第七章群论(精品文档)

第七章群论
§1 群的基本概念和一般理论
一、群的定义和例子
群是按照某种规律互相联系着的一些元素的集合，我们用G来表示这个集合，并设它含有的元素是A，B，C，E等等。

不是随便什么样的元素集合都构成群，要组成数学群必须满足下列四个条件：
1.封闭性
G中任何两个元素相“乘”（包括一个元素本身“平方”），其结果任然是G中的元素。

如A属于G：
B属于G：
则有()
（7.1-1）
“乘”这个术语是通用的说法，在这里它含有比初等代数里的“乘”更广泛的意义，也许用“组合”来代替更恰当一些，我们将在下面通过几个例子来阐明。

一个数学群必须首先定义一种乘法。

2.缔合性
三个以上的元素相乘满足乘法的结合律。

如
A B C=A ( B C )= (A B ) C (7.1-2)
即在保持三个元素相乘先后次序一定的前提下，其结果与哪两个元素相乘无关。

3.单位元素
G中有一个元素E，它同每一个元素相乘，都等于该元素本身，即
E A=A E=A,(7.1-3)
称E为单位元素或恒等元素。

4.逆元素
G中每一个元素A，都有另一个元素A-1，两者相乘等于单位元素E，即
A=A=E,(7.1-4) 称为的逆元素。

逆元素可以是该元素本身。

下面我们举几个群的例子
（2）G={所有大于0的实数}
集合G包含所有大于0的实数，对普通的乘法而言，组成一个群。

满足封闭性和缔合性是显然的。

1是单位元素，任一实数m的逆元素为。

(3) G={0,±1, ±2, ±3……±n…}
集合G包含0和所有正负整数，对于加法而言，组成一个群，成为整数加群。

此例中“乘”的意思是加。

1+2=3 封闭性满足
1+2+3=1+(2+3)=(1+2)+3=6 缔合性满足
0+3=3+0=3 0是单位元素
n+(-n)=0 n有逆元素-n 213
（4）G={E、I} ( C i )
这个群（称为C i）里面的二个元素是“对称操作”，E是不动，I为对原点的倒反。

这种群（组成元素是一些对称操作）称为对称群或点群。

把E和I作用到任意函数上，结果为：
如果对先用E作用，再用I作用：,因为是任意函数，故，I E=I0（可见，在这里“乘”的意思就是指连续作用）。

同理，
：
E I
E E I
I I E
可见封闭性满足。

I E I=( I E ) I=I I=E
I E I=I ( E I )=I I=E
可见缔合性满足。

单位元素是E，E的逆元素是E，I的逆元素是I。

（5）H2O分子（）
我们选z轴通过氧原子并平分氢原子之间
的连线。

于是整个水分子再yz平面上，有一
个对称面，为xz平面，与此相联系，存在一
个镜面反映动作，亦用表示。

另一个对称面，为yz平面，与此相联系
的操作是。

有一个对称轴c，就是z轴，即分子绕z
轴转动180°复原，此对称操作亦用C2表示。

还有一个对称操作是E：不动。

因此，这个点群包含四个对称操作：
G={E,c 2，，}称为。

其乘积表为：
214
群元素为对称操作的群称为对称群（Symmetry group），亦称为点群（Point
group），因为所有对称操作进行时至少有一个点保持不动，或从对称元素来定义：因为所有对称元素只收在一个点相交。

215
(1)G={1, -1, I, -i}
对普通乘法而言，构成一个群。

封闭性：1 ×(-1) = -1
(-1) × (-1) = 1
i × i = -1
i × (-i) = -1
缔合性：1 × i × (-1) = [i × i ] × (-1) =i × (-1) = -i
1 × i × (-1) = 1 × [ i × (-1) ] = 1 × (-i) = -i 等。

单位元素：1
逆元素：i (-i) = 1 (-1) (-1) = 1 1 × 1 = 1
群中元素的数目称为群的“阶”，用h表示，本例中h = 4。

显然例(2)(3)中群元素的书目h为无穷大，故称为无限群，例(1)则是有限群。

应当区别对称操作和对称元素这两个概念，对称操作是一种动作，通过这种动作可
使物体(包括分子)或图形复原，对称操作所赖以进行的几何要素(点、线、面) 称为对称元素，如一个大分子(如本例中的H2O分子)能沿某一轴（如本例中的Z轴）旋转180º，转动后所得分子和原来完全一样(复原)，则称这个分子有二重轴。

