统计学小故事
高中数学概率统计小故事
1.分赌本问题A ，B 二人赌博，各出注金a 元，每局每个人获胜的概率都是12，约定：谁先胜S 局，即赢得全部注金a 2元，现进行到A 胜1S 局、B 胜2S 局(1S 与2S 都小于S )时赌博因故停止，问此时注金a 2应如何分配给A 和B 才算公平？此问题文字最早见于1494年帕西奥利的一本著作，是对6=S ，51=S 和22=S 的情况的分析.由于对“公平分配”一词的意义没有一个公认的正确理解，在早期文献中出现过关于此问题的种种不同的解法，如今看来都不正确.例如，帕西奥利本人提出按2:S S 1的比例分配.塔泰格利亚则在1556年怀疑能找到一种数学解法的可能性，他认为这是一个应由法官来解决的问题，但他也提出了如下的解法：若2S S 1>，则A 取回自己下的注a ,并取走B 下的注的S S S 1/)(2-，这等于按)(:)(22S S S S S S 11+--+的比例瓜分注金.法雷斯泰尼在1603年根据某种理由，提出按)12(:)12(22S S S S S S 11+---+-的比例分配.卡丹诺在其1539年的著作中，通过较深的推理提出了一种解法：记1S S r -=1，22S S r -=.把注金按)1(22+r r ︰)1(11+r r 之比分给A 和B.他这个解法如今看来虽然仍不正确，但有一个重要之处，即他注意到起作用的是1S ,2S 与S 的差距，而不在其本身.这个问题的症结在于：它关乎每个人在当时状况下的期望值.从以上这些五花八门的解法中，似乎可以认为，这些作者已多少意识到这一点，但未能明确期望与概率的关系.而与此处有关的是：假定赌博继续进行下去，各人最终取胜的概率.循着这个想法问题很易解决：至多再赌121-+=r r r 局，即能分出胜负.假如A 获胜，他在这r 局中至少须胜1r 局.因此按二项分布，A 取胜的概率为r rr i A i r p -=∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21，而B 取胜的概率为1B A p p =-.注金按B A p p :之比分配给A 和B ，因A ap 2和B ap 2是A ，B 在当时状态下的期望值.这个解是巴斯噶（B.Pascal, 1623～1662）在1654年提出的.他用了两种方法，其一是递推公式法，其二是用“巴斯噶三角”（即杨辉三角）.1710年，蒙特姆特在一封信中给出了我们在前面写出的解法，且不必规定二人的获胜概率相同.后来他又把此问题推广到多个赌徒的情形.分赌本问题在概率史上起的作用，在于通过对这个在当时来说较复杂的问题的探索，对数学期望及其与概率的关系有了启示.有的解法，特别是巴斯噶的解法，使用或隐含了若干直到现在还广为使用的计算概率的工具.如组合法、递推公式、条件概率和全概率公式等.可以说，通过对这个问题的研究，概率计算从初期简单计数步入较为精细的阶段.2. 巴斯噶与费尔马的通信巴斯噶与费尔马(P. de Fermat ，1601-1665)的名字，对学习过中学以上数学的人来说，想必不陌生.巴斯噶三角，在我国称杨辉三角，中学教科书中已有提及.至于费尔马，因其“费尔马大定理”(不存在整数,,,≠xyx z y x xyz≠0和整数3≥n ，使n n n z y x =+) 于近年得到证明，名声更远播数学圈子内外.费尔马在数学上的名声主要因其数论方面的成就，其在概率史上占到一席地位，多少有些偶然，由于他与巴斯噶在1654年7～10月间来往的7封信件，其中巴致费的有3封.这几封信全是讨论具体的赌博问题.与前人一样，他们用计算等可能的有利与不利情况数，作为计算“机遇数”即概率的方法(他们没有使用概率这个名称).与前人相比，他们在方法的精细和复杂性方面大大前进了.他们广泛使用组合工具和递推公式，初等概率一些基本规律也都用上了.他们引进了赌博的值(value)的概念，值等于赌注乘以获胜概率.3年后，惠更斯改“值”为“期望” (expectation)，这就是概率论的最重要的概念之一——(数学)期望的形成和命名过程.前文已指出：此概念在更早的作者中已酝酿了一段时间.这些通信中讨论的一个重要问题之一是分赌本问题，还讨论了更复杂的输光问题：甲、乙二人各有赌本a 和b 元(a ，b 为正整数)，每局输赢1元，要计算各人输光的概率.这个问题拿现在的标准看也有相当的难度.由此也可看出这组通信达到的水平及其在概率论发展史上的重要性.有的学者，如丹麦概率学者哈尔德，认为巴、费2人在1654年的这些信件奠定了概率论的基础.这话相当有道理，但也应指出，这些通信的内容是讨论具体问题，没有明确陈述并提炼出概率运算的原则性内容.例如，他们想当然地使用了概率加法和乘法定理.但未将其作为一般原则凸现出来.促使巴、费2人进行这段通信的，是一个名叫德梅尔的人，他曾向巴斯噶请教几个有关赌博的问题.1564年7月29日巴斯噶首先给费尔马写信，转达了这些问题之一，请费尔马解决.所提问题并不难，但不知为何巴斯噶未亲自回答：将两颗骰子掷24次，至少掷出一个“双6”的机遇小于2/1（其值为.0)36/35(124≈-≈0.491 4）.但从另一方面看，掷两颗骰子只有36种等可能结果，而24占了36的3/2，这似乎有矛盾，如何解释.现今学过初等概率论的读者都必能毫无困难地回答这个问题.巴、费通信中涉及的有关分赌本问题的解法，包含了一些在当时看很先进且直到现在仍广为使用的想法和技巧.3. 惠更斯的《机遇的规律》惠更斯是一个有多方面成就的、在当时声名与牛顿相若的大科学家.人们熟知他的贡献之一是单摆周期公式g l T /2π=.他在概率论的早期发展史上也占有重要地位，其主要著作《机遇的规律》出版于1657年，出版后得到学术界的高度重视，在欧洲作为概率论的标准教本长达50年之久.该著作的写作方式不大像一本书，而更像一篇论文.他从关于公平赌博(fair game)的值的一条公理出发，推出关于“期望”（这是他首先引进的术语）的3条定理.基于这些定理并利用递推法等工具，惠更斯解决了当时感兴趣的一些机遇博弈问题.最后，他提出了5个问题，对其中的3个给出了答案但未加证明.3条定理加11个问题，被称为惠更斯的14个命题.前3条如下述：命题1若某人在赌博中以等概率12得a ，b 元，则其期望为2/)(b a +元.命题2若某人在赌博中以等概率13得a ，b 和c 元，则其期望为3/)(c b a ++元.命题3若某人在赌博中以概率p ,)1(=+q p q 得a ，b 元，则其期望为qb pa +元.看了这些命题，现代的读者或许会感到惶惑：为何一个应取为定义的东西，要当作需要证明的定理? 