深圳市深圳中学初中部数学三角形解答题达标检测(Word版 含解析)

深圳市深圳中学初中部数学三角形解答题达标检测（Word 版 含解析）
一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）
1．已知：线段AB ，以AB 为公共边，在AB 两侧分别作ABC ∆和ABD ∆，并使C D ∠=∠．点E 在射线CA 上．
（1）如图l ，若AC
BD ，求证：AD BC ∥； （2）如图2，若BD BC ⊥，请探究DAE ∠与C ∠的数量关系，写出你的探究结论，并加
以证明； （3）如图3，在（2）的条件下，若BAC BAD ∠=∠，过点D 作DF BC ∥交射线于点F ，当8DFE DAE ∠=∠时，求BAD ∠的度数．
【答案】（1）见详解；（2）DAE ∠+2C ∠=90°，理由见详解；（3）99°．
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质和判定定理，即可得到结论；
（2）设CE 与BD 交点为G ，由三角形外角的性质得∠CGB=∠D+∠DAE ，由
BD BC ⊥，得∠CGB+∠C=90°，结合C D ∠=∠，即可得到结论；
（3）设∠DAE=x ，则∠DFE=8x ，由DF BC ∥，DAE ∠+2C ∠=90°，得关于x 的方程，求出x 的值，进而求出∠C ，∠ADB 的度数，结合∠BAD=∠BAC ，即可求解．
【详解】
（1）∵AC BD ，
∴∠C+∠CBD=180°，
∵C D ∠=∠，
∴∠D+∠CBD=180°，
∴AD BC ∥；
（2）DAE ∠+2C ∠=90°，理由如下：
设CE 与BD 交点为G ，
∵∠CGB 是∆ADG 的外角，
∴∠CGB=∠D+∠DAE ，
∵BD BC ⊥，
∴∠CBD=90°，
∴在∆BCG 中，∠CGB+∠C=90°，
∴∠D+∠DAE+∠C=90°，
又∵C D ∠=∠，
∴DAE ∠+2C ∠=90°；
（3）设∠DAE=x ，则∠DFE=8x ，
∴∠AFD=180°-8x ，
∵DF BC ∥，
∴∠C=∠AFD=180°-8x ，
又∵DAE ∠+2C ∠=90°，
∴x+2(180°-8x)=90°，解得：x=18°，
∴∠C=180°-8x=36°=∠ADB ，
又∵∠BAD=∠BAC ，
∴∠ABC=∠ABD=
12
∠CBD=45°， ∴∠BAD=180°-45°-36°=99°．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质和判定定理，三角形的内角和定理与外角的性质，掌握平行线的性质和三角形外角的性质，是解题的关键．
2．如图①，在△ABC 中，CD 、CE 分别是△ABC 的高和角平分线，∠BAC ＝α，∠B ＝β（α＞β）．
（1）若α＝70°，β＝40°，求∠DCE 的度数； （2）试用α、β的代数式表示∠DCE 的度数（直接写出结果）；
（3）如图②，若CE 是△ABC 外角∠ACF 的平分线，交BA 延长线于点E ，且α﹣β＝30°，求∠DCE 的度数．
【答案】（1）15°；（2）DCE 2αβ-∠=
；（3）75°． 【解析】
【分析】
（1）三角形的内角和是180°，已知∠BAC 与∠ABC 的度数，则可求出∠BAC 的度数，然后根据角平分线的性质求出∠BCE ，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠DEC 的度数，进而求出∠DCE 的度数；
（2）∠DCE ＝2αβ
- ．
（3）作∠ACB 的内角平分线CE′，根据角平分线的性质求出∠ECE′=∠ACE+∠ACE′=
12∠ACB+12
∠ACF=90°，进而求出∠DCE 的度数． 【详解】
解：（1）因为∠ACB ＝180°﹣（∠BAC+∠B ）＝180°﹣（70°+40°）＝70°，
又因为CE 是∠ACB 的平分线， 所以1352
ACE ACB ∠=
∠=︒． 因为CD 是高线，
所以∠ADC ＝90°，
所以∠ACD ＝90°﹣∠BAC ＝20°， 所以∠DCE ＝∠ACE ﹣∠ACD ＝35°﹣20°＝15°．
（2）DCE 2αβ
-∠=．
（3）如图，作∠ACB 的内角平分线CE′，
则152DCE αβ
-'==︒∠．
因为CE 是∠ACB 的外角平分线，
所以∠ECE′＝∠ACE+∠ACE′＝11+22ACB ACF ∠∠＝
1(+)2
ACB ACF ∠∠＝90°， 所以∠DCE ＝90°﹣∠DCE′＝90°﹣15°＝75°．
即∠DCE 的度数为75°．
【点睛】
本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．解决（3），作辅助线是关键．
3．数学活动课上，老师提出了一个问题：
我们知道，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系？
（1）独立思考，请你完成老师提出的问题：
如图所示，已知∠DBC 和∠BCE 分别为△ABC 的两个外角，试探究∠A 和∠DBC ，∠BCE 之间的数量关系.
