微专题12一元二次方程根的分布问题4种常考题型总结(解析版)-人教A版2019必修第一册高一数学习题

微专题12 一元二次方程根的分布问题4种常考题型总结
题型1 一元二次方程根在R 上的分布题型2 一元二次方程根的零分布
题型3 一元二次方程根的k 分布题型4 一元二次方程根在区间上的分布
一、二次函数相关知识
对于形如()2
0=++¹y ax bx c a 的二次函数，有以下性质：
1、判别式：ac b 42
-=∆；求根公式：a
ac
b b x 242-±-=；
2、韦达定理：a b x x -=+21，a c
x x =21；
3、二次函数对称轴a b x 2-=，定点坐标（a b 2-，ac
b a
c 442
-）．
二、一元二次方程根的0分布
方程的根相对于零的关系。

比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧.
0分布结合判别式，韦达定理以及0处的函数值列不等式，即可求出参数的取值范围。

三、一元二次方程根的k 分布
分布情况
两根都小于
k 即
k x k x <<21
,两根都大于k 即
k
x k x >>21,一根小于k ，一大于k 即
2
1x k x <<大致图象（a >0）
得出的结论
()0
20b k a f k ∆>ìïï
-<íï>ïî()0
20
b k a f k ∆>ìïï
->íï>ïî()0
<k f k
k
k
大致图象（a <0）
得出的结论
()020b k a f k ∆>ìïï
-<íï<ïî()0
20b k a f k ∆>ìïï
->íï<ïî()0
>k f 综合结论（不讨论a ）
()020
b k a a f k ∆>ìïï-<í
ï×>ïî()020
b k a a f k ∆>ìïï->í
ï×>ïî()0
<×k f a 四、一元二次方程根在区间的分布
分布情况
两根都在
()
n m
,
内
两根仅有一根在(
)n
m
,内（
图象有两种情况，只画了一种）
一根在
(
)n m ,内，另一根在()q p ,内，q
p n m <<<大致图象（
0>a ）
得出的结论
()()0
002f m f n b m n
a ∆>ìï
>ïï
>íïï<-<ïî
()()0
<×n f m f ()()()()0
000f m f n f p f q ì>ï
<ïí<ï
ï>î
或()()()()0
0f m f n f p f q <ìïí
<ïî大致图象（
0<a ）
得出的结论
()
()
2
f m
f n
b
m n
a
∆>
ì
ï<
ï
ï
<
í
ï
ï<-<
ïî
()()0<
×n
f
m
f
()
()
()
()
f m
f n
f p
f q
ì<
ï
>
ï
í
>
ï
ï<
î
或
()()
()()
f m f n
f p f q
<
ìï
í
<
ïî
综合结论（不
讨论a）——————
()()0<
×n
f
m
f
()()
()()
ïî
ï
í
ì
<
<
q
f
p
f
n
f
m
f
五、一元二次方程根的分布应用示例
在处理参数范围问题时，有时会需要限制一元二次方程的根位于指定范围，这就是一元二次方程根的分布问题．
一、方程f(x)＝0有一根大于k，另一根小于k的条件是f(k)＜0
示例1:方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0两实根一个大于2，另一个小于2，求实数m的取值范围．
【解析】设f(x)＝8x2
－(m－1)x
＋m－7，符合题意的f(x)如图．
方程一根大于2，另一根小于2，等价于f(2)＜0，
即8·22－(m－1)·2＋m－7＝27－m＜0.
解得m的取值范围是m＞27.
注：用于限制一元二次方程根的分布的工具有三个：①判别式Δ；②对称轴；③区间端点函数值的符号，但不一定每次每个工具都用到，同学可以结合图形按需取用．
二、方程f(x)＝0的一根小于k1，另一根大于k2且k1＜k2的条件是{f(k1)＜0，
f(k2)＜0
示例2：方程x2－(m－1)x＋m－7＝0两根x1，x2满足x1<－1，x2>2，求实数m的取值范围．
【解析】设f(x)＝x2－(m－1)x＋m－7.
符合题意的f(x)图象如图．
两根x 1，x 2满足x 1<－1，x 2>2，
则{f (－1)＜0，f (2)＜0， 即{
(－1)2－(m －1)(－1)＋m －7＜0，22
－2(m －1)＋m －7＜0，
解得m ∈(－1，7
2)
.
