高中数学第三章圆锥曲线与方程3.1.1.1椭圆及其标准方

.
解析:易知
������ < 0, -������ > ������2,
故-1<a<0.
答案:(-1,0)
题型一 题型二 题型三 题型四
题型一
椭圆定义的应用
【例 1】
(1)椭圆
������2 25
+
������2 9
=
1
上一点������到一个焦点的距离为
5,
则������到另一个焦点的距离为( )
这两个定点F1,F2叫作椭圆的焦点,两个焦点间的距离叫作椭圆的 焦距.
说明:(1)椭圆的定义中提到的“常数”常用2a表示,焦距常用2c表
示.椭圆定义的数学表达式为|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|). (2)当2a=|F1F2|时,其轨迹是线段F1F2. (3)当2a<|F1F2|时,其轨迹不存在. (4)椭圆的定义是推导椭圆方程的依据.
∴甲是乙的必要条件.
反过来,若|PA|+|PB|=2a(a>0,且a为常数),是不能推出P点的轨迹 是椭圆的.这是因为,仅当2a>|AB|时,P点的轨迹才是椭圆;而当 2a=|AB|时,P点的轨迹是线段AB;当2a<|AB|时,P点无轨迹.
∴甲不是乙的充分条件.
故甲是乙的必要不充分条件. 答案:B
3.椭圆的标准方程
【做一做1】 命题甲:动点P到两个定点A,B的距离之和 |PA|+|PB|=2a(a>题乙的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
解析:若P点的轨迹是椭圆,则一定有|PA|+|PB|=2a(a>0,且a为常 数).
(2)椭圆的焦点总在长轴上,因此可通过标准方程判断焦点的位置,
其方法是:看x2(y2)的分母的大小,x2(y2)分母大,焦点就在x(y)轴上.
(3)椭圆的标准方程有两种形式,所谓“标准”,就是椭圆的中心在
原点,焦点在坐标轴上.用待定系数法求标准方程时,应从“定位”与
“定量”两个方面去考虑,首先要“定位”,即确定焦点所在的坐标轴,
3.1.1.1 椭圆及其标准方程
1.了解椭圆的实际背景,理解椭圆、椭圆的焦点、椭圆的焦距的定 义.
2.理解推导椭圆标准方程的过程. 3.理解参数a,b,c的几何意义,会求一些简单的椭圆的标准方程.
1.圆锥曲线
通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.
2.椭圆的定义
我们把平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|) 的点的集合叫作椭圆.
+
������2 ������2
=
1,
������2 ������2
+
������2 ������2
=
1(������
>
������
>
0)
的相同点为它们的形状、大小都相同, 都有������ > ������ > 0 和������2 = ������2 +
������2; 不同点为两种椭圆的位置不同, 它们的焦点坐标也不相同.
【变式训练 1】
椭圆
������2 25
+
������2 9
=
1
上一点������到焦点������1
答案:(1)A (2)6
题型一 题型二 题型三 题型四
反思解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时,应先
考虑是否能够利用椭圆的定义求解.
椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1,F2构成的△F1PF2称为焦点三角 形,解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义,三
角形中的正弦定理、余弦定理等知识.对于求焦点三角形的面积,
(1)椭圆的焦点在
x
轴上的标准方程是
������2 ������2
+
������2 ������2
=
1(������
>
������
>
0),
焦点坐标是������1(−������, 0), ������2(������, 0), 其中������2 = ������2 − ������2.
(2)椭圆的焦点在
A.5
B.6
C.4
D.10
(2)已知
F1,F2
是椭圆
������2 16
+
������2 9
=
1
的两个焦点,
过点������2 的直线交椭圆于������, ������两点, 在△AF1B 中,若有两边之和是 10,
则第三边的长度为
.
分析:(1)求出 a→|PF1|+|PF2|=2a>|F1F2|→求出 P 到另一个焦
从而确定椭圆方程的类型;其次是“定量”,即利用条件确定方程中
a,b的值.若不能确定焦点的位置,可分类设出方程或设两种方程的
统一形式.统一形式为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)
或
������2 ������
+
������2 ������
=
1(������
>
0, ������
>
0,
������≠n).
【做一做 2-1】
椭圆
������2 16
+
������2 25
=
1
的焦点坐标是(
)
A.(±4,0) B.(0,±4)
C.(±3,0) D.(0,±3)
答案:D
【做一做 2-2】
若方程
������2 ������2
−
������2 ������
= 1 表示焦点在������轴上的椭圆,
则������的取值范围是
点的距离;
(2)结合图形,利用定义求第三边.
题型一 题型二 题型三 题型四
解析:(1)点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a=10,10-5=5. (2)由已知条件得a2=16,a=4,
∴由椭圆定义得
|AF1|+|AF2|=2a=8, |BF1|+|BF2|=2a=8,
∴△AF1B的周长为|AF1|+|AB|+|BF1|=16. ∵三角形有两边之和为10, ∴第三边的长度为6.
若已知∠F1PF2,可利用
S=
1 2
������������sin
C
把|PF1||PF2|看成一个整体,运
用公式|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|及余弦定理求出
|PF1||PF2|,而无需单独求|PF1|,|PF2|,这样可以减少运算量.
题型一 题型二 题型三 题型四
y
轴上的标准方程是
������2 ������2
+
������2 ������2
=
1(������
>
������
>
0),
焦点坐标是������1(0, −������), ������2(0, ������), 其中������2 = ������2 − ������2.
说明:(1)椭圆
������2 ������2