【优化方案】高考数学总复习 第2章§2
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【解析】 f(－x)＝－(π2x－sinx)＝－f(x) 是奇函数．排除 C. 当 x→＋∞时，y→＋∞，排除 B
当 x＝π4时，f(π4)＝12－ 22<0，排除 A.
【答案】 D
【思维总结】 本题难点排除 A、B， x→＋∞对 y 的变化起关键作用．
互动探究 1 若函数变为 y＝sinx－π2x，
(2)作直线 y＝92交图象于 A，B 两点． 由 x∈[0,2)且－12x2＋3x＋2＝92，得 x＝1， 由 x∈[2，＋∞)且－2x＋10＝92，得 x＝141. ∴A(1，92)，B(141，92)．
由图象知 f(x)>92的 x 取值范围为(1，141)．
【误区警示】 在作 x∈[0,2)上的图象 时，易出现因为描点太少而导致图象与
真题透析
例 (2010年高考大纲全国卷Ⅰ理)直线y＝1 与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取 值范围是__________．
【解析】 y＝xx22－ ＋xx＋ ＋aa， ，xx≥<00，， 作出 图象，如图所示． 此曲线与 y 轴交于(0，a)点，最小值为 a
－14，要使 y＝1 与其有四个交点，只需
a－14<1<a，∴1<a<54.
【答案】 1<a<54 【名师点评】 此题考查了二次函数分段形
式的函数图象、不等式的解法及数形结合的
运
用．
考
生对本题型很熟悉，极易入手：数形结
合．画图象时，若结合偶函数性质，则更节
省解答时间．题目难易适中．有的考生答错，
其原因是图象画错．
名师预测
1．函数 f(x)＝1＋1|x|的图象是(
§2.8 函数的图象及变换
2.8
双基研习·面对高考
函
数
的
图
考点探究·挑战高考
象
及
变
换
考向瞭望·把脉高考
双基研习·面对高考
基础梳理
函数图象的两种基本作法 (1)描点法：其步骤是：列表(尤其注意特殊 点、零点、最大值与最小值、与坐标轴的交 点)、_描__点_、_连__线_． 一般按如下程序进行：确定函数定义域→化 简函数解析式→讨论函数性质→画图．
考点探究·挑战高考
考点突破
考点一 作函数的图象
图象也是表示函数的一种方法，对于给定 具体解析式的函数，其图象可利用描点或者 变换，对于抽象函数可根据其性质：如定义 域、对称性等来作图或者分析两个变量x与y 之间的变化关系，进行等价变形后作图．参 考本章教材复习题，A组5，B组2.
例1 分别画出下列函数的图象： (1)y＝|lgx|； (2)y＝2x＋2；
当 0<x≤2 时，f(x)>g(x)恒成立
当 x>2 时， 令－2x＋10＝x－2. ∴x＝4， 即 2<x<4 时，－2x＋10>x－2，
∴f(x)>g(x)的 x 的取值范围为(0,4)．
方法感悟
方法技巧
1．对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上 下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图 中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有： (1)定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分 析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用 这一特征来分析解决问题；(2)定量计算法，也就 是通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型 法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数 模型，利用这一函数模型来分析解决问题．如例2 定性、定量相结合使用．
2．“函数y＝f(x)关于x＝a对称”与“函数y＝ f(x)和y＝g(x)关于x＝a对称”，两者相同吗？ 提示：不同．前者是说“函数y＝f(x)自身关 于x＝a对称”，后者是说“两个函数y＝f(x)和 y＝g(x)图象之间关于x＝a对称．
课前热身
1．函数 y＝|x2－x|的对称轴是( )
A．x 轴
【名师点评】 要借助常见函数图象．
考点二 识别函数的图象
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、 上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研 究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、 周期性，注意图象与函数解析式中参数的关 系．
例2 函数 f(x)＝π2x－sin x(x∈R)的部分图象 是( )
【思路分析】 从奇偶性上，从x，y的变化 关系上，从极值单调变化上排除．
在2010年的高考中，如课标全国卷理第4题， 以点的圆周运动来选取三角函数图象，大纲 全国卷Ⅰ的第10、15题，利用图象解题、重 庆理第6题，由图象求解析式，江西理第12 题，抽象函数图象，四川文第2题直接考查 了y＝log2x的图象特征．
预测2012年的高考中不会减弱，既有基本图 象的作法，也有创新型试题．
(3)y＝x2－2|x|－1.
