勾股定理讲学稿

《勾股定理》师生共用讲学稿
年级：八年级 学科：数学 执笔：张锦辉 审核：
八年级数学科组
【目标】1．会用勾股定理进行简单的计算。

2．树立数形结合的思
想、分类讨论思想。

重点：勾股定理的简单计算。

难点：勾股定理的灵活运用
一、自主合作，探究新知
让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB
的长。

以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他
说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修
四，弦隅五。

”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长
是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。

再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。

你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即 ，
对于任意的直角三角形也有这个性质吗？
由上面的几个例子我们猜想：
如果直角三角形的两直角边长分别为a,b，斜边长为c，那么 + =
（三）．归纳定理：
① 用语言表达勾股定理
② 用式子表达勾股定理
③ 运用勾股定理时该注意些什么?
（4） ．定理应用：
例 1、在Rt△ABC中，∠C=90°
（1）若a=5，b=12，则c=________； （2）b=8，c=17，=________。

则S
△ABC
练习：1、已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC
的三边，则
⑴c= 。

（已知a、b，求c）
⑵a= 。

（已知b、c，求a）
⑶b= 。

（已知a、c，求b）
2、⑴在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c= 。

⑵在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c= 。

在RtΔABC中，∠C＝90°，有：AC2+BC2＝AB2，勾股定理揭
示了直角三角形三边之间的关系。

今天我们再来看看这个定理
的应用。

分析：上面的探究，先请大家思考如何做？
看到这个题让我们想起古代一个笑话，说有一个人拿一根杆子进
城，横着拿，不能进，竖着拿，也不能进，干脆将其折断，才解决了问
题，相信同学们不会这样做。

解：在RtΔABC中，由题意有：AC2=AB2＋BC2　∴　AC＝
练习：
1、在Rt△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b， ∠B=90゜.
①已知a=5，b=12，求c； ②已知a=20，c=29，求b
（请大家画出图来，注意不要简单机械的套a2+b2＝c2，要
根据本质来看问题）
2、如果一个直角三角形的两条边长分别是6厘米和8厘米，
那么这个三角形的周长是多少厘米？
具体说说分几种情况讨论？①3cm和4cm分别是直角边；
②4cm是斜边，3cm是直角边。

解：①当6cm和8cm分别为两直角边时；②当6cm为一直角边，
8cm是斜边时，
3、已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为。

4、在Rt△ABC，∠C=90°，
⑴如果a=7，c=25，则b= 。

⑵如果∠A=30°，a=4，则b=。

⑶如果∠A=45°，a=3，则c= 。

⑷如果c=10，a-b=2，则b=。

分析：请大家思考，该如何去做？解：由题意有：∠O＝90°，在
RtΔABO中
　∴AO＝
＝2.4（米）又∵下滑了0.4米　∴OC＝2.0米
在RtΔODC中∴OD＝
=1.5（米）∴外移BD＝0.8米答：梯足将外移0.8米。

《勾股定理的逆定理（一）》师生共用讲学稿年级：八年级 学科：数学 执笔：张锦辉 审核：八年级数学科组
【目标】探索并掌握直角三角形判别思想，会应用勾股逆定理解决实际问题．
重点：理解并掌握勾股定理的逆定性，并会应用．难点：理解勾股定理的逆定理的推导．
一、创设情境，导入课题
【实验观察】
实验方法：用一根钉上13个等距离结的细绳子，让同学操作，用钉子钉在第一个结上，再钉在第4个结上，再钉在第8个结上，最后将第十三个结与第一个结钉在一起．然后用角尺量出最大角的度数．（90°），可以发现这个三角形是直角三角形．
归纳结论：
勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

二、研究新知、应用举例：
例1、以6，8，10为三边的三角形是直角三角形吗？如三边为5，6，7的三角形是不是直角三角形？
例2、判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形：
（1）a=15,b=8,c=17; (2) a=13,b=14,c=15
练习：根据下列条件，分别判断a,b,c为边的三角形是不是直角三角形（1）a=7,b=24,c=25; (2) a=,b=1,c=
注意事项：
1）书写时千万不要写成是直角三角形。

