广东省惠州市高三上学期第三次调研考试试题(5科6份)(

惠州市2016届高三第三次调研考试
数 学（理科）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。

1．已知集合，，若，则实数的值为（ ） A ． B ． C ． D ．或 2．复数（为虚数单位）的共轭复数为（ ） A ． B ． C ． D ．
3．若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A ． B ． C ． D ． 4．已知，则的值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 5．已知圆：上到直线的距离等于1的点至少有2个， 则的取值范围为（ ）
A ．
B ．(,(32,)-∞-+∞
C ．
D ．
6．甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻的排法有（ ）种。

A ． B ． C ． D ．
7．已知向量与向量(3,sin )n A A =+共线，其中是的内角， 则角的大小为（ ）
A. B. C. D.
8．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（ ）
A ．1007
B ．2015
C ．2016
D ．3024
9．若双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>与直线无交点，则离心率的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中最大面积是（ ） A ． B ．4 C ． D ．
11．设实数满足条件20
3600,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩
，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为12，则的最
小值为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
12．若函数满足：在定义域内存在实数，使得)1()()1(00f x f x f +=+成立，则称函数为“1的饱和函数”。

给出下列四个函数：
①； ②x x f 2)(=； ③)2lg()(2+=x x f ； ④． 其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为（ ）
A ．①③
B ．②④
C ．①②
D ．③④
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题～第21题为必考题，每个考生都必须做答。

第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知，则二项式的展开式中的系数为 ． 14．已知向量，向量．若向量在向量方向上的投影为3，
则实数＝ ．
15．设数列{}n a 的前项和为n S ，且121a a ==，{}(2)n n nS n a ++为等差数列，
则数列{}n a 的通项公式n a = ．
16．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为 ． 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）
如图所示，在四边形中，=，且，，．
（Ⅰ）求△的面积；
18．（本小题满分12分）
某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠。

已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的。

（Ⅰ）求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率； （Ⅱ）用表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求的分布列和数学期望。

19．（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥中，底面为菱形，平面，，分别是的中点。

（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）取，若为上的动点，与面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值。

20．（本小题满分12分）
已知中心在原点的椭圆22
22:1(0,0)x y C a b a b
+=>>的一个焦点为，
点为椭圆上一点，的面积为． （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆相交于两点，且以线段为直径的圆恰好经过原点？
若存在，求出的方程，若不存在，说明理由。

21．（本小题满分12分）
已知函数()2()ln 0,1x f x a x x a a a =+->≠． （Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若存在，使得（是自然对数的底数），
求实数的取值范围。

请考生在第22、23、24题中任选一题做答。

答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。

22．（本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】
如图，正方形边长为2，以为圆心、为半径的圆弧与以为直径的半圆交于点，连结并延长交于点．
（Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求的值。

23．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
已知曲线的参数方程是（为参数），直线的极坐标方程为．（其中坐标系满足极坐标原点与直角坐标系原点重合，极轴与直角坐标系轴正半轴重合，单位长度相同。

）
（Ⅰ）将曲线的参数方程化为普通方程，将直线的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）设是直线与轴的交点，是曲线上一动点，求的最大值。

24．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数122)(--+=x x x f ． （Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）对任意，都有成立，求实数的取值范围。

惠州市2016届高三第三次调研考试
数 学（理科）参考答案与评分标准
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
D
A
C
B
A
B
C
D
D
C
D
B
1．【解析】由题意得，或，解得或，故选D ． 2．【解析】因为322(1)
1121(1)(1)
i i i z i i i i i i i i +=
+=-=-+-=---+，所以由共轭复数的定义知，其共轭复数为，故应选．
3．【解析】根据题意有：，所以，所以定义域为．故选C ．
4．【解析】因为，两边平方可得：，即，所以2
72
(sin cos =12sin cos =1=99
θθθθ---），又因为，所以，所以，所以，故应选．
5．【解析】由圆的方程可知圆心为，半径为2．因为圆上的点到直线的距离等于1的点至少有2个，
所以圆心到直线的距离，即3d =
=
<，解得．故A 正确．
6．【解析】甲乙相邻用捆绑法，所以，故应选． 7．【解析】∥,3sin (sin 3)02A A
A ∴+-
=1cos 23
2022
A A -∴-= 12cos 21,sin(2)126
A A A π
-=-=,11(0,),2(,)6
66
A A π
ππ
π∈∴-
∈-
所以，故应选C ．
8.【解析】此程序框图表示的算法功能为求和，用分组方式，常数项1共2016个，和为2016；余弦值四个一组，每组和为2，共504组，201650423024S =+⨯=
，故选D ．
9．
【解析】由题意可得，，故e =≤，再
根据
e ＞1，可得e 的取值范围，故选D ．
10．【解析】如图，该几何体是正方体中的，正方体的棱长为2，四面体的四个面的面积分别为，最大的为．故应
选
Q
P
N
M
D
C
C ．
11．【解析】画出不等式表示的平面区域，当直线()0,0z ax by a b =+>>过直线与直线的交点时，目标函数()0,0z ax by a b =+>>取得最大12，即，则
32
a b
+ 432232332232≥++=+++=b a a b b b a a b a 。

