山东省泰安市高二数学上学期期末试卷 文(含解析)

2015-2016学年山东省泰安市高二（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项
1．“x=1”是“x2+2x﹣3=0”的（）
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A．B．C．D．
3．命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（）
A．若α≠，则tanα≠1B．若α=，则tanα≠1
C．若tanα≠1，则α≠D．若tanα≠1，则α=
4．已知等比数列{a n}中，a1+a3=10，a4+a6=，则该数列的公比q为（）
A．2 B．1 C．D．
5．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边，若a=2bcosC，则此三角形一定是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰或直角三角形
6．已知{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若a3=6，S3=12，则公差d等于（）
A．1 B．C．2 D．3
7．在△ABC中，若a2﹣b2=bc，且=2，则角A=（）
A．B．C．D．
8．设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|，则
△PF1F2的面积等于（）
A．B．C．24 D．48
9．若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈（0，）恒成立，则a的取值范围是（）
A．a≥0 B．a≥﹣2 C．a≥﹣D．a≥﹣3
10．已知定点F1（﹣2，0），F2（2，0），N是圆O：x2+y2=1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是（）
A．椭圆 B．双曲线C．抛物线D．圆
二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）
11．设a=+，b=+，则a与b的大小关系是．
12．平面内动点P到点F（0，2）的距离和到直线l：y=﹣2的距离相等，则动点P的轨迹方程为是．
13．若p：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0，则¬p为．
14．设直线nx+（n+1）y=（n∈N*）与两坐标轴围城的三角形的面积为S n，则S1+S2+S3+…+S2016的值为．
15．已知实数x，y，满足xy=1，且x＞2y＞0，则的最小值为．
三．解答题（本大题共6小题.共75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置．）
16．设命题p：关于x的一元二次方程mx2+（m﹣1）x+m=0没有实数根，
命题q：∀x∈R，2x2+mx﹣m＞0恒成立，如果命题“p∧q”是真命题，求实数m的取值范围．
17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知bsinA=3asinC，cosA=，
（Ⅰ）若b=3，求a的值；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=，求sinB的值．
18．设数列{a n}满足：a1=1，a n+1=3a n，n∈N*，数列{b n}满足b1=2，b4=31，且{b n﹣a n}为等差数列．
（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和S n．
19．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．如何安排生产该企业可获得最大利润？最大利润为多少？
20．已知数列{a n}满足：a1=2，a3+a5=﹣4．
（Ⅰ）若数列{a n}是等差数列，求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若a4=﹣1，且2a n+1=a n+a n+2+k（n∈N*，k∈R），
①证明数列{a n+1﹣a n}是等差数列；
② 求数列{a n}的通项公式．
21．设椭圆M： +=1（a＞b＞0）的离心率与双曲线x2﹣y2=1的离心率互为倒数，且
椭圆与y轴的一个交点坐标为（0，）．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）若直线y=（x﹣m）交椭圆与A，B两点，椭圆上一点C（，1），求△ABC面积的最大值．
2015-2016学年山东省泰安市高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项
1．“x=1”是“x2+2x﹣3=0”的（）
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】方程思想；转化思想；简易逻辑．
【分析】由x2+2x﹣3=0，解得x=1或﹣3．即可判断出结论．
【解答】解：∵x2+2x﹣3=0，解得x=1或﹣3．
∴“x=1”是“x2+2x﹣3=0”的充分不必要条件．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（）
A．B．C．D．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题．
【分析】根据焦点坐标求得c，再根据离心率求得a，最后根据b=求得b，双曲
线方程可得．
【解答】解．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），
则c=4，a=2，b2=12，
双曲线方程为，
故选A．
【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．属基础题．
3．命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（）
A．若α≠，则tanα≠1B．若α=，则tanα≠1
C．若tanα≠1，则α≠D．若tanα≠1，则α=
【考点】四种命题间的逆否关系．
【专题】简易逻辑．
【分析】原命题为：若a，则b．逆否命题为：若非b，则非a．
