定积分基础知识

专题三：定积分
1、定积分的概念
（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零;
（2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限。

2、微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式)
如果()()F x f x '=，且()f x 在],[b a 上可积,则
()()()()b b a a f x dx F x F b F a ==-⎰
， 【其中()F x 叫做()f x 的一个原函数，因为()()()()F x C F x f x ''+==】
3、常用定积分公式 ⑴0dx c ⎰=（c 为常数）
⑵1dx x c ⎰=
+ ⑶1
(1)1
x x dx c αααα+⎰=+≠-+ ⑷1ln dx x c x
⎰=+ ⑸x x e dx e c ⎰=+
⑹(0,1)ln x x a a dx c a a a
⎰=+>≠ ⑺sin cos xdx x c ⎰=-+
⑻cos sin xdx x c ⎰=+ ⑼1sin cos (0)axdx ax c a a
⎰=-+≠ ⑽1cos sin (0)axdx ax c a a
⎰=+≠ 4、定积分的性质
⑴⎰⎰=b a b a dx x f k dx x kf )()(（k 为常数）； ⑵⎰⎰⎰±=±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()()(； ⑶()()()b c b
a a c f x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰(其中)a c
b <<;
⑷利用函数的奇偶性求定积分：若()f x 是[,]a a -上的奇函数，则0dx )x (f a a =⎰-;若()f x 是[,]a a -上的偶函数，则⎰⎰=-a
0a a dx )x (f 2dx )x (f . 5、定积分的几何意义
定积分()b
a f x dx ⎰表示在区间[,]a
b 上的曲线()y f x =与直线x a =、x b =以及x 轴所围成的平面图形（曲边梯形）的面积的代数和，即()b
a x x f x dx S S =⎰轴上方轴下方－。

（在x 轴上方的面积取正号,在x 轴下方的面积取负号）
6、求曲边梯形面积的方法与步骤
⑴画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；
⑵借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ⑶写出定积分表达式；
⑷求出曲边梯形的面积和,即各积分的绝对值的和。