2020-2021中考数学二轮 二次函数 专项培优 易错 难题及答案解析

2020-2021中考数学二轮二次函数专项培优易错难题及答案解析
一、二次函数
1．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？
（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣1
2
x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；
（3）点P（4，6）．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；
（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6，
设P（t，﹣1
2
t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由
S△PAB=S△PAN+S△PBN=1
2
PN•AG+
1
2
PN•BM=
1
2
PN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数
的性质求解可得；
（3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案．
【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），
∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），
将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，
解得：a=﹣1
2
，
所以抛物线解析式为y=﹣1
2
（x﹣6）（x+2）=﹣
1
2
x2+2x+6；
（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，
设直线AB 解析式为y=kx+b ，
将点A （0，6）、B （6，0）代入，得：
660b k b =⎧⎨+=⎩
， 解得：16k b =-⎧⎨=⎩
， 则直线AB 解析式为y=﹣x+6，
设P （t ，﹣12t 2+2t+6）其中0＜t ＜6， 则N （t ，﹣t+6）， ∴PN=PM ﹣MN=﹣
12t 2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣12t 2+2t+6+t ﹣6=﹣12
t 2+3t ， ∴S △PAB =S △PAN +S △PBN
=12PN•AG+12
PN•BM =12PN•（AG+BM ） =
12
PN•OB =12×（﹣12
t 2+3t ）×6 =﹣32
t 2+9t =﹣32（t ﹣3）2+272， ∴当t=3时，△PAB 的面积有最大值；
（3）如图2，
∵PH ⊥OB 于H ，
∴∠DHB=∠AOB=90°，
∴DH ∥AO ，
∵OA=OB=6，
∴∠BDH=∠BAO=45°，
∵PE ∥x 轴、PD ⊥x 轴，
∴∠DPE=90°，
若△PDE 为等腰直角三角形，
则∠EDP=45°，
∴∠EDP 与∠BDH 互为对顶角，即点E 与点A 重合，
则当y=6时，﹣12
x 2+2x+6=6， 解得：x=0（舍）或x=4，
即点P （4，6）． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.
2．如图，对称轴为直线x 1=-的抛物线()2
y ax bx c a 0=++≠与x 轴相交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（－3，0）．
（1）求点B 的坐标；
（2）已知a 1=，C 为抛物线与y 轴的交点．
①若点P 在抛物线上，且POC BOC S 4S ∆∆=，求点P 的坐标；
②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．
【答案】（1）点B 的坐标为（1，0）.
（2）①点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.
②线段QD 长度的最大值为
94
. 【解析】
【分析】
（1）由抛物线的对称性直接得点B 的坐标．
（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C 的坐标，得到BOC S ∆，设出点P 的坐标，根据POC BOC S 4S ∆∆=列式求解即可求得点P 的坐标．
②用待定系数法求出直线AC 的解析式，由点Q 在线段AC 上，可设点Q 的坐标为(q,-q-3)，从而由QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，得点D 的坐标为(q,q 2+2q-3)，从而线段QD 等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解.
【详解】
解：（1）∵A 、B 两点关于对称轴x 1=-对称 ，且A 点的坐标为（－3，0）， ∴点B 的坐标为（1，0）.
（2）①∵抛物线a 1=，对称轴为x 1=-，经过点A （－3，0）， ∴2a 1b 12a 9a 3b c 0
=⎧⎪⎪-=-⎨⎪-+=⎪⎩，解得a 1b 2c 3=⎧⎪=⎨⎪=-⎩. ∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=+-.
∴B 点的坐标为（0，－3）.∴OB=1，OC=3.∴BOC 13S 1322∆=
⨯⨯=. 设点P 的坐标为(p,p 2+2p-3)，则POC 13S 3p p 22∆=
⨯⨯=. ∵POC BOC S 4S ∆∆=，∴
3p 62=，解得p 4=±. 当p 4=时2p 2p 321+-=；当p 4=-时，2p 2p 35+-=，
∴点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.
②设直线AC 的解析式为y kx b =+，将点A ，C 的坐标代入，得：
3k b 0b 3-+=⎧⎨=-⎩
，解得：k 1b 3=-⎧⎨=-⎩. ∴直线AC 的解析式为y x 3=--.
∵点Q 在线段AC 上，∴设点Q 的坐标为(q,-q-3).
又∵QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，∴点D 的坐标为(q,q 2+2q-3).
∴()
22239QD q 3q 2q 3q 3q q 24⎛⎫=---+-=--=-++ ⎪⎝⎭. ∵a 10<=-，-3302<<-
∴线段QD 长度的最大值为94
.
3．如图，抛物线y ＝x 2﹣mx ﹣（m +1）与x 轴负半轴交于点A （x 1，0），与x 轴正半轴交
于点B（x2，0）（OA＜OB），与y轴交于点C，且满足x12+x22﹣x1x2＝13．
（1）求抛物线的解析式；
（2）以点B为直角顶点，BC为直角边作Rt△BCD，CD交抛物线于第四象限的点E，若EC ＝ED，求点E的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝2S△AOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）E点坐标为（113
2
+
，﹣
113
