2012年高考第一轮复习数学9.10棱柱与棱锥

9.10 棱柱与棱锥
●知识梳理
1.有两个面互相平行，其余各面的公共边互相平行的多面体叫做棱柱.侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱.底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱.
2.棱柱的各侧棱相等，各侧面都是平行四边形；长方体的对角线的平方等于由一个顶点出发的三条棱的平方和.
3.一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体叫做棱锥.底面是正多边形并且顶点在底面上的射影是正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥.
4.棱锥中与底面平行的截面与底面平行，并且它们面积的比等于对应高的平方比.
在正棱锥中，侧棱、高及侧棱在底面上的射影构成直角三角形；斜高、高及斜高在底面上的射影构成直角三角形.
●点击双基
1.设M =｛正四棱柱｝，N =｛直四棱柱｝，P =｛长方体｝，Q =｛直平行六面体｝，则四个集合的关系为
A.M
P
N
Q B.M
P
Q
N
C.P
M
N
Q
D.P
M
Q
N
解析：理清各概念的内涵及包含关系. 答案：B
2.如图，在斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在
A.直线AB 上
B.直线BC 上
C.直线AC 上
D.△ABC 内部 解析：由AC ⊥AB ，AC ⊥BC 1，知AC ⊥面ABC 1，从而面ABC 1⊥面ABC ，因此，C 1在底面ABC 上的射影H 必在两面的交线AB 上.
答案：A
3.将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD =a ，则三棱锥D —ABC 的体积为
A.63a
B.12
3
a C. 123a 3 D.122 a 3
答案：D
4.（2003年春季上海）若正三棱锥底面边长为4，体积为1，则侧面和底面所成二面角的大小等于_______.（结果用反三角函数值表示）
解析：取BC 的中点D ，连结SD 、AD ，则SD ⊥BC ，AD ⊥B C.
∴∠SDA 为侧面与底面所成二面角的平面角，设为α.在平面SAD 中，作SO ⊥AD 与AD 交于O ，则SO 为棱锥的高.
AO =2DO ，∴OD =3
23.
又V S —ABC =
31·2
1
AB ·BC ·sin60°·h =1， ∴h =43.∴tan α=DO SO =33
243
=8
3.
∴α=arctan 83
.
答案：arctan 8
3
5.过棱锥高的三等分点作两个平行于底面的截面，它们将棱锥的侧面分成三部分的面积的比（自上而下）为__________.
解析：由锥体平行于底面的截面性质知，自上而下三锥体的侧面积之比，S 侧1∶S 侧2∶S 侧
3=
1∶4∶9，所以锥体被分成三部分的侧面积之比为1∶3∶5.
答案：1∶3∶5 ●典例剖析
【例1】 已知E 、F 分别是棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱A 1A 、CC 1的中点，求四棱锥C 1—B 1EDF 的体积.
D 1
解法一：连结A 1C 1、B 1D 1交于O 1，过O 1作O 1H ⊥B 1D 于H ， ∵EF ∥A 1C 1，
∴A 1C 1∥平面B 1EDF .∴C 1到平面B 1EDF 的距离就是A 1C 1到平面B 1EDF 的距离. ∵平面B 1D 1D ⊥平面B 1EDF ，
∴O 1H ⊥平面B 1EDF ，即O 1H 为棱锥的高. ∵△B 1O 1H ∽△B 1DD 1， ∴O 1H =
D B DD O B 1111 =6
6
a ，
V EDF B C 11-=
31S EDF B 1·O 1H =31·21·EF ·B 1D ·O 1H =31·21·2a ·3a ·66a =6
1
a 3.
解法二：连结EF ，设B 1到平面C 1EF 的距离为h 1，D 到平面C 1EF 的距离为h 2，则
h 1+h 2=B 1D 1=2a ，∴V EDF B C 11-=V EF C B 11-+V EF C D 1-=31·S EF C 1∆·（h 1+h 2）=6
1
a 3.