在群论中二重轴和旋转180º这个动作都用同一个符号C2表示，而群元素则是对称操作。

从抽象的观点看，在数学上具有相同性质，尽管其元素含义实际上不一样。

如例(1) U = { 1, -1, i, -i}
和军训的基本动作所构成的群
V = {↑, ↓, ←, →} 同构， 1 ↑，-1 ↓，i ←，-i →， 且 -1× i = -i 对应 ↓ ← = →等。

显然两个同构的群具有相同的阶，且乘积表的“结构”相同，因此若已知D 3和C 3v 同构且已知C 3v 的乘积表，则容易写出D 3的乘积表，只要把C 3v 中的，，
都换成``````````(手
稿看不清)
216
E E
E
E
E
E
乘积表中第一行，第一列，及对角线元素(如C 2C 2 = E 等)易知，C 2 = 等可这样得
到：任选一个点1，先作用得2，再作用C 2得3，通过
的作用可直接由1→3，
可见C 2 =。

由乘积表可见封闭性满足。

c 2 = (c 2 =
= E
c 2
= c 2
= c 2 c 2 = E
可见缔合性满足。

每个元素的逆元素也可以从乘积表得到，如
=
，
=
，
= σ
立正 向左转 向右转
向后转
单位元素是E。

上面讨论的五个粒子，对群元素的乘法而言是对易的，即AB = BA。

例(1)(2)(3)很显然，例(4)(5)也可以从乘积表中看出。

但是从群的定义，我们知道对易性不是群的必要条件，即不是所有的群都具有对易性的，我们称这些具有对易性的群为对易群(Abel群)。

注下面举一个非对易群的粒子。

(5) NH3分子(C3v)
NH3分子的空间构型如图6-2(i)
( i ) ( ii ) ( iii )
图7-2 NH3分子
三个H原子构成一个正三角形，如果作俯视图（即从N原子往下看），则如图7-2 ( ii )。

通过等边三角形的三个顶角的平分线，垂直于等边三角形有三个面（包含了N原子）是对称面，称它们为，，。

(如图7-2(iii)）
由N原子，向三角形作垂直线，是一个三重轴，用C3表示，存在转= 120º这样一个对
称操作；另外，转240º=120º× 2也能使图形复原，故还有对称操作，加上不懂；E，一共6个对称操作：E，C3，，
注：Abel(1801—1829)：奠定群论数学基础的年轻数学家之一。

217
G={E, , , ,,}是一个点群，称为，其乘积表如下：
E
E E
E
E
E
E
E
先规定逆时针旋转！
所以=（操作写在后面表示先作用）
积分表中的元素得到方法示例于右：
故
由乘积表可见封闭性满足。

缔合性满足，如：
=（）==E
===E
单位元素是E
=
故群的四个基本条件全部满足。

从乘积表中我们还可以看出：
（1）=故是非对易群（2）两个旋转相乘，结果是旋转。

如=
（3）两个镜像反映相乘，结果是旋转。

如
（4）一个镜像反映和一个旋转相乘，结果是镜像反映。

如=
(5)设x，y，z，都是群中元素
z=xy
则
如：=
===(一般证明见后) 218
（6）乘积表中每一行或每一列，每个元素都出现一次，只是排列次序不听，这称为重拍定理，可以一般证明如下。

设G={E，}共h个元素，用表示其中的任何一个。

X G,则xG={ xE，} (任一行)
Gx=( Ex，) (任一列)
我们来证明Gx=G（xG=G同理可证）
《证明》
i)根据封闭性，若x G,G,则G
ii)设,则
反证法：若有
则有
即和假设矛盾！
故，即没有重复出现的。