2
）；（3）点Q的坐
标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）由根与系数的关系可得x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），代入x12+x22﹣x1x2＝13，求出m1＝2，m2＝﹣5．根据OA＜OB，得出抛物线的对称轴在y轴右侧，那么m＝2，即可确定抛物线的解析式；
（2）连接BE、OE．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE＝1
2
CD＝CE．利
用SSS证明△OBE≌△OCE，得出∠BOE＝∠COE，即点E在第四象限的角平分线上，设E点坐标为（m，﹣m），代入y＝x2﹣2x﹣3，求出m的值，即可得到E点坐标；
（3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，根据三角形的面积公式可得S△ACQ＝S△ACF．由S△ACQ＝2S△AOC，得出S△ACF＝2S△AOC，那么AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．根据AC∥FQ，可设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3，把它与抛
物线的解析式联立，得出方程组
223
33
y x x
y x
⎧=--
⎨
=-+
⎩
，求解即可得出点Q的坐标．
【详解】
（1）∵抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0），
∴x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），
∵x12+x22﹣x1x2＝13，
∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝13，
∴m2+3（m+1）＝13，
即m2+3m﹣10＝0，
解得m 1＝2，m 2＝﹣5．
∵OA ＜OB ，
∴抛物线的对称轴在y 轴右侧，
∴m ＝2，
∴抛物线的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3；
（2）连接BE 、OE ．
∵在Rt △BCD 中，∠CBD ＝90°，EC ＝ED ，
∴BE ＝12CD ＝CE ． 令y ＝x 2﹣2x ﹣3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，
∴A （﹣1，0），B （3，0），
∵C （0，﹣3），
∴OB ＝OC ，
又∵BE ＝CE ，OE ＝OE ，
∴△OBE ≌△OCE （SSS ），
∴∠BOE ＝∠COE ，
∴点E 在第四象限的角平分线上，
设E 点坐标为（m ，﹣m ），将E （m ，﹣m ）代入y ＝x 2﹣2x ﹣3，
得m ＝m 2﹣2m ﹣3，解得m ＝
1132±， ∵点E 在第四象限，
∴E 点坐标为（113+，﹣113+）； （3）过点Q 作AC 的平行线交x 轴于点F ，连接CF ，则S △ACQ ＝S △ACF ．
∵S△ACQ＝2S△AOC，
∴S△ACF＝2S△AOC，
∴AF＝2OA＝2，
∴F（1，0）．
∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．
∵AC∥FQ，
∴设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，
将F（1，0）代入，得0＝﹣3+b，解得b＝3，∴直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3．
联立
223
33
y x x
y x
⎧=--
⎨
=-+
⎩
，
解得1
1
3 12
x y =-
⎧
⎨
=⎩，2
2
2
3
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
，
∴点Q的坐标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．
【点睛】
本题是二次函数综合题，其中涉及到一元二次方程根与系数的关系，求二次函数的解析式，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，抛物线与直线交点坐标的求法，综合性较强，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．
4．如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．
①求S关于t的函数表达式；
②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．
【答案】（1）y=﹣x2+2x+3．（2）当t=2时，点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存
在，理由见解析；（3）y=﹣x+3；P点到直线BC 92
，此时点P的坐
标为（3
2
，
15
4
）．
【解析】
【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；
（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；
（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；
②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．
【详解】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，
得
10
930
b c
b c
-++=
⎧
⎨
-++=
⎩
，解得：
2
3
b
c
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3；
（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，
∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，
∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），
∴点M的坐标为（1，6）；
当t≠2时，不存在，理由如下：
若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，
∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，
∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2，
又∵t≠2，
∴不存在；
（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），
将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，
得
30
3
m n
n
+=
⎧
⎨
=
⎩
，解得：
1
3
m
n
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，
∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），
∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，
∴S=1
2
PF•OB=﹣
3
2
t2+
9
2
t=
﹣
3
2
（t﹣
3
2
）2+
27
8
；
②∵﹣
3
2
＜0，
∴当t=3
2
时，S取最大值，最大值为
27
8
．
∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），
∴线段BC=2232
OB OC
+=，
∴P点到直线BC的距离的最大值为
27
292
8
8
32
⨯
=，
此时点P的坐标为（
3
2
，
15
4
）．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t≠2两种情况考虑；（3）①利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值．
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；
（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；
（3）符合条件的点P的坐标为（7
3
，
20
9
）或（
10
3
，﹣
13
9
），
【解析】
分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；
（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为
负倒数设直线PC的解析式为y=-1
3
x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为
y=-1
3
x+3，再解方程组
223
1
3
3
y x x
y x
⎧-++
⎪
⎨
-+
⎪⎩
＝
＝
得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物
线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
即y=ax2﹣2ax﹣3a，
∴﹣2a=2，解得a=﹣1，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），
设直线AC的解析式为y=px+q，
把A（﹣1，0），C（0，3）代入得
3
p q
q
-+=
⎧
⎨
=
⎩
，解得
3
3
p
q
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴直线AC的解析式为y=3x+3；
（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4），
作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），
∵MB=MB′，
∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，
而BD的值不变，
∴此时△BDM的周长最小，
易得直线DB′的解析式为y=x+3，
当x=0时，y=x+3=3，
∴点M的坐标为（0，3）；
（3）存在．
过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，
∵直线AC的解析式为y=3x+3，
∴直线PC的解析式可设为y=﹣1
3
x+b，
把C（0，3）代入得b=3，
∴直线PC的解析式为y=﹣1
3
x+3，
解方程组2231
3
3y x x y x ⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得03x y =⎧⎨=⎩或73
209x y ⎧
=
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，则此时P 点坐标为（73，209）； 过点A 作AC 的垂线交抛物线于另一点P ，直线PC 的解析式可设为y=﹣x+b ， 把A （﹣1，0）代入得
13+b=0，解得b=﹣1
3
， ∴直线PC 的解析式为y=﹣
13x ﹣1
3
， 解方程组22311
33y x x y x ⎧-++⎪⎨--
⎪⎩＝＝，解得10x y =-⎧⎨=⎩或103
139x y ⎧
=
⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P 点坐标为（103，﹣13
9
）. 综上所述，符合条件的点P 的坐标为（
73，209）或（103，﹣139
）. 点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
6．已知抛物线2y ax bx c =++上有两点M (m +1，a )、N (m ，b ). (1)当a ＝－1，m ＝1时，求抛物线2y ax bx c =++的解析式； (2)用含a 、m 的代数式表示b 和c ；
(3)当a ＜0时，抛物线2y ax bx c =++满足24b ac a -=，2b c a +≥，34
m ≤-， 求a 的取值范围. 【答案】（1）11
b c =⎧⎨=⎩；（2）b=-am ，c=-am ；（3）161
393a -≤≤- 【解析】 【分析】
（1）根据题意得到M (2，－1)、N (1，b )，代入抛物线解析式即可求出b 、c ；
（2）将点M (m +1，a )、N (m ，b )代入抛物线2
y ax bx c =++，可得
22
(1)(1)a m b m c a
am bm c b
⎧++++=⎨++=⎩，化简即可得出；
（3）把b am =-，c am =-代入24b ac a -=可得21
4a m m
=
+，把b am =-，
c am =-代入2b c a +≥可得1m ≥-，然后根据m 的取值范围可得a 的取值范围.
【详解】
解：(1)∵a ＝－1，m ＝1，∴M (2，－1)、N (1，b )
由题意，得4211b c b c b -++=-⎧⎨-++=⎩，解，得1
1b c =⎧⎨
=⎩
(2) ∵点M (m +1，a )、N (m ，b )在抛物线2y ax bx c =++上
22
(1)(1)a m b m c a am bm c b ⎧++++=⎨++=⎩①
②
①－②得，2am b b +=-，∴b am =-
把b am =-代入②，得c am =-
(3)把b am =-，c am =-代入24b ac a -=得2224a m a m a +=
0a <Q ，22
1
41,4am am a m m
∴+=∴=
+ 把b am =-，c am =-代入2b c a +≥得22am a -≥，1m ∴≥-
34m Q ≤-，3
14
m ∴-≤≤-
224(2)4m m m +=+-Q ，当2m >-时，24m m +随m 的增大而增大
239
3416
m m ∴-≤+≤-
216113943m m ∴-
≤≤-+ 即161393a -≤≤- 【点睛】
本题考查待定系数法求函数解析式以及二次函数的图像和性质，由函数图像上点的坐标特征求出b am =-，c am =-是解题关键.
7．如图，已知抛物线
的图象与x 轴的一个交点为B （5，0），另一个交点为
A ，且与y 轴交于点C （0，5）。

