江苏省淮安市六校联盟2020-2021学年高一上学期第二次学情调查数学试题

六校联盟2020级高一年级第一学期第二次学情调查
数学试题
一､单选题(本大题共8小题，每小题5分，共60分.) 1. 已知集合{}1,2A =，{}1,0,1,2,3B =-，则A B =（ ） A. {}0,2 B. {}1,2 C. {}1 D. {}2
B
直接求集合A B 可得答案.
集合{}1,2A =，{}1,0,1,2,3B =-，则{}1,2A B =.故选：B. 2. 命题“2,240x R x x ∀∈-+≤”的否定为（ ）
A. 2
000,240x R x x ∃∈-+>
B. 2,240x R x x ∀∈-+≥
C. 2,240x R x x ∀∉-+≤
D. 2
000,240x R x x ∃∉-+>
A
根据全称量词命题的否定的知识确定正确选项.
由于全称量词命题的否定是存在量词命题，主要到要否定结论而不是否定条件，故BCD 选项错误，A 选项正确.故选：A 3. 函数(
)f x =的定义域为（ ） A .
()1,1- B. [)1,-+∞
C. ()1,-+∞
D. ∅
C
求出使函数有意义的自变量的范围． 由题意10x +>，1x >-．故选：C ．
4. 下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A. f (x )=1与g (x )=x 0
B. (
)f x =与()11g x x =-
C. f (x )=x 与g (x )=2
x x
D. ()
f x x =与()
g x =D
根据函数的定义判断：定义域与对应法则相同的函数是同一函数
A 中函数定义域不相同，()g x 定义域是{|0}x x ≠，()f x 定义域是R ，不是同一函数；
B 中函数定义域不相同，()g x 定义域是{|1}x x ≥，()f x 定义域是{|1x x ≤-或1}x ≥，不是同一函数；
C 中函数定义域不相同，()g x 定义域是{|0}x x ≠，()f x 定义域是R ，不是同一函数；
D 中两个函数定义域都是R ，对应法则也相同，都可以看作是取绝对值，是同一函数．故选：D ．
5. 若010a b <-<<，
，则下列不等关系正确的是（ ） A. 2ab ab a >> B. 2ab ab a >> C. 2ab a ab >> D. 2a ab ab >>
A
试题分析：210,01b b -<<∴<<，22
1,0,b b a ab ab a ∴<∴．故A 正确．
6. 已知函数2,2,
()(1),2,x x f x f x x -<⎧=⎨-≥⎩则()2f =（ ）
A. 1-
B. 0
C. 1
D. 2
A
根据分段函数定义分类计算函数值．
由已知(2)(21)(1)121f f f =-==-=-．故选：A ．
7. 函数2()(41)2f x x a x =--+，在[]-1,2上不单调，则实数a 的取值范围是（ ）
A.
1
(,)4
-∞- B. 15-44⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，
C. 15,44⎛⎫- ⎪⎝⎭
D. 5(,)4
+∞ C
先求函数()f x 的对称轴412a x -=，再根据题意建立不等式41
122
a --<
<，最后求实数a 的取值范围即可.
因为函数2()(41)2f x x a x =--+，是二次函数，所以对称轴：41
2
a x -=
， 因为函数()f x 在[1,2]-上不单调，所以41122a --<
<，解得：15,44a ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
故选：C 8. 若函数()f x 为定义在R 上的奇函数,且在()0,∞+为减函数,若()20f =,则不等式
()()110x f x -->的解集为( )
A. ()3,1--
B. ()
()1,11,3- C. ()()3,01,3- D. ()()3,12,--+∞
B
根据函数()f x 为定义在R 上的奇函数,且在()0,∞+为减函数,若()20f =,画出函数的大致图像,结合图像即可求得答案.
根据函数()f x 为定义在R 上的奇函数,且在()0,∞+为减函数,若()20f =,画出函数的大致图像,如图:
①当10x ->时,即1x >,
由(1)0f x ->,得012x <-<或12x -<- 解得:13x <<. ②当10x -<时,即1x <
由(1)0f x -<,得210x -<-<或12x -> 解得11x -<<
综上所述:x 的取值范围是(1,1)(1,3)- .故选:B.