【思路分析】 (1)翻折变化 (2)平移变换 (3)对称变换
【解】 (1)y＝l－gxlgx
x≥1， 0<x<1.
图象如图(1)．
(2)将 y＝2x 的图象向左平移 2 个单位．图象如图(2)．
(3)y＝xx22－ ＋22xx－ －11
x≥0， x<0.
图象如图(3)．
)
解析：选C.据已知函数的解析式可知函数 为偶函数，故其图象关于y轴对称，只有C选 项满足条件．
2．已知f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|(a>0且a≠1)， 若f(4)·g(－4)<0，则y＝f(x)，y＝g(x)在同一 坐标系内的大致图象是( )
解析：选B.据题意由f(4)g(－4)＝a2×loga4<0 得0<a<1，因此指数函数y＝ax(0<a<1)的图 象即可确定，而y＝loga|x|(0<a<1)的图象结 合函数的奇偶性即可作出．
互动探究，实点、虚点要区分开．
考向瞭望·把脉高考
考情分析
高考中总是以几类基本初等函数的图象为基 础来考查函数图象，题型主要是选择题与填 空题．考查的形式主要有：知式选图；知图 选式；图象变换(平移变换、对称变换)；以 及自觉地运用图像解题，属于每年必考内容 之一．近几年，有的考查了由导数图象求原 函数图象的选择题、填空题和由实际问题的 变量关系选择图象题．
B．若对定义域内的一切x均有f(x＋m)＝f(m －x)，则y＝f(x)的图象关于直线_x_＝__m_对称；
C．y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)关于点_____中
心对称；
(a，b)
③伸缩，主要有：A.y＝af(x)(a>0)的图 象，可将 y＝f(x)图象上每点的纵坐标伸 (a>1 时)或缩(a<1 时)到原来的_a_倍；B.y ＝f(ax)(a>0)的图象，可将 y＝f(x)的图象 上每点的横坐标伸(a<1 时)或缩(a>1 时)
实际图象偏差过大的错误，如 f(1)＝92， 而作出的图象却显示 f(1)>5.另外，不注 意特殊点(如与 y 轴的交点)，也是导致 作图出现错误的常见原因．
互动探究2 若g(x)＝|x－2|，求f(x)>g(x)的x 的取值范围．
解：作 g(x)＝|x－2|
＝2x－ －x2
0≤x≤2 的图象． x>2
3．方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为 ________．
解析：如图，在同一坐标系内分别画出y＝2 －x和y＝3－x2的图象． 由图可知两个函数的图象有两个交点． 即2－x＋x2＝3有两个根． 答案：2
4．为缓解南方部分地区电力用煤紧张的局 面，某运输公司提出五种运输方案，据预测， 这五种方案均能在规定时间T完成预期的运 输任务Q0，各种方案的运煤总量Q与时间t的 函数关系如下图所示．在这五种方案中，运 煤效率(单位时间的运煤量)逐步提高的是 __________．(填写所有正确的图象的编号)
的图象(
2
)
2
A．向下平移一个单位得到的
B．向上平移一个单位得到的
C．向左平移一个单位得到的
D．纵坐标不变，横坐标变为原来的 2 倍得到的
答案：A
4．函数y＝1－|x|的图象与y＝a有两个不同 的交点，则a的取值范围为__________． 答案：(－∞，1) 5．将函数y＝3x的图象__________，再作关 于直线y＝x对称的图象，可得到函数y＝ log3(x＋1)的图象． 答案：向下平移1个单位
B．y 轴
C．x＝1 答案：D
D．x＝12
