人教A版选修2-3二项分布及应用.docx

高中数学学习材料
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二项分布及应用
典题探究
例1．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )
A.3
4
B.
2
3
C.
3
5
D.
1
2
例2．位于直角坐标原点的一个质点p按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动
的方向向左或向右，并且向左移动的概率为1
3
，向右移动的概率为
2
3
，则质点p移动五次后
位于点(1,0)的概率是( )
A.
4
243
B.
8
243
C.
40
243
D.
80
243
例3．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则()
P B A＝( )
A.1
8
B.
1
4
C.
2
5
D.
1
2
例4．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．
(1)求红队至少两名队员获胜的概率；
(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列．
演练方阵
A档（巩固专练）
1.一学生通过一种英语听力测试的概率是
2
1，他连续测试两次，那么其中恰有一次通过的概
率是（ ）
A.4
1
B.3
1
C.2
1
D.4
3
2.已知随机变量X 服从二项分布1
(6,)3
x
B ，则(2)P X =等于（ ）
A.
16
13 B.243
4
C.
243
13
D.
243
80
3.打靶时甲每打10次可中靶8次，乙每打10次，可中靶7次，若两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是（ ）
A.5
3
B.4
3
C.
25
12
D.
25
14 4.一个电路如图所示，A 、B 、C 、D 、E 、F 为6个开关，其闭合的概率都是2
1，
且是相互独立的，则灯亮的概率是（ ） A.
64
1 B.
64
55 C.8
1
D.
16
1 5.已知P （AB ）=
103，P （A ）=5
3
，则P （B|A ）等于（ ） A.
50
9 B.2
1
C.
10
9 D.4
1
6.市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是 （ ）
A.0.665
B.0.56
C.0.24
D.0.285 7.从应届高中生中选出飞行员，已知这批学生体型合格的概率为3
1，视力合格的概率为6
1，
其他几项标准合格的概率为5
1，从中任选一学生，则该学生三项均合格的概率为（假设三项标准互不影响）（ ） A.9
4
B.
90
1 C.5
4
D.9
5
8.如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是 ( )
A.9
4
B.9
2
C.3
2
D.3
1
9.设随机变量1(6,)2
x B -,则(3)P X =等于（ ）
A.
16
5
B.
16
3 C.8
5
D.8
3
10.甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为（ ）
A.0.12
B.0.42
C.0.46
D.0.88
B 档（提升精练）
1．设随机变量(2,)B p ξ-，(4,)q B p -，若5
(1)9
p ξ≥=
，则(2)p q ≥的值为( ) A.32
81
B.1127
C.65
81
D.1681
2．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙、丙去北京旅游的概率分别为14，1
5.假定三人
的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( )
A.59
60
B.35
C.12
D.1
60
3．箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是( )
A.16
625
B.96625
C.624
625
D.
4625
4.若每名学生测试达标的概率都是3
2
（相互独立），测试后k 个人达标，经计算5人中恰有k 人同时达标的概率是
243
80
，则k 的值为（ ） A.3或4
B.4或5
C.3
D.4
5．某人参加一次考试，4道题中答对3道则为及格，已知他的解题正确率为0.4，则他能及格的概率约为
( )
A ．0.18
B ．0.28
C ．0.37
D ．0.48
6．某篮球运动员在三分线投球的命中率是1
2，他投球10次，恰好投进3个球的概率为
________(用数值作答)．
7．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和3
4，两个零件是否加工为
一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为________．
8．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．
①P (B )＝2
5；
②P (B |A 1)＝5
11
；
③事件B 与事件A 1相互独立； ④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件．
9.有一批书共100本，其中文科书40本，理科书60本，按装潢可分精装、平装两种，精装书70本，某人从这100本书中任取一书，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书，这一事件的概率是 .
10.某射手射击1次，击中目标的概率是0.9.他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论： ①他第3次击中目标的概率是0.9； ②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1； ③他至少击中目标1次的概率是1-0.14.