群{ Ex，}一共也是h个元素，每个元素也都属于G ，且每个元素都不同。

可见Gx=G
即乘完以后，只是群元素的次序有所变化，是那几个群
元素，群元素的个数都是不变的。

以上证明Gx=G相当于证明了乘积表中每一列满足重排
定理，对每一行，即xG=G同理可证。

重拍定理的用处是①检验乘积表正确与否②当某一行或
某一列缺一个结果可以用重拍定理把它填上。

课堂练习：构造的乘积表
二、子群及其陪集
首先看分子的对称性，如图7-3所示，是一个三角双锥。

中间有一个三重轴（主轴），垂直于轴有一个对称面（），在这个面上有三个垂直于轴的轴。

还有三个包含轴和轴的对称面（），还有
一共有十二个对称操作，属于群。

G={E,}=
注：因为
对于象转运动，可能有些读者不如对旋转、反映、倒反那么熟悉，这里简要说明一下。

象转是旋转和反映的复合对称操作，实现这一对称操作所凭借的对称要素称为象转轴。

通常都是用表示。

=
当p=偶数时：=
当p=奇数时：==
因此当n=偶数时
当n=奇数时
而（不管n是奇或偶都对）219
在这个群里面,可以找到一个较小的群,如
C3ѵ={E，c3，，ѵ，，},D3={ E，c3，c32，c2，，},称C3ѵ, D3为D3h的子群。

在C3ѵ, D3里面还能找到更小的群：c3。

c3：{ E,c3,c32}是三阶群。

还有二阶群：{E,ѵ }、{E,}、{E,} 称为C s。

最后还有一阶群：{E}称为C1。

这些都是C3ѵ的子群。

这里我们可以看到一个12阶群的子群的阶是6和1、2、3。

12都可以被它们整除。

可以一般地证明：n阶群的任意子群，若子群的阶为m,则=是正整数。

这称为Lagrange定理，为了证明这个定理，需先介绍子群陪集的概念。

设H为群G的一个子群，A为群G的一个固定元素，则定义AH为H的一个左陪集，HA为H的一个右陪集。

注
如H={E,ѵ} H C3ѵ
H的左陪集有：
E H=H
c3H={ c3,} H={ ,}
H={ѵ, E}=H ѵˊH={，}
ѵ
H={, c3}
其中
E H=ѵH
c3H=H
H=H
所以C3ѵ=H+ c3H+ H=ѵH+H+H
上式可以一般地表示为G=A1H+A2H+…+AγH （7.1-5）
A1通常可选为E，
式（7.1-5）通常称为群G按子群H的左分解。

同理可作群G按子群H的右分解：
G=HB1+HB2+ …+HBγ（7.1-6）
(可以证明B i=A i-1)
定理：在有限群G中，子群H的两个左（或右）陪集或无公共元素，或为相等元素的集合，且H的每个陪集（左或右）所包含的元素数与H的阶数相同。

证明：若A1H和A2H有一个共同元素x,则x = A1h1 = A2h2, h1h2为H中的元素，从而A1=A2h2h1-1，设h为H中的任一元素，A1h =A2h2h1-1h= A2h3，根据H的封闭性h3= h2h1-1h 也属于H，由于h是H中的任一元素，故上式说明A1H=A2H。

注：一般来说。

子群的陪集不一定构成一个群。

220
设h1=E，h2…h m为H的m个元素，而A1为G的任意一个元素且A1不属于H，则
A1h1，A1h2…A1h m是m个不同的元素，因为若A1h i=A1h j，则两边左乘A1-1会导致h i=h j 从而和假设矛盾。

由此可见H的每一个左陪集都有相同个数的元素且和H的元素个数相同。

设A2为G中另一个元素，即A2A1，则
A2h1，A2h2…A2h m也是m个不同的元素，这里只可能有这样两种情况：
（i）A2h1…A2h m和A1h1…A1h m没有任何共同元素，
（ii）A2h1…A2h m和A1h1…A1h m有一个或多个共同元素，
但已经证明，只要有一个共同元素，则所有元素就都相同，这就证明了本定理。

对于右陪集的情况可以同样证明。

现在我们对于（7.1-5）（或（7.1-6））的认识就更深刻了，（7.1-5）（或（7.1-6））实际上
代表对有限群G进行一种整齐的分割，共分割成个互不相交（即没有任何共同元素）的陪
集，每个陪集都和子群H有相同数目的元素。