（1）求直线BC与抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为
S2，且S1=6S2，求点P的坐标。

【答案】（1）
（2）
（3）P的坐标为（－1，12）或（6，5）或（2，－3）或（3，－4）
【解析】
【分析】
（1）由B（5，0），C（0，5），应用待定系数法即可求直线BC与抛物线的解析式。

（2）构造MN关于点M横坐标的函数关系式，应用二次函数最值原理求解。

（3）根据S1=6S2求得BC与PQ的距离h，从而求得PQ由BC平移的距离，根据平移的性质求得PQ的解析式，与抛物线联立，即可求得点P的坐标。

【详解】
解：（1）设直线BC的解析式为，
将B（5，0），C（0，5）代入，得，得。

∴直线BC的解析式为。

将B（5，0），C（0，5）代入，得，得。

∴抛物线的解析式。

（2）∵点M是抛物线在x轴下方图象上的动点，∴设M。

∵点N是直线BC上与点M横坐标相同的点，∴N。

∵当点M在抛物线在x轴下方时，N的纵坐标总大于M的纵坐标。

∴。

∴MN 的最大值是。

（3）当MN 取得最大值时，N 。

∵的对称轴是
，B （5，0），∴A （1，0）。

∴AB=4。

∴。

由勾股定理可得，。

设BC 与PQ 的距离为h ，则由S 1=6S 2得：，即。

如图，过点B 作平行四边形CBPQ 的高BH ，过点H 作x 轴的垂线交点E ，则
BH=
，EH 是直线BC 沿y 轴方向平移的距离。

易得，△BEH 是等腰直角三角形， ∴EH=。

∴直线BC 沿y 轴方向平移6个单位得PQ 的解析式：
或。

当
时，与联立，得
，解得
或。

此时，点P 的坐标为（－1，12）或（6，5）。

当
时，与
联立，得 ，解得
或。

此时，点P 的坐标为（2，－3）或（3，－
4）。

综上所述，点P 的坐标为（－1，12）或（6，5）或（2，－3）或（3，－4）。

8．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .
（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；
（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.
【答案】（1）抛物线的解析式为2
23y x x =--+，直线的解析式为3y x =+.（2）
(1,2)M -；（3）P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或317(+-或317()--.
【解析】
分析：（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；
（2）设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ，此时MA+MC 的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y 的值，即可求出点M 坐标；
（3）设P （-1，t ），又因为B （-3，0），C （0，3），所以可得BC 2=18，PB 2=（-1+3）
2
+t 2=4+t 2，PC 2=（-1）2+（t-3）2=t 2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求
出点P 的坐标．
详解：（1）依题意得：1203
b
a a
b
c c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪
⎩
，解得：123a b c =-⎧⎪
=-⎨⎪=⎩，
∴抛物线的解析式为223y x x =--+. ∵对称轴为1x =-，且抛物线经过()1,0A ， ∴把()3,0B -、()0,3C 分别代入直线y mx n =+，
得303m n n -+=⎧⎨=⎩，解之得：13m n =⎧⎨=⎩
，
∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+.
（2）直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA MC +的值最小，把1x =-代入直线3y x =+得2y =，
∴()1,2M -.即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-. （注：本题只求M 坐标没说要求证明为何此时MA MC +的值最小，所以答案未证明
MA MC +的值最小的原因）.
（3）设()1,P t -，又()3,0B -，()0,3C ，
∴218BC =，()2
222134PB t t =-++=+，()()2
2
2213610PC t t t =-+-=-+， ①若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=，即：22184610t t t ++=-+解得：
