安徽省宣城市2019届高三理数第二次调研测试试卷

安徽省宣城市2019届高三理数第二次调研测试试卷
一、单选题 (共12题；共24分)
1．（2分）复数z满足z(1+2i)=3+i，i为虚数单位，则z的共轭复数z̅=（）A．1B．1−i C．2D．1+i
2．（2分）已知集合A={x|3x−a≥0}，B={x|log2(x−2)≤1}，若B⊆A，则实数a的取值范围是（）
A．(−∞,6)B．(−∞,6]C．(−∞,12)D．(12,+∞)
3．（2分）如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为（）
A．4
5B．7
10
C．1
5
D．9
10
4．（2分）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”请问：乙应该分得（）白米
A．96石B．78石C．60石D．42石
5．（2分）已知P(m,2)为角α终边上一点，且tan(α+π
4
)=3，则cosα=（）
A．√5
5B．2√5
5
C．±√5
5
D．±2√5
5
6．（2分）在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，P在ΔABC斜边BC的中线AD上，则AP
⇀⋅(PB⇀+PC⇀)的最大值为（）
A．25
8B．5
2
C．25
4
D．25
2
7．（2分）已知a，b，c，d都是常数，a>b，c>d．若f(x)=2019+(x−a)(x−b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是（）
A．a>c>d>b B．a>d>c>b C．c>d>a>b D．c>a>b>d 8．（2分）在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1、BB1的中点，M为棱A1B1上的一点，且A1M=λ(0<λ<2)，设点N为ME的中点，则点N到平面
D1EF的距离为（）
A ．√3λ
B ．√22
C ．√23λ
D ．√55
9．（2分）已知正项等比数列 {a n } 满足 a 9=a 8+2a 7 ，若存在两项 a m ， a n ，使得 a m a n =
2a 12 ，则
1m +4n
的最小值为（ ）
A ．2√2
B ．83
C ．3
D ．3√2
10．（2分）已知双曲线 C : x 2a 2−y 2
b
2=1 的左、右焦点分别为 F 1 、 F 2 ， O 为坐标原点， P 是
双曲线在第一象限上的点，直线 PO 交双曲线 C 左支于点 M ，直线 PF 2 交双曲线 C 右支于点 N ，若 |PF 1|=2|PF 2| ，且 ∠MF 2N =60° ，则双曲线 C 的渐近线方程为（ ） A ．y =±√2x
B ．y =±√22
x
C ．y =±2x
D ．y =±2√2x
11．（2分）如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体
积为（ ）
A ．163
B ．323
C ．643
D ．1283
12．（2分）已知 F 1 ， F 2 分别为椭圆 x 2a 2+y 2
b
2=1(a >b >0) 的左、右焦点，点 P 是椭圆上位
于第二象限内的点，延长 PF 1 交椭圆于点 Q ，若 PF 2⊥PQ ，且 |PF 2|=|PQ| ，则椭圆的离心率为（ ） A ．√6−√3
B ．√2−1
C ．√3−√2
D ．2−√2
二、填空题 (共4题；共4分)
13．（1分）已知 x ， y 满足约束条件 {x +y ≥1
y −x ≤1x ≤1
，则 (x +1)2+(y +1)2 的最小值为 .
14．（1分）大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的10个专业中，
选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有
种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．
15．（1分）数列{a n}的前n项和为S n，定义{a n}的“优值”为H
n =
a1+2a2+...+2n−1a n
n
，现
已知{a n}的“优值” H n=2n，则S n=.
16．（1分）关于x的方程kx−lnx
x =2在区间[
1
e
,e]上有两个实根，则实数k的最小值
是.
三、解答题 (共7题；共75分)
17．（10分）在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知√3a=2csinA 且c<b．
（1）（5分）求角C的大小；
（2）（5分）若b=8，延长AB至D，使BC=BD，且AD=10，求ΔACD的面积．18．（10分）如图，已知四棱锥E−ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=EC=2，AE=BE=√2．
（1）（5分）求证：平面EAB⊥平面ABCD．
（2）（5分）求二面角A−EC−D的余弦值．
19．（15分）某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动，有Ⅳ人参加，现将所有参加者按年龄情况分为[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45)，[45,50)，[50,55)等七组，其频率分布直方图如图所示，已知[25,30)这组的参加者是6人．
（1）（5分）根据此频率分布直方图求该校参加秋季登山活动的教职工年龄的中位数；
（2）（5分）已知[35,40)和[40,45)这两组各有2名数学教师，现从这两个组中各选取2人担
任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中恰有1名数学老师的概率；
（3）（5分）组织者从[45,55)这组的参加者（其中共有4名女教师，其余全为男教师）中随机选取3名担任后勤保障工作，其中女教师的人数为X，求X的分布列和均值．
20．（10分）已知椭圆C的方程为x2
4+y2
2=1
，A是椭圆上的一点，且A在第一象限内，过A
且斜率等于-1的直线与椭圆C交于另一点B，点A关于原点的对称点为D．
（1）（5分）证明：直线BD的斜率为定值；
（2）（5分）求ΔABD面积的最大值．
21．（10分）已知函数f(x)=(ax+1)e x，a∈R．
（1）（5分）当a=1时，证明f(x)+1
e2
≥0；
（2）（5分）当a=−1
2
时，对于两个不相等的实数x1、x2有f(x1)=f(x2)，求证：
x1+x2<2.
22．（10分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，曲线C的极坐
标方程为ρ=8√2sin(θ+π
4 ).
（1）（5分）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）（5分）过点P(1，0)作倾斜角为45°的直线l与圆C交于A，B两点，试求
1
|PA|
+
1
|PB|的值．
23．（10分）已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)=2x+1．（1）（5分）解关于x的不等式g(x)≥|x−1|；
（2）（5分）如果对∀x∈R，不等式|g(x)|−c≥|x−1|恒成立，求实数c的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：由 z(1+2i)=3+i ，
z =
3+i 1+2i =(3+i)(1−2i)1−4i
2=5−5i
5=1−i
所以z 的共轭复数为 1+i ， 故答案为：D.
【分析】利用复数的混合运算法则求出复数z ，再利用复数与共轭复数的关系求出复数z 的共轭复数。