其中正确结论的序号是 （写出所有正确的结论的序号）.
C 档（跨越导练）
1.某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为4
5
，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是
( )
A.12125
B.16125
C.48125
D.96125 2．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( )
A ．[0.4,1)
B ．(0,0.6]
C ．(0,0.4]
D ．[0.6,1)
3.箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( )
3154
45
C C A.C 354B.()99⨯
31C.54⨯ 134
54D.C ()99
⨯⨯ 4.若事件E 与F 相互独立，且P (E )＝P (F )＝1
4
，则P (EF )的值等于( )
A.0
B.1
16
C.14
D.12
5. 两位工人加工同一种零件共100个，甲加工了40个，其中35个是合格品，乙加工了60个，其中有50个合格，令A 事件为“从100个产品中任意取一个，取出的是合格品”，B 事件为“从100个产品中任意取一个，取到甲生产的产品”，则P (A |B )＝__________.
6．甲、乙两名跳高运动员在一次2米跳高中成功的概率分别为0.7、0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响．求：
(1)甲试跳三次，第三次才成功的概率；
(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率．
7. 某职业联赛的总决赛在甲、乙两队之间角逐，采用七场四胜制，即有一队胜四场，则此
队获胜，且比赛结束．在每场比赛中，甲队获胜的概率是23，乙队获胜的概率是1
3
，根据以往
资料统计，每场比赛组织者可获门票收入为30万元，两队决出胜负后，问： (1)组织者在总决赛中获门票收入为120万元的概率是多少？ (2)组织者在总决赛中获门票收入不低于180万元的概率是多少？
8.明天上午李明要参加志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．
9．某种植企业同时培育甲、乙两个品种的杉树幼苗，甲品种杉树幼苗培育成功则每株获利润80元，培育失败，则每株亏损20元；乙品种杉树幼苗培育成功则每株获利润150元，培育失败，则每株亏损50元．统计数据表明：甲品种杉树幼苗培育成功率为90%，乙品种杉树幼苗培育成功率为80%.假设每株幼苗是否培育成功相互独立．
(1)求培育3株甲品种杉树幼苗成功2株的概率；
(2)记X 为培育1株甲品种杉树幼苗与1株乙品种杉树幼苗可获得的总利润，求X 的分布列．
10．一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、2、3、4、5，现从盒子中随机抽取卡片．
(1)从盒中依次抽取两次卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，求两次取到的卡片的数字既不全是奇数，也不全是偶数的概率；
(2)若从盒子中有放回的抽取3次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到卡片的数字为偶数的概率；
(3)从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当抽到记有奇数的卡片即停止抽取，否则继续抽取卡片，求抽取次数X 的分布列和期望．
二项分布及应用参考答案
典题探究
1．答案：A
解析：问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P 1＝1
2；第二类，需比赛2
局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P 2＝12×12＝14.故甲队获得冠军的概率为P 1＋P 2＝3
4
.
2．答案：D
解析：依题意得，质点P 移动五次后位于点(1,0)，则这五次移动中必有某两次向左移动，另三次向右移动，因此所求的概率等于C 25
·(13)2·(23)3＝80
243
.
3．答案：B
解析：P (A )＝C 23＋C 2
2C 2
5＝410，P (AB )＝C 22
C 25＝110
. 由条件概率计算公式，得P (B |A )＝P (AB )P (A )
＝1
10410
＝1
4.
4.．解： (1)设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ，则D －
，E －
，
F －
分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件．
因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5， 由对立事件的概率公式知
P (D －
)＝0.4，P (E －
)＝0.5，P (F －
)＝0.5.
红队至少两人获胜的事件有：DEF －
，DE －
F ，D －
EF ，DEF .
由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立， 因此红队至少两人获胜的概率为
P ＝P (DE F )＋P (DE －
F )＋P (D －
EF )＋P (DEF )
＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55. (2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.