2t =-，
②若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=，即：22186104t t t +-+=+解得：
4t =，
③若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=，即：22461018t t t ++-+=解得：
1317
2
t =
，23172t -=
. 综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或317⎛+- ⎝⎭或317⎛-- ⎝⎭
. 点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．
9．如图1,在平面直角坐标系中,直线1y x =-与抛物线2y x bx c =-++交于A B 、两点，其中(),0A m ,()4,B n .该抛物线与y 轴交于点C ,与x 轴交于另一点D .
(1)求m
n 、的值及该抛物线的解析式; (2)如图2.若点P 为线段AD 上的一动点(不与A D 、重合).分别以AP 、DP 为斜边,在直线
AD 的同侧作等腰直角△APM 和等腰直角△DPN ,连接MN ,试确定△MPN 面积最大时P 点的坐标.
(3)如图3.连接BD 、CD ,在线段CD 上是否存在点Q ,使得以A D Q 、、为顶点的三角形
与△ABD 相似,若存在,请直接写出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】（1）2
65y x x =-+-；（2）当2m =，即2AP =时，MPN S ∆最大，此时
3OP =,所以()3,0P ；（3）存在点Q 坐标为2-3（，）或78-33
⎛⎫ ⎪⎝⎭
，. 【解析】
分析：（1）把A 与B 坐标代入一次函数解析式求出m 与n 的值，确定出A 与B 坐标，代入二次函数解析式求出b 与c 的值即可；
（2）由等腰直角△APM 和等腰直角△DPN ，得到∠MPN 为直角，由两直角边乘积的一半表示出三角形MPN 面积，利用二次函数性质确定出三角形面积最大时P 的坐标即可； （3）存在，分两种情况，根据相似得比例，求出AQ 的长，利用两点间的距离公式求出Q 坐标即可．
详解：（1）把A （m ，0），B （4，n ）代入y =x ﹣1得：m =1，n =3，∴A （1，0），B （4，3）．
∵y =﹣x 2+bx +c 经过点A 与点B ，∴101643b c b c -++=⎧⎨-++=⎩，解得：65b c =⎧⎨=-⎩
，则二次函数解
析式为y =﹣x 2+6x ﹣5；
（2）如图2，△APM 与△DPN 都为等腰直角三角形，∴∠APM =∠DPN =45°，∴∠MPN =90°，∴△MPN 为直角三角形，令﹣x 2+6x ﹣5=0，得到x =1或x =5，∴D （5，0），即DP =5﹣1=4，设AP =m ，则有DP =4﹣m ，∴PM =22m ，PN =2
2
（4﹣m ），∴S △MPN =
12PM •PN =122m 2
（4﹣m ）=﹣14m 2﹣m =﹣14（m ﹣2）2+1，∴当m =2，即AP =2时，S △MPN 最大，此时OP =3，即P （3，0）；
（3）存在，易得直线CD 解析式为y =x ﹣5，设Q （x ，x ﹣5），由题意得：∠BAD =∠ADC =45°，分两种情况讨论：
①当△ABD ∽△DAQ 时，
AB DA =BD AQ ，即324=4AQ ，解得：AQ =82
3
，由两点间的距离公式得：（x ﹣1）2+（x ﹣5）2=1283，解得：x =73，此时Q （73，﹣8
3
）； ②当△ABD ∽△DQA 时，BD
AQ
=1，即AQ =10，∴（x ﹣1）2+（x ﹣5）2=10，解得：x =2，此时Q （2，﹣3）．
综上，点Q 的坐标为（2，﹣3）或（
73，﹣8
3
）． 点睛：本题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，两点间的距离公式，熟练掌握各自的性质是解答本题的关键．
10．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x=﹣1．
（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；
（2）若动点P 在第二象限内的抛物线上，动点N 在对称轴l 上． ①当PA ⊥NA ，且PA=NA 时，求此时点P 的坐标；
②当四边形PABC 的面积最大时，求四边形PABC 面积的最大值及此时点P 的坐标．
【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P 2﹣1，2）；②P （﹣32
，154） 【解析】
试题分析：（1）将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式；
