第二章标量衍射理论

2、 基尔霍夫衍射理论
基尔霍夫利用数学工具格林定理，通过 假定衍射屏的边界条件，求解波动方程， 导出了更严格的衍射公式 ，从而把惠更 斯—菲涅耳原理置于更为可靠的波动理论 基础上 。
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基尔霍夫衍射理论—基尔霍夫衍射公式
P0点的单色点光源
P为孔径平面上任一点，Q为孔径 后方
涅尔原理无法解释。 3 K(θ)的具体函数形式难以确定。
第十五页，编辑于星期五：十七点 五十三分。
衍射理论所要解决的问题
光场中任一点Q的复振幅能 否用光场中其它各点的复振 幅表示出来？
例如能否由如图孔径平面
上的场分布计算孔径后面任
一点Q处的复振幅？这是一个 入射光
Q
根据边界值求解波动方程的
问题。
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射理论，完善了惠更斯-菲涅耳理论。
可定性、定量分析衍射现象。 h.索末菲利用格林函数理论修正了基尔霍夫衍
射理论，成为瑞利-索末菲理论
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§2.2 从矢量理论到标量理论
光的电磁理论
介质中无自由电荷
麦
E 0
克 斯
H 0
韦 方 程
E H
t
组
H E
2，标量的方法（基尔霍夫标量衍射理论），一定条件下， 可以不考虑电磁场矢量各个分量之间的联系，电磁波矢量方 程可以写为分量方程（标量方程），把光作为标量来处理， 只考虑电磁场一个分量的复振幅。
标量衍射理论条件： （1）衍射孔径比光波长大得多;
（2）观察点距离衍射孔足够的远。
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与脉冲响应 hx x0 , y
y0
U x0 , y0
的卷积
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因此，衍射系统可以等效于一个线性 空不变系统，故可用线性系统理论分 析衍射现象，
这一结论是傅里叶变换与光学互相结 合的纽带之一。
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2.3.4 相干光场在自由空间传播的脉冲响应的近似表达式
开孔这种情况以外，还包含具有一定复振幅 的透明片。把能引起衍射的障碍物统称为衍 射屏。
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衍射屏处光场
描写衍射屏自身宏观光学性质的物理量——复振幅透
过率：
t(P) Ut (P) Ui (P)
Ui (P)：衍射屏前表面的复振幅或照射到衍射屏上的 光场的复振幅；
2.3.2 基尔霍夫衍射与叠加积分
• 基尔霍夫衍射公式
U (Q)
1
j
U
0
(P)K
(
)
e jkr r
dS
•令
h(P, Q) 1 e jkr K ( )
j r
• 有 U (Q) U0 (P)h(P,Q)dS
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h(P, Q) 物理意义 U (Q) U0(P)h(P,Q)dS
d.18世纪牛顿在科学领域处于权威地位，由 于他摒弃了光的波动理论，使得这一理论停 滞了近一个世纪。
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e. 1801年,杨氏干涉原理(T.Young)证实了光 的波动性——振幅叠加 f.1818年，菲涅耳(A.J.Fresnel)提出惠更斯-菲
涅耳原理。
可定性分析衍射现象，提出了定量初步模型。 g.基尔霍夫(G.Kirchhoff)提出了基尔霍夫衍
• 如果把衍射过程看作是一种变换，衍射公式便是将函
数 U0(P) 变换成 U (Q) 的变换式。 • 按照系统的观点，衍射过程或传播过程也可以等效为
一种线性系统的线性变换， 全部特性
h( P, Q)代表了这个系统的
第二十五页，编辑于星期五：十七点 五十三分。
光波传播的线性性质不仅存在于单色 光波在自由空间中的传播，同样存在 于孔径和观察平面之间是非均匀媒质 的情况，如两者之间存在有光学系统，
电场和磁场的所有分量的行为完全相同可由单一的一个标量波动方程描述标量理论可以完全准确的代替矢量理论若介质不具备上述前提则用标量理论来表征矢量理论就会引入误差1678年惠更斯为解释波的传播提出子波的假设认为波面上每一点都可以作为次级子波的波源后一时刻的波阵面相位相同的点组成的平面则可看作是这些子波的包络面1818年菲涅耳引入干涉概念对惠更斯原理进行了补充认为子波源应当是相干的后空间光场是子波干涉的结果