解：
⑵合作交流，“创新小组”受此问题的启发：分别作外角∠CBD和∠BCE的平分线BF和CF，交于点F（如图所示），那么∠A与∠F之间有何数量关系？请写出解答过程.
【答案】（1）∠DBC+∠BCE－∠A=180º（2）1
2
∠A+∠F=90º
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，三角形内角和定理计算即可.（2）根据角平分线可知∠FBC+∠FCB=1
2
（∠DBC+∠BCE，）再根据三角形内角和定理，结合（1）即可解答.
【详解】
⑴∠DBC+∠BCE－∠A=180º.
∠DBC+∠BCE
=∠ABC+∠A+∠ACB+∠A
=180°+∠A
即∠DBC+∠BCE－∠A=180º.
（2）1
2
∠A+∠F=90°
∵BF和CF分别平分∠CBD和∠BCE，
∴∠CBF=1
2
∠CBD，∠BCF=
1
2
∠BCE.
∴∠CBF+∠BCF=1
2
(∠CBD+∠BCE).
∵∠CBF+∠BCF=180º－∠F，∠DBC+∠BCE=180º+∠A.
∴180º－∠F =1
2
（∠CBD+∠BCE）=
1
2
(180º+∠A)
∴1
2
∠A+∠F=90º.
【点睛】
本题考查了三角形外角性质及三角形内角和定理，熟练掌握三角形外角性质是解题的关键.
4．(1)如图①，你知道∠BOC＝∠B＋∠C＋∠A的奥秘吗？请用你学过的知识予以证明；
(2)如图②，设x＝∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E，运用(1)中的结论填空．
x＝____________°；x＝____________°；x＝____________°；
(3)如图③，一个六角星，其中∠BOD＝70°，则
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝________°.
【答案】（1）证明见解析. (2)180；180；180；(3)140
【解析】
【分析】
（1）首先延长BO交AC于点D，可得BOC=∠BDC+∠C，然后根据∠BDC=∠A+∠B，判断出∠BOC=∠B+∠C+∠A即可．
（2）a、首先根据外角的性质，可得∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，然后根据
∠1+∠2+∠E=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180，据此解答即可．
b、首先根据外角的性质，可得∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，然后根据
∠1+∠2+∠E=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180，据此解答即可．
c、首先延长EA交CD于点F，EA和BC交于点G，然后根据外角的性质，可得
∠GFC=∠D+∠E，∠FGC=∠A+∠B，再根据∠GFC+∠FGC+∠C=180°，可得
x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，据此解答即可．
（3）根据∠BOD=70°，可得∠A+∠C+∠E=70°，∠B+∠D+∠F=70°，据此求出
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是多少即可．
【详解】
(1)证明：如图，延长BO交AC于点D，则∠BOC＝∠BDC＋∠C，
又∵∠BDC＝∠A＋∠B，
∴∠BOC＝∠B＋∠C＋∠A.