当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧==
1
23b a 时取等号。

故选D ．
12．【解析】对于①，若存在实数，满足00(1)()(1)f x f x f +=+，则所以
2000010(0,1)x x x x ++=≠≠且，显然该方程无实根，因此①不是“1的饱和函数”；对于②，若存
在实数，满足00(1)()(1)f x f x f +=+，则，解得，因此②是“1的饱和函数”；对于③，若存在实数，满足00(1)()(1)f x f x f +=+，则
222
00lg (1)2lg(2)lg(12)x x ⎡⎤++=+++⎣⎦
，化简得，显然该方程无实根，因此不是“1的饱和函数”；对于④，注意到1411cos 332f π⎛⎫+==-
⎪⎝⎭, 11(1)cos cos 332f f ππ⎛⎫
+=+=- ⎪⎝⎭
，即
11
(1)()(1)33
f f f +=+，因此是“1的饱和函数”，综上可知，其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号是②④，故选B
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13． 14
15．1
2n n
- 16． 13.【解析】因为0
2
sin 4a xdx π
=-=-⎰
,()
()5210315544r
r
r r r
r r T C x
C x x --+-⎛⎫==- ⎪
⎝⎭
， 令，解得，则展开式中x 的系数为． 14 .【解析】根据投影的定义可知3a b a
⋅
=
332
m +⇒=
⇒= 15.【解析】当1n =时，11(2)34n n nS n a S a ++=+=；
当2n =时，2212(2)242()48n n nS n a S a a a ++=+=++=，所以数列{}(2)n n nS n a ++是以4为首项，4为公差的等差数列，所以(2)4n n nS n a n ++=即(2)4n
n n a S n
++
=①，当2n ≥时1(1)41
n
n n a S n -++=- ②，①-②得并整理得：12(1)n n a n a n -=-，
所以有
1212(2)n n a n a n ---=-，…，212
21
a a =⨯， 所以1
21112
11212(1)2(2)
212
n n n n n n a a a n n n
a a a a a n
n -----=
⋅⋅⋅
⋅=⋅⋅⋅
⋅=--⨯， 当1n =时，适合此式，所以1
2n n n
a -=
． 16．【解析】函数和函数互为反函数图像关于对称，则只有直线与直线垂直时才能取得最小值。

设，
则点到直线的距离为d
=，令()1,(0)2
x
g x e x x =->，则， 令得；令得，
则在上单调递减，在上单调递增。

则时()ln 2
min 1ln 21ln 202
g x e =
-=->，所以。

则min 2ln 2)PQ
d ==-。

（备注：也可以用平行于的切线求最值） 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）3
1
1cos 22cos cos 2
-=-==B B D ………………………（2分） 因为，所以，…………………………（4分） 所以△ACD 的面积1
sin 2
S AD CD D =
⋅⋅⋅=6分） （Ⅱ）解法一：在△ACD 中，12cos 2222=⋅⋅-+=D DC AD DC AD AC ， 所以．……………………………………………………（8分）
在△ABC 中，12cos 2222=⋅⋅-+=B BC AB BC AB AC ……………（10分） 把已知条件代入并化简得：因为，所以……（12分）
解法二：在△ACD 中，在△ACD 中，12cos 2222=⋅⋅-+=D DC AD DC AD AC ， 所以．…………………………………………………………（8分） 因为，，所以，………（10分）
得．…………………………………………………………………………（12分） 18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ） 设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为,
由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是， ……………… (2分)
则4
265()1()1381
P A P A ⎛⎫=-=-=
⎪⎝⎭．……………………………………（4分）
（Ⅱ）的可能取值为0,1,2,3,4, ……………………………………（5分） 由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为，且每个人下电梯互不影响， 所以 ………………………………………………………（6分）
…………………………（10分） ． ………………………………………………………（11分）
所以所求的期望值为． ……………………………………………（12分） 19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形，因为为的中点，所以…………………………（1分） 又，因此 ……………………………………（2分） 因为平面，平面，
所以 ………………………………………………………（3分） 而平面，平面，，
所以平面…………………………………………………（5分）
（Ⅱ）（法1：为上任意一点，连接由（1）知平面，则为与平面所成的角 ………………………………………………………（6分） 在中，，所以当最短时，即当时，最大， 此时2
6
3tan =
==
∠AH AH AE EHA ，因此…………………（7分） 又，所以，所以……（8分） 因为平面，平面， 所以平面平面, 过作于，则平面， 过作于，连接，
则为二面角的平面角，…（9分）
在中，2
330cos ,2330sin 00=⋅==
⋅=AE AO AE EO 又是的中点，在中， 4
2
345sin 0=
⋅=AO SO 又4
30
22=
+=
SO EO SE …………………………………………（10分） 在中，5
15
cos =
=
∠SE SO ESO ,…………………………（11分） 即所求二面角的余弦值为。