2．【答案】B
【解析】【解答】解：∵3x ﹣a ≥ 0，∴x ≥a 3 ，∴A ＝ [a
3,+∞) ，
∵log 2（x ﹣2）≤1＝log 22，∴0＜x ﹣2≤2， ∴2＜x≤4，∴B ＝（2，4]，
∵B ⊆A ，∴a
3 ≤2，∴a≤6，
∴实数a 的取值范围是（﹣∞，6]． 故答案为：B ．
【分析】利用集合间的包含关系，借助数轴，用分类讨论的方法求出a 的取值范围。

3．【答案】C
【解析】【解答】解：由茎叶图知甲的平均成绩为 15
×（88+89+90+91+92）＝90，
∵甲的平均成绩不超过乙的平均成绩，
∴设被污损为x ，则乙的平均成绩为 1
5
×（83+83+87+99+90+x ）≥90，
解得x≥8，
∴甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为P ＝ 210=15
．
故答案为：C ．
【分析】利用茎叶图求出甲和乙的平均成绩，再借助古典概型求概率公式从而求出甲的平均成绩不
超过乙的平均成绩的概率。

4．【答案】C
【解析】【解答】解：今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，
∴d=a3−a1
3−1
=
−36
2
=−18，
S3=3a1+3×2
2×(−18)=
180，
解得a1＝78（石）．
∴a2＝a1+d=78 −18=60石
∴乙应该分得60石．
故答案为：C．
【分析】将实际问题转化为等差数列的问题，利用等差数列的通项公式和等差数列的前n项和公式求出首项和公差，从而利用首项和公差求出等差数列的第二项的值，从而求出实际问题中乙应该分得的白米为60石。

