高考数学回扣专项练6.docx

回扣专项练
1．设m 、n 是两条不同直线，α、β是两个不同的平面，下列命题正确的是( ) A ．m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥n B ．m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n C ．m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ，则α⊥β D ．m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β
2．已知空间中有不共线的三条线段AB ，BC 和CD ，且∠ABC ＝∠BCD ，那么直线AB 与CD 的位置关系是( ) A ．AB ∥CD B ．AB 与CD 异面 C ．AB 与CD 相交
D ．AB ∥CD 或AB 与CD 异面或AB 与CD 相交 3．平面α与平面β平行的条件可以是( ) A ．α内有无穷多条直线与β平行 B ．直线a ∥α，a ∥β
C ．直线a ⊂α，直线b ⊂β，且a ∥β，b ∥α
D ．α内的任何直线都与β平行
4.如图，在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内(含正方体表面)任取一点M ，则AA 1→·AM →
≥1的概率p 等于( )
A.3
4
B.
2
3
C.1
2
D.
1
4
5.如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为( )
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．无法确定
6.如图，A，B，C，D为空间中的四个不同点．在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝ 2.等边三角形ADB以AB为轴运动．当平面ADB⊥平面ABC时，CD＝________.
7．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
8．已知点P、A、B、C是球O表面上的四个点，且PA、PB、PC两两成60°角，PA＝PB＝PC ＝1 cm，则球的表面积为________ cm2.
9．如图①所示，在等腰三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且CD＝BE＝2，O为BC的中点，将△ADE沿DE折起，得到如图②所示的四棱锥A′—BCDE.若A′O⊥平面BCDE，则A′D与平面A′BC所成角的正弦值是________．
10.如图，四棱锥P －ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝1
2
AD ，E ，F 分别为线段AD ，
PC 的中点．
(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：BE ⊥平面PAC .
11.如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D ，E 分别为CC 1，AD 的中点，F 为BB 1上的点，且B 1F ＝3BF .
(1)证明：EF ∥平面ABC ；
(2)若AC ＝22，CC 1＝2，BC ＝2，∠ACB ＝π
3
，求二面角B —AD —C 的大小．
12.如图所示，已知四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是等腰梯形，且AB ∥CD ，O 是AB 的中点，PO ⊥平面ABCD ，PO ＝CD ＝DA ＝1
2
AB ＝4，M 是PA 的中点．
(1)证明：平面PBC ∥平面ODM ；
(2)求平面PBC 与平面PAD 所成锐二面角的余弦值．
答案精析
回扣专项练6
1．B [设m 与n 相交，m 、n 都在平面γ内，γ∥α，γ∥β时，满足A 的条件，∴A 错；若
m ⊥α，α⊥β，则m ⊂β或m ∥β，又n ⊥β，∴n ⊥m ，∴B 正确；若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，结合n ⊂β得不出α⊥β，故C 错；当m ∥n 且满足D 的条件时，得不出α∥β，
故D 错．]
2．D [若三条线段共面，则直线AB 与CD 相交或平行；若不共面，则直线AB 与CD 是异面直线．]
3．D [当α∩β＝l 时，α内与l 平行的直线都与β平行，∴A 错；当α∩β＝l ，a ∥l ，a ⊄α，a ⊄β时，满足B 的条件，
∴B 错；当α∩β＝l ，a ⊂α，a ∥l ，b ⊂β，b ∥l 时，有a ∥β，b ∥α，∴C 错，故选D.] 4．A [可解得|AM →|cos θ≥12，也即AM →在AA 1→
上的投影大于或等于12
.由几何概型的求法知，p
＝
⎝ ⎛⎭
⎪
⎫2－12×2×2
2×2×2
＝34
.] 5．B [因为PB ⊥α，所以PB ⊥AC .又因为PC ⊥AC ，PC ∩PB ＝P ，所以AC ⊥平面PBC .所以AC ⊥BC .所以△ABC 为直角三角形．] 6．2 [取AB 的中点E ，连接DE ，CE . 因为△ADB 是等边三角形，所以DE ⊥AB .
当平面ADB ⊥平面ABC 时，
因为平面ADB ∩平面ABC ＝AB ，所以DE ⊥平面ABC ， 故DE ⊥CE .
由已知可得DE ＝3，EC ＝1， 在Rt △DEC 中，
CD ＝DE 2＋EC 2＝2.]
7.53
3
解析 由几何体的三视图可知，该几何体的底面是边长为2的正三角形，三条侧棱分别垂直于底面，且两条侧棱的长度是2，一条侧棱的长度为1，故其体积为12×2×3×1＋1
3×2×1
×3＝53
3.
8.3π2
解析 如图所示，P 、A 、B 、C 四点可以看成如图正方体的四个顶点，则三棱锥P —ABC 的外接球就是该正方体的外接球，易得正方体的边长a ＝
22，球的半径R ＝12a 2＋a 2＋a 2
＝64
，
∴S 球＝4πR 2
＝3π2.