（2）①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA ，从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标；
②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．
试题解析：（1）∵抛物线2
y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于
点C （0，3），其对称轴l 为1x =-，∴0
{3
1
2a b c c b
a
++==-=-，解得：1
{23a b c =-=-=
，∴二次函数的
解析式为2
23y x x =--+=2
(1)4x -++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；
（2）令2
230y x x =--+=，解得3x =-或1x =，∴点A （﹣3，0），B （1，0），作
PD ⊥x 轴于点D ，∵点P 在223y x x =--+上，∴设点P （x ，223x x --+）， ①∵PA ⊥NA ，且PA=NA ，∴△PAD ≌△AND ，∴OA=PD ，即2232y x x =--+=，解得x=21-（舍去）或x=21--，∴点P （21--，2）；
②设P(x ，y)，则223y x x =--+，∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形
=
12OB•OC+12AD•PD+12
(PD+OC)•OD=111
31+(3)(3)()222x y y x ⨯⨯⨯+++-=
333222x y -+ =2
333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228
x -++， ∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32
-时，223y x x =--+=15
4，此时P
（32
-，15
4）．
考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．
11．如图，已知抛物线经过点A （﹣1，0），B （4，0），C （0，2）三点，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为（m ，0），过点P 做x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ，交直线BD 于点M ． （1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式； （2）已知点F （0，1
2
），当点P 在x 轴上运动时，试求m 为何值时，四边形DMQF 是平行四边形？
（3）点P 在线段AB 运动过程中，是否存在点Q ，使得以点B 、Q 、M 为顶点的三角形与△BOD 相似？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=﹣
12
x 2+3
2x+2；（2）m=﹣1或m=3时，四边形DMQF 是平行四边形；
（3）点Q 的坐标为（3，2）或（﹣1，0）时，以点B 、Q 、M 为顶点的三角形与△BOD 相似． 【解析】
分析：（1）待定系数法求解可得；
（2）先利用待定系数法求出直线BD 解析式为y=12x-2，则Q （m ，-12
m 2+3
2m+2）、M
（m ，
1
2
m-2），由QM ∥DF 且四边形DMQF 是平行四边形知QM=DF ，据此列出关于m 的方程，解之可得；
（3）易知∠ODB=∠QMB ，故分①∠DOB=∠MBQ=90°，利用△DOB ∽△MBQ 得
12DO MB OB BQ ==，再证△MBQ ∽△BPQ 得BM BP BQ PQ
=，即214 132222
m
m m -=
-++，解之
即可得此时m 的值；②∠BQM=90°，此时点Q 与点A 重合，△BOD ∽△BQM′，易得点Q 坐标．
详解：（1）由抛物线过点A （-1，0）、B （4，0）可设解析式为y=a （x+1）（x-4）， 将点C （0，2）代入，得：-4a=2， 解得：a=-
1
2
， 则抛物线解析式为y=-
12（x+1）（x-4）=-12
x 2+3
2x+2；
（2）由题意知点D 坐标为（0，-2）， 设直线BD 解析式为y=kx+b ，
将B （4，0）、D （0，-2）代入，得：
402k b b +⎧⎨
-⎩＝＝，解得：122
k b ⎧⎪
⎨⎪-⎩＝
＝， ∴直线BD 解析式为y=1
2
x-2， ∵QM ⊥x 轴，P （m ，0），
∴Q （m ，--12m 2+32m+2）、M （m ，1
2
m-2），
则QM=-
12m 2+32m+2-（12m-2）=-1
2m 2+m+4，
∵F （0，1
2
）、D （0，-2），
∴DF=
52
， ∵QM ∥DF ，
∴当-
12m 2+m+4=5
2
时，四边形DMQF 是平行四边形， 解得：m=-1（舍）或m=3，