注：如果求出两根：x 1
x 2
{
x 1<－1，x 2>2
显然比本例解法要麻烦得多．
三、方程f (x )＝0在区间(k ，＋∞)内有两个实根的条件是{Δ≥0，－b
2a ＞k ，
f (k )＞0
示例3：方程8x 2－(m －1)x ＋m －7＝0的两实根都大于1，求实数m 的取值范围．【解析】方法一　设函数f (x )＝8x 2－(m －1)x ＋m －7，作其草图，如图．
若两实根均大于1，需
{
Δ＝(m －1)2－32(m －7)≥0，
f (1)＞0，
m －1
16
＞1，
即{
m ≥25或m ≤9，m ∈R ，m ＞17，
解得m ≥25.方法二　设方程两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝m －18
，
x 1x 2＝
m －78
，因为两根均大于1，
所以x 1－1＞0，x 2－1＞0，
故有{
Δ＝(m －1)2－32(m －7)≥0，
(x 1－1)＋(x 2－1)＞0，(x 1－1)(x 2－1)＞0，
即{
(m －1)2－32(m －7)≥0，m －18－
2＞0
，
m
－78－m －18
＋1＞0，
解得
所以m ≥25.
【反思与感悟】在方法一中，如果少了条件Δ≥0，就会有导致范围扩大．同学可以自行考虑如果少了条件2，条件3会怎样．在方法二中，
{
x 1＞1，x 2＞1 ⇒{x 1＋x 2>2，x 1x 2>1， 但{x 1＋x 2>2，x 1x 2>1 ⇏{x 1>1，
x 2>1.
例如x 1＝4，x 2＝12
.
所以{
Δ≥0，
x 1＋x 2＞2，x 1x 2＞1
不是等价条件．
四、方程f (x )＝0在区间(k 1，k 2)内有两个实根的条件是{Δ≥0，
k 1＜－b
2a
＜k 2，
f (k 1)＞0，f (k 2)＞0
示例4：方程8x 2－(m －1)x ＋m －7＝0两实根都在区间(1,3)内，求实数m 的取值范围．【解析】　设f (x )＝8x 2－(m －1)x ＋m －7，符合题意的f (x )图象如图
则{Δ≥0，f (1)＞0，f (3)＞0，1
＜m －116
＜3， 即
{
m ≥25或m ≤9，m ∈R ，
m ＜34，17＜m ＜49，
所以25≤m ＜34.
注：本例中四个限制条件缺一不可，同学可以思考如果去掉其中一个条件会怎样．如去掉对称轴的限制，则会包含两根均小于1或均大于3的情形．其本质是用零点存在定理限制区间(
1，m －116
)，
(
m －116
，3)
上各有
一个零点．
题型1 一元二次方程根在R 上的分布
【例1】“m>2”是“关于x 的方程2210x mx -+=有两个不等实根”的（
）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】因为关于x 的方程2210x mx -+=有两个不等实根，
所以280m ∆=-＞，解得m -＜m ＞所以“m>2”是“关于x 的方程2210x mx -+=有两个不等实根” 既不充分也不必要条件.故选：D
【变式1】已知命题:p “x $ÎR ，关于x 的一元二次方程20x m -+=有实数根”是真命题，则实数m 的
取值范围是 .
【答案】3
m £
【解析】因为x $ÎR ，关于x 的一元二次方程20x m -+=有实数根，
所以2(40m ∆=--³，解得3m £，故答案为：3
m £【变式2】x 的一元二次方程210x kx k +++=没有实数根，则k 的取值范围是___.
【答案】(22-+.
【解析】∵关于x 的一元二次方程210x kx k +++=没有实数根
∴()2
Δ410
k k =-+<∴2440
k k --<
解得：22k -<<+【变式3】若下列两个方程：24430x ax a +-+=，2220x ax a +-=至少有一个方程有实根，则实数a 的取
值范围为
.
【答案】3
2
a £-或0a ³.
【解析】24430x ax a +-+=有实根，则()2
164430a a ∆=--+³，解得1
2
a ³
或32a £-，
2220x ax a +-=有实根，则2480a a ∆=+³，解得0a ³或2a £-，
故实数a 的取值范围是12a a ì³íî
或32a ü£-ýþU {0a a ³或}2a £-32a a ì
=£-íî或}0a ³.
故答案为：3
2
a £-或0a ³.