又由(1)知D －E －
F 、D －
EF －
、DE －F －
是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，
因此P (ξ＝0)＝P (D －E －F －
)＝0.4×0.5×0.5＝0.1，
P (ξ＝1)＝P (D －E －
F )＋P (D －
EF －
)＋P (DE －F －
)
＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35， P (ξ＝3)＝P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＝0.15. 由对立事件的概率公式得
P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝0.4. 所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2
3 P
0.1
0.35
0.4
0.15
演练方阵
A 档（巩固专练）
1.答案:C
解析：恰有一次通过的概率为1
2
211(=2
2
C ） 2.答案; D
解析：分析可知2
2
4
61580()()3
3
243
C = 3答案; D
解析：甲击中目标的概率为810乙击中概率为710，同时发生相乘为1425
4.答案; B
解析：4条支路从上到下依次是1、2、3、4 。

1、4断路的概率是：3
4。

2、3断路的概率是：
12 因此灯不亮的概率是：964因此灯亮的概率是：5564
5.答案;B
解析：分析可知(AB 1
()(A)2
P P B A P =
=）
6.答案;B
解析：0.70.950.665P =∙= 7.答案;B
解析：三件事互相独立所以1111
36590
p =∙∙=
8.答案;A
解析： 落在每个圆盘奇数部分的概率为23，两个相乘得49
9.答案;A
解析：由题意知3
6
61
5()2
16
p C ==
10.答案;D
解析：两人都不被录取的概率为0.30.40.12∙=,则两人至少一个被录取的概率为1-0.12=0.88
B 档（提升精练）
1.答案; B
解析：因为随机变量ξ～B (2，p )，η～B (4，p )，又P (ξ≥1)＝1－P (ξ＝0)＝1－(1－p )2＝5
9，
解得p ＝13，所以η～B (4，13)，则P (η≥2)＝1－P (η＝0)－P (η＝1)＝1－(1－13)4－C 14(1－13)3(1
3)＝1127. 2． 答案：B
解析：因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为13，14，1
5.因此，他们不去北京旅游的概率
分别为23，34，45，所以，至少有1人去北京旅游的概率为P ＝1－23×34×45＝35.
3.答案：B
解析：依题意得某人能够获奖的概率为1＋5C 26＝2
5(注：当摸的两个球中有标号为4的球时，
此时两球的号码之积是4的倍数，有5种情况；当摸的两个球中有标号均不是4的球时，此时要使两球的号码之积是4的倍数，只有1种情况)，因此所求概率等于C 34·(25)3
·(1－25)＝96625.
4.答案;A
解析：由题意知552180
()(),3,43
3
243
k
k
k
C k -=
= 5.答案;A
解析：答对三道时为 334(0.4)0.60.1563C = 答对四道是为4
0.40.0256=所以为A
6.答案;
15128
解析：3
3
7
101
115P=C 1)2
2
128
-=（）（. 7.答案;
512
解析：设事件A ：甲实习生加工的零件为一等品;事件B ：乙实习生加工的零件为一等品，则P (A )＝23，P (B )＝3
4，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为：P (A B )＋P (A B )＝
P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝23×(1－34)＋(1－23)×34＝5
12
.
8.答案; ②④
解析：由题意知P (B )的值是由A 1，A 2，A 3中某一个事件发生所决定的，故①③错误； ∵P (B |A 1)＝P A 1B
P A 1＝12×
51112
＝511
，故②正确；
由互斥事件的定义知④正确，故正确结论的编号是②④. 9.答案;
725
解析：设“任取一书是文科书”的事件为A ，“任取一书是精装书”的事件为B ，则A 、
B 是相互独立的事件，所求概率为P (AB )．据题意可知P (A )＝40100＝25，P (B )＝70100＝7
10， ∴P (AB )＝P (A )P (B )＝25×710＝725.