答案在于，这反映了当时对纯科学的一种公认的处理方法，即应从尽可能少的“第一原理”（first principle ，即公理）出发，把其他内容推演出来.惠更斯只从一条公理出发而导出上述命题，其推理颇为别致，此处不细述.这几个命题是期望概念的一般化.此前涉及或隐含这一概念只是相当于命题3中0=b 的特例，即注金乘取胜概率，因而本质上没有超出概率这个概念的范围.惠更斯的命题将其一般化，是这个重要概念定型的决定性的一步.实际上，据惠更斯的命题不难证明：若某人在赌博中分别以概率得k a a ,,1 元，则其期望为11k k p a p a ++.这与现代概率论教科书中关于离散随机变量的期望的定义完全一致.余下的11个命题及最后的5个问题，都是在形形色色的赌博取胜约定下，去计算各方取胜的概率，其中命题4～9是关于2人和多人的分赌本问题.对这些及其他问题，惠更斯都用了现行概率论教科书中初等概率计算方法，通过列出一定的方程求解，大体上与巴斯噶的做法相似.这种方法后来被伯努利称为“惠更斯的分析方法”.最后5个问题较难一些，其解法的技巧性也较强.现举其一为例：A ，B 二人约定按ABBAABBAABB …掷两颗骰子，即A 先掷一次，然后从B 开始轮流各掷两次.若A 掷出和为6点，则A 胜；若B 掷出和为7点，则B 胜.求A ，B 获胜的概率.A 在一次投掷时掷出和为6的概率36/5=A p ，而B 在一次投掷时掷出和为7的概率6/136/6==B p .记B B A A p q p q -=-=1,1，又记i e 为在第1i -次投掷完时A ，B 都未取胜，求在这一条件下A 最终取胜的概率.利用全概率公式，并注意到约定的投掷次序，可以列出方程组：14433221,,,e q p e e q e e q e e q p e A A B B A A +===+=.由此容易得出略小于1/2.故此赌法对A 不利.机遇博弈在概率概念的产生及其运算规则的建立中，起了主导的作用.这一点不应当使人感到奇怪：虽说机遇无时不在，但要精确到数量上去考虑，在几百年前那种科学水平之下，只有在像掷骰子这类很简单的情况下才有可能.但这门学科建立后，既脱离赌博的范围又找到了多方面的应用.这也是一个有趣的例子，表明一种看似无益的活动(如赌博），可以产生对人类文明极有价值的副产物.把概率论由局限于对赌博机遇的讨论拓展出去的转折点和标志，应是1713年伯努利划时代著作《推测术》的出版，是在惠更斯的《机遇的规律》出版后56年.惠更斯这一著作，内容基本上限于掷骰子等赌博中出现各种情况的概率的计算，而伯努利这本著作不仅对以前的成果作了总结和发挥，更提出了“大数定律”这个无论从理论和应用角度看都有着根本重要性的命题，可以说其影响一直到今日而不衰.其对数理统计学的发展也有不可估量的影响，许多统计方法和理论都是建立在大数定律的基础上.有的概率史家认为，这本著作的出版，标志着概率概念漫长的形成过程的终结与数学概率论的开端.假定有一个事件A ，根据某种理论，我们算出其概率为p A P =)(.这理论是否正确呢？一个检验的方法就是通过实际观察，看其结果与此理论的推论——p A P =)(是否符合.或者，一开始我们根本就不知道)(A P 等于多少，而希望通过实际观察去估计其值.这些包含了数理统计学中两类重要问题——检验与估计.这个检验与估计概率p 的问题，是数理统计学中最常见、最基本的两个问题.要构造具体例子，最方便的做法是使用古典概率模型.拿一个缸子，里面装有大小、质地一样的球b a +个，其中白球a 个，黑球b 个.这时，随机从缸中抽出一球(意指各球有同等可能被抽出），则“抽出之球为白球”这事件A 有概率)/(b a a p +=.如果不知道a ，b 的比值，则p 也不知道.但我们可以反复从此缸内抽球(每次抽出记下其颜色后再放回缸中）.设抽了N 次，发现白球出现N X 次，则用N X N /去估计p .这个估计含有一定程度不确定的误差，但我们直观上会觉得，抽取次数N 愈大，误差一般会愈小.这一点如伯努利所说：“哪怕最愚笨的人，也会经由他的本能，不需他人的教诲而理解的”.但对这个命题却无人能给出一个严格的理论证明.伯努利决心着手解决这个问题，其结果导致了以他的名字命名的大数定律的发现.这个发现对概率论和数理统计学有极重大的意义.伯努利把这一研究成果写在他的著作《推测术》的第四部分中，是该著作的精华部分.由于该书在概率统计史上的重要意义，在此对伯努利其人及此书的整个面貌先做一点介绍.4. 伯努利的《推测术》伯努利1654年出生于瑞士巴塞尔.在其家族成员中，对数学各方面做出过不同程度贡献的至少有12人，在概率论方面有5人，其中杰出的除他本人外，还有其弟弟约翰与侄儿尼科拉斯.伯努利的父亲为其规划的人生道路是神职人员.但他的爱好却是数学.他对数学的贡献除概率论外，还包括微积分、微分方程和变分法等.后者包括著名的悬链线问题.他和牛顿、莱布尼兹是同时代人，并与后者有密切的通信联系，因而非常了解当时新兴的微积分学的进展，学者们认为他在这方面的贡献，是牛、莱之下的第一人.此外，他对物理学和力学也做出过贡献.他与惠更斯长期保持通信联系，仔细阅读过惠更斯的《机遇的规律》，由此引发了他对概率论的兴趣.从他与莱布尼兹的通信中，可知他写《推测术》这一著作是在他生命的最后两年.在1705年他去世时，此书尚未整理定稿.由于家族内部的问题，整理和出版遗稿的工作，迟迟未能实现.先是其遗孀因对其弟约翰的不信任，不愿把整理和出版的事委托给他，后来又拒绝了欧洲一位富有学者捐资出版的建议.最后在莱布尼兹的敦促下，才决定由其侄儿尼科拉斯来负责这件事情.尼科拉斯也是当时重要的数学家，与欧拉和莱布尼兹保持通信联系.当时尚无科学期刊，学者的通信是学术交流的一种重要方式.《推测术》一书共239页，分四个部分.第一部分(P 2～71)对《机遇的规律》一书作了详细的注解，总量比惠更斯的原书长4倍.第二部分(P 72～137)是关于排列组合的系统的论述.第三部分(P 138～209)利用前面的知识，讨论了一些使用骰子等的赌博问题.第四部分(P 210～239)是关于概率论在社会、道德和经济等领域中的应用，其中包括了该书的精华、奠定了概率史上不朽地位的，以其名字命名的“伯努利大数定律”——大数定律的名称不是出自该书，首见于泊松1837年的一篇著作中.该书若缺了这一部分，则很可能会像某些早期概率论著作那样湮没无闻，或至多作为一本一般著作被人评价.该书最后有一长为35页的附录，用与友人通信的形式讨论网球比赛中计分问题.5. 伯努利大数定律现在我们来介绍伯努利《推测术》中最重要的部分——包含了如今被称之为“伯努利大数定律”的第四部分.回到前面的缸中抽球模型：缸中有大小、质地一样的球b a +个，其中白球a 个，黑球b 个，“抽出之球为白球”的概率为p ，则有)/(b a a p +=.