三角函数与解三角形中的范围问题含答案

1．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，且B=2A ，求的
a
b 取值范围
2．在△ABC 中，,,a b c 分别为角A ，B ，C 的对边，设22222()()4f x a x a b x c =---，
（1）若(1)0f =，且B －C=3
π，求角C. （2）若(2)0f =，求角C 的取值范围.
3．在锐角ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 2sin ,c A =
（1）确定角C 的大小；
（2）若c =
ABC ∆面积的最大值.
4.已知△ABC中，角A，B，C，所对的边分别是a，b，c，且2(a2+b2－c2)=3ab．
(1)求cos C；
(2)若c=2，求△ABC面积的最大值．
5.在△中，角、、所对的边分别为、、，且.（Ⅰ）若，求角；
（Ⅱ）设，，试求的最大值.
6．的三个内角依次成等差数列．
（1）若，试判断的形状；
（2）若为钝角三角形，且，试求代数式的取值范围．
7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为,,a b c ，8=•AC AB ，BAC θ∠=，4a =.
（1）求b c ⋅的最大值及θ的取值范围；
（2）求函数22()(
)2cos 4f πθθθ=++-.
8．在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5
B =. （1）求角
C 的大小；
（2）若ABC △
9．在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且满足274sin cos222
B C A +-=． （1）求角A 的度数；
（2）求
b c a
+的取值范围．
10．在△ABC中，sinB+sinC=sin(A-C).（1）求A的大小；
（2）若BC=3，求△ABC的周长L的最大值.
11．设的内角所对的边分别为且.（1）求角的大小；
（2）若，求的周长的取值范围.
12．已知向量，（），函数且f(x) 图像上一个最高点的坐标为，与之相邻的一个最低点的坐标为.
（1）求f(x)的解析式。