【解答】解：命题：“若α=，则tanα=1”的逆否命题为：若tanα≠1，则α≠．
故选C．
【点评】考查四种命题的相互转化，掌握四种命题的基本格式，本题是一个基础题．
4．已知等比数列{a n}中，a1+a3=10，a4+a6=，则该数列的公比q为（）
A．2 B．1 C．D．
【考点】等比数列的通项公式．
【专题】计算题；对应思想；定义法；等差数列与等比数列．
【分析】根据等比数列的通项公式，利用a4+a6=（a1+a3）q3，即可求出q的值．
【解答】解：等比数列{a n}中，∵a1+a3=10，∴a4+a6=（a1+a3）q3=，
∴q3=×=
∴该数列的公比q=．
故选：D．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式的应用问题，是基础题目．
5．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边，若a=2bcosC，则此三角形一定是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰或直角三角形
【考点】三角形的形状判断；同角三角函数间的基本关系；正弦定理．
【专题】计算题．
【分析】根据a=2bcosC得到bcosC=，然后根据三角函数定义，得到b cosC=CD=，得到D
为BC的中点，根据全等得到三角形ABC为等腰三角形．
【解答】
解：过A作AD⊥BC，交BC于点D，
在直角三角形ACD中，cosC=得CD=bcosC，
而a=2bcosC得bcosC=，所以CD=
AD=AD，∠ADB=∠ADC=90°，
BD=CD得到三角形ABD≌三角形ACD，
所以b=c，三角形ABC为等腰三角形．
故选C
【点评】考查学生利用三角函数解直角三角形的能力．掌握用全等来证明线段相等的方法．6．已知{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若a3=6，S3=12，则公差d等于（）
A．1 B．C．2 D．3
【考点】等差数列的前n项和．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】设出等差数列的首项和公差，由a3=6，S3=12，联立可求公差d．
【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，
由a3=6，S3=12，得：
解得：a1=2，d=2．
故选C．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，是基础的会考题型．
7．在△ABC中，若a2﹣b2=bc，且=2，则角A=（）
A．B．C．D．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．
【分析】由已知及正弦定理可得c=2b，结合a2﹣b2=bc，可得a2=7b2，由余弦定理可求cosA=，结合范围A∈（0，π），即可求得A的值．
【解答】解：∵在△ABC中， ==2，由正弦定理可得： =2，
即：c=2b，
∵a2﹣b2=bc，
∴a2﹣b2=b×2，解得：a2=7b2，
∴由余弦定理可得：cosA===，
∵A∈（0，π），
∴A=．
故选：A．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
8．设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|，则
△PF1F2的面积等于（）
A．B．C．24 D．48
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题．
【分析】先由双曲线的方程求出|F1F2|=10，再由3|PF1|=4|PF2|，求出|PF1|=8，|PF2|=6，由此能求出△PF1F2的面积．
【解答】解：F1（﹣5，0），F2（5，0），|F1F2|=10，
∵3|PF1|=4|PF2|，∴设|PF2|=x，则，
由双曲线的性质知，解得x=6．
∴|PF1|=8，|PF2|=6，
∴∠F1PF2=90°，
∴△PF1F2的面积=．
故选C．
【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．
9．若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈（0，）恒成立，则a的取值范围是（）
A．a≥0 B．a≥﹣2 C．a≥﹣D．a≥﹣3
【考点】函数恒成立问题．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．
【分析】将参数a与变量x分离，将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，进行求解即可．
【解答】解：x2+ax+1≥0对于一切x∈（0，）成立，
则等价为a≥对于一切x∈（0，）成立，
即a≥﹣x﹣对于一切x∈（0，）成立，
设y=﹣x﹣，则函数在区间（0，〕上是增函数
∴﹣x﹣＜﹣2=﹣，
∴a≥﹣．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数恒成立问题，利用参数分离法，进行转化，求出函数的最值是解决本题的关键．
10．已知定点F1（﹣2，0），F2（2，0），N是圆O：x2+y2=1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是（）
A．椭圆 B．双曲线C．抛物线D．圆
【考点】双曲线的定义．
【专题】计算题．
【分析】由N是圆O：x2+y2=1上任意一点，可得ON=1，且N为MF1的中点可求MF2，结合已知由垂直平分线的性质可得PM=PF1，从而可得|PF2﹣PF1|=|PF2﹣PM|=MF2=2为定值，由双曲线的定义可得点P得轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线
【解答】解：连接ON，由题意可得ON=1，且N为MF1的中点∴MF2=2
∵点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P
由垂直平分线的性质可得PM=PF1
∴|PF2﹣PF1|=|PF2﹣PM|=MF2=2＜F1F2
由双曲线的定义可得点P得轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线
