高等物理光学空间频率和角谱

2 2 2 A k (1 cos cos )A 0 2 z
2
角谱的传播
• 解微分方程，得到方程的一个基本解是
cos cos cos cos A( , , z) A( , ) exp jkz 1 cos 2 cos 2
角谱的传播
U (x, y, z ) U (x, y, 0) exp jkz 1 cos 2 cos 2



U ( x, y, z)

A( f
x
, f y , z) exp[ j 2 ( f x x f y y )]d f x d f y
角谱的传播
关系？
cos cos A0 ( , )
x y x
y
y )]d f x d f y
= A0 ( f x , f y ) exp jkz 1 cos 2 cos 2




exp[ j 2 ( f x x f y y )]d f x d f y
局域空间频率
一个函数的傅里叶成分的每个部分都是由特定空间频 率的复指数构成的，而每个频率成分可以分布在整个 （x，y）空间域中。 空间频率和空间坐标没有必然联系。
高等物理光学
2016年10月
目录
1
空间频率 二维傅里叶变换 平面波的角谱
2
3
空间频率
波的时间周期性 波的空间周期性
周期：
频率：
T
空间周期：
空间频率：

1 f
1 T
角频率：
2 w 2 T
时空联系：
空间角频率：
2 k 2f
w v= T f k

局域空间频率
一般的复指数函数 g ( x, y ) a ( x, y ) exp[ j ( x, y )]
定义g(x,y)的空间频率 ( flx , fly ) 为
1 1 flx ( x, y ), fly ( x, y ) 2 x 2 y
在g(x,y)=0的区域 f lx 0, f ly 0


•
由边界条件确定。在z=0处角谱 是 A ( cos , cos ) ，因此

0
A(
cos cos , )


cos cos cos cos A( , ) A0 ( , )




角谱的传播
cos cos cos cos A( , , z ) A0 ( , ) exp jkz 1 cos 2 cos 2


cos cos A( , , z)


Z=0平 面的角 谱
Z=z平面 的角谱
角谱的传播
• 复振幅U满足亥姆霍兹方程
2 2 k U 0

U ( x, y, z)
cos cos • A( , ，z) 所满足的波动方程为

A( f , f
x
y
, z) exp[ j 2 ( f x x f y y)]d f x d f y
f x 在X轴上单位周期内的所具有的震荡次数
平面波的空间频率
cos cos fy fx cos2 cos2 cos2 1
cos 1 cos cos
2 2
cos fz
U (x, y, z ) A exp[ j 2 (x f x yf y )]exp jkz 1 cos 2 cos 2
角谱
对一随时间变化的信号作傅里叶变换，可 求得该信号的频谱分布。同样，若对任一平面 上的光场分布作空间坐标的二维博里叶变换， 则可求得该光信号的“空间频谱”分布。由于 各个不同空间频率的空间傅里叶分量．可看作 是沿不同方向传播的平面波，因此可称“空间 频谱”为平面波的角谱。
角谱
U（x,y,0）可理解为不同空间频率的一系列基 元函数exp[j2π(xfx+ yfy)] 之和，其叠加权重为A （fx, fy ）。基元函数就是空间频率为（fx, fy ） 或者说方向余弦为cosα,cosβ的平面波。权重因 子A（fx, fy ）为该方向的即该空间频率的平面波 的复振幅。因此，单色光波在某一平面上的光 场分别可以看做是不同传播方向的平面波的叠 加，在叠加时各平面波有自己的振幅和相位， 它们的值分别为角谱的模和幅角。
U (x, y, z ) U (x, y, 0) exp jkz 1 cos 2 cos 2




平面波的二维傅里叶变换
设有一单色光波沿着z方向投射XY平面上，在z＝0处的光 场为(x,y,0)，则函数U在XY平面上的二维傅里叶变换是：

A0 ( f x , f y )


T

w k


平面波的空间频率
波矢量k表示光波的传播方向，其大小为： k
2
cos 、cos 、 cos 方向余弦为：
U x, y, z A exp jk r A exp jk x cos y cos z cos A exp[ j 2 ( f x x f y y f z z )]
经过距离z的传播只是改变了各个角谱分量 的相对相位，这是由于每个平面波分量在不同 的方向上传播，它们到达给定的点所经过的距 离不同引起的。引入相位延迟因子：


exp jkz 1 cos 2 cos 2


角谱的传播

U ( x, y, z)


A( f , f , z) exp[ j 2 ( f x f
局域空间频率
举例
x g ( x, y ) exp[ j 2 ( f x x f y y )]rect Lx
1 flx 2 1 fly 2
y rect L y

[2 ( f x x f y y )] f x x [2 ( f x x f y y )] f y y
U ( x, y, 0) exp[ j 2 ( xf
x
yf y )]d x d y
同时存在逆变换：

U ( x, y, 0)


cos cos cos cos cos cos , ) exp[ j 2 ( x y )]d d A0 (






cos cos cos 空间频率： f x 、 fy 、 fz
平面波的空间频率
在θ方向观察时，波的空间周期是 r，相应的空间 频率为 1 cos fr =
r

显然，当 ＝ / 2 时，沿 x 方向的 空间频率为零。

0
k z

平面波的空间频率
1 f x coa
然而，特定的空间频率或频段可以局限在（x，y）空 间的某些确定区域内。
局域空间频率
具有单一空间频率 ( f x , f y )的基元复指数函数
g ( x, y ) a exp[ j 2 ( f x x f y y )]
其空间频率可以这样求得
1 1 fx [2 ( f x x f y y )], f y [2 ( f x x f y y )] 2 x 2 y
局域空间频率具有单一空间频率的基元复指数函数其空间频率可以这样求得xyffexp2xygxyajfxfy???其空间频率可以这样求得112222xxyyxyffxfyffxfyxy????????????局域空间频率一般的复指数函数expgxyaxyjxy??定义的空间频率为ff1122lxlyfxyfxyxy??????????定义gxy的空间频率为lxlyff在gxy0的区域00lxlyff??局域空间频率举例xexp2rectrectxyyxygxyjfxfyll?????????????????xy????122lxxyxffxfyfx???????122lyxyyffxfyfy???????