（2）在△ABC 中，是角所对的边，且满足，求角B 的大小以及f(A)取值范围。

13．在△ABC 中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且ab c b a +=+222
（1）若A
B b a cos cos =，且2=c ,求AB
C ∆的面积； （2）已知向量)cos ,(sin A A m =，)sin ,(cos B B n -=，求｜2-｜的取值范围．
14．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且c
a b b a c a -=++， （1）求角B 的大小；
（2）若ABC △最大边的边长为7，且A C sin 2sin =，求最小边长.
15．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.它的外接圆半径为6. ∠B ，∠C 和△ABC 的面积S 满足条件：22)(c b a S --=且.3
4sin sin =
+C B （1）求A sin
（2）求△ABC 面积S 的最大值.
16．已知C B B A ABC sin 3)cos 3sin (sin =+中，
△ （Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若BC=3，求△ABC 周长的取值范围.
∆中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足17．在锐角ABC
+
sin2=
+B
B
B
B
2
sin
.1
cos
2
sin
2
∠的值；
（1）求B
（2）若b=3，求a+c的最大值.
18．在△ABC 中，角A 、B 、C 对边分别是,,a b c ，且满足222()AB AC a b c ⋅=-+u u u r u u u r ．
（1）求角A 的大小；
（2）求2
4sin()23
C B π--的最大值，并求取得最大值时角B 、C 的大小．
19．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a,b,c 且ac c b a 2
1222=-+. （1）求B C A 2cos 2
sin 2++的值； （2）若b=2，求△ABC 面积的最大值．
20．已知在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,cos cos cos B c B b C =+
(1)求角B 的大小;
(2)设向量()()cos ,cos 2,12,5m A A n ==-u r r ,求当m n ⋅u r r 取最大值时,tan C 的值.
参考答案
1．（1）C=（2）0＜C ≤
【解析】（1）∵f （1）=0，∴a 2-(a 2-b 2)-4c 2
=0，
∴b 2=4c 2，∴b=2c ，∴sinB=2sinC ，
又B-C=.∴sin(C+)=2sinC ，
∴sinC ·cos+cosC ·sin=2sinC ，
∴sinC-cosC=0，∴sin(C-)=0，
又∵-＜C-＜，∴C=.
（2）若f （2）=0，则4a 2-2(a 2-b 2)-4c 2=0，
∴a 2+b 2=2c 2，∴cosC==，
又2c 2=a 2+b 2≥2ab ，∴ab ≤c 2，∴cosC ≥，
又∵C ∈（0，），∴0＜C ≤. 2．（1）C=6
π （2）0<C ≤3
π 【解析】解；（1）由f （1）=0，得a 2－a 2+b 2－4c 2=0， ∴b= 2c …………（1分）.
又由正弦定理，得b= 2RsinB ，c=2RsinC,将其代入上式，得sinB=2sinC …………（2分） ∵B －C=3π，∴B=3π+C ，将其代入上式，得sin （3
π+C ）=2sinC ……………（3分） ∴sin （
3π）cosC + cos 3πsinC =2sinC ，整理得，C C cos sin 3=…………（4分）
∴tanC=3
3……………（5分） ∵角C 是三角形的内角，∴C=6
π…………………（6分） （2）∵f （2）=0，∴4a 2－2a 2
+2b 2－4c 2=0，即a 2+b 2－2c 2=0……………（7分） 由余弦定理，得cosC=ab
c b a 22
22-+……………………（8分） =ab b a b a 222
22
2+-+ ∴cosC=ab b a 422+2
142=≥ab ab （当且仅当a=b 时取等号）…………（10分） ∴cosC ≥2
1， ∠C 是锐角，又∵余弦函数在（0，2π）上递减，∴.0<C ≤3
π………………（12分） 3．（1
）sin sin a c A C
==
sin C ∴=
又C 是锐角 3C π
∴=
（2）222227cos 22a b c a b C ab ab +-+-==12
= 22727a b ab ab ∴+-=≥-
7ab ∴≤
1sin 2ABC S ab C ∆∴==
4
≤
当且仅当a b ==ABC ∆的面积有最大值
4 【解析】略
4．
【解析】 5．（Ⅰ）4
π（Ⅱ） 【解析】，…….2分
（1）由
4分
又 5分
（2）＝3sinA+ cos2A ＝-2（sinA- 8分 的最大值为 10分
6．．解：（Ⅰ）∵C A B sin sin sin 2=，∴ ac b =2
. ∵C B A ,,依次成等差数列，∴B C A B -=+=π2,3π
=B .
由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=，
ac ac c a =-+22，∴c a =.
∴ABC ∆为正三角形.
（Ⅱ）2
12cos 2sin 32sin
2
-+A A C =
2
1
sin 232cos 1-+-A C
=
12223sin A cos A π⎛⎫-- ⎪⎝⎭
=
A A A sin 4
3cos 41sin 23-+ =
A A cos 4
1
sin 43+ =
)6
sin(21π+A ∵
22
3A π
π<<
,∴25366
A πππ
<+<，
∴
1262sin A π⎛
⎫<+<
⎪⎝⎭114264sin A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭
.
∴代数式23
2cos 2sin 32sin 2
++A A C 的取值范围是14⎛ ⎝⎭
.
【解析】略
7．Ⅰ）cos 8bc θ⋅= 222
2cos 4b c bc θ+-=
即2232b c += ……………………2分
又222b c bc +≥，所以16bc ≤，即bc 的最大值为16………………4分
即816cos θ≤ 所以 1cos 2θ≥ ， 又0＜θ＜π 所以0＜θ3
π
≤ ……6分
（Ⅱ）()[1cos(
2)]1cos 22cos 212
f π
θθθθθ=-+++=++
2sin(2)16
π
θ=++ …………………………………………9分
因0＜θ3π≤
，所以6
π
＜5266ππθ+≤， 1sin(2)126πθ≤+≤ ………10分 当526
6π
πθ+
=
即3
π
θ=时，min 1()2122f θ=⨯+= ……………11分 当26
2
π
π
θ+=
即6
π
θ=
时，max ()2113f θ=⨯+= ……………12分
【解析】略
8．（Ⅰ）3π4
C =
（Ⅱ）最小边BC =
【解析】解：（Ⅰ）∵ π()C A B =-+，
∴ 13
45tan tan()113145
C A B +=-+=-
=--⨯． 又 0πC <<Q ， ∴ 3
π4
C =
． （Ⅱ）3
4
C =
πQ ， ∴ AB
边最大，即AB =．
又 ∵ tan tan (0)A B A B π<∈2
，，， ∴ 角A 最小，BC 边为最小边．
由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧
=
=⎪⎨⎪+=⎩
，，
且π(0)2A ∈，，
得sin 17A =
由
sin sin AB BC C A =, 得
sin sin A
BC AB C
==g
所以，最小边BC =
9．（I ）
（II ）
(]1,2b c
a
+∈ 【解析】解：（I ）()()
27
21cos 2cos 12
A A +--=
Q ，……4分 ∴24cos 4cos 10A A -+=解得1cos 2A =
，……6分 ∵0A π<< 3
A π
∴=． ……8分 （II ）2sin sin sin sin 32sin sin 6sin
3
B B b c B
C B a A πππ⎛⎫
+- ⎪
++⎛⎫⎝⎭===+ ⎪⎝⎭，……10分 20,
3B π⎛⎫∈ ⎪
⎝⎭Q ,5,666B πππ⎛⎫
∴+∈ ⎪
⎝⎭
, ∴1sin()126B π<+≤ ∴(]1,2b c a +∈ ……12分 10．解：（1）将sinB+sinC=sin(A-C)变形得sinC(2cosA+1)=0, （2分）
而sinC ≠0，则cosA=2
1
-，又A ∈（0，π），于是A=
3
2π
； （6分） （2）记B=θ，则C=3π-θ（0＜θ＜3π
），由正弦定理得⎪
⎩
⎪⎨⎧-π==)3sin(32sin 32θAB θ
AC ， （8分） 则△ABC 的周长l=23[sin θ+sin(
3π-θ)]+3=23sin(θ+3
π
)+3≤23+3， （11分） 当且仅当θ=
6
π
时，周长l 取最大值23+3. （13分）
【解析】略
11．解：（1）由得…………
又…………
，，，
又…………
（2）由正弦定理得：,
………
…………
故的周长的取值范围为.…………13'（2）另解：周长由（1）及余弦定理
…………
…………
又
即的周长的取值范围为.…………13'【解析】略
12．略
【解析】将条件代入求参数,分析角之间的关系求值.
(Ⅰ) ………………………1分
………………………2分 …………………………………3分
∵f(x) 图像上一个最高点的坐标为，与之相邻的一个最低点的坐标为. ∴,所以,于是…………………4分 …………………………5分 （2）∵，∴，…………………7分 又，∴ …………………8分 ， ∵，∴，
可知 …………………10分 …………………12分
.按确定的解析式的一般步骤定参数.
13．解：（1）在△ABC 中，
,
222ab c b a +=+Θ即
o ab b a ab b a c 60cos 222222-+=-+=Θ
3
π
=
∠∴C 又
A B b a cos cos = 即B B A A A
B
B A b a cos sin cos sin ,cos cos sin sin =∴==,即
B A B A =∴=,2sin 2sin 或2
π
=
+B A 而3
π
=
∠C 故△ABC 是等边三角形。