设群G的阶为n,其子群H的阶为m，则由（7.1-5）（或（7.1-6））可见
n==
是（7.1-5）（或（7.1-6））中陪集的数目，当然是正整数，这就证明了Lagrange定理。

称为子群H（在群G中的）指数。

三、同构和同态
D3={ E,c3,,c2, ，}
其乘积表为：
E
E E
E
E
E
E
E
和C3ѵ群比较，我们发现D3群的乘积表和C3ѵ的乘积表是完全相当的，只需把C3ѵ中的ѵ，，，换成c2，，即可。

我们就说C3ѵ和D3是同构的。

一般可以对同构下这样的定
义
设有两个群G和Gˊ
G= {E，A1，A2，…A m}
={E，B1，B2，…B m}
它们的元素之间一一对应，并且具有下列性质：
221
A i ↔
B i A k ↔B k
且A i A k ↔B i B k 注
我们称G 和G ˊ同构。

应当指出，三个群同构，只要求他们的元素一一对应，有相同的乘法表，因此两个同构的群不一定都是点群。

将来（§3）我们要学群表示理论，一个点群G 可以和一个矩阵群M 同构，即称M 为G 的一个表示。

介绍同构概念的重要意义也在于此。

显然两个同构的群具有相同的阶。

（D 3和C 3ν都是六阶群）。

两个不同阶的群不能成为同构群，但有可能 成为同态群。

设有两个群G 和G ˊ，G 的阶大于G ˊ的阶。

若G ˊ中任一元素都和G 中几个元素相对应，并具有下列性质：
若 A i1 A k1
A i2 A k2
B i B k
A il A km
且 A il A km B i B k A il 表示A i1 A i2 …中的任一个 A km 表示A k1 A k2 …中的任一个 就称G 和G ˊ是同态的。

例如G 为C 3ν， Gˊ=﹛E ，﹜只要把
31C E ,2
3C ↔ E
， ↔
则乘积对应的关系就满足了。

所谓“满足”是指：
① E,C 3，2
3C 中任何两个相乘，还是E,C 3，2
3C 中的一个。

↔EE=E ②
，中任何两个相乘，是E,C 3，2
3C 中的一个。

③ E,C 3，2
3C 中任何一个和，中任何一个相乘（且不管次序），
，中
的一个。

↔E
具体见前述C i 和C 3ν的乘积表。

若一个矩阵群和一个点群G同态，则也可以作为点群G的一个表示，详见本章§3，
显然同阶的同态群就是同构群，因此从数学上看，也可将同构看作是同态的一个特例。

四、类
还以C3ν为例，看它的乘积表。

我们拿出群中任意一个元素，例如，要寻找群中那些元素和它属于一类，用的办法是作运算：
注：有很多书上把这种对应关系成为“映射”。

222 是群中每一个元素
这样得到了元素,就说y和是属于同一类。

=
可见和属于同一类
如果拿出或来做，则得到同样的结论。

拿出来做，结果如下：
可见和属于一类
E自己是一类，因为：
由此可见C3中的6个元素可以分为三类：
E；；
一般地，我们可以这样论证：
设G=
对于,如果
是G中某一个元素。

则和属于同一类。

显然单位元素E自己单独是一类，因为。

对于对易群，每个元素是一类，即类的数目等于元素的数目，这是因为
=
如在上面举的例（4）G={，﹜有两类：，。

例（5）G==，
有四类：，
223
如果两个群同构，如D 3和v 3C ，则分类也必然相同。

应当指出： 1. 若B QAQ
=-1
,称A,B 互为共轭元素。

（因为Q 和Q -1互为逆元素，故在写法上1
-QAQ 或AQ Q 1-都可以）因此所谓类就是指互为共轭元素的集合。

用群中任一元素Q 按1-QAQ 或
1-QBQ 这种方法运算，一类中的元素可以互相变，但决不能变成另一类中的元素。

因此可
以说是满足封闭性的。

如Q 、A 为矩阵，1-QAQ 这种变换称为相似变换，以后我们要证明经过相似变换以后阵迹（矩阵对角元之和）不变，因此，同一类元素可以用同一个特征标（即阵迹）来表示（详见§3.）
2. 应该把产生元素和类区分开，例如"
3ννσσ=C ，可以认为"νσ是由3C 和νσ产生的元素，但3C νσ"νσ不属于一个类。

