长葛市第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

长葛市第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 两个随机变量x ，y 的取值表为
若x ，y 具有线性相关关系，且y ^
＝bx ＋2.6，则下列四个结论错误的是（ ）
A ．x 与y 是正相关
B ．当y 的估计值为8.3时，x ＝6
C ．随机误差e 的均值为0
D ．样本点（3，4.8）的残差为0.65
2． 已知点A （0，1），B （3，2），C （2，0），若AD →＝2DB →，则|CD →
|为（ ）
A ．1 B.4
3
C.53
D ．2 3． 复数i ﹣1（i 是虚数单位）的虚部是（ ）
A ．1
B ．﹣1
C ．i
D ．﹣i
4． 若某算法框图如图所示，则输出的结果为（ ）
A ．7
B ．15
C ．31
D ．63
5． 如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别为（ ）
A ．10 13
B ．12.5 12
C ．12.5 13
D ．10 15
6． 给出函数()f x ，()g x 如下表，则(())f g x 的值域为（ ）
A ．{}4,2
B ．{}1,3
C ．{}1,2,3,4
D ．以上情况都有可能 7． 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm ，则球的表面积是（ ） A ．8πcm 2
B ．12πcm 2
C ．16πcm 2
D ．20πcm 2
8． 已知x ，y 满足时，z=x ﹣y 的最大值为（ ） A ．4 B ．﹣4 C ．0
D ．2
9． 数列﹣1，4，﹣7，10，…，（﹣1）n （3n ﹣2）的前n 项和为S n ，则S 11+S 20=（ ）
A ．﹣16
B ．14
C ．28
D ．30
10．若直线l 的方向向量为=（1，0，2），平面α的法向量为=（﹣2，0，﹣4），则（ ） A ．l ∥α B ．l ⊥α
C ．l ⊂α
D ．l 与α相交但不垂直
11．已知f （x ）=4+a x ﹣1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是（ ） A ．（1，5） B ．（1，4） C ．（0，4） D ．（4，0） 12．若函数1,0,
()(2),0,
x x f x f x x +≥⎧=⎨
+<⎩则(3)f -的值为（ ）
A ．5
B ．1-
C ．7-
D ．2
二、填空题
13．在ABC ∆中，已知角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且B c C b a sin cos +=，则角B 为 .
14．【南通中学2018届高三10月月考】已知函数()3
2f x x x =-，若曲线()f x 在点()()
1,1f 处的切线经
过圆()2
2
:2C x y a +-=的圆心，则实数a 的值为__________．
15．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sinA ，sinB ，sinC 依次成等比数列，c=2a 且•=24，
则△ABC 的面积是 ．
16．在△ABC 中，若角A 为锐角，且=（2，3），=（3，m ），则实数m 的取值范围是 ．
17．数列{ a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋c （c 为常数），{a n }的前10项和为S 10＝200，则c ＝________． 18．定义在R 上的偶函数f （x ）在[0，+∞）上是增函数，且f （2）=0，则不等式f （log 8x ）＞0的解集是 ．
三、解答题
19X
（I ）求该运动员两次都命中7环的概率； （Ⅱ）求ξ的数学期望E ξ．
20．某校为选拔参加“央视猜灯谜大赛”的队员，在校内组织猜灯谜竞赛．规定：第一阶段知识测试成绩不小于160分的学生进入第二阶段比赛．现有200名学生参加知识测试，并将所有测试成绩绘制成如下所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）估算这200名学生测试成绩的中位数，并求进入第二阶段比赛的学生人数；
（Ⅱ）将进入第二阶段的学生分成若干队进行比赛．现甲、乙两队在比赛中均已获得120分，进入最后抢答阶段．抢答规则：抢到的队每次需猜3条谜语，猜对1条得20分，猜错1条扣20分．根据经验，甲队猜对每条
谜语的概率均为，乙队猜对前两条的概率均为，猜对第3条的概率为．若这两队抢到答题的机会均等，您做为场外观众想支持这两队中的优胜队，会把支持票投给哪队？
21．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且120ABC ∠=︒．点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F ． （1）求证：//AB EF ；
（2）若2PA PD AD ===，且平面PAD ⊥平面ABCD ，求平面PAF 与平面AFE 所成的锐二面角的余 弦值．
【命题意图】本小题主要考查空间直线与平面，直线与直线垂直的判定，二面角等基础知识，考查空间想象能力,推理论证能力,运算求解能力，以及数形结合思想、化归与转化思想.