解法三：V EDF B C 11-=V FD C D E B A 1111-多面体－V 1111D C B A E -－V D D C E 11-=6
1
a 3.
特别提示
求体积常见方法有：①直接法（公式法）；②分割法；③补形法.
【例2】 如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A =AB =2，BC =a ，又侧棱P A ⊥底面ABCD .
（1）当a 为何值时，BD ⊥平面P AC ?试证明你的结论. （2）当a =4时，求D 点到平面PBC 的距离.
（3）当a =4时，求直线PD 与平面PBC 所成的角.
A
C
剖析：本题主要考查棱锥的性质，直线、平面所成的角的计算和点到平面的距离等基础知识.同时考查空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力.
本题主要是在有关的计算中，推理得到所求的问题，因而尽量选择用坐标法计算. 解：（1）以A 为坐标原点，以AD 、AB 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，当a =2时，BD ⊥AC ，又P A ⊥BD ，故BD ⊥平面P AC .故a =2.
（2）当a =4时，D （4，0，0）、C （0，2，0）、C （4，2，0）、P （0，0，2）、 =（0，2，－2），=（4，0，0）.
设平面PBC 的法向量为n ，则n ·PB =0，n ·=0，即（x ，y ，z ）·（0，2，－2）=0，（x ，y ，z ）·（4，0，0）=0，得x =0，y =z ，取y =1，故n =（0，1，1）.则D 点到平面PBC 的距离d =
|
DC n n ||
|⋅=2. （3） =（4，0，2），cos 〈，n 〉n =
10
10
>0，证〈，n 〉=α，设直线PD 与平面PBC 所成的角为θ，则sin θ=sin （
2
π
－α）=cos α=1010.
所以直线PD 与平面PBC 所成的角为arcsin 10
10
.
【例3】 如图，设三棱锥S —ABC 的三个侧棱与底面ABC 所成的角都是60°，又∠BAC =60°，且SA ⊥BC .
（1）求证：S —ABC 为正三棱锥；
（2）已知SA =a ，求S —ABC 的全面积.
A B
C
D S
O
（1）证明：正棱锥的定义中，底面是正多边形；顶点在底面上的射影是底面的中心，两个条件缺一不可.作三棱锥S —ABC 的高SO ，O 为垂足，连结AO 并延长交BC 于D .
因为SA ⊥BC ，所以AD ⊥B C.又侧棱与底面所成的角都相等，从而O 为△ABC 的外心，OD 为BC 的垂直平分线，所以AB =AC .又∠BAC =60°，故△ABC 为正三角形，且O 为其中心.所以S －ABC 为正三棱锥.
（2）解：只要求出正三棱锥S —ABC 的侧高SD 与底面边长，则问题易于解决.在
Rt △SAO 中，由于SA =a ，∠SAO =60°，所以SO =
23a ，AO =2
1
a .因O 为重心，所以AD =23AO =43a ，BC =2BD =2AD cot60°=23a ，OD =31AD =41
a .
在Rt △SOD 中，SD 2=SO 2＋OD 2=（23a ）2＋（41a ）2=16
13
，则SD =1413a .
于是，（S S －ABC ）全=21·（23a ）2sin60°＋3·2
1
·413a ·23a =16)393(3+a 2.
深化拓展
（1）求正棱锥的侧面积或全面积还可以利用公式S
正棱锥底
=cos α·S
正棱锥侧
（α为侧面与
底面所成的二面角）.就本题cos α=
13
1，S ABC ∆=
1633a 2，所以（S S －ABC ）侧=6
33a 2
÷13
1=
16
393a 2
.于是也可求出全面积. （2）注意到高SO =
23a ，底面边长BC =2
3a 是相等的，因此这类正三棱锥还有高与底面边长相等的性质，反之亦真.
（3）正三棱锥中，若侧棱与底面边长相等，则变成四个面都是正三角形的三棱锥，这时可称为正四面体，因此正四面体是特殊的正三棱锥，但正三棱锥不一定是正四面体.
