【最高考系列】(14年3月新版)高考数学总复习(考点引领

第一章集合与常用逻辑用语第3课时简单的逻辑联结词、全称量
词与存在量词
(对应学生用书(文)、(理)5～6页)
1. (选修11P 20第4(1)题改编)命题“若a 、b 、c 成等比数列，则ac ＝b 2”的逆否命题是________________________________________________________________________．
答案：若ac ≠b 2，则a 、b 、c 不成等比数列
2. (选修11P 20第6题改编)若命题p 的否命题为q ，命题q 的逆否命题为r ，则p 与r 的关系是__________．
答案：互为逆命题
3. (选修11P 20第7题改编)已知p 、q 是r 的充分条件，r 是s 的充分条件，q 是s 的必要条件，则s 是p 的__________条件．
答案：必要不充分
4. (原创)写出命题“若x ＋y ＝5，则x ＝3且y ＝2”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
答案：逆命题：若x ＝3且y ＝2，则x ＋y ＝5.是真命题．
否命题：若x ＋y ≠5，则x ≠3或y ≠2.是真命题．
逆否命题：若x ≠3或y ≠2，则x ＋y ≠5.是假命题．
5. 下列命题中的真命题有________．(填序号)
①$ x ∈R ，x ＋1x
＝2； ② $x ∈R ，sinx ＝－1；
③ "x ∈R ，x 2>0；
④ "x ∈R ，2x >0.
答案：①②④
解析：对于①，x ＝1时，x ＋1x ＝2，正确；对于②，当x ＝3π2
时，sinx ＝－1，正确；对于③，x ＝0时，x 2＝0，错误；对于④，根据指数函数的值域，正确．
6. 命题p ：有的三角形是等边三角形．命题綈p ：____________________________． 答案：所有的三角形都不是等边三角形
1. 四种命题及其关系
(1) 四种命题
命题表述形式
原命题若p，则q
逆命题若q，则p
否命题若非p，则非q
逆否命题若非q，则非p
(2)
(3) 四种命题的真假关系
两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
2. 充分条件与必要条件
(1) 如果pÞq，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2) 如果pÞq，且q p，那么称p是q的充要条件，记作pÛq.
(3) 如果pÞq，qÞ/p，那么称p是q的充分不必要条件．
(4) 如果qÞp，pÞq，那么称p是q的必要不充分条件．
(5) 如果pÞ/ q，且qÞ/ p，那么称p是q的既不充分也不必要条件．
3. 简单的逻辑联结词
(1) 用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．
(2) 用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．
(3) 对一个命题p全盘否定记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．
(4) 命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断
p∧q中p、q有一假为假，p∨q有一真为真，p与非p必定是一真一假．
4. 全称量词与存在量词
(1) 全称量词与全称命题
短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，并用符号
“"x”表示．
含有全称量词的命题，叫做全称命题．
全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为"x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．
(2) 存在量词与存在性命题
短语“有一个”“有些”“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，并用符号“$x”表示．
含有存在量词的命题，叫做存在性命题．
存在性命题“存在M中的一个x，使p(x)$
“存在一个x属于M，使p(x)成立”．
5. 含有一个量词的命题的否定
命题命题的否定
"x∈M，p(x) $x∈M，Øp(x)；
$x∈M，p(x) "x∈M，Øp(x).
[备课札记]
题型1否命题与命题否定
例1(1) 命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题为____________________________；
(2) 命题：“若x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”是____(填“真”或“假”)命题；
(3) 命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则Øp是____________________．
答案：(1) 若a≤b，则2a≤2b－1(2) 真(3) 所有三角形都不是等腰三角形
解析：(2) 很可能许多同学会认为它是假命题原因为当m＝0时显然方程有根，其实不
然，由x2＋x－m＝0没实根可推得m<－1
4，而{m|m<－1
4}是{m|m≤0}的真子集，由m<－
1
4
可
推得m≤0，故原命题为真，而它的逆否命题“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”显然为真，其实用逆否命题很容易判断它是真命题．
(3) Øp为“对任意x∈A，有p(x)不成立”，它恰与全称性命题的否定命题相反．
变式训练
把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题．
(1) 正三角形的三个内角相等；
(2) 已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.
解：(1) 原命题：若一个三角形是正三角形，则它的三个内角相等．
逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则这个三角形是正三角形．
否命题：若一个三角形不是正三角形，则它的三个内角不全相等．
逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，那么这个三角形不是正三角形．
(2) 原命题：已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＝b ，c ＝d ，则a ＋c ＝b ＋d.
逆命题：已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＋c ＝b ＋d ，则a ＝b 且c ＝d.
否命题：已知a 、b 、c 、d 是实数，若a 与b ，c 与d 不都相等，则a ＋c ≠b ＋d.
