河北省衡水市冀州中学2016届高考数学保温试卷(理科)(

2016年河北省衡水市冀州中学高考数学保温试卷（理科）（一）（B卷）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知m，n∈R，集合A={2，log7m}，B={m，2n}，若A∩B={1}，则m+n=（）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，若z1=1﹣2i，则的虚部为（）
A．B．﹣ C．D．﹣
3．设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+2x+c=0的两个实
根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值的差为（）
A．B．1 C．D．
4．在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）
A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②
5．将函数f（x）=cos（x+）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一个减区间是（）
A． B． C． D．
6．设a，b∈R，则“a＞b”是“a（e a+e﹣a）＞b（e b+e﹣b）”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
7．在半径为1的球面上有不共面的四个点A，B，C，D且AB=CD=x，BC=DA=y，CA=BD=z，则
x2+y2+z2等于（）
A．2 B．4 C．8 D．16
8．如果下面的程序执行后输出的结果是11880，那么在程序UNTIL后面的条件应为（）
A．i＜10 B．i≤10 C．i≤9 D．i＜9
9．在平面直角坐标系中，双曲线C过点P（1，1），且其两条渐近线的方程分别为2x+y=0和2x﹣y=0，则双曲线C的标准方程为（）
A．
B．
C．或
D．
10．如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（0，﹣1），B（π，﹣1），C（π，1），D（0，1），正弦曲线f（x）=sinx和余弦曲线g（x）=cosx在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．三棱锥P ﹣ABC 中，已知∠APC=∠BPC=∠APB=，点M 是△ABC 的重心，且
•++=9，则||的最小值为（ ）
A ．2
B ．
C ．
D ．2
12．已知点P 为函数f （x ）=lnx 的图象上任意一点，点Q 为圆2+y 2
=1任意一点，则线段PQ 的长度的最小值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．e+﹣1
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．
13．两个等差数列的前n 项和之比为
，则它们的第7项之比为 ．
14．在不同的进位制之间的转化中，若132（k ）=42（10），则k= ．
15．如图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得∠DAC=15°，沿山坡前进50m 到达B 处，又测得∠DBC=45°，根据以上数据可得cos θ= ．
16．已知正数a ，b 满足5﹣3a ≤b ≤4﹣a ，lnb ≥a ，则的取值范围是 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.共70分.
17．如图，在△ABC 中，，点D 在边AB 上，AD=DC ，DE ⊥AC ，E 为垂足
（1）若△BCD 的面积为，求CD 的长；
（2）若
，求角A 的大小．
18．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点M 、N 分别为线段PB ，PC 上的点，MN ⊥PB ． （Ⅰ）求证：BC ⊥平面PAB ；
（Ⅱ）求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M ，N ，D ，A 四个点在同一个平面内； （Ⅲ）当PA=AB=2，二面角C ﹣AN ﹣D
的大小为
时，求PN 的长．
19．某制药厂对A 、B 两种型号的产品进行质量检测，从检测的数据中随机抽取10 次，记录如表（ 数值越大表示产品质量越好）：
（Ⅰ）画出A 、B 两种产品数据的茎叶图；若要从A 、B 中选一种型号产品投入生产，从统计学角度考虑，你认为生产哪种型号产品合适？简单说明理由；
（Ⅱ）若将频率视为概率，对产品A 今后的三次检测数据进行预测，记这三次数据中不低于8.5 的次数为ξ，求ξ的分布列及期望E ξ． 20．给定椭圆C ：
+
=1（a ＞b ＞0），称圆C 1：x 2+y 2=a 2+b 2为椭圆C 的“伴随圆”． 已
知点A （2，1）是椭圆G ：x 2+4y 2=m 上的点． （1）若过点
的直线l 与椭圆G 有且只有一个公共点，求l 被椭圆G