5．【答案】B
【解析】【解答】∵tan(α+π
4
)=3
∴tanα+1
1−tanα=3，解得tanα=1
2
又P(m,2)为角α终边上一点，
∴tanα=2
m =
1
2
，∴m=4
∴cosα=4
16+4=
2√5
5
故答案为：B
【分析】利用两角和的正切公式结合同角三角函数基本关系式求出角α的余弦值。

6．【答案】B
【解析】【解答】解：以A为坐标原点，以AB，AC方向分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，
则B（2，0），C（0，4），中点D(1,2)
设P(x,2x)，所以AP
⇀=(x,2x)，PD⇀=(1−x,2−2x)
AP⇀⋅(PB⇀+PC⇀)=AP⇀⋅(2PD⇀)=2[x(1−x)+2x(2−2x)]=−10(x2−x)
x=1
2
时，最大值为5
2
．
故答案为：B．
【分析】利用建系的方法结合中点坐标公式求出点的坐标，再利用点的坐标结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用向量的数量积的坐标表示和向量的坐标运算将AP
⇀⋅(PB⇀+PC⇀)转化为二次函数，再利用二次函数求最值（即顶点式）的方法求出AP
⇀⋅(PB⇀+PC⇀)的最大值。

7．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意设g（x）＝（x﹣a）（x﹣b），则f（x）＝2019+g（x），
所以g（x）＝0的两个根是a、b，
由题意知：f（x）＝0 的两根c，d，
也就是g（x）＝-2019的两根，
画出g（x）（开口向上）以及直线y＝-2019的大致图象，
则与f（x）交点横坐标就是c，d，
f（x）与x轴交点就是a，b，
又a＞b，c＞d，则c，d在a，b内，
由图得，a>c>d>b，
故答案为：A．
【分析】利用函数的零点与方程的根和函数与x轴交点的横坐标的等价关系，结合函数图象和已知条件a＞b，c＞d，从而求出a,b,c,d的大小关系。

8．【答案】D
【解析】【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
则M （2，λ，2），D 1（0，0，2），E （2，0，1），F （2，2，1），
ED 1⇀ ＝（﹣2，0，1）， EF ⇀ ＝（0，2，0）， EM ⇀ ＝（0，λ，1），
设平面D 1EF 的法向量 n ⇀ ＝（x ，y ，z ），
则 {n ⇀·ED
1⇀=−2x +z =0n ⇀·EF
⇀=2y =0 ，取x ＝1，得 n ⇀ ＝（1，0，2）， ∴点M 到平面D 1EF 的距离为：
d ＝ |EM ⇀·n ⇀||n ⇀|=25=2√5
5 ，N 为EM 中点，所以N 到该面的距离为 √55
， 故答案为：D ．
【分析】利用空间向量的方法结合已知条件求出点到平面的距离。

9．【答案】C
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为q （q ＞0），
∵a 9＝a 8+2a 7， ∴a 7q 2＝a 7q+2a 7， ∴q 2﹣q ﹣2＝0， ∴q ＝2或q=-1（舍），
∵存在两项a m ，a n 使得 a m a n =2a 12 ， ∴a 1
2q m−1+n−1
=2a 1
2,2m+n−2=2,m +n −2=1,m +n =3. ，
∴1m +4n =13×(1m +4n )(m +n)=13(n m +4m n +5)≥13×9=3 故答案为：C.
【分析】利用等比数列的通项公式结合均值不等式求最值的方法求出 1m +4n
的最小值 。