产生元素亦称生成元，点群的Schönflies 符号主要以生成元来标
志。

3. 应该把子群和类区分开，例如233c c 是一个类，但不是一个子群，因为没有单位元素E ；
而E 和νσ却构成一个子群，但不是一类。

4. 和子群的情况类似，同样可以证明，群中所有类的阶一定是群的阶的整数因子。

下面我们介绍几个有用的定理：
1.若B 和A 共轭，C 和B 共轭，则C 和A 也共轭。

（和相等一样，共轭有传递性，而对易则没有传递性。

） 证明：
引理：
111
---=A B AB ）（ A,B 为群中元素 证明：E AEA A ABB A B AB ===-----11
111))((
E AB AB =-1
)
)(( （因为 )(AB 亦是群中一元素）
1
1
1
))(())((---=AB AB A B AB 所以111
)
(---=A B AB (引理证完）
B 和A 共轭：1
-=xAx B
C 和B 共轭：1
-=yBy C 224
x 、y 为群中任一元素。

1111)()(----===yx A yx y yxAx yBy C
因为yx 也是群中一元素，故C 和A 共轭。

这说明若B 和A 是一类，同时C 和B 也是一类，则A 、B 、C 一定是同一类。

由此可得重要推论：群中两个不同的类没有任何共同元素。

2.一个类中的所有元素，都具有相同的周期（亦称阶）。

元素周期的定义是：任意元素i A ，若E A n i =，则称n 为i A 的周期。

（更严格的说法应是n 中的最小值为i A 的周期） 证明：设元素A 的周期为n ，而B 与A 同类 即 1-=xAx B
)())(()(B 1n 1
11n ----==x xA x xA Ax x xAx n
个
=1
111)()()(----⋯Ax x x x x A x x xA =E xEx x xA n ==--11
（因为E A =n
）
说明B 的周期也是n 。

这条定理可以帮助我们判断分类有没有错。

注意：逆定理不成立。

即相同周期的对称元素不一定是一类。

如v C 2，有两个对称面：
v σ 'v σ，其周期都是2，但不是一类。

而v C 3，有三个对称面：v σ 'v σ "
v
σ，它们是一类。

有什么简捷的办法，判断这个问题呢？
3.若两个元素（指点群中的对称操作）同类，则群中必有一个操作，能使这两个对称操作所对应的对称元素重合。

通常把这两个对称操作称为等价操作，因此把点群的操作整理成类的最简便的方法就是把它们整理成等价操作的集合，这种集合就是类。

有了这条定理，我们就很容易看出v C 3（NH 3分子）中，v σ
'v σ "
v
σ同类，因为通过C 3的作用，可使它们重合；而C 2（H 2O 分子）中的v σ和'
v σ则不是一类，因为要使它们重合，必须旋转90°，而c 4
并不是v C 2中的对称操作。

225
若C n 和C n -1同类，就称C n 轴为双向轴，否则就是单向轴。

因此v C 3中的c 3轴是双向轴，因为存在一个v σ，使συ-1c 3συ=c 3-1；而C 3群中的c 3轴则是单向轴。

五、不变子群和商群
我们已经知道C 3=｛E,c 3,c 32}是C 3v 的子群。

如用C 3v 中的所有元素对它进行相似变换：x -1C 3x ,则由上述讨论可知x -1C 3x =C 3，则称C 3={E,c 3,c 32}为C 3v 的不变子群。

群{E ，συ}也是C 3v 的子群，但由于 συ’-1συσυ’=συ’’ συ‘’-1συσυ‘’=συ‘
c 3-1συc 3=συ’’
1
23-c συc 32=c υ’ 可见它不是不变子群，同理{E ，συ‘}{E ，συ’’ }也不是不变子群。