22．设p ：关于x 的不等式a x ＞1的解集是{x|x ＜0}；q ：函数的定义域为R ．若p ∨q 是真命题，
p ∧q 是假命题，求实数a 的取值范围．
23．（本小题满分10分）
已知曲线22
:149x y C +=，直线2,:22,x t l y t =+⎧⎨=-⎩
（为参数）. （1）写出曲线C 的参数方程，直线的普通方程；
（2）过曲线C 上任意一点P 作与夹角为30的直线，交于点A ，求||PA 的最大值与最小值.
24．已知曲线2
1()f x e x ax
=+（0x ≠，0a ≠）在1x =处的切线与直线2
(1)20160e x y --+= 平行．
（1）讨论()y f x =的单调性；
（2）若()ln kf s t t ≥在(0,)s ∈+∞，(1,]t e ∈上恒成立，求实数的取值范围．
长葛市第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】
【解析】选D.由数据表知A 是正确的，其样本中心为（2，4.5），代入y ^＝bx ＋2.6得b ＝0.95，即y ^
＝0.95x ＋
2.6，当y ^
＝8.3时，则有8.3＝0.95x ＋2.6，∴x ＝6，∴B 正确．根据性质，随机误差e 的均值为0，∴C 正确．样
本点（3，4.8）的残差e ^
＝4.8－（0.95×3＋2.6）＝－0.65，∴D 错误，故选D. 2． 【答案】
【解析】解析：选C.设D 点的坐标为D （x ，y ）， ∵A （0，1），B （3，2），AD →＝2DB →
，
∴（x ，y －1）＝2（3－x ，2－y ）＝（6－2x ，4－2y ），
∴⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝6－2x ，y －1＝4－2y 即x ＝2，y ＝53
，
∴CD →
＝（2，53）－（2，0）＝（0，53
），
∴|CD →
|＝02＋（53）2＝53
，故选C.
3． 【答案】A
【解析】解：由复数虚部的定义知，i ﹣1的虚部是1， 故选A ．
【点评】该题考查复数的基本概念，属基础题．
4． 【答案】 D
【解析】解：模拟执行算法框图，可得 A=1，B=1
满足条件A ≤5，B=3，A=2 满足条件A ≤5，B=7，A=3 满足条件A ≤5，B=15，A=4 满足条件A ≤5，B=31，A=5 满足条件A ≤5，B=63，A=6
不满足条件A ≤5，退出循环，输出B 的值为63． 故选：D ．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确得到每次循环A ，B 的值是解题的关键，属于基础题．
5． 【答案】C
【解析】解：众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标， ∴中间的一个矩形最高，故10与15的中点是12.5，众数是12.5
而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于Y 轴的直线横坐标 第一个矩形的面积是0.2，第三个矩形的面积是0.3，故将第二个矩形分成3：2即可 ∴中位数是13 故选：C ．
【点评】用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．频率分布直方图中小长方形的面积=组距
×
，各个矩形面积之和等于1，能根据直方图求众数和中位数，属于常规题型．
6． 【答案】A 【解析】
试题分析：()()()()((1))14,((2))14,((3))32,((4))34,f g f f g f f g f f g f ========故值域为
{}4,2.
