北京理工大学2004高等代数

北京理工大学2004年攻读硕士学位研究生入学考试试题
一.(20分)证明:实反对称矩阵的特征值的实部为零.
二.(20分)设A 和B 都是n 阶正交矩阵,且|A|+|B|=0,试证A+B 不可逆.
三.(20分)证明:线性方程组
11112211211
222221122n n n n m m mn n n
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 有解的充要条件为对任意m 个数12,,
,m y y y ,只要10,0,1,2,.....,,m
i ij i y a j n ===∑便有10m i i i y b
==∑.
四.(15分)设A 是n 阶复方阵,证明:若22A A I +=,则A 可对角化,这里I 为n 阶单位矩阵.
五.(15分)设A,B 分别是数域K 上的,p n n m ⨯⨯矩阵,令
{|,0},{|,}m V x x K ABx W y y Bx x V =∈===∈
证明:W 是向量空间n
K 的子空间,且 dim ()()W rank B rank AB =-.
六.(20分)设σ为线性空间V 上的线性变换,f(x),g(x)为普通的多项式,
(1)证明:ker(())ker(())ker((),())f g f g σσσσ⊆,这里12((),())f x f x 表示12(),()f x f x 的首项系数为1的最大公因式;
(2)证明:若((),())1f x g x =则ker(())ker(())ker((),())f g f g σσσσ=
七.(15分)给定不全为零的多项式123(),(),()f x f x f x ,证明:存在六个多项式123123(),(),(),(),(),()g x g x g x h x h x h x 使
123123123123()
()()()()()((),(),())()
()()f x f x f x g x g x g x f x f x f x h x h x h x =
八.(10分)写出你所知道的齐次线性方程组的基础解系的等价条件,并对他们的正确性予以证明.
九.(15分)定义了向量空间内积的实线性空间即为欧氏空间.请说明引入向量内积以及构造标准正交基的目的与意义,并简述标准正交基在理论研究与实际应用中的作用.。