●闯关训练 夯实基础
1.（2004年全国Ⅰ，10）已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H .设四面体EFGH 的表面积为T ，则
S
T
等于 A.
91 B. 94 C. 41 D. 31 解析：如图所示，正四面体ABCD 四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，
∴四面体EFGH 也是正四面体. 连结AE 并延长与CD 交于点M ， 连结AG 并延长与BC 交于点N . ∵E 、G 分别为面的中心，
∴
AM AE =AN AG =32.∴MN GE =3
2
. 又∵MN =21BD ，∴BD GE =3
1
.
∵面积比是相似比的平方，∴
S T =9
1
. 答案：A
2.P 是长方体AC 1上底面A 1C 1内任一点，设AP 与三条棱AA 1、AB 、AD 所成的角为α、β、γ，则cos 2α+cos 2β+cos 2γ的值是
A.1
B.2
C.
2
3 D.不确定正 解析：以AP 为一条对角线截得小长方体AP ，由长方体的对角线长定理可得cos 2α+cos 2
β
+cos 2γ=1.
答案：A
3.在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 的边及其内部运动，则M 只需满足条件
__________时，就有MN ⊥AC .
答案：点M 与F 重合
说明：本题答案不唯一，当点M 在线段FH 上时均有MN ⊥AC .
4.在三棱锥S —ABC 中，∠ASB =∠ASC =∠BSC =60°，则侧棱SA 与侧面SBC 所成的角的大小是_____________.
答案：arccos
3
3 5.三棱锥一条侧棱长是16 cm ，和这条棱相对的棱长是18 cm ，其余四条棱长都是17 cm ，求棱锥的体积.
解：如图，取AD 的中点E ，连结CE 、BE ，
D
∵AC =CD =17，DE =8，CE 2=172－82=225，BE =CE ，
∴取BC 的中点F ，连结EF ，EF 为BC 边上的高，EF =22CF CE -=22915-=12. ∴S BCE ∆=108.
∵AC =CD =17cm ，E 为AD 的中点，CE ⊥AD ，同理BE ⊥AD ， ∴DA ⊥平面BCE .
∴三棱锥可分为以底面BCE 为底，以AE 、DE 为高的两个三棱锥. ∴V A －BCD =V A —BCE +V D —BCE =2·
31S BCE ∆·AE =2×3
1
×108×8=576（cm 3）. 6.（2003年春季北京）如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4，E 、F 分别为棱AB 、BC 的中点，EF ∩BD =G .
A
1
（1）求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1；
（2）求点D 1到平面B 1EF 的距离d . （1）证法一：连结AC .
∵正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是正方形，∴AC ⊥BD .又AC ⊥D 1D ，∴AC ⊥平面BDD 1B 1.
∵E 、F 分别为AB 、BC 的中点，故EF ∥AC . ∴EF ⊥平面BDD 1B 1.
∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.
证法二：∵BE =BF ，∠EBD =∠FBD =45°， ∴EF ⊥BD .
又EF ⊥D 1D ，∴EF ⊥平面BDD 1B 1. ∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.
（2）在对角面BDD 1B 1中，作D 1H ⊥B 1G ，垂足为H .
∵平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1，且平面B 1EF ∩平面BDD 1B 1=B 1G ， ∴D 1H ⊥平面B 1EF ，且垂足为H . ∴点D 1到平面B 1EF 的距离d =D 1H . 解法一：在Rt △D 1HB 1中， D 1H =D 1B 1·sin ∠D 1B 1H .
B
B D
D
H
G
11
∵D 1B 1=2A 1B 1=2·22=4， sin ∠D 1B 1H =sin ∠B 1GB =
11GB B B =221
44+=174，
∴d =D 1H =4·
17
4=
17
1716. 解法二：∵△D 1HB 1∽△B 1BG ， ∴
B B H D 11=G
B B D 11
1. ∴d =D 1H =G B B B 121=2221
44+=1717
16.