的伴随圆G 1所截得的弦长；
（2）椭圆G上的B，C两点满足4k1•k2=﹣1（其中k1，k2是直线AB，AC的斜率），求证：B，C，O三点共线．
21．对于函数y=F（x），若在其定义域内存在x0，使得x0•F（x0）=1成立，则称x0为函数F（x）
的“反比点”．已知函数f（x）=lnx，g（x）=﹣1
（1）求证：函数f（x）具有“反比点”，并讨论函数f（x）的“反比点”个数；
（2）若x≥1时，恒有x•f（x）≤λ（g（x）+x）成立，求λ的最小值．
22．等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于点Q，AC平分∠DAB，AP为梯形ABCD外接圆的切线，交BD的延长线于点P．
（Ⅰ）求证：PQ2=PD•PB
（Ⅱ）若AB=3，AP=2，AD=，求AQ的长．
23．选修4﹣4：坐标系与参数方程
曲线C1的参数方程为（α为参数），在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ．
（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；
（2）若射线l：y=kx（x≥0）与曲线C1，C2的交点分别为A，B（A，B异于原点），当斜率k
∈（1，]时，求|OA|•|OB|的取值范围．
24．设函数f（x）=x2﹣3x．
（Ⅰ）若λ+μ=1（λ，μ＞0），求证：f（λx1+μx2）≤λf（x1）+μf（x2）；（Ⅱ）若对任意x1，x2∈，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤L|x1﹣x2|，求L的最小值．
2016年河北省衡水市冀州中学高考数学保温试卷（理科）（一）（B卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知m，n∈R，集合A={2，log7m}，B={m，2n}，若A∩B={1}，则m+n=（）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】交集及其运算．
【分析】根据元素和集合的关系可知1∈A且1∈B，即可求出m，n的值，问题得以解决．【解答】解：A={2，log7m}，B={m，2n}，A∩B={1}，
∴1∈A且1∈B，
∴log7m=1，2n=1
∴m=7，n=0，
∴m+n=7．
故选：C
2．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，若z1=1﹣2i，则的虚部为（）
A．B．﹣C．D．﹣
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．
【分析】利用复数的对称性求出z2，然后利用复数的乘除运算法则化简复数求出虚部即可．【解答】解：复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，若z1=1﹣2i，z2=﹣1﹣2i，
则
====
．
复数的虚部为：．
故选：D．
3．设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+2x+c=0的
两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值的差为（）
A．B．1 C．D．
【考点】点到直线的距离公式．
【分析】a，b是方程x2+2x+c=0的两个实根，利用根与系数的关系及其0≤c≤，可得|a
﹣b|=，即可得出两条平行直线的距离，进而得出．
【解答】解：∵a，b是方程x2+2x+c=0的两个实根，
∴a+b=﹣2，ab=c．
又0≤c≤，
∴|a﹣b|==∈[，2]．
两条平行直线的距离d=∈．
∴这两条平行直线之间的距离的最大值和最小值的差=1﹣=．
故选：A．
4．在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）
A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②
【考点】简单空间图形的三视图．
【分析】在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得结论．
【解答】解：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②，
故选：D．
5．将函数f（x）=cos（x+）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一个减区间是（）
A． B． C． D．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】根据三角函数的图象变换关系求出g（x）的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可．
【解答】解：将函数f（x）=cos（x+）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，
则y=cos（2x+），
即g（x）=cos（2x+），