二､多选题(本大题共4小题，每小题5分，每题给出的四个选项中，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.) 9. 下列选项中正确的是（ ） A. 若22ac bc >，则a b >； B. 函数22
1
y x x =+的最小值是2； C. 函数22
2
y x =
+的最小值是2；
D. “1k >”是“函数()(1)+f x k x k =-()k R ∈为增函数”的充要条件.
ABD
由不等式性质知A 正确，根据均值不等式等号成立的条件判断BC ，由一次函数的增减性判断D.
A 中，若22ac bc >成立，20c >，所以a b >成立，故正确；
B 中，22
1
2y x x =+≥，当且仅当1x =±时等号成立，故最小值为2，正确；
C 中，2
2y =
=≥，=
，即221x +=时取等号，
显然不成立，故最小值不是2，错误；
D 中，由一次函数的增减性知1k >时，10k ->，函数为增函数，若函数为增函数则10k ->，即1k >，所以“1k >”是“函数()(1)+f x k x k =-()k R ∈为增函数”的充要条件正确.故选：ABD 10. 设28150A
x x x ，10B
x ax ，若A B B =，则实数a 的值可以为（ ）
A. 15
B. 0
C. 3
D. 13
ABD
先将集合A 表示出来，由A B B =可以推出B A ⊆，则根据集合A 中的元素讨论即可求出a 的值.
28150x x -+=的两个根为3和5，
3,5A
，
A B B =，B A ∴⊆，
B ∴=∅或{}3B =或5B 或{}3,5B =，
当B =∅时，满足0a =即可，
当{}3B =时，满足310a -=，1
3a ∴=，
当5B 时，满足510a ，1
5
a ∴=，
当{}3,5B =时，显然不符合条件，
∴a 的值可以是110,,35
.故选：ABD.
11. 下列说法正确的有（ ）
A. 不等式
21131x x ->+的解集是1
(2,)3
--. B. 设p ：()0f x =，q ：()f x 是奇函数，则p 是q 成立的必要不充分条件. C. ()1
f x x
=
在区间()0,∞+内为减函数. D. “5a <”是“3a <”的充分不必要条件. AC
A. 解不等式可得答案；
B. D.举出反例可以判断；
C.利用单调性定义可以证明； A. 不等式
21131x x ->+得2031
x
x -->+，即123x -<<-，正确； B. ()f x 是奇函数时，()f x 不一定等于0，如()1
f x x
=，错误；. C.设120x x >>，()()21
121212
11x x f x f x x x x x --=
-=， 因为120x x >>，所以210x x -<，所以()1
f x x
=
在区间()0,∞+内为减函数，正确； D. “5a <”不一定有“3a <”，如4a =，错误.故选：AC.
12. 已知偶函数()f x 的图象经过点(12)-，
，且当0a b ≤<时，不等式()()
0f b f a b a
-<-恒成立，则
使得(1)2f x -<成立的x 的取值可能是（ ） A. -1 B. 3 C. 1 D. 2
AB
根据题意，由偶函数的性质可得点(1,2)也在函数()f x 的图象上，结合函数单调性的定义分析可得()f x 在(),0-∞上递增，在[0，)+∞上为减函数，分类讨论可得x 的取值范围，即可得答案． 由题意，当0a b ≤<时，不等式()()
0f b f a b a
-<-恒成立，
所以函数()f x 在[0，)+∞上
减函数，
又由偶函数()f x 的图象经过点()1,2-，
所以函数()f x 在(),0-∞上递增，()()112f f -==，
当1≥x 时，由()()121f x f -<=，得1
1x -＞，即2x ＞ 当1x <-时，由()()121f x f -<=-，得11x -<-，即0x <，
所以，x 的取值范围是()(),02,-∞+∞.故选:AB .
三､填空题：(本题共4小题，每小题5分，共20分.) 13. 计算：2log 52值为___________. 5
直接利用log =a b a b 可得答案. 由log =a b a b 可得2log 52=5. 故答案为：5.
14. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，2()2f x x x =-+，则
(3)f =__________．
15
当(),0x ∈-∞时，()2
2f x x x =-+，所以()315f -=-，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所
以()()3315f f =--= 故答案为15
15. 若()f x x =+()f x 的值域为___________.