解法三：连结D 1G ，则△D 1GB 1的面积等于正方形DBB 1D 1面积的一半，即
21·B 1G ·D 1H =2
1
B 1B 2，
D 1
∴d =D 1H =G B B B 121= 17
17
16.
培养能力
7.在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB 1=3BB 1，
（1）求证：AB 1⊥BC 1；
（2）求二面角A —BC 1—C 的正切值.
（1）证法一：如图，取BC 的中点M ，连结B 1M 、BC 1交于N ，则AM ⊥面BC 1.下证BC 1⊥B 1M .设BB 1=1，则AB 1=3，AB =BC =2，
A 1
∴tan ∠B 1MB =2=tan ∠B 1BC 1.
∴得△B 1MB ∽△B 1BN .
∴∠B 1BM =90°=∠B 1NB ，即BC 1⊥B 1M . ∴BC 1⊥斜线AB 1.
证法二：如图，取B 1C 1和B 1B 的中点E 与D ，连结ED ，则DE ∥BC 1.再取AB 的中点G ，连结DG ，则DG ∥AB 1，
A
1
∴∠GDE 为异面直线AB 1、BC 1所成的角.下用勾股定理证明∠GDE 为直角.取A 1B 1的中点F ，连结EF 、EG 、FG ，则EG =22FG EF 且DE 、DG 均可表示出.
故可知EG 2=DE 2＋DG 2，∴∠GDE =90°.
（2）解：连结AN ，则∠ANM 为所求二面角的平面角，tan ∠ANM =3.
评述：本题（1）证法一中可把面BB 1C 1C 单独拿出作成平面图形，则易于观察△B 1MB 与△B 1NB 的相似关系.证法二的特点是思路较好.因为所证为两异面直线，作出其所成角为一般方法.
8.（2005年春季北京，文16）如图，正三棱锥S —ABC 中，底面的边长是3，棱锥的侧面积等于底面积的
2倍，M 是BC 的中点.求：
（1）
SM
AM
的值； （2）二面角S —BC —A 的大小； （3）正三棱锥S —ABC 的体积. 解：（1）∵SB =SC ，AB =AC ，M 为BC 的中点，∴SM ⊥BC ，AM ⊥BC
.
由棱锥的侧面积等于底面积的2倍，即
3×
21BC ×SM =2×21
BC ×AM ， 得SM AM =2
3.
（2）作正三棱锥的高SG ，则G 为正三角形ABC 的中心，G 在AM 上，GM =3
1
AM . ∵SM ⊥BC ，AM ⊥BC ，
∴∠SMA 是二面角S —BC —A 的平面角. 在Rt △SGM 中，
∵SM =
32AM =3
2
×3GM =2GM ， ∴∠SMA =∠SMG =60°，
即二面角S —BC —A 的大小为60°. （3）∵△ABC 的边长是3，
∴AM =
233，GM =23，SG =GM tan60°=23·3= 2
3
.
∴V S —ABC =31 S ABC ·SG =31·439·2
3=83
9.
（2005年春季北京，理16）如图，正三角形ABC 的边长为3，过其中心G 作BC 边的平行线，分别交AB 、AC 于B 1、C 1.将△AB 1C 1沿B 1C 1折起到△A 1B 1C 1的位置，使点A 1在平面
BB 1C 1C 上的射影恰是线段BC 的中点M .求：
（1）二面角A 1—B 1C 1—M 的大小；
（2）异面直线A 1B 1与CC 1所成角的大小.（用反三角函数表示） 解：（1）连结AM 、A 1G
.
∵G 是正三角形ABC 的中心，且M 为BC 的中点， ∴A 、G 、M 三点共线，AM ⊥BC . ∵B 1C 1∥BC ，∴B 1C 1⊥AM 于点G ， 即GM ⊥B 1C 1，GA 1⊥B 1C 1.
∴∠A 1GM 是二面角A 1—B 1C 1—M 的平面角. ∵点A 1在平面BB 1C 1C 上的射影为M ， ∴A 1M ⊥MG ，∠A 1MG =90°.