2．若函数f(x)对任意实数x满足f(x)＝2－f(2 －x)，则函数f(x)的图象( ) A．关于点(1,1)对称 B．关于直线x＝1对称 C．关于点(1,2)对称 D．关于直线x＝2对称 答案：A
3．函数 y＝log1 (2x)的图象可以看作 y＝log1 x
1 到原来的_a__倍；
④翻折，主要有：A.y＝|f(x)|，作出y＝f(x) 的图象，将图象位于x轴_下__方_部分以x轴为对 称轴翻折到上方；
B．y＝f(|x|)，作出y＝f(x)在y轴右边部分图 象，以y轴为对称轴将_右__边_部分图象翻折到 左边得y＝f(|x|)在y轴的左边部分的图象．
思考感悟
1．由y＝f(x)的图象变化得到y＝f(ωx＋ φ)(ω>0且ω≠1)的图象，先左右伸缩后左右平 移与先左右平移后左右伸缩，变化过程相同 吗？
提示：不同．如果先左右伸缩由 y＝f(x)→y＝f(ωx)再―左―右→平移y＝f(ωx＋φ)，
左右平移的单位个数是|ωφ|；如果先左右平移， 由 y|.
(x∈R)，上述四个图象中，哪个合适？
解：由奇函数排除 C 当 x＝π2时，y＝sinπ2－π2×π2＝0 图象在(π2，0)处与 x 轴相交，排除 A. 当 x→＋∞时，y→－∞，排除 D. 只有 B 适合．
考点三 运用函数图象
函数的图象形象地显示了函数的性质，为研 究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是 探求解题途径、获得问题结果、检验解答是 否正确的重要工具，也是运用数形结合思想 解题的前提．可利用图象求待定解析式、研 究性质、解方程或不等式、确定变量范围等 很多类型．
解析：由于要求运煤效率逐步提高，因此反 映到图象上各点处的切线的斜率即导数应逐 渐增大，而只有②符合．
答案：②
例3 已 知 函 数 f(x) ＝ －12x2＋3x＋2 x∈[0，2 . －2x＋10 x∈[2，＋∞ (1)画出 y＝f(x)的图象； (2)若 f(x)>92，求 x 的取值范围．
【思路探究】 根据二次函数的对称性、单 调性及几个特殊点作出函数的图象，然后结 合图象求出不等式的解集．
【解】 (1)函数图象如图．
(2)图象变换法：图象变换有四种形式：
①平移，主要有：A.左右平移：y＝ f(x±a)(a>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向左 或向右平移a个单位；
B．上下平移：y＝f(x)±b(b>0)的图象，可 由y＝f(x)的图象向上或向下平移b个单位得 到；
②对称，主要有：A.y＝f(－x)与y＝f(x)，y ＝－f(x)与y＝f(x)，y＝－f(－x)与y＝f(x)，y ＝f－1(x)与y＝f(x)，每组中两个函数图象分 别关于y轴，x轴，_原__点_，直线y＝x对称；
2．证明函数图象的对称性，即证明其图 象上的任意一点关于对称中心(或对称 轴)的对称点仍在图象上． 如：(1)若 f(a＋x)＝f(b－x)，x∈R 恒成 立，则 y＝f(x)的图象关于 x＝a＋2 b成轴 对称图形．
(2)函数 y＝f(a＋x)与函数 y＝f(b－x)的
图象关于直线 x＝12(b－a)对称．
失误防范 1．函数图象的平移是针对单个变量 x(或 y)来说所平移的单位个数，y＝f(2x＋1) 的图象是由 y＝f(2x)的图象左移12个单位 得到，而不是左移一个单位． 2．作分段函数的图象时，要首先研究各
区间段上的函数的性质(单调性、最值、
对称性、特殊点等)，再作出其图象，作
图时，要注意图象的连续性．如例 3 和
当 x＝π4时，f(π4)＝12－ 22<0，排除 A.
