运输问题-初始基可行解的确定

x11

x21
x12 x22
x13 x23
x14 x24

x31 x11
x32 x21
x33 x31
x34 8

x12
x22
x32
14

x13
x23
x33
12
x14 x24 x34 14
xij 0, i 1, 2,3;
对每一个供应地或销售地，均可由它到各销售地或 到各供应地的单位运价中找出最小单位运价和次小单位运 价，并称这两个单位运价之差为该供应地或销售地的罚数。 若罚数的值不大，当不能按最小运价安排运输时造成的运 费损失不大；反之，如果罚数的值很大，不按最小运价组 织运输就会造成很大的损失，故应尽量按最大罚数安排运 输。
产 量
6 16
② 10
228 ⑤
48
①
④
③
销地
产地
B1
4
A1
2
A2 8
A3
8
销量
8
表 3-2
B2
B3
B4
12
4
11
10
10
3
9
2
5
11
6
14
8
14 12 10 14 6
产 量
6⑥ 16
② 10
22 ⑤
48
①
④
③
⑥
此时得到一个初始调运方案（初始可行解）： x13 10, x14 6, x21 8, x23 2, x32 14, x34 8, 其余变量全等于零。
一、给出运输问题的初始可行解（初始调运方案） 下面介绍三种常用的方法。
最小元素法 西北角法 沃格尔(Vogel)法
1。最小元素法 思想：优先满足运价（或运距）最小的供销业务。
销地 产地
A1 A2 A3
销量
表 3-2
B1
B2
B3
4
12
4
2
10
3
8
5
11
8 14
12
B4
产 量
11 16
92 810
产 量
4
12
4
A1 8
8
2
10
3
A2
6
4
A3
8
5
11
x32
11
16
②
9
10
④
6 22
销量 8
14 6 12 8 14
48
①
③
销地 产地
A1 A2 A3
销量
B1
4
8
2
8
8
表 3-2
B2
B3
B4
产 量
12
4
11
②
16
8
10
3
6
4
9
10
④
5
11
6
14
22
8
14 6 12 8 14
48
①
③
⑤
销地
产地
B1
销地
产地
B1
表 3-2
B2
B3
B4
产 量
4
12
4
11
A1
x11
16
2
10
3
9
A2
10
A3
8
5
11
6
22
销量 8
14
12
14
48
销地 产地
A1 A2
表 3-2
B1
B2
B3
4
12
4
2
10
3
B4
产 量
11 8 16 8
9 10
A3
8
5
11
6
22
销量 8
14
12
14
48
①
销地 产地
A1 A2
B1
4
8
2
4.2 用表上作业法求解运输问题
表上作业法的基本思想： 先设法给出一个初始方案,然后根据确定的判别准则对初始 方案进行检查、调整、改进，直至求出最优方案，如下图 所示。
初始化 最优性检验
这和单纯形法的求解思想完全一致， 但是具体的作法则更加简捷。
yes 最优？
no
迭代 （Iteration）
STOP
此解满足所有约束条件，且基变量（非零变量）的个数为6 （等于m+n-1=3+4-1=6).
总运费为（目标函数值）
34
z
cij xij 104 61182 2314586 246
i1 j1
⒉ 西北角法 西北角法是优先满足运输表中西北角（左上角）上空格的供 销需求。
课堂练习
销地
产地
B1
B2
4
1
A1
1
2
A2
A3
3
7
销量 6
5
B3
4 5 5 6
B4
产 量
6 8
0 8
1 4
3
20
销 地 产地
A1
A2
A3
销量
列1
罚
数2 3
B1
B2
4
12
2
10
8
5
8 14
2
5
B3 4
3
11
12 1
行罚数
B4
产 量
12 3
11 16 0
9 10 1
68
22 14
1
14 48
3
销 地 产地
A1
A2
A3
销量
列1
罚
数2 3
B1
B2
4
12
2
10
8
5
14
8
14
2
5
2
B3 4
3
11
12 1 1
行罚数
B4
48
①
③
⑤
⑥
此时得到一个初始调运方案（初始可行解）： x11 8, x12 8, x22 6, x23 4, x33 8, x34 14, 其余变量全等于零。 此解满足所有约束条件，且基变量（非零变量）的个数为6 （等于m+n-1=3+4-1=6).
总运费为（目标函数值）
34
例1 某部门有3个同类型的工厂（产地），生产的产品由4个 销售点出售，各工厂的生产量、各销售点的销售量（假定单 位为t）以及各工厂到销售点的单位运价（元/t）示于表4-2 中，问如何调运才能使总运费最小？
销地
产地
B1
表 4-2
B2
B3
B4
产 量
4
12
4
11
A1
x11
x12
x13
x14
16
2
10
3
A1 8
8
2
10
3
A2
6
x23
11
16
②
9 10 4
A3
8
5
11
6
22
销量 8
14 6 12
14
48
①
③
销地 产地
A1 A2
B1
4
8
2
表 3-2
B2
12
8
10
6
B3
4
3