10．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意，|PF1|＝2|PF2|，|PF1|﹣|PF2|＝2a，
∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，
由于P,M关于原点对称，F1,F2关于原点对称，所以线段PM, F1F2互相平分，
四边形PF1MF2为平行四边形，PF1∥MF2,
∵∠MF2N＝60°，
∴∠F1PF2＝60°，
由余弦定理可得4c2＝16a2+4a2﹣2•4a•2a•cos60°，
∴c＝√3a，
∴b＝√c2−a2＝√2a．
∴b
a=√2
，
∴双曲线C的渐近线方程为y＝± √2x
故答案为：A．
【分析】利用双曲线定义和已知条件求出|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，再利用点对称的性质推出线段PM, F1F2互相平分，再结合平行四边形的定义结合余弦定理和双曲线中a,b,c的关系式求出a,b,的关系式，从而求出双曲线的渐近线方程。

11．【答案】C
【解析】【解答】解：根据几何体的三视图，转换为几何体是由一个底面面积为1
2
×4×8的直角三角形，
高为2的三棱锥体，
故：V＝1
3×1
2×4×8×4=
64
3
．
故答案为：C．
【分析】利用三视图还原立体几何图形是由一个底面面积为1
2×4×8
的直角三角形，高为2的三棱锥体，再利用已知条件结合三棱锥的体积公式求出该几何体的体积。

12．【答案】A
【解析】【解答】解：PF2⊥PQ且|PF2|＝|PQ|，可得△PQF2为等腰直角三角形，
设|PF2|＝t，则|QF2|＝√2t，
由椭圆的定义可得|PF1|＝2a﹣t，
2t+√2t=4a
则t＝2（2﹣√2）a，
在直角三角形PF1F2中，
可得t2+（2a﹣t）2＝4c2，
4（6﹣4 √2）a2+（12﹣8 √2）a2＝4c2，
化为c2＝（9﹣6 √2）a2，
可得e＝c
a＝√6−√3．
故答案为：A.
【分析】利用PF2⊥PQ且|PF2|＝|PQ|，可得△PQF2为等腰直角三角形，再利用椭圆的定义结合直角三角形的勾股定理求出a,c的关系式，变形求出椭圆的离心率。

13．【答案】9
2
【解析】【解答】解：由x，y满足约束条件{x+y≥1
y−x≤1
x≤1
作出可行域如图，
(x +1)2+(y +1)2 的几何意义为点 (−1,−1) 到可行域内点的距离的平方， 由图可知， (−1,−1) 到直线 x +y −1=0 的距离最小为： 3√
22
．
∴z ＝ (x +1)2+(y +1)2 的最小值为 92。

【分析】利用二元一次不等式组画出可行域，在可行域中找到最优解，再利用最优解求出目标函数的最小值。

14．【答案】672
【解析】【解答】解：甲、乙都不选时，有 C 83A 33=336 种；甲、乙两个专业选1个时，有 C 21C 82A 33=336 种，
根据分类计数原理，可得共有336+336=672种不同的填报专业志愿的方法． 故答案为：672．
【分析】根据分类计数原理结合已知条件求出该考生填报专业志愿的方法种数。

15．【答案】n(n+3)2
【解析】【解答】解：由 H n =a 1+2a 2+...+2
n−1
a n n
＝2n ，
得a 1+2a 2+…+2n ﹣1a n ＝n•2n ，①
n≥2时，a 1+2a 2+…+2n ﹣2a n ﹣1＝（n ﹣1）•2n ﹣1，②
①﹣②得2n ﹣1a n ＝n•2n ﹣（n ﹣1）•2n ﹣1＝（n+1）•2n ﹣1，即a n ＝n+1， 对n ＝1时，a 1＝2也成立， 所以 S n =(2+n+1)n 2=n(n+3)2。