即m=3时，四边形DMQF 是平行四边形； （3）如图所示：
∵QM ∥DF ， ∴∠ODB=∠QMB ， 分以下两种情况：
①当∠DOB=∠MBQ=90°时，△DOB ∽△MBQ ， 则
21
=42
DO MB OB BQ ==， ∵∠MBQ=90°， ∴∠MBP+∠PBQ=90°， ∵∠MPB=∠BPQ=90°，
∴∠MBP+∠BMP=90°，∴∠BMP=∠PBQ，
∴△MBQ∽△BPQ，
∴BM BP
BQ PQ
=，即
2
14
13
22
22
m
m m
-
=
-++，
解得：m1=3、m2=4，
当m=4时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，
∴m=3，点Q的坐标为（3，2）；
②当∠BQM=90°时，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′，
此时m=-1，点Q的坐标为（-1，0）；
综上，点Q 的坐标为（3，2）或（-1，0）时，以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似．
点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及分类讨论思想的运用．
12．如图，直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，
∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC 于点D，求△DMH周长的最大值．
【答案】（1）（﹣1，0）（2）y=﹣x2+x+（3）
【解析】
试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C坐标，在Rt△BOC中由三角函数定义可求得∠OCB=60°，则在Rt△AOC中可得∠ACO=30°，利用三角函数的定义可求得OA，则可求得A点坐标；
（2）由A、B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（3）由平行线的性质可知∠MDH=∠BCO=60°，在Rt△DMH中利用三角函数的定义可得到DH、MH与DM的关系，可设出M点的坐标，则可表示出DM的长，从而可表示出△DMH 的周长，利用二次函数的性质可求得其最大值．
试题解析：（1）∵直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，
∴B（3，0），C（0，），
∴OB=3，OC=，
∴tan∠BCO==，
∴∠BCO=60°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACO=30°，
∴=tan30°=，即=，解得AO=1，
∴A（﹣1，0）；
（2）∵抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+；
（3）∵MD∥y轴，MH⊥BC，
∴∠MDH=∠BCO=60°，则∠DMH=30°，
∴DH=DM，MH=DM，
∴△DMH的周长=DM+DH+MH=DM+DM+DM=DM，
∴当DM有最大值时，其周长有最大值，
∵点M是直线BC上方抛物线上的一点，
∴可设M（t，﹣t2+t+），则D（t，﹣t+），
∴DM=﹣t2+t+），则D（t，﹣t+），
∴DM=﹣t2+t+﹣（﹣t+）=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，DM有最大值，最大值为，
此时DM=×=，
即△DMH周长的最大值为．
考点：1、二次函数的综合应用，2、待定系数法，3、三角函数的定义，4方程思想
13．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线
（）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1）A（－1，0），；（2）；（3）P的坐标为（1，）或（1，－4）．
【解析】
试题分析：（1）在中，令y=0，得到，，得到A（－1，0），B（3，0），由直线l经过点A，得到，故，令
，即，由于CD＝4AC，故点D的横坐标
为4，即有，得到，从而得出直线l的函数表达式；
（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），
EF＝=，S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝＝
，故△ACE的面积的最大值为，而△ACE的面积的最大值为，所以
，解得；
（3）令，即，解得，，得到D （4，5a），因为抛物线的对称轴为，设P（1，m），然后分两种情况讨论：①若AD是矩形的一条边，②若AD是矩形的一条对角线．
试题解析：（1）∵=，令y=0，得到，，∴A（－1，0），B（3，0），∵直线l经过点A，∴，，∴，令