假设有放回地从缸中抽球N 次，记N X 为抽到白球的次数，以N X N /估计p .这种估计法现今仍是数理统计学中最基本的方法之一.此处的条件是，每次抽取时都要保证缸中b a +个球的每一个有同等机会被抽出，但这一点在实践中并不见得容易保证.例如，产生中奖号码时可能要用复杂的装置.在实际工作中，统计学家有时用一种叫做“随机数表”的工具.这是一本很厚的书，各页按行、列排列着数字9,,2,1,0 ，它们是用据说是“充分随机”的方法产生的.在使用时，“随机地”翻到一页并随机地点到一个位置，以此处的数字确定抽出的对象.伯努利企图证明的是：用N X N /估计p 可以达到事实上的确定性——他称为道德确定性.其确切含义是：任意给定两个数0>ε和0>η，总可以取足够大的抽样次数N ，使事件{}ε>-|)/(|p N X N 的概率不超过η.这意思就很显然：ε>-|)/(|p N X N 表明估计误差未达到指定的接近程度ε，但这种情况发生的可能性可以“随心所欲地小”(代价是加大N ).为忠实于伯努利的表达形式，应指出两点：一是伯努利把ε限定于1)(-+b a ，虽然其证明对一般ε也有效.但他做这一模型限定与所用缸子模型的特殊性有关：必要时把缸中的白、黑球分别改为ra 和rb 个，则p 不变，1)(-+b a 改为1)(-+rb ra ，只须取r 足够大，便可使1)(-+rb ra 任意小.二是伯努利欲证明的是：对任给的0>c ，只要抽取次数足够大，就可使⎭⎬⎫⎩⎨⎧>->⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-εεp N X cP p N X P N N . （5）这与前面所说是一回事.因为由上式得.11c p N X P N +<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-ε （6）取c 充分大，可使(6)式右边小于η.另外要指出的是：伯努利使用的这个缸子模型使被估计的p 值只能取有理数，因而有损于结果的普遍性.但其证明对任意的p 成立，故这一细节并不重要.伯努利上述对事实上确定性数学的理解，即(5)式，有一个很值得赞赏的地方，即他在概率论的发展刚刚起步的阶段，就给出了问题的一个适当的提法.因为，既然我们欲证明的是当N 充分大时，N X N /和p 可以任意接近，则一个看来更直截了当的提法是,lim p N X N N =∞→ （7）而这不可能实现.因为原则上不能排除“每次抽到白球”的可能性，这时N X N /总为1，不能收敛到1<p .或者退一步：要求(7)式成立的概率为1，这一结论是对的，但直到1909年才由波莱尔给予证明，证明的难度比伯努利的提法大得多.设想一下，如果当时伯努利就采用该提法，他也许在有生之年不能完成这一工作.由于波莱尔的结论比伯努利的结论强，现今人们又把他们的结论分别称之为强大数定律和弱大数定律.6. 泊松公式、泊松分布与泊松大数定律泊松（Possion ）的名字对学概率论与数理统计的人来说，可谓耳熟能详.原因主要在于泊松近似公式，以及更重要的是源于该近似公式的泊松分布，泊松分布的重要性和知名度在离散型分布中仅次于二项分布.泊松的另一个重要工作是把伯努利大数定律推广到每次试验中事件发生的概率可以不同的情况，现称泊松大数定律.继狄莫佛给出二项概率近似计算公式(10)之后，丹尼尔和拉普拉斯也给出了二项概率近似计算公式，但这些公式在现今的教科书上已很少提及，只有泊松近似公式则不然，其形式为,!),,(lim k e k p N b k N λλ-∞→= （11）其中Np N ∞→=lim λ，N k ,,2,1,0 =.公式(11)在教科书上通称为泊松逼近公式、泊松近似公式或泊松公式.它是泊松在1838年于《概率在法律审判的应用》一书中所引进，此公式适用于p 很小，N 很大而Np 又不很大时，这正好填补了狄莫佛公式(10)的不足，因后者只适用于p 不太接近于0和1的时候.不过，从历史上看，狄莫佛早在1712年已做出了这个结果.7. 贝叶斯及其传世之作托马斯•贝叶斯(Thomas Bayes,1701－1761)在18世纪上半叶的欧洲学术界，恐怕不能不算是一个很知名的人物.在他生前，没有发表过任何的科学论著.那时，学者之间的私人通信，是传播和交流科学成果的一种重要方式.许多这类信件得以保存下来并发表传世，而成为科学史上的重要文献，例如，前面提到的费尔马和巴斯噶的通信、伯努利与莱布尼兹的通信等.但对贝叶斯来说，这方面材料也不多.在他生前，除在1755年有一封致约翰•康顿的信(其中讨论了辛普森有关误差理论的工作)外，历史上没有记载他与当时的学术界有何重要的交往.但他曾在1742年当选为英国皇家学会会员(相当于科学院院士），因而可以想到，他必定曾以某种方式表现出其学术造诣而被当时的学术界所承认.如今，我们对这个生性孤僻、哲学气味重于数学气味的学术怪杰的了解，是因他的一篇题为“An essay towards solving a problem in the doctrine of chance(机遇理论中一个问题的解)”的遗作.此文发表后很长一个时期在学术界没有引起什么反响，但到20世纪以来突然受到人们的重视，成为贝叶斯学派的奠基石.1958年，国际权威性的统计杂志《Biometrika》（生物计量）重新刊载了这篇文章.此文也有中译本(见廖文等译《贝叶斯统计学——原理、模型及应用》的附录4，中国统计出版社1992年版）.此文是他的两篇遗作之一，首次发表于1764年伦敦皇家学会的刊物《Philosophical Transactions》上.此文在贝叶斯生前已写就，为何当时未交付发表，后来的学者有些猜测，但均不足定论.据文献记载，在他逝世之前4个月，他在一封遗书中将此文及100英镑托付给一个叫普莱斯的学者，而贝叶斯当时对此人在何处也不了然.所幸的是，后来普莱斯在贝叶斯的文件中发现了这篇文章，他于1763年12月23日在皇家学会上宣读了此文，并在次年得以发表.发表时普莱斯为此文写了一个有实质内容的前言和附录.据普莱斯说，贝叶斯自己也准备了一个前言.这使人们无法确切区分：哪些思想属于贝叶斯本人，哪些又是普莱斯所附加的.贝叶斯写作此文的动机，说法也不一.一种表面上看来显然的说法是为了解决伯努利和狄莫佛未能解决的、二项分布概率p的“逆概率”问题，因为当时距这两位学者的工作发表后尚不久，有人认为他是受了辛普森误差工作的触动，想为这种问题的处理提供一种新的思想.还有人主张，贝叶斯写作此文，是为了给“第一推动力”的存在提供一个数学证明.这些说法现在都无从考证.上面提到“逆概率”这个名词.