【分析】利用已知的递推关系式结合作差法求出数列{a n }的通项公式，再利用等差数列前n 项和公式求出数列 {a n } 的前 n 项和为 S n 。

16．【答案】2e+1
e
2
【解析】【解答】解： kx −
lnx
x =2 可变形为：k ＝ lnx x
2+2x ， 设f （x ）＝ lnx x
2+2x ，x ∈ [1
e ,e] ，
f′（x ）＝
1−2lnx−2x
x 3
，
设g （x ）＝1﹣2lnx ﹣2x ，x ∈ [1
e
,e]
g′（x ）＝ −2x −2 ＜0，
即y ＝g （x ）为减函数，
g(1e )=3−2e >0 ， g(e)=−1−2e <0 ，所以 ∃x 0∈[1
e ,e] ，使 g(x 0)=0 ； 即y ＝
f （x ）在 (1
e ,x 0) 为增函数，在 (x 0,e) 为减函数，
又 f(1
e )=−e 2+2e ， f(e)=1+2e e
2>f(1e ) ；
关于 x 的方程 kx −lnx x
=2 在区间 [1e ,e] 上有两个实根，等价于y ＝f （x ）的图象与直线y ＝k 的交点个数有两个， 所以实数 k 的最小值是
2e+1
e 2。

【分析】由 kx −lnx x =2 可变形为：k ＝ lnx x 2+2x ，再利用构造法得出函数f （x ）＝ lnx x
2+2x ，
x ∈ [1e ,e] ，再利用求导的方法判断函数的单调性，再利用关于 x 的方程 kx −lnx x
=2 在区间
[1
e ,e] 上有两个实根，等价于y ＝
f （x ）的图象与直线y ＝k 的交点个数有两个，从而求出实数k 的
最小值。

17．【答案】（1）解：由正弦定理 a sinA =b sinB =c sinC 得
√3sinA =2sinCsinA .
∵sinA ≠0 ，∴sinC =√
32
，又∵c <b ，
∴c =π3 .
（2）解：设 BC =x ，则 AB =10−x ，在 ΔABC 中，由余弦定理得
(10−x)2=x 2+82−2⋅x ⋅8⋅cos π
3 ，
解得 x =3 ，即 BC =3 ， AB =7 . 在 ΔABC 中，由正弦定理得 BC sinA =AB sinC
，
∴sinA =BCsinC AB =3√
314
.
∴ΔACD 的面积 S =12AC ⋅AD ⋅sinA =12⋅8⋅10⋅3√
34=60√
37
.
【解析】【分析】(1)利用正弦定理结合已知关系式和b,c 的大小关系求出角C 的值。

（2）利用正余弦定理结合三角形面积公式求出三角形面积。

18．【答案】（1）证明：取 AB 的中点 O ，连接 EO,CO
∵AE =EB =√2,AB =2
∴△AEB 为等腰直角三角形 ∴EO ⊥AB, EO =1 … 又 ∵AB =BC,∠ABC =60∘ ∴△ACB 是等边三角形 ∴CO =√3 ，又 EC =2,
∴EC 2=EO 2+CO 2 ， ∴EO ⊥CO ∴EO ⊥平面 ABCD ，又 EO ⊂平面EAB ∴ 平面 EAB ⊥ 平面 ABCD
（2）解：以 AB 中点 O 为坐标原点，以 OB 所在直线为 OE 轴, OE 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，
则 A(0,−1,0)C(√3,0,0)D(√3,−2,0)E(0,0,1)
∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0), EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,−1),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)
设平面
的法向量 n
⃗ =(x,y,1) {EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0 ，即 {√3x −1=02y =0 ，解得 {x =√33y =0
， ∴n ⃗ =(√3
3
,0,1)
设平面 EAC 的法向量 m
⃗⃗⃗ =(a,b,1) {AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0 ，即 {√3a +b =0√3a −1=0 ，解得 {a =√33b =−1
, ，
∴m ⃗⃗ =(√33
,−1,1)
∵cos〈m⃗⃗ ,n⃗ 〉=
m⃗⃗⃗⃗ ⋅n⃗⃗⃗
|m⃗⃗⃗⃗ ||n⃗⃗⃗ |=
2√7
7
所以二面角A−EC−D的余弦值为2√7
7
【解析】【分析】(1)利用菱形的结构特征结合已知条件，用线线垂直证出线面垂直，再利用线面垂直证出面面垂直。

