 272BC =+=， 由于AB 与BC 的夹角为B π-，
2cos18sin 272sin18cos 272
sin 45122+==⨯135，
因此ABC ∆面积为：1212sin1352
2
⨯⨯⨯=， A ．
221
+ B ．
221
- C ．
321
2
+ D ．
231
- 【答案】A
【解析】因为0AB AC ⋅=，所以AB AC ⊥，
以A 点为坐标原点，以AB ，AC 所在直线为x 轴，y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
因为1AB =，2AC =，则()10
B ,，()0,2
C ，()0,0A ， 又动点
D ，
E 满足1AD =且DE EC =， 设()00,D x y ，(),E x y ，
则2200001
0222x y x x y y ⎧
⎪+=⎪
+⎪=⎨⎪
+⎪
=⎪⎩
，所以2200001222x y x x y y ⎧+=⎪=⎨⎪=-⎩，因此()224221x y +-=，即()22
114x y +-=，
因此点E 的轨迹是以()0,1为圆心，以1
2
r =
为半径的圆， 又()0,1与点()10
B ,的距离为()()
2
2
01102d =-+-=，
所以max
122
BE
d r =+=+.
故选：A.
A ．7,3⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
B ．799,,322⎛⎫
⎛⎫⋃+∞ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
C ．79,32⎛⎫
⎪⎝⎭ D ．9,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
【答案】B
【解析】由题意得：AB →
=
=
BC AC AB →→→
=-=
631337AB BC AB AC AB t t →→→
→→
⎛⎫
⋅=⋅-=+-=- ⎪⎝⎭
，
设AB →与BC
→
夹角为θ，则
cos AB BC AB BC
θ→
→
→
→
⋅==
⋅，
02
π
θ<<
，0cos 1θ∴<<
，即
01
<
<，
()()22370131337t t t ->⎧⎪∴⎨⎡⎤+->-⎪⎣⎦⎩，273(29)0t t ⎧>⎪⎨⎪->⎩
解得：73t >且92t ≠，即t 的取值范围为799,,322⎛⎫⎛⎫
⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.
A ．14
33
AD AB AC =-+ B ．14
33
AD AB AC =
- C ．41
33
AD AB AC =
+ D ．41
33
AD AB AC =
- 【答案】A
【解析】∵3BC CD = ∴AC −AB =3(AD −AC )； ∴AD =43AC −1
3
AB .
A ．[8,)-+∞
B ．998,
,22⎛
⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．998,
,22⎡
⎫⎛⎫-⋃+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭
D ．(8,)-+∞
【答案】B
【解析】若a b ∥，则418x =，解得92
x =. 因为a 与b 的夹角为锐角，∴92
x ≠
. 又324a b x ⋅=+，由a 与b 的夹角为锐角， ∴0a b ⋅>，即3240x +>，解得8x >-. 又∵92x ≠，所以998,,22x ⎛⎫⎛⎫
∈-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．以上都不对
【答案】A
【解析】由题意()()()()
2OB OC OB OC OA CB OB OA OC OA CB AB AC -⋅+-=⋅-+-=⋅+ ()()
22
220AB AC AB AC AB AC AB AC =-⋅+=-=-=，
所以AB AC =， 所以ABC 为等腰三角形. A ．
56
π
B ．
6
π C ．
6π或
56
π
D ．
6π或76
π
【答案】B
【解析】因为()cos ,sin a αα=，1,2b ⎛=- ⎝⎭
，所以1==a b ，
3b a b +=-，所以2
2
3b a b +=-，
所以2222323233a a b b a a b b +⋅+=-⋅+即311233b a b +⋅+=-⋅+，
所以1cos 02a b αα⋅=-
+=，所以tan α=， 由0απ≤<可得6
π
α=.