在较早的统计学著作中这个名词用得较多，现在已逐渐淡出.顾名思义，它是指“求概率这个问题的逆问题”：已知事件的概率为p，可由之计算某种观察结果出现的概率如何.反过来，给定了观察结果，问由之可以对概率p做出何种推断.推广到极处可以说，“正概率”是由原因推结果，是概率论；“逆概率”是由结果推原因，是数理统计.8. 拉普拉斯的“不充分推理原则”贝叶斯的遗作发表后很长一段时期，都没有得到学术界的注意，因而他的这种思想未能及早地发展成为一种得到广泛应用的统计推断方法.但是，也有些学者独立地朝这个方向思考，提出类似的思想并付诸实用，其中最重要的当属拉普拉斯.拉普拉斯在1774年的一篇文章中提出了所谓的“不充分推理原则”（principle of insufficient reasoning ）.他的思想大致如下：如果一个问题中存在若干个不同的原因(cause) n A A A ,,,21 ，则在没有理由认为其中哪一个特别有优势时，概率应各取n /1，即认为各原因有同等机会出现.在统计问题中，这里所说的不同“cause ”n A A A ,,,21 可看作代表未知参数的不同的可能值.以E 记在这原因下可能产生的事件(例如，在某参数值之下观察到的样本)，拉普拉斯提出：)|(/)|(i i A E P E A P 与i 无关. （12）用现今熟知的概率论知识很容易证明(12），但拉普拉斯在其文章中用了一个很复杂的证法.拉普拉斯的原则(12)可用于由)|(i A E P 推)|(E A P i ，这与贝叶斯的原则完全一样，也并未超出贝叶斯思想的范围.因此，现在统计学史上也把拉普拉斯视为贝叶斯统计的一个奠基者.9. 勒让德发明最小二乘法勒让德是法国大数学家，在数学的许多领域，包括椭圆、积分、数论和几何等方面，都有重大的贡献.最小二乘法最先出现在他于1805年发表的一本题为《计算彗星轨道的新方法》著作的附录中，该附录占据了这本长达80页著作的最后9页.勒让德在这本书前面几十页关于彗星轨道计算的讨论中没有使用最小二乘法，可见在他刚开始写作时，这一方法尚未在他头脑中成形.历史资料还表明，勒让德在参加测量巴黎子午线长这项工作很久以后还未发现这个方法.考虑到此书发表于1805年且该法出现在书尾的附录中，可以推测他发现这个方法应当在1805年或之前不久的某个时间.勒让德在该书72～75页描述了最小二乘法的思想、具体做法及方法的优点.他提到：使误差平方和达到最小，在各方程的误差之间建立了一种平衡，从而防止了某一极端误差（对决定参数的估计值）取得支配地位，而这有助于揭示系统的更接近真实的状态.的确，考察勒让德之前一些学者的做法，都是把立足点放在解出一个线性方程组上.这种做法对于误差在各方程之间的分布的影响如何，是不清楚的.在方法的具体操作上，勒让德指出，为实现20111()n i i ki k i x x x θθ=+++=∑最小而对各i θ求偏导数所形成的线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=====+∑∑==.,,1,,,1,0,,,,1,0110k j k r x x s k j s n i ji ri rj kr j r rj θθ （13）只涉及简单的加、乘运算，至于解线性方程组，这是当时已知的其他方法也难免的.现今我们把(13)叫做正则方程组，这是后来高斯引进的称呼.关于最小二乘法的优点，勒让德指出了以下几条：第一，通常的算术平均值是其一特例.第二，如果观察值全部严格符合某一线性方程，则这个方程必是最小二乘法的解.第三，如果在事后打算弃置某些观察值不用或增加新的观察值，对正则方程组的修改易于完成.从现在的观点看，这方法只涉及解线性方程组是其最重要的优点之一（其他的重要优点包括此法在统计推断上的一些优良性质，以及其广泛的适用性）.近年发展起来的，从最小二乘法衍生出的其他一些方法，尽管在理论上有其优点，可是由于计算上的困难而影响了其应用.最小二乘法在19世纪初发明后，很快得到了欧洲一些国家的天文和地测学工作者的广泛使用.据不完全统计，自1805年至1864年的60年期间，有关这一方法的研究论文约250篇，一些百科全书，包括1837年出版的《不列颠百科全书》（第7版），都收进了有关这个方法的介绍.在研究论文中，有一些是关于。
统计学的小故事节选
统计学的小故事节选为了从数量上认识和理解，大家在日常生活和工作中看到的各种现象所发生的规律，我们就必须收集、整理和分析数据。
这样子的数据不是一个两个，而是足够多的、大量的，因为只有这样，我们才能得到一般性的规律性的结论。
比如说，出生性别比，如果你调查新出生的5个婴儿的性别，很可能你会发现这五个婴儿中只有1个，或者2个、3个、4个是女孩；如果你把调查的数目增加到10个，其中就几乎一定有3到7个婴儿是女孩；你再把调查的数目扩展到100个，你会发现，一般总是有那么四十多个或五十多个婴儿是女孩；当你把调查的数目扩展到1000个时，令你惊奇的事情发生了，你会发现男婴和女婴的数量比越来越接近于1比1，你会发现1000个婴儿中有四百七八十个男婴，五百一二十个女婴，而不是有700个男婴和300个女婴。
你跟我说，在10个婴儿当中，有7个男婴和3个女婴，这我相信。
但是如果你竟然胆敢说，随意挑选1000个婴儿，里面有700个左右的男婴和300个左右的女婴，这我是很难相信的，除非这些婴儿是经过精心挑选出来的。
所以说，几个特例并不能说明问题，只有当你掌握的数据和材料足够多时，你才有资格说话，你得出的结论才是可信的。
这，就是统计的含义所在。
其实，再说多一点，统计学的基本思想，就来源于两个源头，一个是国情调查，一个是赌博游戏。
三百多年前，在西方工业化早期，西方资本主义国家之间的竞争和资源争夺也比较激烈，那时德国的官员和学者们为了本国的强盛和发展，就搜集和调查了大~量的国情资料，其中不仅包括本国的，也包括他们的竞争对手--英国、法国等国家，他们把搜集过来的资料仔细地整理和分析，希望能够从中找到一些有益于本国长治久安的策略。
这是统计学的一个源头之一。
赌博游戏那一头呢?也是三百年前从法国开始的，那个时候法国的赌博游戏引起了数学家的极大关注。
比如说掷色子、抛硬币、赛马呀等等。
就说抛硬币吧，你抛出一枚硬币，当它落回地面的时候，它向你微笑的那一面，究竟是正面还是反面呢?这太不可预测了！你无从知道！现在你抛10次，你发现了，在地面向你微笑的硬币，它出现了4次正面，6次反面！你再抛，你抛100次，出现了45次正面，55次反面！然后你还抛，一直抛到第1000次，结果出来了，你数了数--一共出现了485次正面，515次反面。
统计学小故事(一)素材尕多烈