在Rt △A 1GM 中，由A 1G =AG =2GM ，得∠A 1GM =60°， 即二面角A 1—B 1C 1—M 的大小是60°.
（2）过B 1作C 1C 的平行线交BC 于点P ，则∠A 1B 1P 等于异面直线A 1B 1与CC 1所成的角. 由PB 1C 1C 是平行四边形得B 1P =C 1C =1=BP ，PM =BM －BP =2
1
，A 1B 1=AB 1=2. ∵A 1M ⊥面BB 1C 1C 于点M ， ∴A 1M ⊥BC ，∠A 1MP =90°.
在Rt △A 1GM 中，A 1M =A 1G ·sin60°=3·23=2
3. 在Rt △A 1MP 中，A 1P 2=A 1M 2+PM 2=（23）2+（21）2=2
5
.
在△A 1B 1P 中，由余弦定理得
cos ∠A 1B 1P =P B B A P A P B B A 1112
1212112⋅⋅-+=
12225
1222⋅⋅-+=8
5， ∴异面直线A 1B 1与CC 1所成角的大小为arccos
8
5
. 探究创新
9.（2004年天津，理19）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD =DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F .
（1）证明：P A ∥平面EDB ； （2）证明：PB ⊥平面EFD ； （3）求二面角C —PB —D 的大小
.
解法一：（1）证明：连结AC 交BD 于O .连结EO . ∵底面ABCD 是正方形，∴点O 是AC 的中点
.
在△P AC 中，EO 是中位线， ∴P A ∥EO .
而EO ⊂平面EDB 且P A ⊄平面EDB ， ∴P A ∥平面EDB .
（2）证明：∵PD ⊥底面ABCD 且DC ⊂底面ABCD ，∴PD ⊥DC . ∵PD =DC ，可知△PDC 是等腰直角三角形.而DE 是斜边PC 的中线， ∴DE ⊥PC . ①
同样由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥BC . ∵底面ABCD 是正方形，有DC ⊥BC ， ∴BC ⊥平面PDC .
而DE ⊂平面PDC ，∴BC ⊥DE . ②
由①和②推得DE ⊥平面PBC . 而PB ⊂平面PBC ，∴DE ⊥PB .
又EF ⊥PB 且DE ∩EF =E ，所以PB ⊥平面EFD .
（3）解：由（2）知PB ⊥DF ，故∠EFD 是二面角C —PB —D 的平面角. 由（2）知，DE ⊥EF ，PD ⊥DB .
设正方形ABCD 的边长为a ，则PD =DC =a ，BD =2a ， PB =22BD PD +=3a ， PC =22DC PD +=2a ，
DE =2
1
PC =22a .
在Rt △PDB 中，
DF =
PB BD PD ⋅=a
a
a 32⋅=36a .
在Rt △EFD 中，
sin ∠EFD =DF DE
=a a
3
622=23，
∴∠EFD =3
π
.
∴二面角C —PB —D 的大小为3
π
.
解法二：如图所示建立空间直角坐标系，D 为坐标原点.设DC =a
.
（1）证明：连结AC 交BD 于G .连结EG . 依题意得A （a ，0，0），P （0，0，a ），E （0，
2a ，2
a
）. ∵底面ABCD 是正方形，∴G 是此正方形的中心，故点G 的坐标为（2a ，2
a
，0）且PA =（a ，0，－a ），EG =（
2a ，0，－2
a
）. ∴PA =2.这表明P A ∥EG .
而EG ⊂平面EDB 且P A ⊄平面EDB ，
∴P A ∥平面EDB .
（2）证明：依题意得B （a ，a ，0），
=（a ，a ，－a ）.
又=（0，
2a ，2a ）， 故·=0+22a －2
2
a =0.
∴PB ⊥DE .
由已知EF ⊥PB ，且EF ∩DE =E ， ∴PB ⊥平面EFD .