【答案】 D
【思维总结】 本题难点排除 A、B， x→＋∞对 y 的变化起关键作用．
互动探究 1 若函数变为 y＝sinx－π2x，
(2)作直线 y＝92交图象于 A，B 两点． 由 x∈[0,2)且－12x2＋3x＋2＝92，得 x＝1， 由 x∈[2，＋∞)且－2x＋10＝92，得 x＝141. ∴A(1，92)，B(141，92)．
由图象知 f(x)>92的 x 取值范围为(1，141)．
【误区警示】 在作 x∈[0,2)上的图象 时，易出现因为描点太少而导致图象与
真题透析
例 (2010年高考大纲全国卷Ⅰ理)直线y＝1 与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取 值范围是__________．
【解析】 y＝xx22－ ＋xx＋ ＋aa， ，xx≥<00，， 作出 图象，如图所示． 此曲线与 y 轴交于(0，a)点，最小值为 a
－14，要使 y＝1 与其有四个交点，只需
a－14<1<a，∴1<a<54.
【答案】 1<a<54 【名师点评】 此题考查了二次函数分段形
式的函数图象、不等式的解法及数形结合的
运
用．
考
生对本题型很熟悉，极易入手：数形结
合．画图象时，若结合偶函数性质，则更节
省解答时间．题目难易适中．有的考生答错，
其原因是图象画错．
名师预测
1．函数 f(x)＝1＋1|x|的图象是(
§2.8 函数的图象及变换
2.8
双基研习·面对高考
函
数
的
图
考点探究·挑战高考
象
及
变
换
考向瞭望·把脉高考
双基研习·面对高考
基础梳理
函数图象的两种基本作法 (1)描点法：其步骤是：列表(尤其注意特殊 点、零点、最大值与最小值、与坐标轴的交 点)、_描__点_、_连__线_． 一般按如下程序进行：确定函数定义域→化 简函数解析式→讨论函数性质→画图．
考点探究·挑战高考
考点突破
考点一 作函数的图象
图象也是表示函数的一种方法，对于给定 具体解析式的函数，其图象可利用描点或者 变换，对于抽象函数可根据其性质：如定义 域、对称性等来作图或者分析两个变量x与y 之间的变化关系，进行等价变形后作图．参 考本章教材复习题，A组5，B组2.
例1 分别画出下列函数的图象： (1)y＝|lgx|； (2)y＝2x＋2；
当 0<x≤2 时，f(x)>g(x)恒成立
当 x>2 时， 令－2x＋10＝x－2. ∴x＝4， 即 2<x<4 时，－2x＋10>x－2，
∴f(x)>g(x)的 x 的取值范围为(0,4)．
方法感悟
方法技巧
1．对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上 下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图 中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有： (1)定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分 析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用 这一特征来分析解决问题；(2)定量计算法，也就 是通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型 法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数 模型，利用这一函数模型来分析解决问题．如例2 定性、定量相结合使用．
2．“函数y＝f(x)关于x＝a对称”与“函数y＝ f(x)和y＝g(x)关于x＝a对称”，两者相同吗？ 提示：不同．前者是说“函数y＝f(x)自身关 于x＝a对称”，后者是说“两个函数y＝f(x)和 y＝g(x)图象之间关于x＝a对称．
课前热身
1．函数 y＝|x2－x|的对称轴是( )
A．x 轴
【名师点评】 要借助常见函数图象．
考点二 识别函数的图象
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、 上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研 究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、 周期性，注意图象与函数解析式中参数的关 系．
例2 函数 f(x)＝π2x－sin x(x∈R)的部分图象 是( )
【思路分析】 从奇偶性上，从x，y的变化 关系上，从极值单调变化上排除．
在2010年的高考中，如课标全国卷理第4题， 以点的圆周运动来选取三角函数图象，大纲 全国卷Ⅰ的第10、15题，利用图象解题、重 庆理第6题，由图象求解析式，江西理第12 题，抽象函数图象，四川文第2题直接考查 了y＝log2x的图象特征．
预测2012年的高考中不会减弱，既有基本图 象的作法，也有创新型试题．
(3)y＝x2－2|x|－1.