人教版小学数学第六册第三单元《复式统计表》课后连接1统计学小故事(一)养猴人心中暗笑：“朝四暮三和朝三暮四，不是都等于七吗？这畜牲就是不如人聪明。
”猴子们窃窃私语：“朝四暮三和朝三暮四，虽然吃到肚子里都等于七，但朝四暮三更符合早吃饱、晚吃少的科学道理，不信去问问费雪。
人虽然比我们聪明，但没学过统计的人，智商还真不如我们高”。
——新编《齐物论》统计学小故事(二)这两个故事都发生在二战期间，并且都是盟军方面机智的统计学家，数学在二战期间充当了十分重要的角色，今天说的是统计。
第一个故事发生在英国，二战前期德国势头很猛，英国从敦刻尔克撤回到本岛，德国每天不定期地对英国狂轰乱炸，后来英国空军发展起来，双方空战不断。
为了能够提高飞机的防护能力，英国的飞机设计师们决定给飞机增加护甲，但是设计师们并不清楚应该在什么地方增加护甲，于是求助于统计学家。
统计学家将每架中弹之后仍然安全返航的飞机的中弹部位描绘在一张图上，然后将所有中弹飞机的图都叠放在一起，这样就形成了浓密不同的弹孔分布。
工作完成了，然后统计学家很肯定地说没有弹孔的地方就是应该增加护甲的地方，因为这个部位中弹的飞机都没能幸免于难。
第二个故事与德国坦克有关。
我们知道德国的坦克战在二战前期占了很多便宜，直到后来，苏联的坦克才能和德国坦克一拼高下，坦克数量作为德军的主要作战力量的数据是盟军非常希望获得的情报，有很多盟军特工的任务就是窃取德军坦克总量情报。
然而根据战后所获得的数据，真正可靠的情报不是来源于盟军特工，而是统计学家。
统计学家做了什么事情呢？这和德军制造坦克的惯例有关，德军坦克在出厂之后按生产的先后顺序编号，1，2，…，N，这是一个十分古板的传统，正是因为这个传统，德军送给了盟军统计学家需要的数据。
盟军在战争中缴获了德军的一些坦克并且获取了这些坦克的编号，现在统计学家需要在这些编号的基础上估计N，也就是德军的坦克总量，而这通过一定的统计工具就可以实现。
统计学的故事
统计学的故事纪宏袁卫文2004年1月形式来描述。
用土话说，自然和社会都是有规律的，这种规律虽然不受人的主观意志的影响，却能被人的思维所理解。
又过了很多很多年，经过无数人大胆的观察、敏锐的猜想、天赋的直觉和一不怕苦二不怕死的精神，建立了现代科学的理论体系和思想体系。
在天文学、物理学、生物学、人文社会科学以及数学和哲学等领域都取得了重大成果。
虽然数百年来，科学和哲学的门派林立，各自有各自的掌门人，各自占据着各自的山头，都因自己发现真理而笑傲江湖。
但有一个基本观点被大多数人承认，即这个世界是有规律的。
我们是否可以用身边的事和通俗的语言解读一下科学巨匠们所研究的规律。
请想一想，我们身边经常发生的重复出现的、有规律的现象：太阳每天从东方升起，冬天过去春天就要来临，物体失去支撑就会坠落，“神舟五号”飞航按设计的轨道运转，经济按市场规则运行，奔波的人们按自己的哲学度日。
对不同领域中的规律进行探索和描述便形成了不同的学科。
将不同学科的理论、方法、思想进行提炼，便形成了哲学、数学、统计学这样一些横断科学。
同时，我们在发现我们周围的事物没有任何一次重复是完全的“克隆”，没有任何东西会把一切细节完全重复出来。
太阳每天从东方升起，但天安门广场上与太阳同时升起的国旗其升旗时间却每天不同；冬天过去春天就要来临，但今年的春色比去年更加明媚；物体失去支撑就会坠落，但受风速、风向、地心引力等很多细小因素的影响，两个同样重的物体坠落速度和落点会有差别；“神舟五号”飞船按设计的轨迹运转，但每次经过我国领空的时间都略有差距；经济按市场规则运行，但今年的GDP比去年增长8%；奔波的人们按自己的哲学度日，但一年又一年我们的生活逐渐发生了改变。
因此，任何科学都只能预见大体上的重复现象。
行笔至此，我们是否感到统计学太重要了。
统计学就是通过差异描述规律；透过现实走向理性，走出混沌，走向秩序的学科。
“可以毫不夸大地说，现代科学的发展是在关注大数目现象的标志下进行的，很快就不会有不了解研究的随机性——统计方法的知识分支了”。
十篇有趣的数学小故事
十篇有趣的数学小故事数学是一门神奇的学科，有时它是一个伟大的科学领域，而有时它也是一种诗意的艺术。
为了更好地了解它，本文将介绍十篇有趣的数学小故事。
故事一：蒙特卡罗和他的概率数学几百年前，蒙特卡罗是个爱投机取巧的商人，他有一种体系化的做法，可以用来评估可能发生的不同情况，他称之为概率数学。
事实证明，他的完美无瑕的理论和方法既可以用于投资，也可以用于研究自然现象，从而改变了世界。
故事二：哥白尼的圆周定理哥白尼是法国的一个科学家，他在16世纪的时候发现了一个很有趣的现象，即圆的周长等于其半径的平方乘以圆周率。
他最终发现了这一圆周定理，并将其发表在了著名的《圆周率及比例》一书中，从而纳入了数学史册。
故事三：贝尔定理和投机取巧贝尔定理是一个非常重要的数学定理，它指明了三角形内角的总度数为180度。
这个定理最初是由希腊数学家贝尔发现的，但其实它的真正发现源于一个古老的投机取巧，当时有一个叫布拉克斯的商人，他用它来骗取了一笔巨额财富，从而改变了他的命运。
故事四：哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想是一个极具挑战性的数学问题，它提出了整数的惊人联系，它指出这个定理可以用两个不同的质数之和来表达。
达罗士哥德巴赫是一位著名的德国数学家，他发现了这个现象，但是直到今天也没有人能够证明它的真实性。
故事五：牛顿的数学与物理学英国科学家牛顿是数学和物理学领域的巨人，他发现了一种叫做牛顿力学的革命性理论，并用它来证明各种现象，例如重力定律和圆周运动。
他发现了宇宙的秩序，用数学语言来表达，从而使人类对自然的奥秘有了更多的了解。
故事六：勒莱定理的无限可能勒莱定理是一个非常有趣的数学定理，它说明整数间存在一种奇妙的联系，并提出一种无限的可能性。
这个定理的研究者是著名的德国数学家勒莱，他证明了不同的数字之间存在着某种神奇的联系，从而引起了全世界的数学家们的共鸣。
故事七：瓦莱乌定理的实用性瓦莱乌定理是一个非常实用的数学定理，它指出了任何单形两顶点之距离总是相同的。
德国二战修飞机统计小故事
德国二战修飞机统计小故事
在第二次世界大战期间，美国陆军航空队和英国皇家空军一起对德国进行战略轰炸。
但在早期，每次执行任务战损率都很高。
为此，美国陆军航空队采取种种措施，希望减少损失。
其中有一条措施就是请国内派统计专家来前线，看看能不能通过统计手段降低战损率。
一位统计学专家很快来到前线基地。
他在各个部队走访了一圈，然后让配合他工作的军士去制作了陆军航空队所用的B17、B24等轰炸飞机大尺寸模型。
在接下来的时问里，只要有执行任务的轰炸机部队返航，统计学家和他的军士就在第一时间去机场，详细地记录下每一架飞机的损伤情况，随后在模型上用墨汁将所有被击中的部位涂黑。
