2013中考数学冲刺押题训练 第7章 图形的相似(教师版)

第七章 图形的相似
【命题分析】
图形的相似、位似始终是中考的必考内容，尤其是相似三角形. 该部分知识在选择、填空与解答题中都有出现．从内容与方法上来说，主要考查相似三角形性质和判定、位似图形、黄金分割等知识，很多综合大题也融入了相似三角形的内容. 主要考查学生的识图能力、分析综合能力等.
锐角三角函数的定义特别是对特殊角的三角函数值的考查以及解直角三角形的应用题是各省中考的考查重点，试题形式有选择、填空、计算和解答题，其中应用题有测建筑物的高度，与航海有关问题，筑路修堤问题等等与现实联系密切的问题，试题背景不断创新.在解决时要把具体问题转化为数学模型，对计算不能直接求出的问题要通过列方程加以解决. 【押题成果】
1. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）
A 答案：A
解析：正方形的边长均为1，可用勾股定理计算阴影三角形的边长，用“三边对应成比例的三角形是相似三角形”来判定.
【方法技巧】熟记相似三角形的判定方法和性质定理，能识别相似三角形的图形变换. 2. 如图，正五边形FGHMN 是由正五边形ABCDE 经过位似变换得到的，若AB ∶FG =2∶3，则下列结论正确的是（ ） A.2DE=3MN B.3DE=2MN ∠A=2∠F ∠A=3∠F 答案：B
B ．
C ．
D ．
A
B C
D
C
M
H
G
B
【解析】原图形与位似变换得到图形相似，由题意可得相似比为2∶3，对应角相等所以正确的选项为B.
【方法技巧】利用位似图形的性质解题.
3. 如图,在△ABC 中,AC>AB,点D 在AC 边上(点D 不与 A 、C 重合),若再增加上条件就能使△ABD ∽△ACB, 则这个条件可以是_______.
答案：∠ABD=∠C,∠ADB=∠ABC,AD AB
AB AC
=
. 【解析】∠A,因此依照识别方法,只要再附加条件∠ABD=∠C,∠ADB=∠ABC,或AD AB
AB AC
=即可.
【方法技巧】部分学生不熟悉三角形相似的判定方法，易错用“边边角”进行判定，也有学生不注意两个三角形顶点的对应.突破方法：本题答案只要求填写一个，为确保正确，可根据△ABD ∽△ACB 找出一对相等的对应角.
4. 如图，在平行四边形ABCD 中，BC AE ⊥于E ，CD AF ⊥于F ，
BD 与AE 、AF 分别相交于G 、H ．
（1）求证：△ABE ∽△ADF ；
（2）若AH AG =，求证：四边形ABCD 是菱形．
答案：（1）∵AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∴∠AEB =∠AFD =90°．
∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ABE =∠ADF ． ∴△ABE ∽△ADF （2）∵△ABE ∽△ADF ，∴∠BAG =∠DAH ．
∵AG =AH ，∴∠AGH =∠AHG ，从而∠AGB =∠AHD ．∴△ABG ≌△ADH ． ∴AD AB =． ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形．
【解析】本题结合平行四边形知识考查相似三角形的判定和性质，（1）小题由“有两个角对应相等的两个三角形相似”来判定，（2）由△ABE ∽△ADF 就可以得到∠BAG =∠DAH ，容易论证△ABG ≌△ADH ，得AB=AD,从而判定平行四边形ABCD 是菱形.
【方法技巧】在熟记所学公理、定理的基础上，多锻炼自己的识图能力，能从复杂图形中找到可证的相似三角形、全等三角形等基本图形.
A
D
C
B
G
E
H
F
D
C
B
A
5. 如图，在Rt ABC △中，ACB ∠=Rt ∠，1BC =，2AB =，则下列结论正确的是（）
A ．3sin 2A =
B ．1tan 2A =
C ．3
cos 2
B =D ．tan 3B = 答案：D
【解析】本题考查勾股定理和锐角三角函数的定义，由勾股定理得AC=
3.根据三角函数
定义：sinA=
AB BC =21,tan A =AC BC =33,cos B =AB BC =21,tanB=BC
AC
=3. 【方法技巧】作为中考的必考内容，本考点要求学生熟记30°、45°、60°几个特殊角的三角函数值，理解锐角三角函数定义，注意定义的条件是在直角三角形中，在具体题目中首先要确定包含所考查锐角的直角三角形.计算题要求数值代入正确，计算准确.
6：课外实践活动中，数学老师带领学生测量学校旗杆的高度．如图，在A 处用测角仪（离地高度为米）测得旗杆顶端的仰角为15°，朝旗杆方向前进23米到B 处，再次测得旗杆顶端的仰角为30°，求旗杆EG 的高度． 答案：
015ECD ∠=，030EDF ∠=，
15CED ∴∠=.CED ECD ∴∠=∠.
所以DC=DE=23米. 在Rt △EDF 中,由sin EF EDF DE ∠=
，得sin EF DE EDF =⋅∠023sin30=⋅1232
=⨯=11.5(米). 又FG=CA=米,因此EG=EF+FG=11.5+1.5=13（米）. 答：旗杆EG 的高度为13米.
【解析】考查解直角三角形的应用，本题解题的关键在于在直角三角 形中利用边角关系正确计算边长.
【方法技巧】解答此类问题一是要根据题中给出的信息构建图形建立数学模型，利用解直角三角形知识解决问题，认真领悟转化思想和建模思想在解题中的应用；二是要在直角三角形
15
30
G E
F D
C
23米
中正确表示出各边角，并明确边角关系（函数关系）、角之间关系以及相关线段之间关系.对不能直接通过计算求出的问题列方程来解决.。