考点：复合函数求值． 7． 【答案】B
【解析】解：正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则2=2R ，
R=
，S=4πR 2
=12π
故选B
8． 【答案】A
【解析】解：由约束条件
作出可行域如图，
联立，得A （6，2），
化目标函数z=x ﹣y 为y=x ﹣z ，
由图可知，当直线y=x ﹣z 过点A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为4． 故选：A ．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
9． 【答案】B 【解析】解：∵a n =（﹣1）n
（3n ﹣2），
∴S 11=（）+（a 2+a 4+a 6+a 8+a 10）
=﹣（1+7+13+19+25+31）+（4+10+16+22+28）
=﹣16，
S 20=（a 1+a 3+...+a 19）+（a 2+a 4+...+a 20） =﹣（1+7+...+55）+（4+10+ (58)
=﹣+
=30， ∴S 11+S 20=﹣16+30=14．
故选：B ．
【点评】本题考查数列求和，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法和等差数列的性质的合理运用．
10．【答案】B
【解析】解：∵ =（1，0，2），=（﹣2，0，4），
∴=﹣2，
∴∥， 因此l ⊥α． 故选：B ．
11．【答案】A
【解析】解：令x ﹣1=0，解得x=1，代入f （x ）=4+a x ﹣1
得，f （1）=5，
则函数f （x ）过定点（1，5）． 故选A ．
12．【答案】D111] 【解析】
试题分析：()()()311112f f f -=-==+=. 考点：分段函数求值．
二、填空题
13．【答案】4
π 【
解
析
】
考
点：正弦定理．
【方法点晴】本题考查正余弦定理,根据正弦定理，将所给的含有边和角的等式化为只含有角的等式，再利用三角形的三角和是︒180，消去多余的变量，从而解出B 角.三角函数题目在高考中的难度逐渐增加，以考查三角函数的图象和性质，以及三角形中的正余弦定理为主，在2016年全国卷（ ）中以选择题的压轴题出现.
14．【答案】2-
【解析】结合函数的解析式可得：()3
11211f =-⨯=-，
对函数求导可得：()2
'32f x x =-，故切线的斜率为()2
'13121k f ==⨯-=，
则切线方程为：()111y x +=⨯-，即2y x =-，
圆C ：()2
2
2x y a +-=的圆心为()0,a ，则：022a =-=-.
15．【答案】 4 ．
【解析】解：∵sinA ，sinB ，sinC 依次成等比数列，
∴sin 2B=sinAsinC ，由正弦定理可得：b 2
=ac ，
∵c=2a ，可得：b=a ，
∴cosB==
=，可得：sinB=
=
，
∵
•
=24，可得：accosB=ac=24，解得：ac=32，
∴S
△ABC =acsinB==4
．
故答案为：4．
16．【答案】
．
【解析】解：由于角A 为锐角，
∴
且
不共线，
∴6+3m ＞0且2m ≠9，解得m ＞﹣2且m ．
∴实数m 的取值范围是．
故答案为：
．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量共线的条件，是基础题．
17．【答案】
【解析】解析：由a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋c ，知数列{a n }是以2为首项，公差为c 的等差数列，由S 10＝200得 10×2＋10×9
2×c ＝200，∴c ＝4.
答案：4
18．【答案】 （0，
）∪（64，+∞） ．
【解析】解：∵f （x ）是定义在R 上的偶函数， ∴f （log 8x ）＞0，等价为：f （|log 8x|）＞f （2），
又f （x ）在[0，+∞）上为增函数， ∴|log 8x|＞2，∴log 8x ＞2或log 8x ＜﹣2，
∴x ＞64或0＜x ＜
．
即不等式的解集为{x|x ＞64或0＜x ＜}
故答案为：（0，
）∪（64，+∞）
【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合，是函数性质综合考查题，熟练掌握奇偶性与单调性的对应关系是解答的关键，根据偶函数的对称性将不等式进行转化是解决本题的关键．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）设A=“该运动员两次都命中7环”，
则P （A ）=0.2×0.2=0.04．
（2）依题意ξ在可能取值为：7、8、9、10
且P （ξ=7）=0.04，
P（ξ=8）=2×0.2×0.3+0.32=0.21，
P（ξ=9）=2×0.2×0.3+2×0.3×0.3×0.32=0.39，
P（ξ=10）=2×0.2×0.2+2×0.3×0.2+2×0.3×0.2+0.22=0.36，
∴ξ的分布列为：
ξ7 8 9 10
P 0.04 0.21 0.39 0.36