题型2 一元二次方程根的零分布
【例2】关于x 的一元二次方程2(2)20x m x m +--=有两个不相等的正实数根，则m 的取值范围是（ ）
A ．(,2)(2,0)-¥--U
B ．(,2)-¥
C ．(0,2)(2,)È+¥
D ．(2,)
-+¥【答案】A
【解析】因为方程2(2)20x m x m +--=有两个不相等的正实数根，
所以()22802020m m m m ì-+>ï
-+>íï->î
，解得0m <且2m ¹-.故选：A.
【变式1】关于x 的一元二次方程280x qx q ++-=有两个正实数根，则q 的取值范围是（ ）
A ．8q >
B ．4
q <-C ．8q >或4
q <-D ．8
q <-【答案】D
【解析】因为一元二次方程280x qx q ++-=有两个正实数根，
所以2Δ=4(8)>0>08>0q q q q ----ìï
íïî
，解得8q <-，故选：D
【变式2】若一元二次方程2240ax x --=（a 不等于0）有一个正根和一个负根，则实数a 的取值范围为
（ ）
A ．0a >
B ．2
a >C ．1
a >D ．1
a >-【答案】A
【解析】因为一元二次方程2240ax x --=（a 不等于0）有一个正根和一个负根，设两根为12,x x ，
则()()212
Δ24404
0a x x a ì=--´´->ïí=-<ïî
，解得0a >，故选：A 【变式3】一元二次方程()2
5400ax x a ++=¹
有一个正根和一个负根的一个充要条件是（ ）
A ．a<0
B ．0a >
C ．2a <-
D ．1
a >【答案】A
【解析】因为一元二次方程()2
5400ax x a ++=¹有一个正根和一负根，设两根为1x 和2x ，
所以212Δ54404
0a x x a ì=-´>ïí=<ïî
，解得25160a a ì<
ïíï<î，故a<0.故选：A.【变式4】关于x 的方程24260x mx m -++=至少有一个负根的充要条件是（ ）
A ．32
m ³B ．1m £-C ．3
2
m ³
或1m £-D ．3
m £-【答案】B
【解析】当方程没有根时，2168240m m ∆=--<，即2230m m --<，解得3
12
m -<<
；当方程有根，且根12,x x 都不为负根时，可得21212Δ16824040260
m m x x m x x m ì=--³ï+=³íï=+³î，解得3
2m ³，
综上可知1m >-，
即关于x 的方程24260x mx m -++=没有一个负根时，1m >-，所以24260x mx m -++=至少有一个负根的充要条件是1m £-.故选：B
题型3 一元二次方程根的k 分布
【例3】已知二次函数()()2
22433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，则m
可能为（ ）
A ．2-
B ．1-
C ．0
D ．1
【答案】B
【解析】令()f x =()()2
22433m x m x m +-+++，
则()12243321f m m m m =+--++=+，由题可知，2m ¹-，且()()210m f +<，即()()2210m m ++<，解得12, 2m æ
öÎ--ç÷è
ø，
故所有选项中满足题意的m 的值是：1-.故选：
B.
【变式1】已知方程2(2)50x m x m +-+-=有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m 的
取值范围是（ ）
A ．(5,4)(4,)--+¥U
B ．(5,)-+¥
C ．(5,4)--
D ．(4,2)(4,)
--+¥U 【答案】C
【解析】令()2
(2)5m
f x m x x =+-+-由题可知：()()()()2Δ024504422222422505
20
m m m m m m m m m m f >ìì--´->><-ìïï-ïï
>Þ<-Þ<-í
ííïïï+-´+->>-î>îïî或则54m -<<-，即(5,4)m Î--故选：C
【变式2】关于x 的方程2
2
190x x a
æö+++=ç÷è
ø
有两个不相等的实数根12,x x 且121x x <<，那么a 的取值范围是
（ ）
A ．22,75æö-ç÷
èø
B ．2,5æö+¥ç÷
èø
C ．2,7æ
ö-¥-ç÷
è
øD ．2,011æö
-ç÷
èø
【答案】D
【解析】设()2219f x x x a æö=+++ç÷èø，则()2
2Δ1360
21110
a f a ìæö
=+->ïç÷ïèøíï=+<ïî
，解得：2011a -<<，
即a 的取值范围为2,011æö
-ç÷èø
.故选：D.