一般地，设H 是群G 的子群，而g 为G 的一个元素，则称g -1Hg 为H 的共轭子群或相似子群。

如果对G 的任何元素g 都有g -1Hg=H ，则称H 为G 的不变子群（或自共轭子群，或正规子群）。

不变子群具有下列性质：
i.如果H 是群G 的不变子群，g 为G 的任意元素，则g 所属的左陪集与右陪集一致。

证明：因为g -1Hg=H ，所以gH=Hg.
ii.如果不变子群H 含有元素A ，则H 必含有A 所属的共轭类。

证明：
因为AЄ H ，而g -1Hg=H ，故有g -1HgЄ H
下面来看C 3v 的不变子群H=C 3={E,c 3,c 32}的陪集H （C 3）的左陪集有： EH=H=c 3 c 3H={c 3,c 32,E}=c 3 c 32H={c 32,E,c 3}=c 3
συH={συ,συ’,συ’’ } συ’H={συ’,συ’’ ,συ} συ’’H={συ’’ ,συ,συ’} 所以 C 3v =H+A 2H
A 2=συ,συ’,συ’’ A 2H={συ,συ’,συ’’ } H （C 3）的右陪集有：
HE=H=c 3 Hc 3={c 3,c 32,E} Hc 32={c 32,E,c 3}=c 3
226
H σv ={σv ,σv ’’,σv ’ } H σv ’={σv ’,σv ,σv ’’ } H σv ’’={σv ’’,σv ’,σv } 所以 C 3v =H+H B 2
B 2 = σv , σv ’ , σv ’’ H B 2={σv , σv ’ , σv ’’ }
由此可明显看出不变子群的上述二个性质。

另外，若H 为群G 的不变子群，则有 G=H+x 2H+x 3H+ … +x γH 则可定义商群G/H={H, x 2H …x γH} 商群中的单位元素就是不变子群H ，而商群中的其它元素就是该不变子群的陪集（右陪集可同样定义）
如 G=C 3v H=C 3 C 3v /C 3 就是一个商群 G/H=C 3v /C 3 = {H ，xH}
G/H 满足群的四个条件：单位元素是H ；
HH=H 因为xH=H x , 故H xH=xH H=xH , xH H=xH ，xH xH=xxH H=HH=H
（因为x= σv , σv ’ , σv ’’ x 2 =σv 2（或σv ’ 2或σv ’’ 2）=E)封闭性要求；读者可证明满足另外二个条件。

联系到前面两个群G 和G’同态，现在我们可以说，群G 到群G’存在一个同态对应φ，G 中所有适合条件φ(x) =E ’（E ’为G’的单位元素）的元素x 的集合H 正是群G 的一个不变子群。

通常称这个H 为同态φ对应的核。

点群C 3v ={E, c 3,c 2
3,σv , σv ’ , σv ’’ }与点群C i ={E,I}同态，
这个同态对应的核就是C 3v 的不变子群C 3 ={E, c 3,c 2
3
,}。

而商群C 3v /H(H=C 3 )正和C 3v 同态而
和C i 同构，因为存在一下的对应关系： C 3v /H = {H ，xH} H↔E, c 3, c 2
3
xH↔ σv , σv
’
, σv ’’
六 直接乘积
有两个群 G 1={E,A 1,A 2…A i …A m } G 2={E,B 1,B 2…B j …B k }
如果它们的元素彼此相乘的意义是明确的，并且满足下列条件： A i B j =B j A i (对易性）
即G 1中的任意一个元素和G 2中的任意一个元素都互相对易。

则可定义一个更大的群G,称G 为G 1和G 2的直接乘积G 1G 2为G 的直因子，表示为 G=G 1⊗G 2={E,A 1,A 2…A i …A m } ⊗{E,B 1,B 2…B j …B k } G 中包含的每一个元素都可以唯一的写成A i B j 例如 G 1={,E, c 3, c 2
3}=C 3 G 2={E,σh }=C S
h σ为垂直于三重轴3c 的对称平面，绕三重轴的转动和对h σ平面的镜像反映彼此相乘的
意义明确，且是可对易的，因此可以定义直接乘积
21G G G ⊗=
{}
h h h h h C S c c S c c c E G 35
3532333233,,,,,=====σσσσ
1G 是三阶的，2G 是二阶的，G 是六阶的。