【思路分析】 (1)翻折变化 (2)平移变换 (3)对称变换
【解】 (1)y＝l－gxlgx
x≥1， 0<x<1.
图象如图(1)．
(2)将 y＝2x 的图象向左平移 2 个单位．图象如图(2)．
(3)y＝xx22－ ＋22xx－ －11
x≥0， x<0.
图象如图(3)．
)
解析：选C.据已知函数的解析式可知函数 为偶函数，故其图象关于y轴对称，只有C选 项满足条件．
2．已知f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|(a>0且a≠1)， 若f(4)·g(－4)<0，则y＝f(x)，y＝g(x)在同一 坐标系内的大致图象是( )
解析：选B.据题意由f(4)g(－4)＝a2×loga4<0 得0<a<1，因此指数函数y＝ax(0<a<1)的图 象即可确定，而y＝loga|x|(0<a<1)的图象结 合函数的奇偶性即可作出．
互动探究，实点、虚点要区分开．
考向瞭望·把脉高考
考情分析
高考中总是以几类基本初等函数的图象为基 础来考查函数图象，题型主要是选择题与填 空题．考查的形式主要有：知式选图；知图 选式；图象变换(平移变换、对称变换)；以 及自觉地运用图像解题，属于每年必考内容 之一．近几年，有的考查了由导数图象求原 函数图象的选择题、填空题和由实际问题的 变量关系选择图象题．
B．若对定义域内的一切x均有f(x＋m)＝f(m －x)，则y＝f(x)的图象关于直线_x_＝__m_对称；
C．y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)关于点_____中
心对称；
(a，b)
③伸缩，主要有：A.y＝af(x)(a>0)的图 象，可将 y＝f(x)图象上每点的纵坐标伸 (a>1 时)或缩(a<1 时)到原来的_a_倍；B.y ＝f(ax)(a>0)的图象，可将 y＝f(x)的图象 上每点的横坐标伸(a<1 时)或缩(a>1 时)
实际图象偏差过大的错误，如 f(1)＝92， 而作出的图象却显示 f(1)>5.另外，不注 意特殊点(如与 y 轴的交点)，也是导致 作图出现错误的常见原因．
互动探究2 若g(x)＝|x－2|，求f(x)>g(x)的x 的取值范围．
解：作 g(x)＝|x－2|
＝2x－ －x2
0≤x≤2 的图象． x>2
3．方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为 ________．
解析：如图，在同一坐标系内分别画出y＝2 －x和y＝3－x2的图象． 由图可知两个函数的图象有两个交点． 即2－x＋x2＝3有两个根． 答案：2
4．为缓解南方部分地区电力用煤紧张的局 面，某运输公司提出五种运输方案，据预测， 这五种方案均能在规定时间T完成预期的运 输任务Q0，各种方案的运煤总量Q与时间t的 函数关系如下图所示．在这五种方案中，运 煤效率(单位时间的运煤量)逐步提高的是 __________．(填写所有正确的图象的编号)
的图象(
2
)
2
A．向下平移一个单位得到的
B．向上平移一个单位得到的
C．向左平移一个单位得到的
D．纵坐标不变，横坐标变为原来的 2 倍得到的
答案：A
4．函数y＝1－|x|的图象与y＝a有两个不同 的交点，则a的取值范围为__________． 答案：(－∞，1) 5．将函数y＝3x的图象__________，再作关 于直线y＝x对称的图象，可得到函数y＝ log3(x＋1)的图象． 答案：向下平移1个单位
B．y 轴
C．x＝1 答案：D
D．x＝12