由2kπ≤2x+≤2kπ+π，k∈Z，
得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，
即函数的单调递减区间为，k∈Z，
当k=0时，单调递减区间为，
故选：D．
6．设a，b∈R，则“a＞b”是“a（e a+e﹣a）＞b（e b+e﹣b）”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】构造函数，f（x）=e x+e﹣x，分类讨论判断函数的单调性，再根据充分性和必要性判断即可．
【解答】解：设f（x）=e x+e﹣x，
∵f′（x）=e x﹣e﹣x=，
当x＞0时，e x＞1，
∴（e x）2﹣1＞0，
∴f′（x）＞0，
∴x＞0时，f（x）是增函数，
∵a＞b＞0，
∴f（a）＞f（b），
∴e a+e﹣a＞e b+e﹣b．
∴a（e a+e﹣a）＞b（e b+e﹣b），
当x＜0时，
∴（e x）2﹣1＜0，
∴f′（x）＜0，
∴x＜0时，f（x）是减函数，
∵b＜a＜0，
∵f（a）＜f（b），
∴e a+e﹣a＜e b+e﹣b．
∴a（e a+e﹣a）＞b（e b+e﹣b），
当a＞0＞b时，显然成立，
综上所述当a＞b时，“a（e a+e﹣a）＞b（e b+e﹣b）”恒成立，故充分性成立，
反之也成立，故必要性成立，
∴“a＞b”是“a（e a+e﹣a）＞b（e b+e﹣b）”充要条件，
故选：C．
7．在半径为1的球面上有不共面的四个点A，B，C，D且AB=CD=x，BC=DA=y，CA=BD=z，则x2+y2+z2等于（）
A．2 B．4 C．8 D．16
【考点】球内接多面体．
【分析】构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥D﹣ABC，计算出长方体的长宽高，利用勾股定理可得结论．
【解答】解：构造一个长方体，使得四面体ABCD的六条棱分别是长方体某个面的对角线（如图）．
设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则
a2+b2+c2=4，x2=a2+b2，y2=a2+c2，z2=b2+c2，
故x2+y2+z2=2（a2+b2+c2）=8，
故选：C．
8．如果下面的程序执行后输出的结果是11880，那么在程序UNTIL后面的条件应为（）
A．i＜10 B．i≤10 C．i≤9 D．i＜9
【考点】伪代码．
【分析】先根据输出的结果推出循环体执行的次数，再根据s=1×12×11×10×9=11880得到程序中UNTIL后面的“条件”．
【解答】解：因为输出的结果是132，即s=1×12×11×10×9，需执行4次，
则程序中UNTIL后面的“条件”应为i＜9．
故选D
9．在平面直角坐标系中，双曲线C过点P（1，1），且其两条渐近线的方程分别为2x+y=0和2x﹣y=0，则双曲线C的标准方程为（）
A．
B．
C．或
D．
【考点】双曲线的标准方程．
【分析】设双曲线C的标准方程为x2﹣=λ，λ≠0，利用待定系数法能求出双曲线C
的方程．
【解答】解：∵在平面直角坐标系中，双曲线C过点P（1，1），
且其两条渐近线的方程分别为2x+y=0和2x﹣y=0，
∴设双曲线C的标准方程为x2﹣=λ，λ≠0，
把P（1，1）代入，得：1﹣=λ，解得λ=，
∴双曲线C的方程为=1．
故选：B．
10．如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（0，﹣1），B（π，﹣1），C（π，1），D（0，1），正弦曲线f（x）=sinx和余弦曲线g（x）=cosx在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是（）
A．B．C．D．
【考点】几何概型．
【分析】利用定积分计算公式，算出曲线y=sinx与y=cosx围成的区域包含在区域D内的图形面积为S=2π，再由定积分求出阴影部分的面积，利用几何概型公式加以计算即可得到所求概率．
【解答】解根据题意，可得曲线y=sinx与y=cosx围成的区域，
其面积为（sinx﹣cosx）dx=（﹣cosx﹣sinx）|=1﹣（﹣
）=1+；
又矩形ABCD的面积为2π，
由几何概型概率公式得该点落在阴影区域内的概率是；
故选B．
11．三棱锥P﹣ABC中，已知∠APC=∠BPC=∠APB=，点M是△ABC的重心，且
•++=9，则||的最小值为（）
A．2B．C．D．2
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】设，根据条件以及数量积公式，即
可得到++=18，连接CM，延长之后交AB的中点D，连接PD，根据向量加法的几何意义及重心的性质便可得到
，只要求出的最小值即可．
【解答】解：设，根据条件以及数量积公式，
即可得到++=18，连接CM，延长之后
交AB的中点D，连接PD，D为AB中点，所以，
所以|，
∴
+2
=，
因为，，
，
相加得到
= 18，
所以，
所以，
所以；
∴2；
故选D．
12．已知点P为函数f（x）=lnx的图象上任意一点，点Q为圆2+y2=1任意一点，则线段PQ 的长度的最小值为（）
A． B．C．
D．e+﹣1