一般有21h h h ⨯=
显然，按照子群的定义，如果21G G G ⊗=，则1G 和2G 都是G 的子群。

上述直积的定义当然可以推广到多个直因子的情况。

直积群有以下性质： 1.各个直因子的公共元素只有单位元素。

2.各个直因子都是G 的不变子群。

以上二条也就是G 能进行直积分解的必要条件。

3.若 ⊗⊗=21G G G ，而 ⊗⊗=12111G G G ， ⊗⊗=22212G G G ,则群G 也是
22211211,,G G G G 的直积。

由下述讨论可知，直积群的许多性质（如特征标）可以由它的直因子的性质导出，因此只要有可能，我们总是愿意把一个群分解成较简单的群的直积。

直积群21G G G ⊗=对于其一个直因子的商群如
1
G G
和它的另一个直因子：2G 同构。

如上例中s h C C C ⊗=33商群33/C C h 就和s C 同构。

这和普通的乘法和除法之间的关系有点相似，读者可以由此来把握直积群和商群之间的联系。

§2 点 群
对称操作的集合就称为对称群，对称群亦称为点群，因为所有的对称元素都通过一个点，这一点在所有对称动作作用下都是不变的，对孤立分子来说，这一点实际上就是分子的质心。

应当区别对称操作（或对称动作），和对称元素（或对称要素）这两个概念。

对称操作是一种动作，通过这种动作使物体或对称图形复原。

换句话说，假如我们记下物体在完成一个动作前后的位置和取向，那么如果这两个位置和取向是不可区分的话，这种动作就是对称操作。

这意味着，若我们看一下物体，然后把脸背过去，让另一个人完成一个对称操作，然后我们再看它，则我们将完全不能辨别这个操作实际上是否被完成过，因为在这两种情况下，物体的位置和取向都是完全一样的。

对称操作所赖以进行的几何元素（点、线、面）称为对称元素，如一个分子能沿某一轴旋转180o ，转动后所得分子和原来的完全一样，则称这个分子具有二重轴。

显然，对称操作和对称元素是两个紧密联系的概念，而且除了倒反以外，常常用一个符号表示，如n c 既表示旋转
n
o
360这个动作，亦表示n 次旋转轴；σ既表示反映
这个动作，亦表示镜面这个对称元素；n S 既表示象转动作，亦表示n 次象转轴等（倒反动作一般用I 表示，对称中心一般用i 表示）。

应当指出点群中包含的群元素是对称操作。

应当指出，我们在结晶化学中，主要是讨论晶体的宏观对称元素，在这里讨论的是分子的对称元素，二者基本上相同，但也略有差别。

如在分子中可以有5c ，7c ，∞c 等旋转轴，
而在晶体中，由于受晶体结构周期性的限制，只能有64321c c c c c 五种旋转轴。

分子或有限图形的对称操作一共有旋转，反映，象转，倒反和旋转倒反五种，其中前两种是
基本的。

后三种可以由前两种联合作用得到的。

因为I=s 2，I s ==21，σ==12s ，1
63-=s ，13
6-=s ，1
44-=s 等，为了组合成点群，实际上当采用圣弗里斯符号时，只要用前三种：c n ，，s n 即可。

当然在原则上还可以缩减为二种：c n ，s n ，一个反映操作可以看作是s 1。

因为通过旋转动作，能够使得右手和右手重合，故把它称为第一类对称元素，称c n 轴为真轴；而通过反映动作，实际上是使左右手重合，故把它称为第二类对称元素，把s n 称为非真轴，相应的操作称为非真轴转动。

（因为左右手不能真的重合）
我们将采用Schonflies 符号来标志点群，因为在另外一组符号（国际符号）建立以前，点群的Schonflie 符号已经牢固地建立起来，现在几乎所有的群论书上都采用Schonflies 符号的。

在Schonflies 符号中非真转动时转动+反映，在国际符号中非真转动时转动+倒反。

讨论各类点群也就相当于考虑对称元素各种可能的组合，显然在一个分子中不允许各个对称元素作任意的组合，如一个分子有一个且只有一个c 3轴，则任何另外一个对称操作一定要使此轴与自身重迭（否则，就会出来两个c 3轴和假设矛盾）因此我们不可能有一个与c 3为任意角度的对称面，可能存在的对称面一定要么是包含c 3的，要么是垂直c 3轴的。