5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
利用换元法求解，令t =0t ≥），则2221511()24
y t t t t t =-+=-++=--+，然后利用二
次函数的性质可求得结果
解：令t =（0t ≥），则21x t =-，
所以22
21511()24
y t t t t t =-+=-++=--+，
因为抛物线开口向下，0t ≥， 所以当12
t =
时，y 取得最在值54， 所以函数的值域为5,4⎛
⎤
-∞ ⎥⎝⎦，
故答案为：5,4⎛
⎤
-∞ ⎥⎝
⎦
16. 已知函数(3)5,1()2,1a x x f x a
x x -+≤⎧⎪
=⎨>⎪⎩
，若对R 上的任意实数1212,()x x x x ≠，恒有1212()[()()]0x x f x f x --<成立，那么a 的取值范围是___________.
(]0,2
由已知不等式得函数为减函数，则分段函数的性质列出不等式组可得a 的范围． 由1212()[()()]0x x f x f x --<得，设12x x <，则12()()f x f x >，∴()f x 是减函数，
∴30
20352a a a a -<⎧⎪
>⎨⎪-+≥⎩，解得02a <≤． 故答案为：(0,2]．
（1）函数()f x 在定义域内，对任意12x x ≠，有1212()(()())0x x f x f x -->，则()f x 是增函数，有1212()(()())0x x f x f x --<，则()f x 是减函数， （2）函数()f x 在定义域内，对任意12x x ≠，有
1212
()()
0f x f x x x ->-，则()f x 是增函数，有
1212
()()
0f x f x x x -<-，则()f x 是减函数，
（3）分段函数在定义域内单调，则其所有段同单调，相邻端端点处的函数值满足相应的不等关系．
四､解答题(本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤)
17. 若命题p ：()()222240x R a x a x ∃∈-+--≥，是假命题，求实数a 的取值范围.
(]22-，
存在性命题是假命题，则它的否定是全称性命题，且为真命题，由此易得结论．
解：非p ：()()222240x R a x a x ∀∈-+--<，
是真命题. 当2a =时，40-<，对x R ∀∈恒成立；
当20a -<时，由()()2
421620a a ∆=-+-<，解得22a -<<
综上，实数a 的取值范围是(]22-，
.
18. 设集合{|||2}A x x a =-<，{}(3)(2)0B x x x =-+<，
（1）若2a =-，求A B ； （2）若A B A =，求a 的取值范围. （1）(2,0)-；（2）01a ≤≤.
(1) 代入2a =，先求出A ，求出集合B ，然后直接求出A B 即可；
(2)由题意得，A B A =则A B ⊆，然后22
23a a -≥-⎧⎨+≤⎩解不等式组可得答案..
（1）当2a =-时，22x +<则40x -<<，()4,0A =-
(2)(3)0,23x x x +-<∴-<<则B =(-2，3) (2,0)A B ∴⋂=-
（2）B ={|23}x x -<<A ={|22}x a x a -<<+ 若A B A =则A B ⊆
所以22
23a a -≥-⎧⎨+≤⎩
，所以01a ≤≤.
19. （1）已知1
1
224m m -+=，则
332
21
12
2
m m m m
--
--的值.
（2）若18log 9a =，185b =，用a ，b 表示36log 45 （1）15；（2）
2a b
a
+-. （1）利用1
1
1222()2m m m m --+=+-和立方差公式可得答案； （2）由185b
=，所以18log 5b =，代入181818361818log 45log 9log 5
log 45log 361log 2
+=
=+可得答案.
详解】（1）∵11
224m m -+=，
1
11
2
2
2()214m m m m --∴+=+-=，
∴由立方差公式得
332
2
1112
2
115m m m m m m
-
---=++=-
（2）由185b =，所以18log 5b =， 则181818361818log 45log 9log 5log 45log 361log 22a b
a
++=
==+-.
20. 近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的
限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且
210100,040()10000
7019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪
⎩
，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.
（I ）求出2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；
()II 2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
（Ⅰ）210600250,040()10000
()9200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪
=⎨-++≥⎪⎩（Ⅱ）2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.
（Ⅰ）根据销售额减去成本（固定成本250万和成本()R x ）求出利润函数即可. （Ⅱ）根据（Ⅰ）中的分段函数可求出何时取最大值及相应的最大值.