【变式3】已知方程240x x a -+=的两根都大于1，则a 的取值范围是（ ）
A ．34a <£
B ．14
a <£C ．1
a >D ．4
a £【答案】A
【解析】设方程240x x a -+=的两根为12,x x ，依题意有：121216404a x x x x a ∆=-³ìï
+=íï=î，
因12,x x 都大于1，则122x x +>，且12()1(1)0x x ->-，显然122x x +>
成立，
由12()1(1)0x x ->-得1212()10x x x x -++>，则有410a -+>，解得3a >，由1640a ∆=-³解得：4a £，于是得34a <£，所以a 的取值范围是34a <£.故选：A
【变式4】已知关于x 的方程 ()2
21260x m x m +-++=，当方程的根满足下列条件时，求m 的取值范围.
(1)有两个实数根，且一个比2大，一个比2小；(2)至少有一个正根.
【答案】(1)1m <-；(2)1
m £-【解析】（1）设2()2(1)26f x x m x m =+-++，则由题意可得(2)660f m =+<，解得1m <-.
（2）关于x 的方程22(1)260x m x m +-++=无实数根时，()()2
414260m m --+<，解得15m -<<，
关于x 的方程22(1)260x m x m +-++=有两个负实数根时，
()()()2414260210
260m m m m ì--+³ï
--<íï+>î
，解得5m ³，所以关于x 的方程22(1)260x m x m +-++=无实数根时或有两个负实数根时1m >-，可得关于x 的方程22(1)260x m x m +-++=至少有一个正实数根，则1m £-.
【变式5】已知a 、b 、R c Î，关于x 不等式22ax bx c x ++<的解集为()1,3．
(1)若方程20ax bx c ++=一根小于1-，另一根大于1-，求a 的取值范围；
(2)在（1）条件在证明以下三个方程：24430x ax a +-+=，()22
10x a x a +-+=，2220x ax a +-=中至少有
一个方程有实数解．
【答案】(1)1
(0,)4
；(2)证明见解析
【解析】（1）因为关于x 不等式22ax bx c x ++<的解集为()1,3， 即2(2)0ax b x c +-+<的解集为()1,3，
故0a >，且1，3为2(2)0ax b x c +-+=的两根，则213,13b c
a a
-+=-
´=，即42,3b a c a =-+=，又方程20ax bx c ++=一根小于1-，另一根大于1-
，
设2()f x ax bx c =++，而0a >，则(1)0f a b c -=-+<，即14230,4
a a a a +-+<\<
，结合0a >，可得a 的取值范围为1
(0,)4
.
（2）证明：假设24430x ax a +-+=，()22
10x a x a +-+=，2220x ax a +-=都没有实数解，
则它们的判别式都小于0，
即()222
2164(43)0
140480a a a a a a ì--+<ïï--<íï+<ïî
，即3
12211320a a a a ì-<<ïïï><-íï
-<<ïïî或，解得312a -<<-，
这与a 的取值范围为1
(0,)4
矛盾，
故24430x ax a +-+=，()22
10x a x a +-+=，2220x ax a +-=中至少有一个方程有实数解．
题型4 一元二次方程根在区间上的分布
【例4】已知关于x 的方程20x x m ++=在区间()1,2内有实根，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．[6,2]--
B ．(6,2)--
C ．(,6][2,)-¥-È-+¥
D ．(,6)(2,)
-¥--+¥U 【答案】B
【解析】因为关于x 的方程20x x m ++=在区间()1,2内有实根，所以2m x x =--在区间()1,2内有实根，
令()2
f x x x =--，()1,2x Î，所以()f x 在()1,2上单调递减，
所以()()()21f f x f <<，即()()6,2f x Î--，依题意y m =与()y f x =在()1,2内有交点，所以()6,2m Î--.故选：B
【变式1】关于x 的方程()2
2210x m x m +-+-=恰有一根在区间()0,1内，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．13,22éùêú
ëûB ．12,23æùçú
èûC ．1,22éö÷
êëøD
．{12,623æù
È-çúèû
【答案】
D
【解析】方程2(2)210x m x m +-+-=对应的二次函数设为：()2
(2)21
f x x m x m =+-+-因为方程2(2)210x m x m +-+-=恰有一根属于(0,1)，则需要满足：①()()010f f ×<，()()21320m m --<，解得：
1223
m <<；②函数()f x 刚好经过点()0,0或者()1,0，另一个零点属于(0,1)，
把点()0,0代入()2
(2)21f x x m x m =+-+-，解得：1=2
m ，
此时方程为2
302
x x -
=，两根为0，32，而()3
0,12Ï，不合题意，舍去
把点()1,0代入()2
(2)21f x x m x m =+-+-，解得：2
3
m =
，此时方程为23410x x -+=，两根为1，1
3，而()10,13
Î，故符合题意；
③函数与x 轴只有一个交点，()2
2840m m ∆=--+=
，解得6m =±
经检验，当6m =- (0,1) 内;
综上：实数m
的取值范围为{12,623æù
È-çúèû
故选：D
【变式2】已知一元二次方程210x mx -+=的两根都在(0,2)内，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．52,2æöç÷
èøB ．52,2éö÷
êëøC ．(]5,22,2¥éö
--È÷
êëøD ．(]5,22,2¥æö
--Èç÷
èø
【答案】B
【解析】设()2
1f x x mx =-+，由题意可得()()2Δ40022010
2250
m m f f m ì=-³ï
ï<<ïíï=>ï=-+>ïî，解得522m £<.