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】由圆的对称性可得只需考虑圆心Q（e+，0）到函数f（x）=lnx图象上一点的距离的最小值．设f（x）图象上一点P（m，lnm），求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜
率之积为﹣1，可得lnm+m2﹣（e+）m=0，由g（x）=lnx+x2﹣（e+）x，求出导数，判断单调性，可得零点e，运用两点的距离公式计算即可得到所求值．
【解答】解：由圆的对称性可得只需考虑圆心Q（e+，0）
到函数f（x）=lnx图象上一点的距离的最小值．
设f（x）图象上一点（m，lnm），
由f（x）的导数为f′（x）=，
即有切线的斜率为k=，
可得=﹣m，
即有lnm+m2﹣（e+）m=0，
由g（x）=lnx+x2﹣（e+）x，可得g′（x）=+2x﹣（e+），
当2＜x＜3时，g′（x）＞0，g（x）递增．
又g（e）=lne+e2﹣（e+）•e=0，
可得x=e处点（e，1）到点Q的距离最小，且为，
则线段PQ的长度的最小值为为﹣1，即．
故选：C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．
13．两个等差数列的前n项和之比为，则它们的第7项之比为3：1 ．【考点】等差数列的性质．
【分析】两个等差数列的第n项的比等于这两个等差数列的前2n﹣1项和的比．
【解答】解：设这两个等差数列的前n项和分别为S n，T n，
由题意知===3，
故答案为：3：1
14．在不同的进位制之间的转化中，若132（k）=42（10），则k= 5 ．
【考点】进位制．
【分析】由已知中132（k）=42（10），可得：k2+3k+2=42，解得答案．
【解答】解：∵132（k）=42（10），
∴k2+3k+2=42，
解得：k=5，或k=﹣8（舍去），
故答案为：5
15．如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC=15°，沿山坡前进50m到达B处，又
测得∠DBC=45°，根据以上数据可得cosθ= ﹣1 ．
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】在△ABD中，由正弦定理解出BD，在△BCD中，由正弦定理解出sin∠BCD，则cosθ=sin （π﹣∠BCD）=sin∠BCD．
【解答】解：∵∠DAC=15°，∠DBC=45°，∴∠ADB=30°，
在△ABD中，由正弦定理得，即
，
∴BD=25（）．
在△BCD中，由正弦定理得，即
，
∴sin∠BCD=．
∴cosθ=sin（π﹣∠BCD）=sin∠BCD=．
故答案为：．
16．已知正数a，b满足5﹣3a≤b≤4﹣a，lnb≥a，则的取值范围是．
【考点】正弦定理．
【分析】由题意可求得≤7；由lnb ≥a 可得≥（b ≥），设函数f （x ）
=（x ≥
），利用其导数可求得f （x ）的极小值，也就是
的最小值，于是问
题解决．
【解答】解：∵正数a ，b 满足5﹣3a ≤b ≤4﹣a ， ∴5﹣3a ≤4﹣a ，
∴a ≥
．
∵5﹣3a ≤b ≤4﹣a ，
∴﹣3≤≤
﹣1．
从而
≤7，
∵lnb ≥a ，∴
≥
（b ≥
），
设f （x ）=（x ≥），则f′（x ）=，
当0＜x ＜e 时，f′（x ）＜0，当x ＞e 时，f′（x ）＞0，当x=e 时，f′（x ）=0， ∴当x=e 时，f （x ）取到极小值，也是最小值． ∴f （x ）min =f （e ）=e ．
∴≥e ，
∴
的取值范围是．
故答案为：．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.共70分.
17．如图，在△ABC 中，，点D 在边AB 上，AD=DC ，DE ⊥AC ，E
为垂足
（1）若△BCD 的面积为，求CD 的长；
（2）若
，求角A 的大小．
【考点】解三角形．
【分析】（1）利用三角形的面积公式，求出BD，再用余弦定理求CD；
（2）先求CD，在△BCD中，由正弦定理可得，结合∠BDC=2∠A，即可得结论．
【解答】解：（1）∵△BCD的面积为，，
∴
∴BD=
在△BCD中，由余弦定理可得
=
=；
（2）∵，∴CD=AD==
在△BCD中，由正弦定理可得
∵∠BDC=2∠A
∴
∴cosA=，∴A=．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M、N分别为线段PB，PC 上的点，MN⊥PB．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAB；
（Ⅱ）求证：当点M不与点P，B重合时，M，N，D，A四个点在同一个平面内；
（Ⅲ）当PA=AB=2，二面角C﹣AN﹣D的大小为时，求PN的长．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）推导出AB⊥BC，PA⊥BC，由此能证明BC⊥平面PAB．
（Ⅱ）推导出BC⊥PB，MN∥BC，MN∥AD，由此能证明M，N，D，A四个点在同一个平面内．（Ⅲ）以A为原点，AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出PN的长．