故选：B
【点评】本题以圆为载体，考查了利用双曲线的定义判断圆锥曲线的类型的问题，解决本题的关键是由N为圆上一点可得ON=1，结合N为MF1的中点，由三角形中位线的性质可得MF2=2，还要灵活应用垂直平分线的性质得到解决本题的第二个关键点|PF2﹣PF1|=|PF2﹣PM|=MF2=2＜F1F2，从而根据圆锥曲线的定义可求解，体现了转化思想的应用．
二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）
11．设a=+，b=+，则a与b的大小关系是a＞b ．
【考点】不等式比较大小．
【专题】计算题；转化思想；不等式．
【分析】平方作差即可得出．
【解答】解：∵a2﹣b2=17+2﹣=＞0，a，b＞0，
∴a＞b．
故答案为：a＞b．
【点评】本题考查了平方作差比较两个数的大小方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
12．平面内动点P到点F（0，2）的距离和到直线l：y=﹣2的距离相等，则动点P的轨迹方程为是x2=8y ．
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】计算题；方程思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】直接由抛物线定义求得P的轨迹方程．
【解答】解：∵动点P到点F（0，2）的距离和到直线l：y=﹣2的距离相等，
∴P的轨迹为开口向上的抛物线，且其方程为x2=2py（p＞0），
由，得p=4，
∴抛物线方程为：x2=8y．
故答案为：x2=8y．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查了抛物线的定义，训练了由定义法求抛物线的方程，是基础题．
13．若p：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0，则¬p为∀x∈R，x2+2x+2＞0 ．
【考点】命题的否定．
【专题】常规题型．
【分析】特称命题：“∃x0∈R，x02+2x0+2≤0”的否定是：把∃改为∀，把”≤“改为”＞”即可求得答案．
【解答】解：特称命题：“∃x0∈R，x02+2x0+2≤0”的否定是全称命题：
∀x∈R，x2+2x+2＞0．
故答案为：∀x∈R，x2+2x+2＞0．
【点评】写含量词的命题的否定时，只要将“任意”与“存在”互换，同时将结论否定即可，属基础题．
14．设直线nx+（n+1）y=（n∈N*）与两坐标轴围城的三角形的面积为S n，则S1+S2+S3+…+S2016的值为．
【考点】定积分在求面积中的应用．
【专题】计算题；转化思想；转化法；导数的概念及应用．
【分析】先化为截距式方程，分别求出直线与两坐标轴的交点，根据三角的面积公式得到
S n==﹣，即可求出答案．
【解答】解：∵直线nx+（n+1）y=，
∴y=﹣x+，
∴直线与两坐标轴的交点为（0，），（，0），
∴S n=××==﹣，
∴S1+S2+S3+…+S2016=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=
故答案为：
【点评】本题主要考查数列的求和方法：裂项相消法．要求会求一次函数与两坐标轴的交点坐标；熟悉三角形的面积公式；记住： =﹣（n为自然数）是解题的关键．
15．已知实数x，y，满足xy=1，且x＞2y＞0，则的最小值为 4 ．
【考点】基本不等式．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】根据分式中分母的特征，将分子配方，即可拆成基本不等式的形式，从而获得最小值．
【解答】解：∵xy=1，且x＞2y＞0，
∴．
当且仅当即x﹣2y=2时，取“=”号，
此时，联立xy=1，得时，有最小值4．
故答案为：4．
【点评】1．解决本题的突破口是：平方、拆项，化为基本不等式的形式．应学会一些常见的变形技巧．
2．利用基本不等式时，应注意是否满足条件“一正，二定，三相等”，否则取不到最值．
三．解答题（本大题共6小题.共75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置．）
16．设命题p：关于x的一元二次方程mx2+（m﹣1）x+m=0没有实数根，
命题q：∀x∈R，2x2+mx﹣m＞0恒成立，如果命题“p∧q”是真命题，求实数m的取值范
围．
【考点】复合命题的真假．
【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑．
【分析】命题p：关于x的一元二次方程mx2+（m﹣1）x+m=0没有实数根，则
，解得m范围．命题q：∀x∈R，2x2+mx﹣m＞0恒成立，△
＜0，解得m范围．利用命题“p∧q”是真命题，即可得出．
【解答】解：命题p：关于x的一元二次方程mx2+（m﹣1）x+m=0没有实数根，则
，解得或m＜﹣1．
命题q：∀x∈R，2x2+mx﹣m＞0恒成立，△=m2﹣8×＜0，解得﹣3＜m＜0．
如果命题“p∧q”是真命题，∴，
解得﹣3＜m＜﹣1．
∴实数m的取值范围是（﹣3，﹣1）．
【点评】本题考查了一元二次方程及其一元二次不等式的解集与判别式的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知bsinA=3asinC，cosA=，
（Ⅰ）若b=3，求a的值；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=，求sinB的值．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】计算题；方程思想；综合法；解三角形．
【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，根据a不为0得到b=3c，把b的值代入求出c 的值，利用余弦定理表示出cosA，将各自的值代入即可求出a的值；
（Ⅱ）利用平方关系求出sinA，结合三角形面积求出b，c的值，再由余弦定理求得a，最后由正弦定理求得sinB的值．
【解答】解：（Ⅰ）利用正弦定理化简bsinA=3asinC，得：ab=3ac，
∵a≠0，∴b=3c，
把b=3代入得：c=1，
由余弦定理得：cosA===，
解得：a=；
（Ⅱ）∵cosA=，∴sinA=，
由=，得，
∴b=，
由=12，
得，
