关于抛物线焦点弦的一个优美结论

关于抛物线焦点弦的一个优美结论
在抛物线的教学过程中，不少老师应该遇到过这样一道关于抛物线的焦点弦的题目.
题目过抛物线y=ax²(a>0)的焦点F作直线交抛物线于P.Q两点，若线段|PF|与l的长度分别为p 则
这道题目有一个快速而且准确的解法，就是我们在解选择题时常用的特殊值法”或称“特例检验法”.我们可假设直线PQ 与》轴垂直，则p 与4相等，这里还有个特别注意的就是很多学生在解题的时候会犯的一个低级错误，认为抛物线的标准方程中2p 对应的就是α,其实这里我们要稍微转化下，本题中与2p 对应的应该是,故本题答案是C 而不是D.
但是我们作为老师，不是解完这道题目就了了，我们还可以再仔细分析一下本题，这题很有意思，四个选择支全是常数，也就是说抛物线的焦点弦被焦点分成两部分的线段的长度的倒数和与焦点弦的倾斜程度好象没有关系，那么这样的猜想到底对还是错呢?若这个猜想是正确的，那么这样的倒数和到底是多少呢?下面我以焦点在x轴正半轴的标准抛物线来研究这个问题
题目：过抛物线y²=2px(p>0)的焦点F作直线交抛物线于P,Q两点且/PF|=m.Fgl=x 试求的值.
探究：因为直线PQ 可以垂直于x轴，故我们有必要先分类讨论.
(
).若直线PQ 垂直于x轴.如图1,若PQ⊥x轴，由易得Vp=P,Pg= P. 则
m=g=p. 于是，有
到这里，我们可以猜测，
行分析.
若为定值的话，那么这个值估计就是下面对般情形进
(二).如图2,令直线P2 的倾斜角为
方法 一 令P,Q 在x 轴上的射影分别为A,B;在准线上的射影分别为Z,N; 准线与x 轴的交 点为M.由抛物线的定义，有|PL=PH,又四边形PLMA 为矩形有/PL|=|44则 |PE|=|a4而 4 ∠4=|AF|+|FA=p+PB|c08.于是m=p+mcosα,解此关于m 的方程，得
同理：
为定值.
当然，在 时，同理可以证明这个结论.结论成立，在证明此结论的过程中，还得到
了
个副产品，即： 由
时，si n ²α最大，则|PQ|最小，此时，称
PQ 为通径.
在研究一般情形时，还可以采用下面一种方法，也是比较简便的.
方法二如图3,不妨仍令直线PQ 的倾斜角为点在PL上的射影为K,易知
整理，得p(m+n)=2mn, 即有
当然，在时，同理可以证明这个结论.结论成立.。