，即，∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为
4，∴，∴，∴直线l的函数表达式为；
（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），
EF＝=，
S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝
＝＝，
∴△ACE的面积的最大值为，∵△ACE的面积的最大值为，∴，解得；
（3）令，即，解得，，∴D（4，5a），∵，∴抛物线的对称轴为，设P（1，m），
①若AD是矩形的一条边，则Q（－4，21a），m＝21a＋5a＝26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP＝90°，∴，
∴，即，∵，
∴，∴P1（1，）；
②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为（，），Q（2，），m ＝，则P（1，8a），∵四边形APDQ为矩形，∴∠APD＝90°，
∴，∴，即，∵，∴，∴P2（1，－4）．
综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1，）或（1，－4）．
考点：二次函数综合题．
14．已知抛物线27
y x3x
4
=--的顶点为点D，并与x轴相交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与y轴相交于点C．
（1）求点A、B、C、D的坐标；
（2）在y轴的正半轴上是否存在点P，使以点P、O、A为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）取点E（
3
4
-，0）和点F（0，），直线l经过E、F两点，点G是线段BD的中
点．
①点G是否在直线l上，请说明理由；
②在抛物线上是否存在点M，使点M关于直线l的对称点在x轴上？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1） D（3
2
，﹣4）
（2） P（0，7
4
）或（0，
1
7
）
（3）详见解析
【解析】
【分析】
（1）令y=0，解关于x的一元二次方程求出A、B的坐标，令x=0求出点C的坐标，再根据顶点坐标公式计算即可求出顶点D的坐标．
（2）根据点A、C的坐标求出OA、OC的长，再分OA和OA是对应边，OA和OC是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求出OP的长，从而得解．
（3）①设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式求出直线l的解析式，再利用中点公式求出点G的坐标，然后根据直线上点的坐标特征验证即可．②设抛物线的对称轴与x轴交点为H，求出OE、OF、HD、HB的长，然后求出△OEF和△HDB相似，根据相似三角形对应角相等求出∠OFE=∠HBD，然后求出EG⊥BD，从而得到直线l是线段BD的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质点D关于直线l的对称点就是
B ，从而判断出点M 就是直线DE 与抛物线的交点．再设直线DE 的解析式为y=mx+n ，利用待定系数法求一次函数解析求出直线DE 的解析式，然后与抛物线解析式联立求解即可得到符合条件的点M ． 【详解】
解：（1）在2
7y x 3x 4=--中，令y=0，则2
7x 3x 04
--=，整理得，4x 2﹣12x ﹣7=0， 解得x 1=12-
，x 2=72．∴A （12-，0），B （7
2
，0）． 在2
7y x 3x 4=--
中，令x=0，则y=74-．∴C （0，7
4
-）． ∵()227413b 334ac b 442a 2124a 41⎛⎫
⨯⨯--- ⎪--⎝⎭-=-===-⨯⨯，，∴顶点D （32
，﹣4）． （2）在y 轴正半轴上存在符合条件的点P ． 设点P 的坐标为（0，y ），
∵A （12-
，0），C （0，74-），∴OA=12，OC=7
4
，OP=y ， ①若OA 和OA 是对应边，则△AOP ∽△AOC ，∴
OP OA OC OA =．∴y=OC=7
4
，此时点P （0，7
4
）． ②若OA 和OC 是对应边，则△POA ∽△AOC ，∴OP OA
OA OC
=，即1y 21724
=．
解得y=17，此时点P （0，1
7
）．
综上所述，符合条件的点P 有两个，P （0，74）或（0，1
7
）．
（3）①设直线l 的解析式为y=kx+b （k≠0），
∵直线l 经过点E （32-，0）和点F （0，3
4
-），
∴3k b 023b 4⎧-+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得1k 23b 4⎧
=-⎪⎪⎨⎪=-
⎪⎩
，
∴直线l 的解析式为13
y x 24
=--． ∵B （
72，0），D （3
2
，﹣4），。