10.答案; ①③
解析：每次击中目标的概率均为0.9，①正确；恰好击中目标三次的概率为33
4C 0.90.1⨯⨯，
②错误；4次都没有击中目标的概率是40.1，所以至少击中目标一次的概率是4
10.1-，③正确.
C 档（跨越导练）
1.答案; C
解析：由题意，3粒种子恰有2粒发芽，相当于3次独立试验有2次发生，
所以P (X ＝2)＝C 32·(45)2·(1－45)＝48
125
.
2.答案; A
解析：C 41p (1－p )3≤C 42p 2(1－p )2，4(1－p )≤6p ，p ≥0.4，又0＜p ＜1，∴0.4≤p ＜1. 3.答案; B
解析：由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为(59)3×4
9.
4.答案; B
解析：EF 表示E 与F 同时发生，
∴P (EF )＝P (E )·P (F )＝1
16.故选B . 5.答案; 78
解析：由题意知P (B )＝40100，P (A ∩B )＝35100，故P (A |B )＝P (A ∩B )P (B )＝3540＝7
8
.
6.答案;
解析：记“甲第i 次试跳成功”为事件A i ，“乙第i 次试跳成功”为事件B i ，依题意得
P (A i )＝0.7，P (B i )＝0.6，且A i 、B i (i ＝1,2,3)相互独立． (1)“甲第三次试跳才成功”为事件A 1
A 2A 3，且三次试跳相互独立，
∴P (A
1
A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝0.3×0.3×0.7＝0.063.
∴甲第三次试跳才成功的概率为0.063.
(2)记“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C . 法一：∵C ＝A 1B 1∪A 1B 1∪A 1B 1， 且A 1B 1、A 1B 1、A 1B 1彼此互斥， ∴P (C )＝P (A 1B 1)＋P (A 1B 1)＋P (A 1B 1) ＝P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1) ＝0.7×0.4＋0.3×0.6＋0.7×0.6＝0.88. 法二：P (C )＝1－P (A 1)P (B 1)
＝1－0.3×0.4＝0.88.
∴甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88. 7.答案;
解析：(1)门票收入为120万元的概率为：
P 1＝(23)4＋(13)4＝1781
.
(2)门票收入为180万元的概率为：
333
333366
212121160P =C +C =333333729
⨯⨯（）（）（）（） 门票收入是210万元的概率是：
333
333366
212121160P =C +C =333333729
⨯⨯（）（）（）（） 门票收入不低于180万元的概率是： P ＝P 2＋P 3＝40
81
.
8.答案; 0.98
解析：记事件A 为“甲闹钟准时响”，事件B 为“乙闹钟准时响”．
P ＝1－P (AB )＝1－(1－0.8)×(1－0.9)＝0.98.
9.答案;
解析：(1)P ＝C 2
3×0.92×(1－0.9)＝0.243.
(2)ξ的可能取值为230,130,30,－70. ξ的分布列为
ξ 230 30 130 －70 P
0.9×0.8
0.9×0.2
0.1×0.8
0.1×0.2
即：
ξ 230 30 130 －70
P
0.72
0.18
0.08
0.02
10.答案;
解析：(1)因为1,3,5是奇数，2,4是偶数，
设事件A 为“两次取到的卡片的数字既不全是奇数，也不全是偶数”
P(A )＝C 13·C 12C 25＝3
5或P (A )＝1－C 23＋C 2
2C 25
＝35.
(2)设B 表示事件“有放回地抽取3次卡片，每次抽取一张，恰有两次取到的卡片上数字为偶数”，
由已知，每次取到的卡片上数字为偶数的概率为2
5，
则P (B )＝C 23·(25)2
·(1－25)＝36125.
(3)依题意，X 的可能取值为1,2,3. P(X ＝1)＝3
5
，
P(X ＝2)＝2×35×4＝310
， P(X ＝3)＝2×1×35×4×3＝110
， 所以X 的分布列为 X
1 2 3 P
35 310 110
E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.。