又2=c 3=∴∆ABC S …………6分
（2）)sin(45)sin cos cos (sin 4544)2(2
2
2
B A B A B A n m n m n m --=--=⋅-+=-
,32,32B A B A -==
+ππsin(45)sin(45)2(2-=--=-B A n m )23
2B -π
=)23
sin(
45B +-π
……………10分
9)2(1,1)23
sin(1,35233,3202≤-≤∴≤+≤-∴<+<<
<n m B B B πππππ， 故｜n m 2-｜的取值范围[]3,1。

………12分 【解析】略
14．（Ⅰ）由
c
a
b b a
c a -=
++整理得))(()(b a a b c c a +-=+， 即2
2
2
a b c ac -=+，------2分
∴2
1
22cos 222-=-=-+=
ac ac ac b c a B ， -------5分 ∵π<<B 0，∴3
2π
=
B 。

-------7分 （Ⅱ）∵3
2π
=
B ,∴最长边为b ， --------8分 ∵
A C sin 2sin =，∴a c 2=， --------10分
∴a 为最小边，由余弦定理得)2
1(22472
2
2
-⋅⋅-+=a a a a ，解得12
=a ， ∴1=a ，即最小边长为1 【解析】略
15．（1）8sin 17
A =
；（2）.17256
=最大S 【解析】（1）利用余弦定理及三角形的面积公式列出关于A sin 的方程进一步求解；（2）利用正弦定理找出边b 与c 的关系，再利用一元二次函数知识求出面积的最大值。