………………………………………（12分）
（2）法2：由（1）可知两两垂直，以为坐标原点，以分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系。

设,…………………（6分）
则)2
,21,23(),0,0,3(),,0,0(),0,2,0(),0,1,3(),0,1,3(),0,0,0(a
F E a P D C B A - （其中）)),1(2,3(λλa HE --=∴ 面的法向量为
7
8)4(3
)1(433|,cos |sin 2222222+-+=+-+=
><=λλλλθa a
与平面所成最大角的正切值为
7
8)4(3
sin 222+-+=
λλθa 的最大值为，
即78)4()(2
2
+-+=λλa a f 在的最小值为， 函数对称轴，
所以，计算可得…………………………（8分） 所以)1,2
1,23(
),0,0,3(==→
→
AF AE 设平面的一个法向量为，则⎪⎩⎪⎨⎧=•=•→
→→
→0
AF m AE m 因此⎪
⎩⎪⎨⎧=++=021
2
30
31111z y x x ，取，则…………（9分）
为平面的一个法向量. …………………………（10分） 所以5
15
,cos =
>=
<………………………………（11分） 所以，所求二面角的余弦值为…………………………………（12分）
20．（本小题满分12分）
解：（1） 得 ………………（1分） 在椭圆上，
① …………………（2分）
是椭圆的焦点 ② ………………………（3分） 由①②解得： …………………………………（4分） 椭圆的方程为 …………………………………………（5分） （2）的斜率，设的方程为，……………（6分）
联立方程组22
141189
y x m x y ⎧
=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得22
916890.y my m -+-= △()()22
1649890m m =-⨯⨯->
，解得44m ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭
………（7分）
设两点的坐标为，则212121689
,.99
m m y y y y -+==………（8分）
以为直径的圆的方程为1212()()()()0.x x x x y y y y --+--= 该圆经过原点
212121212(44)(44)1616()16x x y m y m y y m y y m =--=-++ 212121212121616()16x x y y y y m y y m y y ∴+=-+++
222
2
2121217(89)161716()1616099
m m y y m y y m m -=-++=-+=
解得,44⎛∈- ⎝⎭
…………………………………（11分）
经检验，所求的方程为…………………………（12分） （备注：若消去的变量为，按对应给分点给分即可）
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++．……………………（1分）
因为当时，，在上是增函数， 因为当时，，在上也是增函数，
所以当或，总有在上是增函数，……………………………（2分） 又，所以的解集为，的解集为，……（3分）
故函数的单调增区间为，单调减区间为．……………………（4分） （Ⅱ）因为存在，使得成立，
而当时，12max min ()()()()f x f x f x f x --≤，
所以只要max min ()()e 1f x f x --≥即可．………………………………………（5分） 又因为，，的变化情况如下表所示：
所以在上是减函数，在上是增函数，所以当时，的最小值，的最大值为和中的最大值．………（7分）
因为1
1
(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a a
a
--=--=--+++， 令1()2ln (0)g a a a a a =-->，因为22121
()1(1)0g a a a a
'=-=->+，
所以在上是增函数． 而，故当时，，即；
当时，，即．………………………………（9分） 所以，当时，，即，
函数在上是增函数，解得；…………………（10分） 当时，，即，
函数在上是减函数，解得．………………（11分）
综上可知，所求的取值范围为．……………………… (12分) 在第22、23、24题中任选一题做答。

22（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）由以D 为圆心DA 为半径作圆，而ABCD 为正方形，
∴EA 为圆D 的切线 ………………………………………………（1分） 依据切割线定理得 ………………………………（2分） 另外圆O 以BC 为直径，∴EB 是圆O 的切线，………………（3分） 同
样
依
据
切
割
线
定
理
得……………………………
（4分）
故………………………………………（5分）
（Ⅱ）连结，∵BC 为圆O 直径， ∴ ………………………………（6分） 由BF CE BE BC S BCE ⋅=⋅=
∆2
1
21 得…………………………（8分）
又在中，由射影定理得……………………（10分） 23．（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）曲线的参数方程可化为 ………………（2分） 直线的方程为展开得…………（4分）
直线的直角坐标方程为 ………………………………………（5分） （Ⅱ）令，得，即点的坐标为（2，0）………………………（6分） 又曲线为圆，圆的圆心坐标为，半径，则………（8分）
所以1MN MC r +=≤，的最大值为．…………………（10分） 24（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）－2
当时，, 即，∴；………………………………（1分） 当时，,即,∴…………………………（2分）
当时，, 即, ∴16 ………………………………（3分）
综上，解集为{|6} …………………………………………………（4分）
（Ⅱ）⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-<<--≤-=1,412,32,4)(x x x x x x x f ，……………………………………（5分）
令，表示直线的纵截距，当直线过点时，；
∴当2，即－2时成立；……………………………………………（7分） 当，即时，令， 得,
∴2+，即4时成立，………………………………………………（9分）
综上－2或4 …………………………………………………………（10分）。