你弄错了勾股定理的逆定理的条件和结论。

2）分清何时利用勾股定理，何时利用其逆定理
例3：已知的三边分别a,b,c，a=,b=2mn, c=(m>n,m,n是正整数)，是直角三角形吗？说明理由。

分析：先来判断a,b,c三边哪条最长，可以代m,n为满足条件的特殊值来试，m=5,n=4.则a=9,b=40,c=41,c最大。

解：
是直角三角形
例4（补充）一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。

分析：⑴若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；
⑵设未知数列方程，求出三角形的三边长；⑶根据勾股定理的逆定理知
三角形为直角三角形。

归纳：1。

两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
2. 把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，所以每个命
题都有逆命题.但有真、假命题
例5：写出下列命题的逆命题，并判断它是真命题还是假命题. 1)若ac2＞bc2，则a＞b；2)角平分线上的点到这个角的两边距离相等；
3)若ab=0，则a=0.
2＞0； (6)全等三角形(4)如果|a|=|b|，那么a=b；(5)如果a＞0，那么a
的面积相等.
第三步：课堂练习
1．一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为，此三角形的形状为。

2.小强在操场上向东走80m后，沿另一方向又走了60m，再沿第三个方向走100m回到原地。

小强在操场上向东走了80m后，沿另一方向又走60m的方向是。

3．如图，一根12米的电线杆AB，用铁丝AC、AD固定，现已知用去铁丝AC=15米，AD=13米，又测得地面上B、C两点之间距离是9米，B、D两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？
4．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。

小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°。

试判断ΔACD的形状
勾股定理的逆定理（二）》师生共用讲学稿
年级：八年级 学科：数学 执笔：张锦辉 审核：八年级数学科组
【目标】1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。

重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

课前练：
1．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，到了一棵红叶树旁，这棵红叶树离地面的高度是米。

2．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是4米，则这两株树之间的垂直距离是
米，水平距离是米。

2题图 3题图 4题图
3．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是。

4．如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道一公里造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？
第一步：课堂引入、创设情境
在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而使用一些数学知识和数学方法。

第二步：应用举例、能力提高：
例（见课本P75 例2）某港口位于东西方向的海岸线上。

“远航”号“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里。

它们离开港口一个半小时后相距30海里。

如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
思路点拨：首先应根据题意画出图形，（见课本P75图18．2-3）．这是一种象限图，依图形可以看出，“远航”号的航向已经知道，只要求出两艘轮船的航向所成的角，就可以知道“海天”号的航向．分析：⑴了解方位角，及方位名词；⑵依题意画出图形；
⑶依题意可得PR=12×1.5=18， PQ=16×1.5=24， QR=30；
⑷因为242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理的逆定理，知∠QPR=90°；
⑸∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°。