（3）解：设点F 的坐标为（x 0，y 0，z 0），PF =λPB ，则（x 0，y 0，z 0－a ）=λ（a ，a ，－a ）.
从而x 0=λa ，y 0=λa ，z 0=（1－λ）a .
∴FE =（－x 0，
2a －y 0，2
a
－z 0）=［－λa ，（21－λ）a ，（λ－21）a ］.
由条件EF ⊥PB 知·=0，即 －λa 2+（21－λ）a 2－（λ－2
1
）a 2=0， 解得λ=
3
1. ∴点F 的坐标为（
3a ，3a ，32a ），且FE =（－3a ，6a ，－6a ），FD =（－3a ，－3a ，－3
2a
）.∴PB ·FD =－32a －32a +322a =0，即PB ⊥FD .
故∠EFD 是二面角C —PB —D 的平面角.
∵·=92a －182a +92a =6
2
a ，且||=61·a ，||=32·a ，
∴cos ∠EFD =22
326161a a
=21.
∴∠EFD =3π.∴二面角C —PB —D 为3
π
.
●思悟小结
1.棱柱是第一章有关线面关系的载体，棱柱的计算证明问题常借助于前面的内容来解决.因此要牢固掌握线面间的位置关系的性质、判定.
2.三棱锥的等（体）积变换是解决点到面的距离的常见方法之一，同时也是使计算简化的灵活手法；“割”“补”是解决体积问题的常用技巧.正棱锥的四个“特征”直角三角形，是将“空间问题”转化为“平面问题”的桥梁.
●教师下载中心 教学点睛
1.使学生正确理解棱柱、直棱柱、正棱柱、平行六面体、长方体及正方体等有关概念，掌握棱柱的性质及长方体对角线性质，会求棱柱的侧面积及体积.
2.要使学生理解棱锥、正棱锥的意义，掌握棱锥、正棱锥的性质，会求其侧面积及体积.
结合例题讲清求体积的常用方法.
3.在解答棱柱、棱锥的综合练习时，要善于联想，灵活运用柱、锥的性质和线面关系，善于揭示一类问题的共同特征，掌握基本方法，对于正棱柱、直棱柱问题借助空间坐标系或向量的运算或许更容易理解、掌握.
4.仍以棱柱、棱锥为载体，训练计算能力.想象能力和逻辑推理能力. 拓展题例
【例1】 斜三棱柱的一个侧面的面积为S ，这个侧面与它所对的棱的距离为d ，那么这个三棱柱的体积为_____________.
解析：将该斜三棱柱补成一个四棱柱，该四棱柱的底面积为S ，高为d ，故四棱柱的体积为Sd ，
∴V 斜三棱柱=2
1
dS . 答案：
2
1dS 【例2】 已知三棱锥S —ABC 的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直且长度分别为a 、b 、c ，设O 为S 在底面ABC 上的射影.求证：
（1）O 为△ABC 的垂心；（2）O 在△ABC 内；（3）设SO =h ，则
21a +21b +21
c
=21h . 证明：（1）∵SA ⊥SB ，SA ⊥SC ，
∴SA ⊥平面SBC ，BC ⊂平面SBC .∴SA ⊥BC . 而AD 是SA 在平面ABC 上的射影，∴AD ⊥BC .
同理可证AB ⊥CF ，AC ⊥BE ，故O 为△ABC 的垂心.
（2）证明△ABC 为锐角三角形即可.不妨设a ≥b ≥c ，则底面三角形ABC 中，AB =22b a +为最大，从而∠ACB 为最大角.
用余弦定理求得cos ∠ACB =2
22
2
2
22c
a c
b c ++>0，∴∠ACB 为锐角，△ABC 为锐角
三角形.故O 在△ABC 内.
（3）SB ·SC =BC ·SD ，
故SD =
2
2c b bc +，
21SD = 21b +2
1c ，又SA ·SD =AD ·SO ， ∴21SO =222SD a AD ⋅=2222SD a SD a ⋅+=21a +21SD = 21a +21b +2
1
c
=21h .。