2．若函数f(x)对任意实数x满足f(x)＝2－f(2 －x)，则函数f(x)的图象( ) A．关于点(1,1)对称 B．关于直线x＝1对称 C．关于点(1,2)对称 D．关于直线x＝2对称 答案：A
3．函数 y＝log1 (2x)的图象可以看作 y＝log1 x
1 到原来的_a__倍；
④翻折，主要有：A.y＝|f(x)|，作出y＝f(x) 的图象，将图象位于x轴_下__方_部分以x轴为对 称轴翻折到上方；
B．y＝f(|x|)，作出y＝f(x)在y轴右边部分图 象，以y轴为对称轴将_右__边_部分图象翻折到 左边得y＝f(|x|)在y轴的左边部分的图象．
思考感悟
1．由y＝f(x)的图象变化得到y＝f(ωx＋ φ)(ω>0且ω≠1)的图象，先左右伸缩后左右平 移与先左右平移后左右伸缩，变化过程相同 吗？
提示：不同．如果先左右伸缩由 y＝f(x)→y＝f(ωx)再―左―右→平移y＝f(ωx＋φ)，
左右平移的单位个数是|ωφ|；如果先左右平移， 由 y|.
(x∈R)，上述四个图象中，哪个合适？
解：由奇函数排除 C 当 x＝π2时，y＝sinπ2－π2×π2＝0 图象在(π2，0)处与 x 轴相交，排除 A. 当 x→＋∞时，y→－∞，排除 D. 只有 B 适合．
考点三 运用函数图象
函数的图象形象地显示了函数的性质，为研 究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是 探求解题途径、获得问题结果、检验解答是 否正确的重要工具，也是运用数形结合思想 解题的前提．可利用图象求待定解析式、研 究性质、解方程或不等式、确定变量范围等 很多类型．
解析：由于要求运煤效率逐步提高，因此反 映到图象上各点处的切线的斜率即导数应逐 渐增大，而只有②符合．
答案：②
例3 已 知 函 数 f(x) ＝ －12x2＋3x＋2 x∈[0，2 . －2x＋10 x∈[2，＋∞ (1)画出 y＝f(x)的图象； (2)若 f(x)>92，求 x 的取值范围．
【思路探究】 根据二次函数的对称性、单 调性及几个特殊点作出函数的图象，然后结 合图象求出不等式的解集．
【解】 (1)函数图象如图．
(2)图象变换法：图象变换有四种形式：
①平移，主要有：A.左右平移：y＝ f(x±a)(a>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向左 或向右平移a个单位；
B．上下平移：y＝f(x)±b(b>0)的图象，可 由y＝f(x)的图象向上或向下平移b个单位得 到；
②对称，主要有：A.y＝f(－x)与y＝f(x)，y ＝－f(x)与y＝f(x)，y＝－f(－x)与y＝f(x)，y ＝f－1(x)与y＝f(x)，每组中两个函数图象分 别关于y轴，x轴，_原__点_，直线y＝x对称；
2．证明函数图象的对称性，即证明其图 象上的任意一点关于对称中心(或对称 轴)的对称点仍在图象上． 如：(1)若 f(a＋x)＝f(b－x)，x∈R 恒成 立，则 y＝f(x)的图象关于 x＝a＋2 b成轴 对称图形．
(2)函数 y＝f(a＋x)与函数 y＝f(b－x)的
图象关于直线 x＝12(b－a)对称．
失误防范 1．函数图象的平移是针对单个变量 x(或 y)来说所平移的单位个数，y＝f(2x＋1) 的图象是由 y＝f(2x)的图象左移12个单位 得到，而不是左移一个单位． 2．作分段函数的图象时，要首先研究各
区间段上的函数的性质(单调性、最值、
对称性、特殊点等)，再作出其图象，作
图时，要注意图象的连续性．如例 3 和