因此未来下面讨论的方便，先介绍一个有关对称元素组合的定理。

一、对称元素的组合定理
1、两个相交反映面所对应的反映动作的乘积等价于一个转动，转动轴为相交面的交线，基转角为交面夹角的二倍。

证明：如图7-4所示，反映面和
相交，夹角为。

设有一点P ，则通过
可将P
反映到P’，再通过
将P’反映到P’’，∠POP’’=2。

如以两个面的交线为旋转轴，则旋转
2亦能将P 变到P’’（注意：逆时针旋转），故
(7.2-1)
反过来，若先从P’’出发，则先作用，再作用；
或绕两个面的交线轴旋转-2，都能使P’’P ，故 图7-4
=C(-2ø) (7.2-2)
一般来说，C(-2ø) ≠C(-2ø) ，故≠
即一般说来是不能交换的。

但如果
ø=π/2 ，即
垂直，则由于c(
)=c(-
)=c 2,所以此时
=
=C 2
值得注意的事若有了和
，则一定也会存在，这只有在（6.21）两边右乘一个
-1
即可（-1=），=c（2）
2.两个相交为角的两次旋转轴的旋转动作的乘积，等价于一个旋转动作，旋转轴这二个二次轴，基转角为2φ。

注证明：
如图7-5所示
= c(2) （6.2-3）
= c(-2) （6.2-4）
一般来说≠ 特殊情况：φ =
由于c()=c()=此时==
既有三个互相垂直的二重轴。

同样，在（6.2-3）
二边右乘一个( =),则有=c(2φ)即若有
一个c(2φ)，同时还有一个和它垂直的，则一
定会存在另一个的夹角是φ。

图7-5
四、各类点群
下面讨论实际上常遇到的各类点群。

首先介绍一下无轴群： 无轴群包括C 1C s 和C i 。

1、 没有任何对称元素的分子属于C 1群，它的唯一对称动作就是不动可以归入C n 群讨论 （见（一））
2、 C s =C 1h 它包含两个对称操作：E ，δh ，可以归入C nh 讨论（见（三））。

3、 C i =S 2它包含两个对称操作：E ，I 可以归入S n 讨论（见（七））。

（一）C n 群
有一个n 重对称轴，绕轴可以有n 个不同的转动，组成一个对易群，称为C n 。

C n 包含的元素为： C n =｛，，…｝它的阶数等于n 。

由于每个元素都互相对易 ==
因此每个元素自成一类，共有n 类
C n 群是一种循环群。

h 阶循环群定义为一个元素x 及其全部h 个冥，一直到x h =E 。

前面曾经提到若x h =E ，则称h 为元素x 的周期，由于h 又是元素x 生成的循环群的阶，正是在这个意义上又把它称为阶。

C n 的周期（或称阶）就等于n 。

分子中常见的C n 点群有C 1C 2和C 3。

C 1即没有任何对称元素的分子所属的点群，它的唯一的对称动作就是不动，例如甲烷中的三个H 分别为F 、Cl 、Br 所代替而得的CHFClBr 就是一个例。

C 2的例子是H 2O 2（非平面平衡构型）（见图7-6（a ）） C 3的例子是沿C —C 轴部分扭转的H 3C —CCl 3， （二）C nv 群
除有一个n 重对称轴外，通过对称轴还有对称平面。

由上述定理1可知，由于n 重对
称轴的
图 7-6
(a) H 2O 2分子（非平面平衡构型）c 2 (b) H 2O 2分子（顺式平面非平衡构型）
c υ2
存在，有一个对称平面必然带来其他（n-1）个对称平面。

因此C n υ包含2n 个元素，它们是
()()()
{}σσσυ
υυυ
n 2112 ，，，，c c c C n n
n
n n
E -
除了
c υ2
是对易群外，其它都是非对易的。

凡是正n 棱锥形的物体都属于C n υ。

分子中属于C n υ点群的很多，如H 2O 、HCHO 、CH 2X 2（X=卤素）、COCl 2 顺式平面构型的H 2O 2等属于
C υ2
（图7-1）
（图7-6(b)）NH 3
、CHCl 3
、CH 3
Cl 等属于C υ3
（图7-2）。

BrF 5
等属于C υ4
（图7-7(a)）。