结果，不到两个月时闻，统计学家面前的轰炸机模型上，除了几个很小的区域还是机身原来的颜色以外，其他全被涂黑了。
很多地方显然是被反复涂过多次，墨汁都已经像油漆―样凝结成厚厚的一层。
统计学家将这些飞机模型带到了陆军航空队司令的办公室。
在场的还有各个轰炸机生产厂家的代表。
在部队司令的面前，统计学家指着模型，先是解释了一下机身被涂黑意味着什么，，接着提出了他的建议：“请让厂家将轰炸机上这些没有被涂成黑色的部位，尽快增加装甲”几个厂商代表马上发出了疑间：“为什么是这些没有被击中的地方？难道那些被击中次数最多的部位不需要增加装甲吗？”统计学家很无奈地摇了摇头，解释
道：“这些部位之所以没有被涂黑，不是因为那里不会被击中，而是因为所有被击中这些部位的飞机，最终都没有返回基地。
”陆军航空队司令非常赞同统计学家的观点，并立刻下令让各个厂家给轰炸机的相应部位增加防护措施。
数学故事《统计分析》
数学故事《统计分析》数学故事：《统计分析》摘要本文通过一个有趣的故事介绍统计分析的概念和方法。
故事以两位主人公小明和小红的研究项目展开，他们分别收集了一组数据，并利用统计分析方法对数据进行了深入的分析和解读。
本文旨在帮助读者了解统计分析的基本原理，掌握常用的统计分析方法，并能够将这些方法应用到实际问题中。
故事背景小明和小红是同一所大学的研究生，他们分别选择了不同的研究方向进行研究。
小明的研究方向是心理学，他收集了一组关于人们消费惯的数据；小红的研究方向是生物学，她收集了一组关于植物生长的数据。
他们希望通过对这些数据的统计分析，得出有意义的结论。
统计分析方法描述性统计分析描述性统计分析是对数据进行概括和描述的方法。
小明和小红首先对收集的数据进行了描述性统计分析。
他们计算了数据的平均值、中位数、众数等统计量，并对数据进行了图表展示，如条形图、折线图等。
通过描述性统计分析，他们可以对数据的整体分布和特征有一个初步的了解。
推断性统计分析推断性统计分析是基于描述性统计分析的结果，对总体数据进行推断和预测的方法。
小明和小红利用推断性统计分析方法，对数据进行了假设检验和置信区间估计。
他们提出了研究假设，并利用样本数据进行了假设检验，以判断研究假设是否成立。
同时，他们还计算了置信区间，以估计总体参数的可信范围。
通过推断性统计分析，他们可以对研究问题进行更深入的探讨和解释。
回归分析回归分析是研究两个或多个变量之间关系的方法。
小明和小红利用回归分析方法，研究了消费惯与其他因素之间的关系。
他们选择了消费金额作为因变量，其他可能影响消费的因素作为自变量，建立了回归模型。
通过回归分析，他们可以了解不同自变量对消费金额的影响程度，并得出相应的结论。
方差分析方差分析是研究多个组别之间差异的方法。
小明和小红利用方差分析方法，比较了不同人群在消费惯上的差异。
他们将人群分为两个组别，分别是一般消费者和重度消费者，并计算了两个组别在消费金额上的方差。
统计学故事
统计学基本原理——赌场的故事赌场为什么赚钱？没有任何trick，统计学原理。
?例子。
我有100块钱，你有10块钱，我们扔硬币，头算你赢1块，字算我赢1块。
规则：赌到输完才许结束。
那么问，各自的胜负概率多少？我赢到你的10块钱的几率大于90%！这个就是统计学基本原理。
?赌场。
庄家资金大概是入场赌徒的资金的千倍或者万倍，如果扔硬币，赌徒的胜率会有多少？自己算一下吧，0.00..01%。
因此，庄家允许玩一些花样，一方面提高赌徒的玩兴，一方面允许庄家在每笔小赌中胜率略小于50%：没关系，表面上你赢的多，最后都是我的，嘿嘿，这就是庄家。
?具体庄家胜率能小到多少？跟怎样的赌徒可以玩怎样的胜率？这些是无数赌场百年来经验积累，为什么不用统计学算一下呢？?当然，你可以argue。
?1，我干吗赌完才走？我赢到满意了就走。
这种小赌徒有，但是不输到精光不停才是真正的赌徒，赌场主要生意面向真正的赌徒。
小赢就跑的人毕竟不多，对赌场没有大的损失，反而做了活广告，——“瞧，这家赌场多好玩，还能赚钱，大家以后都去阿~~~”?2，虽然庄家胜率极高极高，但是庄家只有一个，赌徒多阿~~~ ‘人海战术’打败庄家。
统计上说，多次贝努利实验的结果也是很容易算的。
赌徒数线性增长，赌场的胜率减弱却是级数型。
注意：级数增长是很可怕的，但是级数减弱缓慢得让人挠头发火。
人多到把赌场挤爆都不一定能扭转局面，庄家此时已经赚得笑不动了。
?因此，最严谨的科学——数学说：你赢不了赌场；你每次下注赢回的期望值都是正的，但是你每次去赌场回家时口袋里的期望值是零；赌钱就是happy一下，千万别沉迷。
激励我们一生的几个经典故事??? 1、勤奋，机会，乐观是成功的三要素。
（注意：传统观念认为勤奋和机会是成功的?要素，但是经过统计学和成功人士的分析得出，乐观是成功的第三要素）??? 2、（一般情况下）不想三年以后的事，只想现在的事（现在有成就，以后才能更辉煌）??? 3、把问题看宽广些，没有解决不了的事。
关于统计学的作文
关于统计学的作文《我与统计学的奇妙缘分》篇一：《统计学，数字里的大秘密》统计学啊，就像一个神秘的魔法师，把一堆看似毫无头绪的数字变得有意义起来。
我第一次真正接触到统计学，是在一次学校的小调查里。
我们小组要调查同学们每天看手机的时长。
刚开始的时候，那就是一团乱麻。
每个人报出的数字差异可大了，有的说就看半小时，有的说能看三四个小时。
这个时候，统计学这个大救星就登场了。
我们首先对这些数字进行了归类整理。
把同学们按照年级分成了几组，像初一的一群，初二的一群。
然后又划分出了男生和女生的不同数据。
这一整理，嘿，还真就发现了一些有趣的事儿呢。
我记得我们统计的时候，有个同学特别不配合，他一会说这个时长一会又改成那个，我们几个就在那和他较真，反复问他到底看了多久。
统计他这一个人的数据就花了我们老半天时间。
不过这也让我们更加意识到，准确的数据是多么的重要。
整理好数据之后，我们开始计算平均数、中位数啥的。
算出平均时长之后，感觉就像是找到了大家看手机时长的一个小中心，无论是谁看一眼这个数字，都能对整体情况有个大概的了解。
统计学真的很神奇，就这样把一堆零散的数字紧紧地串联起来，让我们看到了数字背后的故事。
其实在我们生活里，这样的魔力处处都在，只是我们没仔细发现而已。
篇二：《统计学：有趣又有用的家伙》就拿学校的这次看手机时长调查来说吧。
我们还做了个小图表，把各个年级、男女生的平均时长用柱状图画了出来。
这图一出来，那就更直观了。
我们发现初一的同学看手机整体要比初二的少一些。
男生和女生之间也有差别，女生看手机好像更偏向于社交软件，男生在玩游戏上花的时间多点。