逆否命题：已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＋c ≠b ＋d ，则a 与b ，c 与d 不都相等． 题型2 充分必要条件
例2 已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，若Øp 是Øq 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．
解：Øp ：x 2－8x －20＞0，得x ＜－2或x ＞10，
设A ＝{x|x ＜－2或x ＞10}，
Øq ：x 2－2x ＋1－m 2＞0，得x ＜1－m ，或x ＞1＋m ，
设B ＝{x|x ＜1－m 或x ＞1＋m}．
∵ Øp 是Øq 的必要非充分条件，
∴ B 真包含于A ，即⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－21＋m ≥10Þm ≥9.
∴ 实数m 的取值范围为m ≥9.
备选变式（教师专享）
下列四个结论正确的是________．(填序号)
① “x ≠0”是“x ＋|x|>0”的必要不充分条件；
② 已知a 、b ∈R ，则“|a ＋b|＝|a|＋|b|”的充要条件是ab>0；
③ “a>0，且Δ＝b 2－4ac ≤0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是R ”的充要条件；
④ “x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件．
答案：①③
解析：① 因为由x ≠0推不出x ＋|x|>0，如x ＝－1，x ＋|x|＝0，而x ＋|x|>0x ≠0，故①正确；因为a ＝0时，也有|a ＋b|＝|a|＋|b|，故②错误，正确的应该是“|a ＋b|＝|a|＋|b|”的充分不必要条件是ab>0；由二次函数的图象可知③正确；x ＝－1时，有x 2＝1，故④错误，正确的应该是“x ≠1”是“x 2≠1”的必要不充分条件．
题型3 全称命题与存在性命题的否定
例3 命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是________________________________．
答案：存在一个不能被2整除的整数不是奇数
备选变式（教师专享）
若命题改为“存在一个能被2整除的整数是奇数”，其否定为________________________________．
答案：所有能被2整除的整数都不是奇数
题型4 求参数范围
例4 已知命题p ：方程a 2x 2＋ax －2＝0在[－1，1]上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0，若命题“p 或q ”是假命题，求实数a 的取值范围．
解：由a 2x 2＋ax －2＝0，得
(ax ＋2)(ax －1)＝0，
显然a ≠0，∴ x ＝－2a 或x ＝1a
. ∵ x ∈[－1，1]，故⎪⎪⎪⎪2a ≤1或⎪⎪⎪
⎪1a ≤1， ∴ |a|≥1.
由题知命题q “只有一个实数x 满足x 2＋2ax ＋2a ≤0”，
即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，
∴ Δ＝4a 2－8a ＝0，∴ a ＝0或a ＝2，
∴ 当命题“p 或q ”为真命题时|a|≥1或a ＝0.
∵ 命题“p 或q ”为假命题，
∴ a 的取值范围为{a|－1<a<0或0<a<1}．
备选变式（教师专享）
已知命题p ：函数y ＝log a (1－2x)在定义域上单调递增；命题q ：不等式(a －2)x 2＋2(a －
2)x －4<0对任意实数x 恒成立．若p ∨q 是真命题，求实数a 的取值范围．
解：∵ 命题p ：函数y ＝log a (1－2x)在定义域上单调递增，∴ 0<a<1.
又命题q ：不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对任意实数x 恒成立，
∴ a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝4（a －2）2＋16（a －2）<0，
即－2<a ≤2. ∵ p ∨q 是真命题，
∴ a 的取值范围是－2<a ≤2.
1. 命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是___________________________
________________________．
答案：存在一个能被2整除的数不是偶数
2. 设α、β为两个不同的平面，直线l Ìα，则“l ⊥β”是“α⊥β”成立的________条件．
答案：充分不必要
解析：根据定理知由l ⊥β可以推出α⊥β.反之不成立，仅当l 垂直于α、β的交线时才成立．
3. “若a ＋b 为偶数，则a 、b 必定同为奇数或偶数”的逆否命题为
______________________________．
答案：若a 、b 不同为奇数且不同为偶数，则a ＋b 不是偶数
4．已知命题p 1：函数y ＝ln(x ＋1＋x 2)，是奇函数，p 2：函数y ＝x 1
2为偶函数，则下列四个命题：
① p 1∨p 2；② p 1∧p 2；③ (Øp 1)∨p 2；④ p 1∧(Øp 2)．
其中，真命题是________．(填序号)
答案：①④
解析：由函数的奇偶性可得命题p 1为真命题，命题p 2为假命题，再由命题的真假值表可得②③为假，①④为真．
1. 若a 、b 为实数，则 “0<ab<1”是“b<1a
”的________条件． 答案：既不充分也不必要
解析：0<ab<1，a 、b 都是负数时，不能推出b<1a ；同理b<1a
也不能推出0<ab<1. 2. 在命题p 的四种形式的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，正确命题的个数记为f(p)，已知命题p ：“若两条直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0，l 2：a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0平行，则a 1b 2－a 2b 1＝0”．那么f(p)＝________．
答案：2
解析：若两条直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0与l 2：a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0平行，则必有a 1b 2－a 2b 1＝0，但当a 1b 2－a 2b 1＝0时，直线l 1与l 2不一定平行，还有可能重合，因此命题p 是真命题，但其逆命题是假命题，从而其否命题为假命题，逆否命题为真命题，所以在命题p 的四种形式的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，有2个正确命题，即f(p)＝2.