9.24
解析 如图，过点D 作DH ⊥BC 于点H ，连接A ′H .
∵A ′O ⊥平面BCDE ，A ′O ⊂平面A ′BC ， ∴平面A ′BC ⊥平面BCDE . 又平面A ′BC ∩平面BCDE ＝BC ， ∴DH ⊥平面A ′BC .
∴∠DA ′H 即为A ′D 与平面A ′BC 所成的角．又DH ＝1，A ′D ＝32－2＝22， ∴sin ∠DA ′H ＝
DH A ′D ＝24
，
∴A ′D 与平面A ′BC 所成角的正弦值为24
. 10．证明 (1)如图，连接AC ，BE ，
设AC ∩BE ＝O ， 连接OF ，EC .
由于E 为AD 的中点，AB ＝BC ＝1
2
AD ，
AD ∥BC ，所以AE ∥BC ，AE ＝AB ＝BC ，
因此四边形ABCE 为菱形， 所以O 为AC 的中点．
又F 为PC 的中点，因此在△PAC 中，可得AP ∥OF ， 又OF ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ， 所以AP ∥平面BEF .
(2)由题意知ED ∥BC ，ED ＝BC ， 所以四边形BCDE 为平行四边形， 因此BE ∥CD . 又AP ⊥平面PCD ，
所以AP ⊥CD ，因此AP ⊥BE ， 因为四边形ABCE 为菱形， 所以BE ⊥AC .
又AP ∩AC ＝A ，且AP ⊂平面PAC ，
AC ⊂平面PAC ，所以BE ⊥平面PAC .
11.(1)证明 设AC 的中点为O ，连接EO ，OB ，由题意知EO ∥CC 1，
且EO ＝1
4
CC 1，
BF ∥CC 1，且BF ＝1
4
CC 1，
∴EO ∥FB ，且EO ＝FB . ∴四边形EFBO 是平行四边形． ∴EF ∥OB .
又EF ⊄平面ABC ，BO ⊂平面ABC ， ∴EF ∥平面ABC .
(2)解 作BG ⊥AC ，BH ⊥AD ，连接GH ，
∵平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，平面ABC ∩平面AA 1C 1C ＝AC ， ∴BG ⊥平面AA 1C 1C . ∵AD ⊂平面AA 1C 1C ， ∴BG ⊥AD .
又BH ∩BG ＝B ，∴AD ⊥平面BHG .
∴HG ⊥AD .∴∠BHG 为二面角B —AD —C 的平面角． 由已知得△ABC 为直角三角形，AB ＝ 6.
在Rt △ABC 中，由S △ABC ＝12AB ·BC ＝12BG ·AC ，得BG ＝6
2，
在Rt △ABD 中，由S △ABD ＝12AB ·BD ＝1
2
AD ·BH ，得BH ＝2，
在Rt △BHG 中，sin ∠BHG ＝
BG BH ＝32，则∠BHG ＝π3
. 故二面角B —AD —C 的大小为
π3
. 12．(1)证明 因为O ，M 分别为AB ，AP 的中点，所以OM ∥PB .
因为CD ＝1
2AB ，O 为AB 的中点，所以CD ＝BO ，又因为CD ∥AB ，所以四边形OBCD 为平行四边
形，所以BC ∥OD .
因为BC ∩PB ＝B ，DO ∩OM ＝O ， 所以平面PBC ∥平面ODM .
(2)解 方法一 延长AD ，BC 交于点E ，连接PE ，则平面PBC ∩平面PAD ＝PE .易知PB ＝PA ，
EB ＝EA ，PE ＝PE ，所以△PBE 与△PAE 全等．过点A 作AQ ⊥PE 于点Q ，连接BQ ，则BQ ⊥PE ，
由二面角定义可知，∠AQB 为所求角或其补角．
易求得PE ＝8，AE ＝8，PA ＝42， 由等积法求得AQ ＝27＝BQ ，
所以cos ∠AQB ＝AQ 2＋BQ 2－AB 2
2AQ ·BQ
＝
28＋28－64
2×27×27＝－1
7<0，
所以所求角为π－∠AQB ， 所以cos(π－∠AQB )＝1
7
，
因此平面PBC 与平面PAD 所成锐二面角的余弦值为1
7.
方法二 以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则P (0,0,4)，
B (－4,0,0)， A (4,0,0)，
C (－2，－23，0)，
D (2，－23，0)．
因为PB →＝(－4,0，－4)，BC →
＝(2，－23，0)，
所以易求得平面PBC 的一个法向量n 1＝(3，1，－3)． 又PA →＝(4,0，－4)，AD →
＝(－2，－23，0)，
所以易求得平面PAD 的一个法向量n 2＝(3，－1，3)． 设θ为平面PBC 与平面PAD 所成的锐二面角， 则cos θ＝|3×3＋1×(－1)＋(－3)×3|
3＋1＋3×3＋1＋3
＝17，所以平面PBC 与平面PAD 所成锐二面角的余弦值为17
.。