专题15 解三角形-2019年高考数学母题题源系列(江苏专版)(原卷版)

专题15 解三角形
【母题来源】【2019年高考江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．
（1）若a =3c ，b cos B =23
，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2
B π+的值．
【答案】（1）3c =
；（2）5.
【解析】（1）因为23,3
a c
b B ===，
由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c
+-=⨯⨯，即213c =.
所以c =（2）因为
sin cos 2A B a b
=， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B B b b
=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.
因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos 5
B =.
因此πsin cos 2B B ⎛
⎫+== ⎪⎝⎭【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.
【命题意图】
（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
（3）考查数形结合能力、化归与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算、直观想象.
【命题规律】
解三角形问题是高考重要知识点，主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与不等式、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题成为高考的热点．
常见的命题角度主要有：
（1）直接利用正、余弦定理解三角形；
（2）与三角形面积有关的问题；
（3）三角形形状的判断；
（4）解三角形与三角恒等变换相结合．
【答题模板】
解答此类题目，一般考虑如下四步：
第一步，定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向.
第二步，定工具：即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
第三步，求结果.
第四步，再反思：在实施边角互化的时候应注意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系；二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形.
【方法总结】
（一）利用正、余弦定理求边和角的方法：
（1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．
（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.
（3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用．
常见结论：
（1）三角形的内角和定理：在ABC △中，π A B C ++=，其变式有：πA B C +=-，π222
A B C +=-
等．
（2）三角形中的三角函数关系：
i in(s n s )A B C =+； ()s os co c A B C =-+；
sin cos 22A B C +=； cos sin 22
A B C +=. （二）利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路：
（1）“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.
（2）“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角间的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用πA B C ++=这个结论． 提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解.
（三）求三角形面积的方法
（1）若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解．
（2）若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
（四）三角形中，已知面积求边、角的方法
三角形面积公式中含有两边及其夹角，故根据题目的特点，若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
（五）三角形中的综合问题
（1）解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，建立如“22
,,a b ab a b ++”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查相关范围问题.
（2）注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等.
（3）正、余弦定理也可能结合平面向量及不等式考查面积的最值或求面积，此时注意应用平面向量的数量积或基本不等式进行求解.
1．【江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测数学试题】在△ABC 中，已知3AC =，cos 14
B =，
（1）求AB 的长；
（2.
2．【江苏省镇江市2019届高三考前模拟（三模）数学试题】已知,,a b c 分别为ABC △三个内角,,A B C 所对的边，若向量(,cos )b B =m ，(cos ,2)C c a =-n ，且⊥m n .
（1）求角B ；
（2）若||=
m 24ac =，求边,a c .
3．【江苏省南通市2019届高三适应性考试数学试题】在△ABC 中，已知2AB =，cos 10B =（1）求BC 的长；
（2.
4．【江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)2019届高三第三次调研考试数学试题】在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，()()()sin sin sin sin a A B c b B C -=-+．
（1）求角C 的值；
（2）若4a b =，求sin B 的值．
5．【江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二）数学试题】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别
为a ，b ，c 2cos sin A C
-=． （1）求角A 的大小；
（2）若cos(B ＋
6π)＝14
，求cos C 的值．
6．【江苏省南通市基地学校2019届高三3月联考数学试题】在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．向量()2,a b =m ，()1,cos C =-n ，且∥m n .
（1）若30A =︒，求角C 的值；
（2）求角B 的最大值．
7．【江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三第一次（2月）模拟数学试题】在△ABC 中，a ，
b ，
c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，cos cos a B A =，cos A =
． （1）求角B 的值；
（2）若a =
ABC 的面积．
8．【江苏省泰州中学2019届高三3月月考数学试题】在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边依次为
a ，
b ，
c ，且1cos 4C =
. （1）求22cos 2sin 22
A B C ++的值； （2）设2c =，求a b +的取值范围.
9．【江苏省如皋市2019届高三教学质量调研（三）数学试题】在△ABC 中，tan 3tan A B =-，
cos cos b C c B +=．
（1）求角C 的大小；
（2）设2()sin()cos (
)2x B f x x A +=++，其中5π[0,]6
x ∈，求()f x 的取值范围．
10．【江苏省南京市2019届高三上学期综合模拟数学试题】在△ABC 中，3π,6,4
A A
B A
C ===（1）求πsin 4B ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的值； （2）若点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长.
11．【江苏省南京市六校联合体2019届高三12月联考数学试题】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为
a ，
b ，
c sin cos A a B =．
（1）求角B ；
（2）若3b =，sin C A =，求a ，c ．
12．【江苏省南通市通州区、海门市2019届高三第二次质量调研数学试题】在△ABC 中，已知
()22sin sin sin sin sin .A B A C C -=-
（1）求内角B 的大小；
（2）若cos 3A =
求sin2C 的值.。