解：（1）A bc bc bc c b a S cos 2222
2
2
-=+--=).cos 1(2A bc -=
又A bc S sin 21=
A bc A bc sin 2
1
)cos 1(2=-∴ )cos 1(4sin A A -=⇒
联立得：⎩
⎨⎧-==+)cos 1(4sin 1cos sin 22A A A A ………………3分
得：1cos )cos 1(162
2
=+-A A 0)1)(cos 15cos 17(2
=--⇒A A
11cos 0≠-∴<<A A πΘ
17
8
sin :1715cos ==
∴A A 从而得 ………………7分 （2）bc A bc S 17
4
sin 21==
………………9分 3
4223
4
sin sin =+∴
=+R c R b C B Θ
166=+∴=c b R Θ ………………10分
17
256)8(174)16(174)16(17417422+--=--=-==
∴b b b b b bc S
∴当b=c=8时，.17
256
=
最大S ………………13分, 16．
【解析】略
17．（1）.3
,01cos 2π
=
∠=-∴B B 即
（2）a+c 的最大值为6。

【解析】解：（1）
,12cos sin 2sin 2sin 2=++B B B B Θ
,0sin 2cos sin 2cos sin 42222=-+∴B B B B B
即.0)1)(cos 1cos 2(sin 22
=+-B B B
又ABC ∆为锐角三角形，.3
,01cos 2π
=
∠=-∴B B 即
（2）由（1）知,3
π
=
∠B
2
2222222)2
()(43)(3)(,23cos c a c a c a ac c a b ac b c a +=+-+≥-+=-+=∴即π
c a b c a +=≤+∴可知,364)(22的最大值为6。

18．（1）23
A π
=
（22；6
B C π
==
【解析】本试题主要是考察了余弦定理和三角恒等变换，以及三角函数的性质的综合运用。

（1）利用向量的数量积得到2222cos 2bc A a b c bc =---，结合余弦定理得到角ADE ZHI (2)
由
于
∵
23
A π
=
，∴3
B C π
=
-，03
C π
<<
，将
2
41cos sin()sin()2323C C B B ππ+--=+-化简为2sin()3
C π+，然后借助于三角函数的性质得到最值。

解：（1）由已知2222cos 2bc A a b c bc =---， ……………………………………..2分
由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得4cos 2bc A bc =-，∴1
cos 2A =-， 4分
∵0A π<<，∴23
A π
=
．…… …………………. 5分
（2）∵23
A π=
，∴3B C π=-，03C π<<．
2
41cos sin()sin()2323C C B B ππ+--=+-2sin()3
C π
=+． 8分
∵03
C π
<<
，∴
23
3
3
C π
π
π
<+
<
，
∴当3
2
C π
π
+
=
，2
4sin()23C B π--2，解得6
B C π
==．
10分
19．1(1)4-
【解析】(1) 由余弦定理： ………………………2分 ………………………5分
（2）由.
415sin ,41cos ==B B 得 ∵， ………………………7分
得38
, ………………………9分
(时取等号) ………………………11分
故的最大值为315
………………………12分
20．(1) π
4
B =
；(2)7
【解析】（1）根据正弦定理把
cos cos cos B c B b C =+,转化为
cos sin cos sin cos sin()sin A B C B B C B C A =+=+=,从而可求出cosB,进而得到角B.
（2）由数量积的坐标表示可得2
34310cos 55m n A ⎛
⎫⋅=--+ ⎪⎝
⎭u r r ,然后可知3cos 5A =时, m n ⋅u r r 取
最大值,因而可得4
tan 3
A =
,再利用()tan tan C A B =-+求值即可.
解：(1)
π
4 B=
(2)
2
343
10cos
55
m n A
⎛⎫
⋅=--+
⎪
⎝⎭
u r r
,∴当
3
cos
5
A=时,取最大值.
此时
4
tan
3
A=,()
tan tan7
C A B
∴=-+=。