由，得sinB=．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键，是中档题．
18．设数列{a n}满足：a1=1，a n+1=3a n，n∈N*，数列{b n}满足b1=2，b4=31，且{b n﹣a n}为等差数列．
（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和S n．
【考点】数列的求和；等差关系的确定．
【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．
【分析】（I）由数列{a n}满足：a1=1，a n+1=3a n，n∈N*，利用等比数列的通项公式即可得出
a n．由于数列{
b n}满足b1=2，b4=31，且{b n﹣a n}为等差数列，设公差为d．可得3d=（b4﹣a4）﹣（b1﹣a1），解得d．即可得出b n．
（II）利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．
【解答】解：（I）∵数列{a n}满足：a1=1，a n+1=3a n，n∈N*，
∴数列{a n}是等比数列，首项为1，公比为3，∴a n=3n﹣1．
∵数列{b n}满足b1=2，b4=31，且{b n﹣a n}为等差数列，设公差为d．
∴3d=（b4﹣a4）﹣（b1﹣a1）=（31﹣33）﹣（2﹣1）=3，解得d=1．
∴b n﹣a n=1+（n﹣1）=n，∴b n=n+3n﹣1．
（II）数列{b n}的前n项和S n=+=．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．如何安排生产该企业可获得最大利润？最大利润为多少？
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】应用题；不等式的解法及应用．
【分析】先设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设z=5x+3y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=5x+3y过可行域内的点时，从而得到z值即可．
【解答】解：设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，
则该企业可获得利润为z=5x+3y，
且，
联立，
解得 x=3 y=4，
由图可知，最优解为P（3，4），
∴z的最大值为z=5×3+3×4=27（万元）．
故答案为：27万元．
【点评】在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件⇒②由约束条件画出可行域⇒③分析目标函数Z与直线截距之间的关系⇒④使用平移直线法求出最优解⇒⑤还原到现实问题中．
20．已知数列{a n}满足：a1=2，a3+a5=﹣4．
（Ⅰ）若数列{a n}是等差数列，求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若a4=﹣1，且2a n+1=a n+a n+2+k（n∈N*，k∈R），
①证明数列{a n+1﹣a n}是等差数列；
② 求数列{a n}的通项公式．
【考点】数列递推式；等差关系的确定．
【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）设出等差数列的公差，由题意列方程组求出首项和公差得答案；
（Ⅱ）①由a4=﹣1，且2a n+1=a n+a n+2+k求出k值，进一步变形可得（a n+2﹣a n+1）﹣（a n+1﹣a n）=2，即数列{a n+1﹣a n}是等差数列；
②利用累加法求数列{a n}的通项公式．
【解答】（Ⅰ）解：∵数列{a n}是等差数列，
设数列的公差为d，则，解得，
∴；
（Ⅱ）①证明：由题意，2a4=a3+a5+k，即﹣2=﹣4+k，∴k=2，
又a4=2a3﹣a2﹣2=3a2﹣2a1=6，∴a2=3，
由2a n+1=a n+a n+2+2，得（a n+2﹣a n+1）﹣（a n+1﹣a n）=2，
∴数列{a n+1﹣a n}是以a2﹣a1=1为首项，﹣2为公差的等差数列；
②解：由①知，a n+1﹣a n=﹣2n+3，
当n≥2时，有a n﹣a n﹣1=﹣2（n﹣1）+3，
于是，a n﹣1﹣a n﹣2=﹣2（n﹣2）+3，
…
a3﹣a2=﹣2×2+3，
a2﹣a1=﹣2×1+3，
叠加得，a n﹣a1=﹣2[1+2+…+（n﹣1）]+3（n﹣1），（n≥2）
∴，（n≥2）
又当n=1时，a1=2也适合，
∴．
【点评】本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了累加法求数列的通项公式，是中档题．
21．设椭圆M： +=1（a＞b＞0）的离心率与双曲线x2﹣y2=1的离心率互为倒数，且椭
圆与y轴的一个交点坐标为（0，）．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）若直线y=（x﹣m）交椭圆与A，B两点，椭圆上一点C（，1），求△ABC面积
的最大值．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】综合题；方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）求得双曲线的离心率，由题意可得椭圆的离心率，求得a，b，即可得到椭圆方程；
（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，由三角形的面积公式，结合基本不等式，即可得到最大值．
【解答】解：（Ⅰ）双曲线的离心率为，
由题意可得椭圆的离心率e==，
由b=，b2=a2﹣c2，得a=2，c=，
故椭圆M的方程为+=1；
（Ⅱ）联立方程，得2x2﹣2mx+m2﹣4=0，
由△=4m2﹣8（m2﹣4）＞0，
得﹣2＜m＜2．且x1+x2=m，x1x2=，
所以|AB|=•=•
=•．
又C到直线AB的距离为d==，
所以S△ABC=|AB|d=≤•=，
当且仅当m=±2∈（﹣2，2）时取等号，
所以△ABC面积的最大值为．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式，考查直线和椭圆联立，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．。