B4
产 量
11
②
16
9 10 4 ④
A3
8
5
11
6
22
销量 8
14 6 12 8 14
48
①
③
销地
产地
B1
表 3-2
B2
B3
B4
z
cij xij 84 812 610 43811146 372
i1 j1
⒊ 沃格尔（Vogel)法
初看起来，最小元素法十分合理。但是，有时按某一最小 单位运价安排物品调运时，却可能导致不得不采用运费很 高的其他供销点，从而使整个运输费用增加。 沃格尔法的思想：
表 3-2
B2
B3
B4
产 量
4
12
A1 8
8
4
11
16
②
A2
2
10
3
6
4
9
10
④
A3
8
5
11
6 14
8
x34
22
销量 8
14 6 12 8 14
48
①
③
⑤
表 3-2
销地
产地
B1
B2
B3
B4
4
12
4
11
A1 8
8
2
10
3
9
A2
6
4
A3
8
5
11
6
8
销量 8
14 6 12 8 14
产 量
②
16
10
④
2214 ⑥
4
12
4
11
②
A1 8
8
16
2
10
3
9
A2
x22
10
A3
8
5
11
6
22
销量 8
14 6 12
14
48
①
销地
产地
B1
表 3-2
B2
B3
B4
产 量
4
12
4
11
②
A1 8
8
16
A2
2
10
3
9 10 4
6
A3
8
5
11
6
22
销量 8
14 6 12
14
48
①
③
销地
产地
B1
表 3-2
B2
B3
B4
产 量
4
12
4
1
2
2
行罚数
产 量
45
6
4
16 7 0
2
10 6 0
22 48
此时得到一个初始调运方案（初始可行解）： x13 12, x14 4, x21 8, x24 2, x32 14, x34 8, 其余变量全等于零。 此解满足所有约束条件，且基变量（非零变量）的个数为6
（等于m+n-1=3+4-1=6).
9
A2
x21
x22
x23
x24
10
A3
8
x31
5
11
6
x32
x33
x34
22
销量 8
14
12
14
48
该运输问题的数学模型为：
34
min z
cij xij 4x11 12x12 4x13 11x14 2x21
i1 j1
10x22 3x23 9x24 8x31 5x32 11x33 6x34
16 10 22
j 1,2,3,4
可以证明：约束矩阵的秩 r (A) = m +n -1. 基变量的个数为 m+n-1.
表上作业法
计算步骤： 1、给出初始方案 2、检验是否最优 3、调整调运方案 , Go to 2
表上作业法
计算步骤： 1、给出初始方案 2、检验是否最优 3、调整调运方案 , Go to 2
总运费为（目标函数值）
34
z
cij xij 124 41182 29 14586 244
i1 j1
比较上述三种方法给出的初始基可行解，以沃格尔法给出 的解的目标函数值最小，最小元素法次之，西北角法解的 目标函数值最大。
一般说来，沃格尔法得出的初始解的质量最好，常用 来作为运输问题最优解的近似值。
3
3
销
地 B1
B2
产地
行罚数
B3
B4
产 量
45
6
A1
4
12
4
11 4
16 12
7
A2
2
10
3
8
92
10 6
A3
销量
列4
罚
数5 6
8
5
14
8 14
11
6
8 22
12 14 6 48
1
2
销 地 产地
A1
A2
A3
销量
列4
罚
数5 6
B1
B2
4
12
2
10
8
8
5
14
8 14
B3
4
12
3
B4
11
9
11
6
8 12 4 14 6
表 3-2
B2
12
x12
10
B3
4
3
B4
产 量
11 8 16
9 10
A3
8
5
11
6
22
销量 8
14
12
14
48
①
销地 产地
A1 A2
B1
4
8
2
表 3-2
B2
12
B3
4
10
3
B4
产 量
11 8 16
②
9 10
A3
8
5
11
6
22
销量 8
14 6 12
14
48
①
销地
产地
B1
表 3-2
B2
B3
B4
产 量
产 量
12
3
11 16 0 0
9 10 1 1
68
22 1 2
14 6 48
3 3
销 地 产地
A1
A2
A3
销量
列1
罚
数2 3
B1
B2
4
12
2
10
8
5
14
8 14
2
5
2
2
B3 4
3
11
12 1 1 1
行罚数
B4
产 量
12
3
11 16 0 0 0
92
8 10 1 1 1
6 8 22 1 2 14 6 48
6 22
14 48
①
销地 产地
A1 A2 A3
销量
表 3-2
B1
B2
B3
4
12
4
2
10
3
8
8
5
11
8 14 ①
12 10
B4
产 量
11 16
9
②
2 10
6
22
14 48
销地 产地
A1 A2 A3
销量表Biblioteka 3-2B1B2B3
4
12
4
2
10
3
8
2
8
5
11
8 14
12 10
B4
产 量
11 6 1016
9
②