小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。

练习：
1．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。

已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向？
2．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行
驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方米B处，过了秒
后，测得小汽车C与车速检测仪A间距离为米，这辆小汽车超速了
吗？
2.8米
9.6米
3．在某山区需要修建一条高速公路，在施工过程中要沿直线AB打通一条隧道，动工前，应先测隧道BC的长，现测得∠ABD=150°，
∠D=60°，BD=32 k m，请根据上述数据，求出隧道BC的长(精确到
0.1 k m)．
4．去年某省将地处A、B两地的两所大学合成了一所综合性大学，为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2千米的A、B两地之间修
建一条笔直公路(即图中的线段)，经测量在A地的北偏东60°方向，B
地的西偏北方向处有一个半径为0．7千米的公园，问计划修建的这
条公路会不会穿过公园？为什么？
四、课堂总结，发展潜能
1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：
2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．（问：勾股定理是什么
a
呢？）
2．该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．
《勾股定理复习》师生共用讲学稿
年级：八年级 学科：数学 执笔：张锦辉 审核：八年级数学科组
一、奋斗目标：1、明确勾股定理及其逆定理的内容 2、能利用勾股定理解决实际问题
二、知识小管家：通过本章的学习你都学到了
复习第一步：勾股定理的有关计算
例1、如图1，在棱长为1的正方体ABCD—A’B’C’D’的表面上，求从顶点A到顶点C’的最短距离．
例2、下图阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为
复习第二步：
易错点是：在用勾股定理求第三边时，分不清直角三角形的斜边和直角边；另外不论是否是直角三角形就用勾股定理；为了避免这些错误的出现，在解题中，同学们一定要找准直角边和斜边，同时要弄清楚解题中的三角形是否为直角三角形．
例3：在Rt△ABC中，a，b，c分别是三条边，∠B=90°，已知a=6，b=10，求边长c．
例4：已知一个Rt△ABC的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是
例5：已知a，b，c为⊿ABC三边，a=6，b=8，b<c，且c为整数，则c= ．
三、学以致用：
考点一、已知两边求第三边
1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为
_____________．
2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是
________________．
3．在数轴上作出表示的点．
4．已知，如图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．
求①AD的长；②ΔABC的面积．
5．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5㎝，
高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做多
长？
考点二、判别一个三角形是否是直角三角形
1．若△ABC的三个外角的度数之比为3：4：5，最大边AB与最小边BC
的关系是_________．
2．若一个三角形的周长12c m,一边长为3c m,其他两边之差为c m,则这个
三角形
是__________．
3．将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是 ( )．A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不是直角三角形4．下列命题中是假命题的是( )．
A．△ABC中,若∠B=∠C－∠A,则△ABC是直角三角形.
B．△ABC中,若a2=(b+c)(b－c),则△ABC是直角三角形.
C．△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5则△ABC是直角三角形. D．△ABC中,若a∶b∶c=5∶4∶3则△ABC是直角三角形.
5．在△ABC中，，那么△ABC是（）．
A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
6．如图，四边形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，
且．你能说明∠AFE是直角吗？
7、分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有
8、若三角形的三别是a2+b2,2ab,a2-b2(a>b>0),则这个三角形是
9、如图，在我国沿海有一艘不明国际的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。

已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西400.那么甲巡逻艇的航向是怎样的？
考点三、综合其它考点的应用
1．直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为7，8，则以斜边为边长的正方形的面积为_________．
2．如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外
壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行 cm
3．小雨用竹杆扎了一个长80cm、宽60cm的长方形框架，由于四边形容易变形，需要用一根竹杆作斜拉杆将四边形定形，则斜拉杆最长需
________cm ．
6
8
4．小杨从学校出发向南走150米，接着向东走了360米到
九龙山商场，学校与九龙山商场的距离是米．
5．如图：带阴影部分的半圆的面积是多少？（取3）
6．已知，如图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．
求①AD的长；②ΔABC的面积．
7．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线交BC于D，
垂足为E，BD=4cm．求AC的长．
8．已知：如图，△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的高．
求证：AB2-AC2=BC(BD-DC)．
9．已知直角三角形两直角边长分别为5和12，求斜边上的高．
10．有一只鸟在一棵高4米的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12米，高20米的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4米/秒的速度飞向大树树梢．那么这只鸟至少几秒才能到达大树和伙伴在一起．11．如图∠B=90º，AB＝16cm，BC＝12cm，AD＝21cm,CD=29cm
求四边形ABCD的面积．
E
C
D
B
A
12．如图，一个梯子AB长2.5 米，顶端A靠在墙AC上，这时
梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置
上，测得BD长为0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？
复习小结
通过教学，我们知道勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此要注意直角三角形的条件，要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法，在做辅助线的过程中，提高学生的综合应用能力。

在不条件、不同环境中反复运用定理，要达到熟练使用，灵活运用的程度。