（2）利用菱形的结构特征结合已知条件找出二面角的平面角，再利用空间向量的方法求出二面角的平面角。

19．【答案】（1）解：设矩形在[30,35)的高为x，
∴(0.01+0.03+x+0.04+0.03+0.02+0.01)×5=1，
∴x=0.06.
由(0.01+0.03+0.06)×5=0.5，
∴中位数为35.
（2）解：记事件A为“从年龄在[35,40)和[40,45)之间选出的2人中恰有1名数学教师”，
∵年龄在[35,40)之间的人数为8，年龄在[40,45)之间的人数为6，
P(A)=C21⋅C61
C82
⋅
C42
C62
+
C62
C82
⋅
C21⋅C41
C62
=
16
35
.
（3）解：年龄在[45,55)之间的人数为6人，其中女教师4人，∴X的可能取值为1，2，3，
∵P(X=1)=C41C22
C63
=
1
5
，
P(X=2)=C42C21
C63
=
3
5
，
P(X=3)=C43
C63
=
1
5
，
∴X的分布列为：
E(X)=1×1
5
+2×
3
5
+3×
1
5
=2.
【解析】【分析】（1）利用实际问题的已知条件结合频率分布直方图求出该校参加秋季登山活动的教
职工年龄的中位数。

（2）利用分步乘法计数原理结合实际问题的已知条件，用组合数结合古典概型求概率的公式求出两组选出的人中恰有1名数学老师的概率。

（3）利用实际问题的已知条件求出离散型随机变量的分布列，再利用离散型随机变量的分布列求出离散型随机变量的均值。

20．【答案】（1）证明：设 D(x 1,y 1) ， B(x 2,y 2) ，则 A(−x 1,−y 1) ，直线 BD 的斜率 k =y 2−y 1
x 2−x 1 ，
由 {x 124+y 122=1
x 224+y 222
=1
，两式相减， y 2−y 1x 2−x 1=−12×x 1+x 2y 1+y 2 ， 由直线 k AB =y 1+y 2x 1
+x 2
=−1 ，所以 k =y 2−y 1x 2
−x 1
=12 ，
直线 BD 的斜率为定值 12
（2）解：连结 OB ，∵A ， D 关于原点对称，所以 S ΔABD =2S ΔOBD ，
由（1）可知 BD 的斜率 k =12 ，设 BD 方程为 y =1
2
x +t .
∵D 在第三象限，∴−√2<t <1 且 t ≠0 ， O 到 BD 的距离 d =
|t|
√1+1
4
=
2|t|√5 ，
由 {y =1
2x +t
x
24+y 22=1
，整理得： 3x 2+4tx +4t 2−8=0 ， ∴x 1+x 2=−4t
3 ， x 1⋅x 2=4(t 2−2)3
，
∴S ΔABD =2S ΔOBD =2×12×|BD|×d =√52√(x 1+x 2)2−4x 1x 2×2|t|√5
=|t|×√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 ， =|t|⋅
√96−32t 2
3
=
4√23
⋅√t 2⋅(3−t 2)≤2√2 .
∴当 t =−√
62
时， S ΔABD 取得最大值 2√2 .
【解析】【分析】(1)利用椭圆的标准方程求出点A 的坐标，再利用点斜式求出直线方程，再利用直线
与椭圆 C 交于另一点 B ，联立二者方程求出交点B 的坐标，再利用点 A 关于原点的对称点为 D ，用点对称求出点D 的坐标，再利用两点求斜率公式变形证出直线BD 的斜率为定值。

