2017年高中数学专题突破练3数据的数字特征用样本估计总体新人教A版必修320170727411

专题3 数据的数字特征 用样本估计总体
1．中心位置特征：众数、中位数、平均数． 2．标准差、方差
标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示． 其计算公式为
s ＝
1n
[（x 1－x ）2＋（x 2－x ）2＋…＋（x n －x ）2
].
3．样本数据x 1，x 2，…，x n 的标准差的算法
(1)算出样本数据的平均数x ；(2)算出每个样本数据与样本数据平均数的差：x i －x (i ＝1，2，…，n )；(3)算出(2)中x i －x (i ＝1，2，…，n )的平方；(4)算出(3)中n 个平方数的平均数，即为样本方差；(5)算出(4)中平均数的算术平方根，即为样本标准差． 4．方差
从数学的角度考虑，人们有时用标准差的平方s 2
(即方差)来代替标准差，作为测量样本数据分散程度的工具：
s 2＝1
n
[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．
例1 在生产过程中，测得纤维产品的纤度(表示纤维粗细的一种量)共有100个数据，将数据分组如下表：
(1)完成频率分布表，并画出频率分布直方图；
(2)估计纤度落在[1.38，1.50)内的可能性及纤度小于1.42的可能性各是多少？
变式训练1 在某次法律知识竞赛中，将来自不同学校的学生的成绩绘制成如图所示的频率分布直方图．已知成绩在60～70的学生有40人，则成绩在70～90的有______人．
例2 甲、乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是x甲，x乙，则下列正确的是( )
A.x甲>x乙；乙比甲成绩稳定
B．x甲>x乙；甲比乙成绩稳定
C．x甲<x乙；乙比甲成绩稳定
D．x甲<x乙；甲比乙成绩稳定
变式训练2 为选拔运动员参加比赛，测得7名选手的身高(单位：cm)，其茎叶图分布为：
记录的平均身高为177 cm，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数字记为x，那么x 的值为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
例3 甲、乙两台机床在相同的条件下同时生产一种零件，现在从中各抽测10个，它们的尺寸(单位：mm)分别为：
甲：10.2 10.1 10.9 8.9 9.9 10.3 9.7 10
9．9 10.1
乙：10.3 10.4 9.6 9.9 10.1 10 9.8 9.7
10．2 10
分别计算上面两个样本的平均数与标准差．如果图纸上的设计尺寸为10 mm，从计算结果看，用哪台机床加工这种零件较合适．
变式训练3 某班40人随机平均分成两组，两组学生一次考试的成绩情况如下表：
求全班的平均成绩和标准差．
A级
1．现从80件产品中随机抽出10件进行质量检验，下面说法正确的是( )
A ．80件产品是总体
B ．10件产品是样本
C ．样本容量是80
D ．样本容量是10
2．期中考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M ，如果把M 当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N ，那么M ∶N 的值为( ) A.4041 B ．1 C.41
40
D ．2 3．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5，15.5)，2；[15.5，19.5)，4；[19.5，23.5)，9；[23.5，27.5)，18；[27.5，31.5)，11；[31.5，35.5)，12；[35.5，39.5)，7；[39.5，43.5)，3；根据样本的频率分布估计，大于或等于31.5的数据约占( ) A.211 B.13 C.12 D.23
4．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积和的1
4，且样本容量为160，则中间一组的频数为( )
A ．32
B ．0.2
C ．40
D ．0.25
5．已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是________． 6．若6个数的标准差为2，平均数为1，则此六数的平方和为________．
7．一组数据的方差为s 2
，将这组数据中的每个数据都扩大2倍，所得一组新数据的方差为________．
B 级
8．根据甲、乙两名篮球运动员某赛季9场比赛得分的茎叶图，可知( )
A.甲运动员的成绩好，乙运动员发挥稳定 B ．乙运动员的成绩好，甲运动员发挥稳定 C ．甲运动员的成绩好，且发挥更稳定 D ．乙运动员的成绩好，且发挥更稳定
9．某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5
小时的人数是( )
A．56 B．60 C．120 D．140
10．将容量为n的样本中的数据分为6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组的数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和为27，则n＝______．
11．从甲、乙两个班中各随机选出15名同学进行随堂测验，成绩的茎叶图如图所示，则甲、乙两班的最高成绩分别是______，______．从图中看，________班的平均成绩较高．
12．由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．(从小到大排列)
13．某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其重量，分别记录抽查数据如下：
甲：102，101，99，98，103，98，99；
乙：110，115，90，85，75，115，110.