（Ⅰ）当040x <<时，()()22
7001010025010600250W x x x x x x =-+-=-+-；
当40x ≥时，()100001000070070194502509200W x x x x x x ⎛⎫⎛
⎫=-+--=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， ∴ ()210600250,040100009200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪
=⎨⎛⎫
-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩. （Ⅱ）若040x <<，()()2
10308750W x x =--+， 当30x =时，()max 8750W x =万元 .
若40x ≥，(
)10000920092009000W x x x ⎛
⎫=-++≤-= ⎪⎝
⎭， 当且仅当10000
x x
=
时，即100x =时，()max 9000W x =万元 . ∴2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.
21. 已知()()2224
x
f x x x =
∈-+，， （1）求()1f f -⎡⎤⎣⎦的值；
（2）用定义证明函数()f x 是()22-，
上的增函数； （3）若()()2120f a f a ++->，求实数a 的取值范围. （1）5101-
；（2）证明见解析；（3）102⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
. （1）利用解析式直接计算即可；
（2）任取1222x x -<<<，计算()()12f x f x -并化简判断正负，即可证明；
（3）可判断()f x 为奇函数，则不等式可化为()()221f a f a +>-，再利用单调性即可求解.
（1）()115f -=-，则()()1515101f f f ⎛⎫
-=-=- ⎪
⎝⎭
； （2）证明：设12x x ，为区间()22-，
上的任意两个值，且12x x <， ()()()()()()
211212
122222
121244444
x x x x x x f x f x x x x x ---=
-=++++， 因为1222x x -<<<，所以2112040x x x x ->-<，， 即()()120f x f x -<，
所以函数()f x 在()22-，
上是增函数； （3）因为()22x ∈-，关于原点对称， 则()()
()2
24
4
x
x
f x f x x x --=
=-
=-+-+， 所以()f x 为奇函数，
所以由()()2120f a f a ++->，得()()()21221f a f a f a +>--=-，
因为函数()f x 在()22-，
上是增函数， 所以2222212221a a a a -<+<⎧⎪-<-<⎨⎪+>-⎩，即401322
3a a a -<<⎧⎪⎪-<<⎨⎪<⎪⎩， 故102a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
，. 22. 已知函数2()21,(0)f x ax x a a =-+->.
（1）请在如图所示的直角坐标系中作出a =1时f (x )的图象，并写出此时该函数的单调区间； （2）设函数f (x )在区间[1，2]上的最小值为h (a ).
①求h (a )的表达式；
②若关于a 的不等式h (a )≤t 对任意的a ∈11
42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，恒成立，求实数t 的取值范围. （1）图象答案见解析，单调递增区间为：102⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，和12
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，，单调递减区间为12⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，和102⎡⎤⎢⎥⎣⎦，；（2）①()16304111241421322a a h a a a a a ⎧-<⎪⎪⎪=-⎨-⎪⎪->⎪⎩
，，，；②12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，. （1）当1a =时，2()1f x x x =-+，画出函数图象，根据图象即可得出单调区间；
（2）①[]()21
221x f x ax x a ∈=-+-，，，讨论对称轴的范围，根据二次函数的单调性求解； ②求出()h a 的最大值，满足max ()t h a ≥即可.
解：（1）当1a =时，2()1f x x x =-+，图象如图所示，
函数()f x 的单调递增区间为：102⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，和12
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，； 单调递减区间为12⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦，和102⎡⎤⎢⎥⎣⎦，； （2）①
0a >，则对于[]()21221x f x ax x a ∈=-+-，，为二次函数，其对称轴为12x a = 当1012a <<，即12a >时，()f x 在[]
12，上的最小值在1x =处取得， 即：()()132h a f a ==-， 当1122a ≤≤，即1142
a ≤≤时，()f x 在[]12，上的最小值在12x a =处取得， 即：()112124h a f a a a ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭
； 当122a >，即104
a <<时，()f x 在[]12，上的最小值在2x =处取得， 即：()()263h a f a ==-，
综上所述：()16304111214421322a a h a a a a a a ⎧-≤<⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩
，，，； ②由条件知max ()t h a ≥，且当1142a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，时，()1214h a a a =--，
函数2y a =在11
42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，函数14y a =在1142⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上单调递减 ∴函数()1214h a a a
=--在1142⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增， max 11()22h a h ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭，故12t ≥-，即实数t 的取值范围为1.2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
，。