【解答】证明：（Ⅰ）在正方形ABCD中，AB⊥BC，…
因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC．…
因为AB∩PA=A，且AB，PA⊂平面PAB，
所以BC⊥平面PAB…
（Ⅱ）因为BC⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，
所以BC⊥PB…
在△PBC中，BC⊥PB，MN⊥PB，
所以MN∥BC．…
在正方形ABCD中，AD∥BC，所以MN∥AD，…
所以 AM，AD可以确定一个平面，记为α
所以M，N，D，A四个点在同一个平面α内…
解：（Ⅲ）因为PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥AD．又AB⊥AD，
如图，以A为原点，AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，…所以C（2，2，0），D（0，2，0），B（2，0，0），P（0，0，2）．
设平面DAN的一个法向量为，
平面CAN的一个法向量为，
设，λ∈，
因为，所以
，
又，所以，即
，
取z=1，得到，…
因为，，
所以，即，
取a=1得，到，…
因为二面C﹣AN﹣D大小为，所以
，
所以
解得，所以…
19．某制药厂对A 、B 两种型号的产品进行质量检测，从检测的数据中随机抽取10 次，记录如表（ 数值越大表示产品质量越好）：
（Ⅰ）画出A 、B 两种产品数据的茎叶图；若要从A 、B 中选一种型号产品投入生产，从统计学角度考虑，你认为生产哪种型号产品合适？简单说明理由；
（Ⅱ）若将频率视为概率，对产品A 今后的三次检测数据进行预测，记这三次数据中不低于8.5 的次数为ξ，求ξ的分布列及期望E ξ．
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差． 【分析】（Ⅰ）由已知作出茎叶图，分别求出两种产品数据的平均数和方差，由
，
，从统计学角度考虑，生产A 型号产品合适．
（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及期望E ξ． 【解答】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）A 、B 两种产品数据的茎叶图如图， ∵
，
，
∵，，∴从统计学角度考虑，生产A型号产品合适．
（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3．
产品A不低于8.5 的频率为，
若将频率视为概率，则ξ～．
∴
，k=0，1，2，3．
∴ξ的分布列为：
∴．
20．给定椭圆C： +=1（a＞b＞0），称圆C1：x2+y2=a2+b2为椭圆C的“伴随圆”．已知点A（2，1）是椭圆G：x2+4y2=m上的点．
（1）若过点的直线l与椭圆G有且只有一个公共点，求l被椭圆G 的伴随圆G1所截得的弦长；
（2）椭圆G上的B，C两点满足4k1•k2=﹣1（其中k1，k2是直线AB，AC的斜率），求证：B，C，O三点共线．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）将A代入椭圆方程，可得m，进而得到椭圆方程和伴椭圆方程，讨论直线l的斜率不存在和存在，设出l的方程，代入椭圆方程运用判别式为0，求得k，再由直线和圆相交的弦长公式，计算即可得到所求弦长；
（2）设直线AB，AC的方程分别为y﹣1=k1（x﹣2），y﹣1=k2（x﹣2），设点B（x1，y1），C（x2，y2），联立椭圆方程求得交点B，C的坐标，运用直线的斜率公式，计算直线OB，OC的斜率相等，即可得证．
【解答】解：（1）由点A（2，1）是椭圆G：x2+4y2=m上的点．
可得22+4•12=m，即有m=8，
即椭圆G： +=1，
可得a2=8，b2=2，可得伴随圆G1的方程为x2+y2=10，
当直线l的斜率不存在时，显然不满足l与椭圆G有且只有一个公共点；
当直线l的斜率存在时，设直线，
与椭圆G：x2+4y2=8联立，得，由直线l与椭圆G有且只有一个公共点，得
，
解得k=±1，由对称性取直线，即
；
圆心到直线l的距离为，
直线l被椭圆G的伴随圆G1所截得的弦长=；
（2）证明：设直线AB，AC的方程分别为y﹣1=k1（x﹣2），y﹣1=k2（x﹣2），
设点B（x1，y1），C（x2，y2），
联立G：x2+4y2=8，得
，
则2，得
；
同理，
斜率
，
同理；
因为4k1•k2=﹣1，所以
，
=k OB，
即有B，O，C三点共线．
21．对于函数y=F（x），若在其定义域内存在x0，使得x0•F（x0）=1成立，则称x0为函数F（x）
的“反比点”．已知函数f（x）=lnx，g（x）=﹣1
（1）求证：函数f（x）具有“反比点”，并讨论函数f（x）的“反比点”个数；
（2）若x≥1时，恒有x•f（x）≤λ（g（x）+x）成立，求λ的最小值．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题．