因此，实数m 的取值范围是52,2éö
÷êëø
.故选：B.
【变式3】若关于x 的方程2220x ax a -++=在区间()2,1-上有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是
（ ）
A ．6,15æ--öç÷
èøB ．6,15æö
-ç÷
è
ø
C ．()
6,1,5æ
ö-¥--+¥ç÷èøU D ．()
6,1,5æ
ö-¥-+¥ç÷è
øU 【答案】A
【解析】令()2
22g x x ax a =-++，因为方程2220x ax a -++=在区间()2,1-上有两个不相等的实数解，
所以()()Δ02120
10a g g >ìï-<<ïí->ïï>î，即()2Δ442021
44201220a a a a a a a ì=-+>ï
-<<ïí+++>ïï-++>î，解得615a -<<-，
所以a 的取值范围是6,15æ--ö
ç÷èø
．故选：A ．
【变式4】已知关于x 的方程()22
140x m x m -++=的两根分别在区间()01，
，()12，内，则实数m 的取值范围为 ．
【答案】104æö
ç÷
èø
，【解析】令()()22
14f x x m x m =-++，
根据题意得()()()()()22
200401011402042140f m f m m f m m ìì>>ïï<Þ-++<ííïï>-++>îî①
②③，
由①得：0m ¹，由②得：1
04
m <<，由③得：x ÎR ，求交集得：104
m <<
故m 的取值范围为10,4æö
ç÷èø.
故答案为：10,4æö
ç÷
èø
【变式5】设m 为实数，若二次函数2y x x m =-+在区间()1¥-，上有两个零点，则m 的取值范围是 .
【答案】10,4æö
ç÷
èø
【解析】二次函数2y x x m =-+的对称轴为1
2
x =
，且开口向上，
因为二次函数2y x x m =-+在区间()1¥-，
上有两个零点，所以方程20x x m -+=在区间()1¥-，内有两个不同的根，记方程20x x m -+=的两根为12,x x ，
则()()()()()1212121212Δ140
112120111110
m x x x x x x x x x x m ì=->ï-+-=+-=-<íï-×-=-++=-+>î，解得104m <<，所以104m æö
Îç÷èø，.
故答案为：104æö
ç÷
èø
，【变式6】关于x 的方程2(3)0x m x m +-+=满足下列条件，求m 的取值范围．
(1)有两个正根；
(2)一个根大于1，一个根小于1；
(3)一个根在(2,0)-内，另一个根在(0,4)内；(4)一个根小于2，一个根大于4；(5)两个根都在(0,2)内．【答案】(1)01m <£(2)1m <(3)4
05
m -
<<(4)45
<-m (5)
2
13
m <£【分析】根据二次方程根的分布的性质逐一解决每个小问.
【详解】（1）令2()(3)f x x m x m =+-+，设()0f x =的两个根为12,x x .
由题得()12122300Δ340
x x m x x m m m ì+=->ïï
=>íï=--³ïî，解得01m <£.
（2）若方程2(3)0x m x m +-+=的一个根大于1，一个根小于1，则(1)220f m =-<，解得1
m <（3）若方程2(3)0x m x m +-+=一个根在(2,0)-内，另一个根在(0,4)内，则(2)100
(0)0(4)540f m f m f m -=->ìï
=<íï=+>î
，解得
4
05
m -
<<（4）若方程2(3)0x m x m +-+=的一个根小于2，一个根大于4，
则(2)320(4)540
f m f m =-<ìí=+<î，解得45<-
m （5）若方程2(3)0x m x m +-+=的两个根都在(0,2)内，则()()()22320
00302
2Δ340f m f m m m m ì=->ï
=>ïï
-í<-<ïï=--³ïî
，解得21
3m <
£。