统计学可不止能用于这些小调查哦。
在大街上，我也看到了它的影子。
上次大街上有个问卷调查，是关于市民每周到超市购物次数的。
那些调查员和我们在学校里一样，拿着小本子到处让人填数据。
我就好奇地在旁边看了一会儿，他们也是问了一大串人之后，就坐在旁边开始整理数据。
有的人数据特别不靠谱，说每天都能去十多次超市，这一听就知道是乱说了。
数学家高斯的小故事简短4个
数学家高斯的小故事简短4个
1. 高斯的童年奇才：高斯出生在一个贫穷的家庭，但他的数学天赋却早已显露。
有一次，他的老师给学生们做了一个难题，要他们把1到100相加，高斯却很快就算出了答案。
原来，他发现了一种快速求和的方法，即将1到100分成50对，每对相加得到101，然后再乘以50，得到5050，这个答案让老师和同学们都惊叹不已。
2. 高斯的发现之旅：高斯在数学领域有许多重要的发现，其中最著名的是高斯曲线。
有一次，高斯在研究质数的分布时，发现了一种特殊的曲线，这个曲线后来被称为高斯曲线，对数论和统计学都有重要意义。
高斯的这一发现使他成为了当时最杰出的数学家之一。
3. 高斯的数学竞赛：有一次，高斯参加了一场数学竞赛，竞赛的题目很难，但高斯却很快就解出了答案。
据说，高斯在比赛中写下了答案，并在旁边写上了“很显然”，这让其他选手都感到无比惊讶。
高斯的这一举动展现了他对数学的深刻理解和自信。
4. 高斯的谦逊和慷慨：尽管高斯是一位数学天才，但他却非常谦逊和慷慨。
有一次，一个年轻的数学家向高斯请教一个难题，高斯很快就给出了解答，并且还给了这位年轻人一笔钱作为奖励。
高斯的慷慨和乐于助人让他备受尊敬和爱戴。
古代数学趣味小故事
古代数学趣味小故事数学在人的生活中处处可见,息息相关。
下面就为大家带来古代数学趣味小故事，欢迎阅读！篇一：古代数学趣味小故事这两个故事都发生在二战期间，并且都是盟军方面机智的统计学家，数学在二战期间充当了十分重要的角色，今天说的是统计。
第一个故事发生在英国，二战前期德国势头很猛，英国从敦刻尔克撤回到本岛，德国每天不定期地对英国狂轰乱炸，后来英国空军发展起来，双方空战不断。
为了能够提高飞机的防护能力，英国的飞机设计师们决定给飞机增加护甲，但是设计师们并不清楚应该在什么地方增加护甲，于是求助于统计学家。
统计学家将每架中弹之后仍然安全返航的飞机的中弹部位描绘在一张图上，然后将所有中弹飞机的图都叠放在一起，这样就形成了浓密不同的弹孔分布。
工作完成了，然后统计学家很肯定地说没有弹孔的地方就是应该增加护甲的地方，因为这个部位中弹的飞机都没能幸免于难。
第二个故事与德国坦克有关。
我们知道德国的坦克战在二战前期占了很多便宜，直到后来，苏联的坦克才能和德国坦克一拼高下，坦克数量作为德军的主要作战力量的数据是盟军非常希望获得的情报，有很多盟军特工的任务就是窃取德军坦克总量情报。
然而根据战后所获得的数据，真正可靠的情报不是来源于盟军特工，而是统计学家。
统计学家做了什么事情呢?这和德军制造坦克的惯例有关，德军坦克在出厂之后按生产的先后顺序编号，1，2，…，N，这是一个十分古板的传统，正是因为这个传统，德军送给了盟军统计学家需要的数据。
盟军在战争中缴获了德军的一些坦克并且获取了这些坦克的编号，现在统计学家需要在这些编号的基础上估计N，也就是德军的坦克总量，而这通过一定的统计工具就可以实现。
篇二：古代数学趣味小故事当高斯还在上小学二年级的时候，有一天他的数学老师因为想借上课的时光处理一些自我的私事，因此打算出一道难题给学生练习。
他的题目是：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=？因为加法刚教不久，所以老师觉得出了这题，学生肯定是要算蛮久的。
【名人故事】八岁的高斯发现了数学定理
【名人故事】八岁的高斯发现了数学定理八岁的卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）出生于1777年，是一个来自德国的数学家、物理学家、天文学家和统计学家。
他在数学领域做出了许多伟大的贡献，被誉为数学史上最伟大的数学家之一。
据说，当高斯还是一个八岁的小男孩时，他的老师给他们班上布置了一道题目，要计算从1加到100的和。
老师想借此分散小孩们的注意力，以便在班上解决其他问题。
令人惊讶的是，只过了几秒钟，高斯就解答出了这个题目。
其他的学生仍在苦苦思索，而高斯已经完成了计算。
老师惊讶地问他是怎么样计算的。
高斯很平静地回答说，他将1加到100的和分成了50组。
第一组是1+100，得到101。
第二组是2+99，得到101。
经过计算，高斯发现了每组的和都是101。
而一共有50组，所以和就是101乘以50，即5050。
这个小男孩的解答让老师和全班的学生们惊叹不已。
他们都认识到高斯的天赋与智慧超出了常人的想象。
这个故事展示了高斯在数学方面的天赋和聪明才智。
他以简洁的方法解决了这个问题，而其他人却陷入了复杂的计算中。
这个故事也展示了高斯对数学的热爱和天生的数学才能。
除了这个故事，高斯在数学领域还做出了许多卓越的贡献。
他在17岁时发现了一个被称为“高斯定理”的重要数论定理，也被称为“二次剩余定理”。
他还创立了高斯曲面的概念，研究了圆、椭圆、双曲线等几何图形。
他在物理学和天文学方面也有许多重要的发现，如解释了光的干涉和色散现象，提出了一个重要的天体测量方法。
高斯的成就不仅限于数学和科学领域，他还在统计学方面做出了一些重要贡献。
他是现代统计学的奠基人之一，提出了高斯分布和最小二乘法等概念和方法，对现代统计学的发展做出了巨大的影响。
高斯终其一生都致力于科学研究，并取得了非凡的成就。
他的天才和创造力是人类智慧的象征，他对数学、物理学和统计学的贡献将永远被世人铭记。
生活中的统计学小例子
生活中的统计学小例子生活中的统计学小例子篇一1、鞋子的尺码,因为成年女子鞋码以37为多数,所以无论生产与配货时,都要多一些。
2、某区域里人的工资与消费水平有关,因为这个区域以3500元/月的人数最多,所以消费水平就要以他们为主。
3、卫生间台面与身高有关,因为单位里男子的身高以172cm为最多,人数占85%,所以台面高度设计就要以他们的身高为参考。
4、某学校某班开联欢会,买水果的数量与同学们的口味有关,因为大家都喜欢吃香蕉,所以就要多买点。
5、菜摊上买菜不许挑,价格与人们的接受心理有关,因为每十个西红柿中有二个烂的是人们的心理接受极限,所以搭配时就不能超过这一比例。
6、买车险与车出险概率有关,因为车辆的刮碰情况出现的多,所以车损险就必须买。
7、碰运气与中奖有关,因为中奖是一个小概率事件,所以我们不能寄希望于中奖来改变自己的生活。