(2)180；180；180
(3)140
【点睛】
（1）此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°．
（2）此题还考查了三角形的外角的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
5．ABC 中，AD 是BAC ∠的平分线，AE BC ⊥，垂足为E ，作CF//AD ，交直线AE 于点F.设B α∠=，ACB β∠=．
()1若B 30∠=，ACB 70∠=，依题意补全图1，并直接写出AFC ∠的度数； ()2如图2，若ACB ∠是钝角，求AFC ∠的度数(用含α，β的式子表示)；
()3如图3，若B ACB ∠∠>，直接写出AFC ∠的度数(用含α，β的式子表示)．
【答案】（1）补图见解析，AFC 20∠=；（2） ()1AFC 180βα2
∠=--；（3） ()1AFC αβ2
∠=
-． 【解析】
【分析】 (1)先根据三角形内角和定理求出∠BAC 和∠CAE ，根据角平分线定义求出∠CAD ，即可求出答案；
(2)先根据三角形内角和定理求出∠BAC ，根据角平分线定义求出∠BAD ，根据三角形外角性质求出∠ADC ，根据三角形内角和定理求出∠DAE ，根据平行线的性质求出即可；
(3)求出∠DAE 度数，根据平行线的性质求出即可．
【详解】
解：()1如图1，
B 30∠=，ACB 70∠=，
BAC 180B ACB 80∠∠∠∴=--=，
AD 是BAC ∠的平分线，
1CAD CAB 402
∠∠∴==， AE BC ⊥，
AEC 90∠∴=，
ACB 70∠=，
EAC 180907020∠∴=--=，
DAE CAD CAE 402020∠∠∠∴=-=-=，
CF//AD ，
AFC DAE 20∠∠∴==；
()2如图2，
ABC 中，BAC B ACB 180∠∠∠++=，
()BAC 180B ACB ∠∠∠∴=-+．
()180αβ=-+，
AD 是BAC ∠的平分线，
()11BAD BAC 90αβ22
∠∠∴==-+，
()()11ADE B BAD α90αβ90βα22
∠∠∠∴=+=+-+=--， AE BC ⊥，
DAE ADE 90∠∠∴+=， ()1DAE 90ADE βα2
∠∠∴=-=-， CF//AD ，
DAE AFC 180∠∠∴+=，
()1AFC 180βα2
∠∴=--； ()3如图3，
ABC 中，BAC B ACB 180∠∠∠++=， ()BAC 180B ACB ∠∠∠∴=-+，
()180αβ=-+，
AD 是BAC ∠的平分线，
()11CAD BAC 90αβ22
∠∠∴==-+， AE BC ⊥，
AEC 90∠∴=，
ACB β∠=，
EAC 18090β90β∠∴=--=-，
()
()()11DAE CAE CAD 90β90αβαβ22∠∠∠⎡⎤∴=-=----=-⎢⎥⎣⎦． 【点睛】
本题考查了三角形内角和定理、三角形角平分线定义、三角形的高、平行线的性质等，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键.
6．如图，将一块三角板ABC 的直角顶点C 放在直尺的一边PQ 上，直尺的另一边MN 与三角板的两边AC 、BC 分别交于两点Ｅ、Ｄ，且AD 为∠BAC 的平分线，∠B=300，∠ADE=150.
（1）求∠BDN的度数；
（2）求证：CD=CE.
【答案】（1）∠BDN=∠CDE=450（2）CD=CE
【解析】
试题分析：（1）根据直角三角形的性质，求出∠BAC=60°，然后根据角平分线的性质求出∠CAD=30°，进而根据三角形的内角和求出∠CDA=60°，最后根据角的和差求解即可；（2）结合（1）的关系，由“等角对等边”得出结论.
试题解析：（1）在直角三角形ABC中，∠ACB=900，∠B=300,
∴∠BAC=600,又AD平分∠BAC，
∴∠CAD=300,又∠ACD=900,
∴∠CDA=600
又∠ADE=150，
∴∠CDE=∠CDA-∠ADE=600-150=450
∴∠BDN=∠CDE=450
（2）在△CED中，∠ECD=900，∠CDE=450
∴∠CED=450
∴ CD=CE
点睛：此题主要考查了直角三角形、角平分线的性质，三角形的内角和定理，解题关键是利用三角形的外角和内角求解角之间的和差关系即可.