1
r
z2
x x0 2
y
y0 2
z
1
x x0 z
2
y y0 z
2 2
当
cos(n, r) 1时
x
x0 z
2
和
y
y0
2
都是小量
z
r
z
1
x
x0
2
2z
2
y
y0 2
x x0 2 y
8z4
y0 2
2
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r
z2
x x0 2
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基尔霍夫衍射公式说明：
上述基尔霍夫衍射公式仅仅是单个点光源发射的 球面波照明孔径的情况作出的讨论，但衍射公式却 适用于更普遍的任意单色光波照明孔径的情况。
因为任意复杂的光波可分解成简单的球面波的线 性组合，波动方程的线性性质允许对每一单个球面 波分别应用上述原理，把所有点源在Q点的贡献叠 加。
分量Ex , Ey , Ez , Hx , Hy, Hz 的标量波动方程
2 Ex
n2 c2
2 Ex t 2
0
用一个标量波动方程慨括 E和 H的各分量的行为
2u(x,
y, z,t)
n2 c2
2u(x, y, z,t) t 2
0
u 与位置和时间有关
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矢量理论到标量理论
基尔霍夫衍射公式
孔径平面上的复振幅分布是球面波，有 代入基尔霍夫衍射公式，有
U0 (P)
a0 r0
e jkr0
其中：
U (Q)
1
j
U0
(P)K
(
)
e jkr r
dS
K ( ) cos(n, r) - cos(n, r0 )
2
若 c 1 并代入衍射公式，该公式与惠更斯-菲涅尔衍 射公式完j 全相同。
• 现代定义：光波在传播过程中不论任何原因导致波前的 复振幅分布（包括振幅分布和位相分布）的改变，使自 由传播光场变为衍射光场的现象，都称为衍射。
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衍射问题的解决方式： 1，电磁波是矢量波，考虑光波的矢量性，严格电磁场衍射
理论必须用矢量波方法求解。数学上很复杂，但是在某些问 题 （如研究高分辨率光栅时）必须要用这个方法。
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根据矢量理论
( E) ( • E) 2 E 若介质是线性、各向同性、均匀、无色散，则
2 E
n2 c2
2 E t 2
0
2 H
n2 c2
2 H t 2
0
其中 n 为介质折射率，c 为真空中的光速
1
n , c
0
0 0
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惠更斯作图法加上干涉原理，就称为惠更斯---菲涅尔
原理
U (Q)
C
U0 (P)K ( )
e jkr r
ds
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S*
p
n
· dS
r
p
dU(Q)
Q·
S(波前)
设初相为零
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主要问题： 1 该理论缺乏严格的理论依据。 2 常数c中应包含exp(-jπ/2)因子，惠更斯-菲
前提条件：介质同时具有线性、各向同性、均匀性且无色 散
结论：电场和磁场的所有分量的行为完全相同，可由单 一的一个标量波动方程描述，标量理论可以完全准确
的代替矢量理论 若介质不具备上述前提，则用标量理论来表征矢量理论 就会引入误差
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§2.3 基尔霍夫标量衍射理论
2.3.1 惠更斯-菲涅耳原理与基尔霍夫衍射公式
1、 惠更斯-菲涅耳原理
1678年，惠更斯为解释波的传播提出子波的假设，认为波 面上每一点都可以作为次级子波的波源，后一时刻的波阵 面（相位相同的点组成的平面）则可看作是这些子波的包络面
1818年，菲涅耳引入干涉概念对惠更斯原理进行了补充， 认为子波源应当是相干的，后空间光场是子波干涉的结果 。
t
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符号：
E 电场强度
直角坐标系分量 (Ex , Ey , Ez )
H 磁场强度
直角坐标系分量 (H x , H y , H z )
E, H 都是位置（x,y,z）和时间 t 的函数
