2023年1月广东省普通高中学业水平考试模拟四数学试题

一、单选题
二、多选题
1. 已知双曲线
的焦点为
，
，抛物线的准线与
交于M ，N
两点，且
为正三角形，则双曲线
的离心率为（ ）
A
．B
．C
．D
．
2. 已知随机变量X 服从二项分布.若
，，则
（ ）
A
．B
．C
．D
．
3.
在等差数列
中，，其前项和为
，若
，则的值等于
A ．2011
B ．-2012
C ．2014
D ．-2013
4. 在等比数列
中，
，前项和为
，若数列
也是等比数列，则
A
．
B
．
C
．
D
．
5. 小明将
与等边
摆成如图所示的四面体，其中
，
，若
平面
，则四面体
外接球的表面积
为（
）
A
．B
．C
．D
．
6. 已知函数
是上的偶函数，是的奇函数，且
，则
的值为（ ）
A
．
B
．
C
．D
．
7.
双曲线
的顶点到其渐近线的距离为（ ）
A
．
B ．1
C
．D
．
8. 已知正方体的棱长为2，点为线段
的中点，若点平面，且平面，则平面
截正方体
所得截面的周长为（ ）
A
．
B
．C
．D
．
9.
已知函数
的定义域为，且
仅有一个零点，则（ ）
A ．e 是的零点
B ．
在上单调递增C ．
是的极大值点
D ．
是
的最小值
10. 如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次
移动构成，如从1移动到9，
就是一条移动路线.从1移动到数字的不同路线条数记为，从
1移动到9的事件中，跳过数字
的概率记为
，则下列结论正确的是（ ）
2023年1月广东省普通高中学业水平考试模拟四数学试题
2023年1月广东省普通高中学业水平考试模拟四数学试题
三、填空题
四、解答题
A
．B
．C
．
D
．
11. 下表为森德拉姆(
，1934)素数筛法矩阵，其特点是每行每列的数均成等差数列，下面结论正确的是（ ）
4710131619……71217222732……101724313845……132231404958……162738496071……193245587184…………
……
……
……
……
……
……
A ．第3行第10列的数为73
B ．第2行第19列的数与第6行第7列的数相等
C ．第13行中前13列的数之和为2626
D ．200会出现在此矩阵中
12. 已知函数
，则（ ）
A ．“”是“”的充要条件
B ．“”是“”的充分不必要条件
C ．当
时，D ．当
时，
13.
已知
为等差数列
的前项和，若
，则
______．
14. 已知抛物线
的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率
为____________________.
15. 已知F
是双曲线
的右焦点，过点F 作渐近线的垂线FH (点H 为垂足)，并交双曲线的右支于点A ，若A 为线段FH 的
中点，则双曲线的离心率为___________.
16. 数列与
满足：，是
与
的等差中项，
.
(1)求数列的通项公式；
(2)设
，求数列
的前项和
.
17.
求与椭圆
有公共焦点，且离心率为的双曲线方程．
18. 已知点
，点和点为椭圆
上不同的三个点.当点，点B 和点C 为椭圆的顶点时，△ABC 恰好是边长为2的等边
三角形.
(1)
求椭圆标准方程；(2)
若
为原点，且满足
，求
的面积.
19. 某汽车零件加工厂为迎接国庆大促销活动预估国庆七天销售量，该厂工作人员根据以往该厂的销售情况，绘制了该厂日销售量的频率分布直方图，如图所示，将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.
（1）根据频率分布直方图估计该厂的日平均销售量；(每组以中点值为代表)
（2）求未来天内，连续天日销售量不低于吨，另一天日销售量低于吨的概率；
（3）用表示未来天内日销售量不低于吨的天数，求随机变量的分布列、数学期望与方差.
20. 已知函数．
(1)当时，讨论函数的极值；
(2)已知，函数存在两个极值点，，证明：．
21. 第31届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日—21日在巴西里约热内卢举行．下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）．
第30届伦敦第29届北
京
第28届雅
典
第27届悉
尼
第26届亚特兰
大
中国3851322816
俄罗
斯
2423273226
（1）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；
（2）甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多（假设两国代表团获得的金牌数不会相等），规定
甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个，已知甲、乙猜中国代表团的概率都为，丙猜中国代表团的概率为，三人各自猜哪个代表团的结果互不影响．现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为，求的分布列及数学期望．。