7．根据题意解答：（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D．（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P的度数．
解：∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD
∴∠1=∠2，∠3=∠4
由（1）的结论得：∠P+∠3=∠1+∠B①，∠P+∠2=∠4+∠D②，①+②，得
2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D
∴∠P= 1
2
（∠B+∠D）=26°．
①如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若
∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．
②在图4中，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与
∠B、∠D的关系，直接写出结论，无需说明理由．
③在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论，无需说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）①∠P=26゜；②∠P=180°﹣1
2
（∠B+∠D）；
③∠P=90°+ 1
2
（∠B+∠D）．
【解析】
试题分析：（1）根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得证；
（2）根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据（1）的结论列出整理即可得解；①表示出∠PAD和∠PCD，再根据（1）的结论列出等式并整理即可得解；
②根据四边形的内角和等于360°，可得
（180°﹣∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D=360°，然后整理即可得解；
③根据（1）的结论∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠PAD+∠P=∠D+∠PCD，然后整理即可得解．
试题解析：（1）∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180゜，
∴∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD．∵∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D．
（2）①∠P=26゜．∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角
∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4．由（1）的结论得：∠PAD+∠P=∠PCD+∠D
①，∠PAB+∠P=∠PCB+∠B
②，∵∠PAB=∠1，∠1=∠2，∴∠PAB=∠2，∴∠2+∠P=∠3+∠B③，①+③得
∠2+∠P+∠PAD+∠P=∠3+∠B+∠PCD+∠D，即
2∠P+180°=∠B+∠D+180°，∴∠P=1
2
（∠B+∠D）=26°．
②如图4，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角
∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴（180°﹣2∠1）+∠B=（180°﹣2∠4）+∠D，在四边形APCB中，（180°﹣∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，在四边形APCD中，
∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D=360°，∴2∠P+∠B+∠D=360°，∴∠P=180°﹣1
2
（∠B+∠D）
；
③如图5，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角
∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵（∠1+∠2）+∠B=（180°﹣2∠3）+∠D，∠2+∠P=（180°
﹣∠3）+∠D，∴2∠P=180°+∠D+∠B，∴∠P=90°+ 1
2
（∠B+∠D）．
点睛：本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图并运用好“8字形”的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．
8．已知△ABC，（1）如图1，若D点是△ABC内任一点、求证：
∠D=∠A+∠ABD+∠ACD．
（2）若D点是△ABC外一点，位置如图2所示．猜想∠D、∠A、∠ABD、∠ACD有怎样的关系？请直接写出所满足的关系式．（不需要证明）
（3）若D点是△ABC外一点，位置如图3所示、猜想∠D、∠A、∠ABD、∠ACD之间有怎样的关系，并证明你的结论．
【答案】（1）证明见解析；（2）∠D+∠A+∠ABD+∠ACD=360°；（3）
∠D+∠ACD=∠A+∠ABD，证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）由∠BDC=∠2+∠CED，∠CED=∠A+∠1，可以得出∠D=∠A+∠ABD+∠ACD．
（2）由∠D+∠A+∠ABD+∠ACD=∠A+∠ABC+∠ACB+∠D+∠DBC+DCB，
∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠D+∠DBC+DCB=180°，可以得出∠D+∠A+∠ABD+∠ACD=360°．
（3）根据三角形的外角性质定理即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可知∠AED=∠1+∠A，∠AED=∠D+∠2，所以可知∠A+∠1=∠D+∠2即∠D+∠ACD=∠A+∠ABD． 试题解析：（1）证明：延长BD 交AC 于点E ．
∵∠BDC 是△CDE 的外角，∴∠BDC=∠2+∠CED，
∵∠CED 是△ABE 的外角，∴∠CED=∠A+∠1．
∴∠BDC=∠A+∠1+∠2．即∠D=∠A+∠ABD+∠ACD．
（2）∵∠D+∠A+∠ABD+∠ACD=∠A+∠ABC+∠ACB+∠D+∠DBC+DCB， ∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠D+∠DBC+∠DCB=180°，
∴∠D+∠A+∠ABD+∠ACD=360°．
（3）证明：令BD 、AC 交于点E ，
∵∠AED 是△ABE 的外角，
∴∠AED=∠1+∠A，
∵∠AED 是△CDE 的外角，
∴∠AED=∠D+∠2．
∴∠A+∠1=∠D+∠2即∠D+∠ACD=∠A+∠ABD．
点睛：本题主要考查三角形的外角性质及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质定理即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
9．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ．
(1)若∠B ＝72°，∠C ＝30°，①求∠BAE 的度数；②求∠DAE 的度数；
(2)探究：如果只知道∠B ＝∠C ＋42°，也能求出∠DAE 的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
【答案】（1）①39°；②21°；（2）21°.
