高斯小学奥数五年级上册含答案_解方程与解方程组

第七讲解方程与解方程组
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与方程有关的知识和方法.
相信同学们已经会解简单的一元一次方程. 下面我们先对相关的概念做一个简要的复习.
我们将用等号“=”连接，表示相等关系的式子，叫做等式•而方程就是含有未知数的等式.等式有两个基本性质：
等式性质 1 :等式两边加上或减去「-个数，结果仍相等.
如果a b，那么a c b
等式性质2:等式两边乘上一个数，或除以一个不为0的数，结果仍相等
如果a b，那么a c b
如果a b，那么-
b
c0 .
c c
利用等式的性质我们可以解一些简单的方程•首先我们来看一下一元一次方程. 所谓一元一次方程就是只含有一种未知数且未知数的最高次数是1的方程.
在解一元一次方程的时候，我们需要将含有未知数的项一起算，也就是合并同类项. 有
的时候，当含有未知数的项不在等式同一侧时，我们还需要将这样的项从等式的一侧移动到
另一侧，也就是所谓的移项. 注意方程中的每一项都包括数值与符号两部分，移项的时候要
改变符号.
例题1.解下列方程：
(1)4x 3 3x 8 ; (2) 15 3x 19 4x ; (3) 12 3x 7x 18 .
【分析】移项的时候记得要变号哦.
有的时候，方程如果含有括号，我们要先去括号.去括号的时候特别要注意的是，如果括号前面是减号，去掉括号后，原有的项要変号.
方程这个词，最早见于我国古代算书《九章算术》•可见人们在很早以前就已经掌握了
3x ; (2) 5 6x 17 9x; (3) 10 2x 5x 11 .
例题 2.解下列方程：(1)
5x
3(19 x 65 ； (2) 7x (3x 2)
22 .
【分析】去括号的时候也要注意符号
(1) 16 2( x 4) 3x ；( 2)18 (3x 6) x .
对于更为复杂的一元一次方程，还可能含有分母，这个时候我们要先去分母.
例题3.解下列方程:
【分析】以第一个方程为例，等号左边的分母是 2，要去掉它需要左右两边都乘 2或2的倍 数•而要消掉右边的分母需要左右两边都乘
3或3的倍数，那只需要都乘多少就可以了？
通过前面的练习，相信同学们对于一元一次方程有了进一步认识. 下面我们总结一下一
元一次方程的一般解法：
(1) 去分母(如果有分母)：等号两边同时乘以各分母的最小公倍数； (2) 去括号(如果有括号)：由内向外去括号； (3)
移项：把含有未知数的项移到等号的一边(通常是左边) ，已知数移到等号的另一边；
(4)
合并同类项：把方程两边分别合并，化简成 ax
b a 0的形式；
(5) 系数化1:在方程两边同除以未知数系数 a ,得到方程的解x b
；
a
(6 )把得到的解代回原方程检验.
一元一次方程我们已经会解了， 在解决实际问题的过程中我们还会遇到需要设两个未知
(1)
3x 5 2
7x 5
3x 1 8x 2
(2)
(1)
数的情形.也就是可能要解二元一次方程.所谓二元一次方程就是方程中含有两种未知数，
且未知数的次数是1•解决二元一次方程的关键就是将两个未知数变为一个未知数，也就是所谓的消元.
加减消元法是比较常用的消元方法•该方法的步骤和要点可总结如下：
1.若有某个未知数，它前面的系数在两个方程中恰好相反或者相同, 个数，将其凑出可以加减消元的形式;
【分析】熟练掌握一元一次方程的解法，向更高的难度进发吧!就可以通过把两
个方程相加或者相减的方法消去该未知数; 如果没有上述特点，可以通过等式两边同乘以一
2. 解消元后得到的一元一次方程;
3. 把得到的解带入原方程中，求出另一个未知数;
4. 代回原方程检验.
注意：最后方程的解要写成a
的形式. b
例题4.解下列方程组:
x 2y 3 x (1) ； (2)
3x 4y 29 2x 2y
5y 16
【分析】加减消元法掌握好了吗
?
解下列方程组：（1）
2x 3y
5y 32
(2)
x 3y 7
2x 7y 15
例题5.解方程: (1) 2y
4
y； (2)笔13 : (3) x2 3x 5 x x 2
2
8
例题6. 解下列方程组：
【分析】解二元一次方程组最基本的想法就是“消元” ，想想看，对于这两个题目是消
x 还
是消 y 更好做？
应用方程和方程组可以解决应用题、 几何、数论等各种类型的题目， 同学们在后续的学 习中就会体会到方程的强大威力．
1)
9x 2y 20 3x 5y 1
2)
5x 2y 16 2x 3y 13
方程的来历
方程这个名词，最早见于我国古代算书《九章算术》•《九章算术》是在我国东汉初年编 定的一部现有传本的、 最古老的中国数学经典著作. 书中收集了 246个应用问题和其他问题
的解法，分为九章，
方程”是其中的一章•这一章里的所谓“方程”，是指一次方程组•其
中有一个问题实际上就是求解三元一次方程组：
3x 2y z 39 ① 2x 3y z 34 ②
x 2y 3z 26 ③
古代是将它用算筹布置起来解的•如下图所示，图中各列由上而下列出的算筹表示
X 、
y 、z 的系数与常数项.一次方程组各未知数的系数用算筹表示时好比方阵，
所以叫做方程.
三川1 =TTT1
上述方程的概念，在世界上要数 《九章算术》中的“方程”章最早出现•其中解方程组 的方法，不但是我国古代数学中的伟大成就，
而且是世界数学史上一份非常宝贵的遗产.
这
一成就进一步证明：中华民族是一个充满智慧和才干的伟大民族.
作业1. 求下列方程的解： (
1) x 6 15; (2) 3x 5 17 •
作业2. 求下列方程的解： (1) 5x 8 3x 20 ; (2) 6 5x 8x 20 • 作业3. 求下列方程的解： (1) 3x 2(15 x ) 45; (2) 9x 2(2x 2) 19 作业4.
解方程：
3x 7
6x 7
4
5
作业5.
解下列方程组： (1)
x 4y 0
/ 、 5x 4y 33
• (2) J
•
3x y 26
5x 3y 19
右行lll H I
中行
H 川！
左行 I
第七讲解方程与解方程组
答
案：
(1) 5; (2) 4; (3) 3.
答
案：
(1) 4; (2) 5.
答
案：
(1) 5; (2) 6.
答
案：
(1) X 2 ; (2) x :. y 2 y 2
答案：(1) 7 ; (2) 4; (3) 5.
3
“宀x 2 x 2
答案：(1) ； (2) .
y 1 y 3
答案：(1) 2; (2) 4; (3) 3.
答案：
（1）
8; (2) 6.
答案：
（1）
9; (2) 1.
答案：（1）X 11x 4
(2)
y 2y 1
例题1.例题2.例题3.例题4.
例题5.例题6.
练习1.练习2.练习3.练习4.
作业1. 答案：(1) 21；(2) 4.
作业2. 答案：(1) 6；(2) 2 简答：提示，注意移项的时候要改变符号.
作业3. 答案：(1) 15；(2) 3 简答：提示，去括号的时候注意括号前面是减号，去掉括号要变号.
作业 4. 答案： 7 简答：首先要去分母，方程两边同时乘以 20 即可.
简答：提示，第一个方程组采用代入消元法较为方便，第二个方 程组采用加减消元法较为方便.
作业5. 答案：(1)
x。