3. 设命题p ：关于x 的不等式2|x －2|<a 的解集为；命题q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a)的值
域是R .如果命题p 和q 有且仅有一个正确，求实数a 的取值范围．
解：由不等式2|x －2|<a 的解集为Æ得a ≤1.
由函数y ＝lg(ax 2－x ＋a)的值域是R 知ax 2－x ＋a 要取到所有正数，
故⎩⎨⎧a>0Δ＝1－4a 2≥0
0<a ≤12 或a ＝0即0≤a ≤12. 由命题p 和q 有且仅有一个正确得a 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎦⎤12，1.
4. 设数列{a n }、{b n }、{c n }满足：b n ＝a n －a n ＋2，c n ＝a n ＋2a n ＋1＋3a n ＋2(n ＝1，2，3，…)，求证：{a n }为等差数列的充分必要条件是{c n }为等差数列且b n ≤b n ＋1(n ＝1，2，3，…)．
证明：必要性：
设{a n }是公差为d 1的等差数列，则
b n ＋1－b n ＝(a n ＋1－a n ＋3) － (a n －a n ＋2)
＝ (a n ＋1－a n ) － (a n ＋3－a n ＋2)＝ d 1－ d 1＝0，
所以b n ≤b n ＋1(n ＝1，2，3，…)成立．
又c n ＋1－c n ＝(a n ＋1－a n )＋2(a n ＋2－a n ＋1)＋3(a n ＋3－a n ＋2)＝ d 1＋2d 1 ＋3d 1 ＝6d 1(常数)(n ＝1，2，3，…)，
所以数列{c n }为等差数列．
充分性：
设数列{c n }是公差为d 2的等差数列，且b n ≤b n ＋1(n ＝1，2，3，…)．
∵ c n ＝a n ＋2a n ＋1＋3a n ＋2， ①
∴ c n ＋2＝a n ＋2＋2a n ＋3＋3a n ＋4， ②
①－②，得c n －c n ＋2＝(a n －a n ＋2)＋2 (a n ＋1－a n ＋3)＋3 (a n ＋2－a n ＋4)＝b n ＋2b n ＋1＋3b n ＋2. ∵ c n －c n ＋2＝(c n －c n ＋1)＋(c n ＋1－c n ＋2)＝ －2d 2，
∴ b n ＋2b n ＋1＋3b n ＋2＝－2d 2， ③
从而有b n ＋1＋2b n ＋2＋3b n ＋3＝－2d 2， ④
④－③，得(b n ＋1－b n )＋2 (b n ＋2－b n ＋1)＋3 (b n ＋3－b n ＋2)＝0.⑤
∵ b n ＋1－b n ≥0，b n ＋2－b n ＋1≥0，b n ＋3－b n ＋2≥0，
∴ 由⑤得b n ＋1－b n ＝0(n ＝1，2，3，…)．
由此不妨设b n ＝d 3 (n ＝1，2，3，…)，则a n －a n ＋2＝d 3(常数)．
由此c n ＝a n ＋2a n ＋1＋3a n ＋2c n ＝4a n ＋2a n ＋1－3d 3，
从而c n ＋1＝4a n ＋1＋2a n ＋2－5d 3，
两式相减得c n ＋1－c n ＝2(a n ＋1－a n ) －2d 3，
因此a n ＋1－a n ＝12(c n ＋1－c n )＋d 3＝12
d 2＋d 3(常数) (n ＝1，2，3，…)， ∴ 数列{a n }为等差数列．
1. 在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可．对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手．
2. 充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若p，则q”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”，如“A是B的什么条件”中，A是条件，B是结论，而“A的什么条件是B”中，A是结论，B是条件．有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分．
3. 含有逻辑联结词的命题真假的判断规律
(1) p∨q：p、q中有一个为真，则p∨q为真，即一真全真；
(2) p∧q：p、q中有一个为假，则p∧q为假，即一假即假；
(3) Øp：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．
请使用课时训练(A)第3课时(见活页)．[备课札记]。