【解析】
【分析】
()1①先根据三角形内角和定理计算出BAC 78∠=，然后根据角平分线定义得到1BAE BAC 392
∠∠==；
②根据垂直定义得到ADB 90∠=，则利用互余可计算出BAD 90B 18∠∠=-=，然后利用DAE BAE BAD ∠∠∠=-进行计算即可； ()2由B C BAC 180
∠∠∠++=，B C 42∠∠=+可消去C ∠得到
BAC 2222B ∠∠=-，则根据角平分线定义得到BAE 111B ∠∠=-，接着在ABD 中利用互余得BAD 90B ∠∠=-，然后利用DAE BAE BAD ∠∠∠=-进行计算即可得到DAE 21∠=．
【详解】
解：()1B C BAC 180∠∠∠++=①，
BAC 180723078∠∴=--=，
AE 平分BAC ∠，
1BAE BAC 392
∠∠∴==； AD BC ⊥②，
ADB 90∠∴=，
BAD 90B 18∠∠∴=-=，
DAE BAE BAD 391821∠∠∠∴=-=-=；
()2能．
B C BAC 180∠∠∠++=，B C 42∠∠=+，
C B 42∠∠∴=-，
2B BAC 222∠∠∴+=，
BAC 2222B ∠∠∴=-，
AE 平分BAC ∠，
BAE 111B ∠∠∴=-，
在ABD 中，BAD 90B ∠∠=-，
()()
DAE BAE BAD 111B 90B 21∠∠∠∠∠∴=-=---=．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理：三角形内角和是180.掌握角平分线和高的定义，熟练进行角度的运算．
10．已知：如图，等边三角形ABD 与等边三角形ACE 具有公共顶点A ，连接CD ，BE ，交于点P .
（1）观察度量，BPC ∠的度数为＿＿＿＿.（直接写出结果）
（2）若绕点A 将△ACE 旋转，使得180BAC ∠=︒，请你画出变化后的图形.（示意图）
（3）在（2）的条件下，求出BPC
∠的度数.
【答案】（1）120°;（2）作图见解析；（3）∠BPC =120°．
【解析】
分析：（1）∠BPC的度数为120°，理由为：由△ABD与△ACE都是等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠DAB=∠ABD=∠CAE=60°，AD=AB，AC=AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形DAC与三角形BAE全等，由全等三角形的对应角相等得到∠ADC=∠ABE，利用外角性质，等量代换即可得到所求；（2）作出相应的图形，如图所示；（3）解法同（1），求出∠BPC的度数即可．
本题解析：
（1）∠BPC的度数为120°，理由为：
证明：∵△ABD与△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB=∠ABD=∠CAE=60°，AD=AB，AC=AE，
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，
在△DAC与△BAE中，
{AD AB
DAC BAE AC AE
=
∠=∠
=
，∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴∠ADC=∠ABE，∵∠ADC+∠CDB=60°，∴∠ABE+∠CDB=60°，∴∠BPC=∠DBP+∠PDB=∠ABE+∠CDB+∠ABC=120°；
（2）作出相应的图形，如图所示；
（3）∵△ABD与△ACE都是等边三角形，
∴∠ADB=∠BAD=∠ABD=∠CAE=60°，AD=AB，AC=AE，
∴∠DAB+∠DAE=∠CAE+∠DAE，即∠DAC=∠BAE，
在△DAC与△BAE中，
{AD AB
DAC BAC AC AE
=
∠=∠
=
，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴∠ADC=∠ABE，∵∠ABE+∠DBP=60°，
∴∠ADC+∠DBP=60°，∴∠BPC=∠BDP+∠PBD=∠ADC+∠DBP+∠ADB=120°．
点睛：本题考查了等边三角形的性质，外角性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键.。