（2）利用点对称得三角形面积相等，再利用（1）可知BD的斜率k=1
2
，设BD方程为y=
1
2
x+t,再利用点到直线的距离结合直线与椭圆相交联立二者方程求出交点，用韦达定理结合三角形面积公式将三角形面积转化为t有关的函数，再利用均值不等式求最值求出三角形面积的最大值。

21．【答案】（1）解：∵a=1，∴f(x)=(x+1)e x，∴f′(x)=(x+2)e x，
∴f(x)在(−∞,−2)上单调递减，在(−2,+∞)上单调递增.
∴x=−2时，f(x)取得极小值，即最小值f(x)=−1 e2
.
即f(x)+1
e2
≥0
（2）解：当a=−1
2时，f(x)=(−1
2
x+1)e x，
则f′(x)=1
2
(1−x)e x，∴x∈(1,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，x∈(−∞,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
令F(x)=f(x)−f(2−x)，
则F(x)=(−1
2x+1)e x−
1
2
xe2−x，∴F′(x)=12(1−x)(e x−e2−x).
当x∈(1,+∞)时，1−x<0，x>2−x，e x−e2−x>0，∴F′(x)<0，F(x)单调递减，
∴F(x)<F(1)=f(1)−f(1)=0，即f(x)−f(2−x)<0，
∴当x∈(1,+∞)时，f(x)<f(2−x).
又f(x)在(−∞,1)内是增函数，在(1,+∞)内是减函数.
又∵x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，∴x1，x2不在同一单调区间内，
不妨设x1<1<x2，由上可知：f(x2)<f(2−x2) .
∵f(x1)=f(x2)，∴f(x1)<f(2−x2).
∵x1<1，2−x2<1，又f(x)在(−∞,1)内是增函数，∴x1<2−x2，即x1+x2<2.【解析】【分析】（1）利用a的值求出函数的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，再利用函数的极值求出函数的最值，从而证明出不等式成立。

（2）利用求导的方法判断函数的单调性结合已知条件，用分类讨论的方法证明出不等式成立。

22．【答案】（1）解：将曲线C的极坐标方程，化为直角坐标方程为
x2+y2−8x−8y=0
（2）解：直线l的参数方程为：{
x=1+√22t
y=√22t
（t为参数），
将其代入上述方程中得： t 2−7√2t −7=0 ， 则 {t 1+t 2=7√2t 1t 2=−7 ，
所以
1|PA|+1|PB|=1|t 1|+1
|t 2|=|t 1−t 2||t 1t 2|
=3√147 【解析】【分析】(1)利用极坐标与直角坐标的互化公式求出曲线C 的直角坐标方程。

（2）利用倾斜角的正切值求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程，再利用直线 l 与圆 C
交于 A ， B 两点， 联立二者方程求出交点坐标，再利用韦达定理结合两点距离公式求出 1|PA|+1|PB| 的值 。

23．【答案】（1）解：由题意可得， g(x)=2x −1 ，
所以 2x −1≥|x −1| .
①x ≥1 时， 2x −1≥x −1 ，解得 x ≥0 ，所以 x ≥1 ；
②x <1 时， 2x −1≥1−x ，解得 x ≥2
3 ，所以 23≤x <1 ；
综上： x ∈[2
3
,+∞) .
（2）解：因为 |2x −1|−c ≥|x −1| ， 即 c ≤|2x −1|−|x −1| .
令 ϕ(x)=|2x −1|−|x −1|={ x,x ≥13x −2,12≤x <1−x,x <1
2
， 所以 ϕ(x)min =ϕ(12)=−1
2 .
即 c ≤−1
2
【解析】【分析】（1）利用零点分段法求出绝对值不等式。

（2） 因为 |2x −1|−c ≥|x −1| ，即 c ≤|2x −1|−|x −1|，再将函数ϕ(x )=|2x −1|−|x −1|转化为分段函数，再利用分段函数图象求出函数ϕ(x )的最小值，从而利用不等式恒成立问题的解决方法求出c 的取值范围。