(1)这种抽样方法是哪一种？
(2)将两组数据用茎叶图表示；
(3)将两组数据进行比较，说明哪个车间产品较稳定．
14．甲乙两位同学进行投篮比赛，每人玩5局．每局在指定线外投篮，若第一次不进，再投第二次，依此类推，但最多只能投6次．当投进时，该局结束，并记下投篮次数．当6投不
进，该局也结束，记为“×”．当第一次投进得6分，第二次投进得5分，第三次投进得4分，依此类推．第6次不投进，得0分．两人投篮情况如下：
请通过计算，判断哪个投篮的水平高？
专题3 数据的数字特征 用样本估计总体
典型例题
例1 解 (1)频率分布表如下：
频率分布直方图如图所示．
(2)纤度落在[1.38，1.50)的可能性即为纤度落在[1.38，1.50)的频率，即为0.3＋0.29＋0.10＝0.69＝69%.
纤度小于1.42的可能性即为纤度小于1.42的频率，即为0.04＋0.25＋0.30＝0.59＝59%. 变式训练1 25
解析 60～70的频率为0.04×10＝0.4，设容量为x ，则40
x
＝0.4，所以x ＝100，所以70～
90之间的人数为100×(0.015＋0.01)×10＝25.
例2 C [从茎叶图可知，甲五次成绩中一次茎为8，一次茎为9，而乙五次成绩中，茎8和茎9各两次，故可知x 甲＜x 乙，乙比甲成绩稳定．]
变式训练2 D [由茎叶图可知10＋11＋0＋3＋x ＋8＋9
7
＝7，解得x ＝8.]
例 3 解 x －
甲＝
1
10
(10.2＋10.1＋10.9＋8.9＋9.9＋10.3＋9.7＋10＋9.9＋10.1)＝10(mm).x －
乙＝
1
10
(10.3＋10.4＋9.6＋9.9＋10.1＋10＋9.8＋9.7＋10.2＋10)＝10(mm)．s 甲
＝
110
（10.2－10）2＋（10.1－10）2＋…＋（10.1－10）2 ＝0.228＝0.477(mm)．
s 乙＝
110
（10.3－10）2＋（10.4－10）2＋…＋（10－10）2 ＝0.06＝0.245(mm)．
∵x －
甲＝x －
乙＝10，s 甲>s 乙，∴乙比甲稳定，用乙较合适．
变式训练3 解 设第一组20名学生的成绩为x i (i ＝1，2，…，20)，第二组20名学生的成绩为y i (i ＝1，2，…，20)，依题意有：
x －
＝120(x 1＋x 2＋…＋x 20)＝90，y －
＝1
20
(y 1＋y 2＋…＋y 20)＝80，
故全班平均成绩为：
z －
＝140
(x 1＋x 2＋…＋x 20＋y 1＋y 2＋…＋y 20)
＝1
40
(90×20＋80×20)＝85； 又设第一组学生成绩的标准差为s 1，第二组学生成绩的标准差为s 2，则s 2
1＝120
(x 21＋x 22＋…
＋x 220
－20x －
2
)，
s 22
＝120(y 21＋y 22＋…＋y 2
20－20y －
2)，
(此处，x －
＝90，y －
＝80)，又设全班40名学生的标准差为s ，平均成绩为x －
(x －
＝85)，
故有s 2
＝140
(x 21＋x 22＋…＋x 220＋y 21＋y 22＋…＋y 220－40z －
2
)
＝140
(20s 21＋20s 22＋20x －2＋20y －2－40z －
2) ＝12(62＋42＋902＋802－2×852
)＝51. 所以s ＝51. 强化提高
1．D [本题考查的对象是80件产品的质量，故总体是80件产品的质量；个体是1件产品的质量；样本是所抽取的10件产品的质量，故样本容量是10.故选D.] 2．B [∵N ＝40M ＋M
41
＝M ，∴M ∶N ＝1.]