ξ的期望为Eξ=7×0.04+8×0.21+9×0.39+10×0.36=9.07．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设测试成绩的中位数为x，由频率分布直方图得，
（0.0015+0.019）×20+（x﹣140）×0.025=0.5，
解得：x=143.6．
∴测试成绩中位数为143.6．
进入第二阶段的学生人数为200×（0.003+0.0015）×20=18人．
（Ⅱ）设最后抢答阶段甲、乙两队猜对灯谜的条数分别为ξ、η，
则ξ～B（3，），
∴E（ξ）=．
∴最后抢答阶段甲队得分的期望为[]×20=30，
∵P（η=0）=，
P（η=1）=，
P（η=2）=，
P（η=3）=，
∴Eη=．
∴最后抢答阶段乙队得分的期望为[]×20=24．
∴120+30＞120+24，
∴支持票投给甲队．
【点评】本小题主要考查概率、概率与统计等基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识，考查或然与必然的思想，属中档题．
21．【答案】 【
解
析
】
∵BG ⊥平面PAD ，∴)0,3,0(=GB 是平面PAF 的一个法向量，
22．【答案】
【解析】解：∵关于x的不等式a x＞1的解集是{x|x＜0}，∴0＜a＜1；
故命题p为真时，0＜a＜1；
∵函数的定义域为R，
∴⇒a≥，
由复合命题真值表知：若p∨q是真命题，p∧q是假命题，则命题p、q一真一假，
当p真q假时，则⇒0＜a＜；
当q真p假时，则⇒a≥1，
综上实数a的取值范围是（0，）∪[1，+∞）．
23．【答案】（1）2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩
，26y x =-+；（2.
【解析】
试题分析：（1）由平方关系和曲线C 方程写出曲线C 的参数方程，消去参数作可得直线的普通方程；（2）由曲线C 的参数方程设曲线上C 任意一点P 的坐标，利用点到直线的距离公式求出点P 直线的距离，利用正弦函数求出PA ，利用辅助角公式进行化简，再由正弦函数的性质求出PA 的最大值与最小值. 试题解析：（1）曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θ
θ
=⎧⎨
=⎩，（为参数），直线的普通方程为26y x =-+.
（2）曲线C 上任意一点(2cos ,3sin )P θθ到的距离为4cos 3sin 6|d θθ=
+-．
则|||5sin()6|sin 30d PA θα==+-，其中α为锐角，且4tan 3α=，当sin()1θα+=-时，||PA 取
得最大值，最大值为5.当sin()1θα+=时，||PA 取得最小值，最小值为5
.
考点：1、三角函数的最值；2、椭圆的参数方程及直线的的参数方程.
24．【答案】（1）()f x 在1
(,)e -∞-，1(,)e +∞上单调递增，在1(,0)e -，1(0,)e 上单调递减；（2）1[,)2
+∞. 【解析】
试题解析：（1）由条件可得2
21
'(1)1f e e a
=-
=-，∴1a =， 由21()f x e x x =+，可得222
22
11'()e x f x e x x -=-=，
由'()0f x >，可得2210,0,
e x x ⎧->⎨≠⎩解得1x e >或1
x e <-；
由'()0f x <，可得2210,0,
e x x ⎧-<⎨≠⎩解得10x e -<<或1
0x e <<．
所以()f x 在1(,)e -∞-，1(,)e +∞上单调递增，在1(,0)e -，1
(0,)e
上单调递减．
（2）令()ln g t t t =，当(0,)s ∈+∞，(1,]t e ∈时，()0f s >，()ln 0g t t t =>， 由()ln kf s t t ≥，可得ln ()
t t
k f s ≥在(0,)x ∈+∞，(1,]t e ∈时恒成立， 即max ln ()t t k f s ⎡⎤≥⎢
⎥⎣⎦max
()()g t f s ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦，故只需求出()f s 的最小值和()g t 的最大值．
由（1）可知，()f s 在1(0,)e 上单调递减，在1
(,)e +∞上单调递增，
故()f s 的最小值为1
()2f e e
=，
由()ln g t t t =可得'()ln 10g t t =+>在区间(1,]e 上恒成立， 所以()g t 在(1,]e 上的最大值为()ln g e e e e ==，
所以只需122
e k e ≥
=， 所以实数的取值范围是1
[,)2
+∞.
考点：1、利用导数研究函数的单调性及求切线斜率；2、不等式恒成立问题.
【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()0f x '>，解不等式得的范围就是递增区间；令()0f x '<，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数()f x 的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.。