符号 和• 代表矢量的叉乘和点乘 = i j k
x y z i, j, k为 x, y, z方向的单位矢量
• 衍射屏面上任一点P ，其复振幅为 U0 (P) • P点处的小面元dS对观察点Q的贡献
•
dU (Q) U0 (P)h(P,Q)ds
• 在h观(P,察Q) 点表Q示造在成P的点复有振一幅个分单布位，脉称冲为即脉U冲0 (响P)应dS或点1时扩，散 函数。
• 由上面衍射公式可知，观察点Q的复振幅，是Σ上所 有面元的光振动在Q点引起的复振幅的相干叠加。
(P)K
(
)
e jkr r
dS
这里省略常数项c。
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衍射与障碍物
不论以什么方式改变光波波面 —— （1）限制波面范围 （2）振幅以一定分布衰 减，（3）以一定的空间分布使复振幅相位延 迟，（4）相位与振幅两者兼而变化，都会引
起衍射，均称为衍射。 所以障碍物的概念，除去不透明屏上有
因此， 基尔霍夫衍射公式中 U0( 可P )以理解为在 任意单色光照明下在孔径平面产生的光场分布．
第二十页，编辑于星期五：十七点 五十三分。
基尔霍夫衍射公式
根据基尔霍夫对平面屏幕假设的边界条件，孔径外的
阴影区内 U0 (P，) 则0衍射公式的积分限可以扩展到无 穷，从而有：
U (Q) 1
j
U0
第二章 标量衍射理论
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• 光波是电磁波，其传播过程满足电磁波波动方程。当遇到 障碍物时，光波会发生衍射。
• 何为衍射 • 索末菲定义：不能用反射或折射来解释的光线对直线
光路的任何偏离。衍射是光传播的普遍属性，是光的 波动性的表现。 • 惠更斯—菲涅尔定义：光波在传播过程中波面受到限 制，使自由完整的波面产生破缺的现象称为衍射
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§2.1 历史引言
a.”衍射”现象
最早研究衍射现象的是格里马第(F.H.Grimaldi)
光是能够作波浪式运动的流体，不同颜色代表不同频率 ——1655年发表论文
b.”衍射”的最初定义（索莫菲A.Sommerfeld)
不能用反射或折射定律来解释的，光线对 直线光路的任意偏离现象，称为衍射。
U (x, y) exp( jkz) jkz
U
0
(
x0
,
y0
)
exp
j
k 2z
x x0 2
y
y0 2
dx0dy0
菲涅耳衍射
第三十一页，编辑于星期五：十七点 五十三分。
Ut (P)：是衍射屏后表面的复振幅。 若衍射屏是具有开孔的不透明屏，则公式中的
U0 (P)既可理解为衍射屏前表面的复振幅，也可理解为 衍射屏后表面的复振幅，因为积分范围为Σ。
若将衍射过程看作衍射屏后表面光振动到观察面 的传播，则 U0 (P) Ut (P) Ui (P) t(P)
第二十三页，编辑于星期五：十七点 五十三分。
第五页，编辑于星期五：十七点 五十三分。
c.惠更斯(F.M.Huygens)子波源假设理论
-----波动说的第一位倡导者 波前上每一点起着一个次级波源(子波源)的作用 ，每一个次级波源发出次级球面波(子波)，它向 着四面八方扩展，所有这些次级波的包络面便是 新的波前。
可解释”衍射”现象，但无法定量分析
的观察点。
r和r0分别是Q和P0到P的距离，二者
n
均比波长大得多。
n表示衍射屏面法线的正方向。
r0
在单色点光源照明下，平面孔径 P0 后方光场中任一点Q的复振幅为
P
Σ
r
Q
U (Q)
1
j
a0e jkr0 r0
cos(n,
r
)
- cos(n, 2
r0
)
e jkr r
ds
第十八页，编辑于星期五：十七点 五十三分。
则线性系统的脉冲响应函数h（P，Q）2.3.3 相干光场在自由空间传播的平移不变性
对于近轴有： K 1
r z 2 x x0 2 y y0 2
第二十七页，编辑于星期五：十七点 五十三分。
则：
hx, y; x0 , y0
1 K e jkr
j
r
exp jk
z
2
x
x0
2
y
y0
2
2.1.6
jz
hx x0 , y y0
故有： U x, y U x0, y0 h x x0, y y0 dx0dy0
U (x, y) h(x, y)
即：观察平面上光场的复振幅分布，等于孔径
平面上透射光场的复振幅
y
y0 2
z 1
1 2
x x0 z
2
1 2
y y0 z
2
菲涅耳近似或傍轴近似
脉冲响应可表示为：
h(x x0, y
y0 )
exp( jkz)
jz
exp
j
k 2z
x x0 2
y
y0 2
代入 U x, y U x0, y0 h x x0, y y0 dx0dy0