3．B [根据所给的数据的分组和各组的频数知道，大于或等于31.5的数据有[31.5，35.5)，12；[35.5，39.5)，7；[39.5，43.5)，3，可以得到共有12＋7＋3＝22，∵本组数据共有
66个，
∴大于或等于31.5的数据约占2266＝1
3
，故选B.]
4．A [频率等于长方形的面积，所有长方形的面积和等于1，设中间长方形的面积等于S ，则S ＝14(1－S )，S ＝15，设中间一组的频数为x ，则x 160＝1
5，得x ＝32.]
5．0.1
解析 x －
＝4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.55＝5.1，则方差s 2＝15
[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2
＋(5.1
－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2
]＝0.1. 6．30 解析 由s ＝ 16
[（x 1－x －）2＋（x 2－x －）2＋…＋（x 6－x －
）2] ＝
16
（x 21＋x 22＋…＋x 26）－x －
2
， 即2＝
16
（x 21＋x 22＋…＋x 2
6）－1， 得x 2
1＋x 2
2＋…＋x 6
2＝30. 7．4s 2
解析 根据题意可得，因为方差公式
s 2
＝（x 1－x －
）2
＋（x 2－x －
）2
＋…＋（x n －x －
）2
n
，
所以，s 2
＝（2x 1－2x －
）2
＋（2x 2－2x －
）2
＋…＋（2x n －2x －
）2
n
＝4s 2.
8．C [由茎叶图可知，甲运动员的得分大部分集中在14～18分之间，而乙运动员的得分相对比较散且在低分区的较多，故甲篮球运动员比赛得分更稳定，甲运动员的成绩好．] 9．D [设所求人数为N ，则N ＝2.5×(0.16＋0.08＋0.04)×200＝140，故选D.] 10．60
解析 由已知，得2＋3＋42＋3＋4＋6＋4＋1×n ＝27，即920×n ＝27，解得n ＝60.
11．96 92 乙
解析 由茎叶图可知，甲班的最高分是96，乙班的最高分是92.甲班的成绩集中在(60，80)内，乙班的成绩集中在(70，90)内，故乙班的平均成绩较高． 12．1，1，3，3
解析 假设这组数据按从小到大的顺序排列为x 1，x 2，x 3，x 4，
则⎩⎪⎨⎪⎧x 1
＋x 2
＋x 3
＋x
4
4
＝2，x 2
＋x 3
2＝2，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧x 1＋x 4＝4，x 2＋x 3＝4， 又s ＝
14
×[（x 1－2）2＋（x 2－2）2＋…＋（x 4－2）2
] ＝12（x 1－2）2＋（x 2－2）2＋（x 3－2）2＋（x 4－2）2 ＝122[（x 1－2）2＋（x 2－2）2
]＝1， ∴(x 1－2)2
＋(x 2－2)2
＝2， 同理可求得(x 3－2)2
＋(x 4－2)2
＝2，
由x 1，x 2，x 3，x 4均为正整数，且(x 1，x 2)，(x 3，x 4)均为圆(x －2)2
＋(y －2)2
＝2上的点， 分析知x 1，x 2，x 3，x 4应为1，1，3，3.
13．解 (1)根据系统抽样的定义可知，每隔30分钟抽取一包产品，抽取的时间间隔相同，满足系统抽样的定义， ∴这种抽样方法是系统抽样． (2)将两组数据用茎叶图表示如图：
(3)甲的平均数为1
7(102＋101＋99＋98＋103＋98＋99)＝100.
乙的平均数为1
7
(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)＝100.
由茎叶图中的数据可知甲的成绩主要集中在90和100附近，乙的成绩比较分散，∴甲比乙稳定．
14．解 依题意，甲乙得分情况如下表：
因为甲得分平均数＝2.6，乙得分平均数＝2.6，甲得分的标准差≈1.96，乙得分的标准差≈2.24，所以，甲得分平均数＝乙得分平均数，甲得分的标准差<乙得分的标准差，故甲投篮的水平高．
11。