A ．-1
B ．-2
C ．-3
D ．-4
【答案】C
【解析】因为()()
()
2
·
··=++=+++⋅CO OA CO OB CO CO OA OB OA OB CA CB ， 由于圆O 的半径为2，AB 是圆O 的一条直径，
所以0OA OB +=，()2214⋅=⨯⨯-=-OA OB ，又60POQ ∠=︒，
所以()2
2·414
λλ⎡⎤=-=-+-⎣⎦CA CB CO OP OQ ()()22
2
2
·121?··4λλλλ=-+-+-CA CB OP OP OQ OQ
·CA CB ()()
22
43314433λλλλ=-+-=- 2
134324λ⎡⎤⎛
⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，
所以，当1
2λ=时，2
1333244min
λ⎡⎤⎛⎫--=-⎢⎥
⎪⎝⎭⎢⎥⎣
⎦，故·CA CB 的最小值为3434⎛⎫
⨯-=- ⎪⎝⎭
，
A ．32
B ．28
C ．26
D ．24
【答案】C
【解析】如图所示,建立以,a b 为一组基底的基向量,其中1a b ==且,a b 的夹角为60°,
∴24AB a b =+,42CD a b =+,
∴()()
22
1
24428820882011262
AB CD a b a b a b a b =+⋅+=++⋅=++⨯⨯⨯⋅=. 29．（多选题）已知1e ，2e 是两个单位向量，R λ∈时，12||e e λ+的最小值为32
，则下列结论正确的是（ ） A ．1e ，2e 的夹角是3
π B ．1e ，2e 的夹角是3π或23
π C ．12||1e e +=3D ．12||1e e +=或
32
【答案】BC
【解析】由题可知，()
()2
2
12121212
12222
()21()11e e e e e e e e e e λλλλ+=+⋅+=+⋅+-⋅-⋅≥
1e ，2e 是两个单位向量，且12||e e λ+ ∴212()e e λ+的最小值为3
4
，则()
2
12134e e =
-⋅，解得121cos 2
e e ⋅=± ∴1e 与2e 的夹角为
3π
或23
π， ∴21212||121
12212
e e e e ⋅++=⨯==+±或3，
∴12||1e e +=
A ．22b =
B ．a b ⊥
C ．2a b ⋅=
D ．()
4a b b +⊥
【答案】AD
【解析】由条件可b AD AB BD =-=，所以22b BD ==，A 正确；1
2
a AB =
，与BD 不垂直，B 错误；1
22
a b AB BD ⋅=
⋅=-，C 错误；4a b AB AD AC +=+=，根据正方形的性质有AC BD ⊥，所以()4a b b +⊥，D 正确．
（Ⅰ）若a b ，求λ的值； （Ⅱ）若a b ⊥，求λ的值．
【解析】解：（Ⅰ）若a b ，则存在唯一的μ，使b μ=，∴1212(2)e e e e λμ-=--
1212μλμλμ
=-⎧∴⇒==-⎨-=-⎩，
∴当1
2
λ=-时a b ，；
（Ⅱ）若a b ⊥，则0a b ⋅=，
1212(2)()0e e e e λ--⋅-= 22
11222(21)0e e e e λλ⇒-+-⋅+=
因为12,e e 是两个相互垂直的单位向量，2λ∴=
∴当2λ=时，a b ⊥.
(1)若()()21a b a b +⋅-=，求a 、b 的夹角；
(2)若a 、b 夹角为60，向量27ta b +与a tb +的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.
【解析】(1)因为()()21a b a b +⋅-=，所以2221a a b b +⋅-=， 即2221a a b b +⋅-=，又2a =，1b =，所以1a b ⋅=-， 所以1
1cos ,212a b a b a b ⋅-
〈〉===-⨯⋅，又[],0,a b π〈〉∈，
所以向量a 、b 的夹角是23π.
(2)因为向量27ta b +与a tb +的夹角为钝角，所以()()270ta b a tb +⋅+<， 且向量27ta b +与a tb +不反向共线，
即()2222+2770ta t a b tb +⋅+<，
又a 、b 夹角为60，所以1
cos602112a b a b ⋅==⨯⨯=，
所以221570t t ++<，解得1
72t -<<-，
又向量27ta b +与a tb +不反向共线，所以()27ta b a tb +≠+λ()0λ<，解得t ≠，
所以t 的取值范围是1
72t -<<-且2t ≠-.
（2）设向量a ，b 的夹角为θ．若存在t ∈R ，使得1a b t +=，求cos θ的取值范围．
又因为|a |＝2，|b |＝1，所以4a b +⋅-2＝1，所以a b ⋅=-1；
（2）若1a tb +=，则2222a ta b t b +⋅+=1，
又因为|a |＝2，|b |＝1，所以t 2+2（a b ⋅）t +3＝0，即t 2+4t cosθ+3＝0，
所以△＝16cos 2θ﹣12≥0，解得cosθ2≥或θ2≤-，
所以cosθ∈[﹣1，]∪1].
（1）求a b ⋅；
（2）求以,a b 为邻边的平行四边形的面积；
（3）求u 的模的最小值.
【解析】（1）()()cos23sin23cos68sin68a b =︒︒=︒︒，，，.
cos23cos68sin23sin68cos452a b ⋅=︒︒+︒︒=︒=.
（2）∵2cos 231a == ， 2cos 681b ==， 又∵22a b ⋅= 从而2
cos 2|a b
a b a b ⋅〈〉==，，
∴以a b ，为邻边的平行四边形的面积sin 1122S a b a b =⋅⋅〈〉=⨯⨯=，.
（3）222cos 23sin 231a =︒+︒=，222cos 68sin 681b =︒+︒=， ∴()()222222u a tb a t b ta b =+=++⋅，
2
21
122t t ⎛=++=+
⎝
⎭，
∴当2t =-时，min 2
||2u =.
（1）若2BA CB ⋅=-，求实数a 的值；
（2）若4a =，求ABC ∆的面积.
【解析】（1）由题,(3,3),(2,2)BA a CB =-=-,
若2BA CB ⋅=-,
则62(3)2a -+-=-,所以5a =.
（2）若4a =,则()2,4A ,所以(3,1),(2,2)BA BC ==-, 则||10,||22BA BC ==
所以cos ,||||10BA BC
BA BC BA BC ⋅〈〉===⋅,则2sin ,BA BC 〈〉=,
所以ABC ∆的面积为1
1
||||sin 422S BA BC B =⋅⋅==.。