【分析】（1）利用函数的导数，求出函数的最值，然后求解满足题意的点的个数．
（2）转化表达式通过构造函数，求解函数的导数，然后对λ分类讨论，求解λ的最小值．【解答】解（1）证明：设h（x）=xlnx﹣1，h′（x）=lnx﹣1，h′（x）＞0得x∈（e，+∞），h′（x）＜0得x∈（0，e）
∵h（e）=elne﹣1=e﹣1＞0，，∴在（0，+∞）上有解，所以函数f（x）具有“反比点”．且有且只有一个；
（2）x•f（x）≤λ（g（x）+x）⇔xlnx≤λ（﹣1+x）⇔xlnx≤λ（x2
﹣）⇔lnx﹣λ（x﹣），
令
，
1°当λ≤﹣1时，△=4﹣4（﹣λ）（）﹣λ
≤0，故恒有﹣λx2+2x﹣λ≥0．则G′（x）≥0恒成立，故G（x）在区间
22．等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于点Q，AC平分∠DAB，AP为梯形ABCD外接圆的切线，交BD的延长线于点P．
（Ⅰ）求证：PQ2=PD•PB
（Ⅱ）若AB=3，AP=2，AD=，求AQ的长．
【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．
【分析】（Ⅰ）由已知可证∠PAD=∠ABD，进而可证PAQ=∠AQP，可得PA=PQ，利用切割线定理即可得证．
（Ⅱ）先证明△PAD∽△PBA，从而可得PB，由切割线定理可求PD，进而可求AQ=DQ=PA﹣PD 的值．
【解答】证明：（Ⅰ）∵PA为圆的切线∴，∠PAD=∠ABD，
∵AC平分∠DAB，∴∠BAC=∠CAD，
∴∠PAD+∠DAC=∠BAC+∠ABC，
∴∠PAQ=∠AQP，
∴PA=PQ．
∵PA为圆的切线，
∴PA2=PD•PB，
∴PQ2=PD•PB．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
解：（Ⅱ）∵△PAD∽△PBA，
∴，
∵PA2=PD•PB，
∴，
∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣23．选修4﹣4：坐标系与参数方程
曲线C1的参数方程为（α为参数），在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ．
（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；
（2）若射线l：y=kx（x≥0）与曲线C1，C2的交点分别为A，B（A，B异于原点），当斜率k
∈（1，]时，求|OA|•|OB|的取值范围．
【考点】参数方程化成普通方程．
【分析】（1）先将C1的参数方程化为普通方程，再华为极坐标方程，将C2的极坐标方程两边同乘ρ，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出C2的直角坐标方程；
（2）求出l的参数方程，分别代入C1，C2的普通方程，根据参数的几何意义得出|OA|，|OB|，得到|OA|•|OB|关于k的函数，根据k的范围得出答案．
【解答】解：（1）曲线C1的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2+y2﹣2x=0，
∴曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．
∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ，即ρ2cos2θ=ρsinθ，
∴曲线C2的直角坐标方程为x2=y．
（2）设射线l的倾斜角为α，
则射线l的参数方程为（t为参数，）．把射线l的参数方程代入曲线C1的普通方程得：t2﹣2tcosα=0，
解得t1=0，t2=2cosα．
∴|OA|=|t2|=2cosα．
把射线l的参数方程代入曲线C2的普通方程得：cos2αt2=tsinα，
解得t1=0，t2=．
∴|OB|=|t2|=．
∴|OA|•|OB|=2cosα•=2tanα=2k．
∵k∈（1，]，∴2k∈（2，2]．
∴|OA|•|OB|的取值范围是（2，2]．
24．设函数f（x）=x2﹣3x．
（Ⅰ）若λ+μ=1（λ，μ＞0），求证：f（λx1+μx2）≤λf（x1）+μf（x2）；
（Ⅱ）若对任意x1，x2∈，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤L|x1﹣x2|，求L的最小值．
【考点】分段函数的应用．
【分析】（Ⅰ）利用作差法进行证明即可．
（Ⅱ）根据绝对值的几何意义，进行求解即可．
【解答】证明：（Ⅰ）∵f（λx1+μx2）﹣=（λx1+μx2）2﹣3（λx1+μx2）﹣
=λ（λ﹣1）x12+2λμx1x2+μ（μ﹣1）x22=﹣λμx12+2λμx1x2+λμx22=﹣λμ（x1﹣x2）2≤0，∴f（λx1+μx2）≤λf（x1）+μf（x2）；
（Ⅱ）∵|f（x1）﹣f（x2）|=|x12﹣3x1﹣x22+3x2|=|x1﹣x2||x1+x2﹣3|，
∵x1，x2∈，∴x1+x2∈，
∴﹣3≤x1+x2﹣3≤﹣1，∴|x1+x2﹣3|≤3，
∴使|f（x1）﹣f（x2）|≤L|x1﹣x2|恒成立的L的最小值是3．
2016年8月10日。