8、人气与点击率有关,因为写网络小说的点击率要达到1000以上,才能成功,所以选一家大的阅读网络就很重要。
9、打字时,因为左手使用频率要比右手高,所以打字的速度往往决定于左手。
10、因为生活中不如意事常十居八九,所以乐观就很重要,常体会那如意之一二,忘了那十之八九,幸福就会不期而至。
篇二由于战争,德国有一个时期物资特别紧缺,对面包实行配给制:政府把面粉发给指定的面包房,面包师傅烤好了面包再发给居民。
有一个统计学家,怀疑他所在区域的面包师傅私扣面粉,于是就天天称自己的面包。
几个月以后,他去找面包师傅,说:“政府规定配给的面包是400克,因为模具和其他因素,你做的面包可能是398、399克,也可能是401、402克,但是按照统计学的正态分布原理,这么多天的面包重量平均应该等于400克,可是你给我的面包平均重量是398克。
我有理由怀疑是你使用较小的模具,私吞了面粉。
”面包师傅承认确实私吞了面粉,并再三道歉保证马上更换正常的模具。
又过了几个月,统计学家又去找这个面包师傅,说:“虽然这几个月你给我的面包都在400克以上,但是这可能是因为你没有私吞面粉,也可能是因为你从面包里特意挑大的给我。
有趣的数学小故事200字
有趣的数学小故事200字数学自古以来一直是凝聚着智慧的智慧之源，为我们提供了数不尽的惊喜。
说到数学，令人惊叹的数学小故事便马上浮现眼前。
让我们来通过以下有趣的故事感受一下吧：一个古老的算术题目成为著名的数学小故事：“有几只母鸡和几只小鸡，若母鸡总数是小鸡总数的三倍多两只，那么一共有多少只鸡？”这个问题很难让大多数人解决，但是数学家可以很容易地做出正确的答案。
他们只需要写出一个简单的解方程式：x + 3x +2 = y，其中x表示母鸡的数量，y表示小鸡的数量。
从而可以得出答案：一共有7只鸡。
不仅如此，费马大定理也是一个非常有趣的数学小故事。
数学家费马证明了如果一个自然数n大于2，且不能被它的素数因子整除，那么这个数字可以被写成两个素数的和的形式。
例如，5可以被写成2+3的形式，7可以被写成3+4的形式，17可以被写成7+10的形式。
另外，几何学也是一个非常有趣的数学学科。
在几何学中，一个小故事被称为平面四边形平行线定理。
这个定理认为，如果一个平面四边形的两条对角线交叉，那么这个平面四边形的四条边的两两相邻的边的中点会和另一条边的中点重合。
此外，概率统计学也是一个有趣的数学领域，可以帮助我们对未来做出概率预测。
在概率统计学中，亨利考夫曼提出了一个有趣的故事：一个装满了苹果和橘子的篮子，其中一半是苹果，一半是橘子，随机从篮子里拿出一个水果，如果是苹果，则将其放回，如果是橘子则不放回，问取出第二个水果时有多大概率取得还是苹果？考夫曼指出，因为篮子中第一次取出的是苹果，那么概率第二次取出的仍是苹果的概率就是一半。
可见，数学在我们生活中的位置已经不可低估，这些有趣的数学小故事，不但可以让我们了解数学，也可以增加我们对数学的兴趣。
数学的精妙之处就在于它的确能给我们带来无穷的惊喜。
从计算结果的确定性到概率的不确定性，这都是数学的一种美妙，令人难以抗拒。
数学的模型、图形，只要学以致用，它们都会为社会带来无限的可能。
统计学数据背后的故事
统计学数据背后的故事统计学是一门研究数据收集、分析和解释的科学。
通过统计学，我们可以深入了解数据背后的故事，揭示出隐藏在数字背后的真相。
本文将探讨统计学数据背后的故事，从而窥探数据背后的真实意义。
一、数据背后的故事数据，并不仅仅是一些冰冷的数字，它是对于现实世界的抽象和总结。
而这些数字背后，往往隐藏着人们的行为、心理和社会规律。
统计学正是通过分析这些数据，帮助我们理解背后的故事。
以人口统计为例，通过对人口数量、年龄分布、性别比例等数据进行分析，我们能够了解到一个地区的人口结构和发展趋势。
从这些数据中，可以发现人口老龄化的程度，以及一些社会问题的原因和解决方案。
数据背后的故事可能包括某一地区经济的繁荣或衰退，社会的稳定或动荡等等。
同样，对于经济统计数据的分析也能揭示出一国或地区的经济发展状态。
通过分析国内生产总值（GDP）、消费指数、就业率等经济指标，我们可以判断一个经济体的发展速度、经济结构的改善和投资方向的优化等。
这些数据背后的故事可能包括某个行业的兴衰，某个地区的经济合作模式等。
二、揭示数据背后的真相统计学不仅仅是对数据的收集和整理，更重要的是通过适当的方法，揭示数据背后隐藏的真相。
在数据的分析中，我们需要小心陷入到数据的陷阱中，避免被误导。
首先，我们需要考虑数据的来源和采集方法。
数据的来源和采集方法会对数据的可靠性和有效性产生重要影响。
如果数据来源不确切或采集方法存在偏差，那么分析结果可能会出现错误的偏差。
因此，在进行数据分析时，我们需要注意对数据进行可靠性和有效性的验证。
其次，我们需要关注数据之间的关系和相关性。
在统计学中，我们通过相关性分析等方法来探究不同数据之间的关系。
相关系数的计算可以帮助我们了解两个变量之间的相关性，从而进一步解读数据的背后故事。
最后，我们需要审慎地解读数据。
数据本身并没有价值，真正的价值在于我们如何解读并运用数据。
我们需要避免盲目追求数字背后的表面含义，而是要有系统的思维和深入的分析。
统计学描述数据
统计学描述数据嘿，朋友们！今天咱们来聊聊统计学，这可就像是一个超级魔法盒，能把那些看似杂乱无章的数据变得规规矩矩，还能讲出好多有趣的故事呢。
你看，数据就像是一群调皮的小怪兽，在各个角落里横冲直撞。
而统计学就是那个拿着魔法棒的驯兽师。
比如说平均数，它就像是一群高矮胖瘦小伙伴里的“标准模特”。
把所有数据加起来再除以个数，嘿，就像把小怪兽们都拉到一个秤上称称，算出平均体重一样，然后这个平均数就代表了它们的“典型身材”。
不过有时候这个“标准模特”也很尴尬，要是有几个特别高大或者特别矮小的小怪兽，它可能就有点“不伦不类”了，就像在一群小矮人中突然站了个巨人，平均数一下就被拉高了好多。
再说说中位数，这可是个很聪明的家伙，就像在小怪兽排队时站在最中间的那个。
不管两边的小怪兽怎么疯闹，它都稳稳地在中间，不受极端值的影响。
就好比一群超级吵闹的小朋友里，有个淡定的小大人，不被周围的疯狂所左右。
众数呢，那就是小怪兽里人气最高的那一款。
哪一种类型的数据出现得最多，它就是众数啦。
这就像在一群宠物小精灵里，皮卡丘特别多，那皮卡丘就是众数。
大家都爱皮卡丘，它就是最常见的那个小可爱。
标准差这个概念可就像是在测量小怪兽们的调皮程度。
标准差小，说明小怪兽们都比较听话，规规矩矩地在平均数周围晃悠；标准差大呢，那就像是小怪兽们都撒了欢，到处乱跑，离平均数远远的。
这时候统计学就会皱着眉头说：“哎呀，你们这群小调皮，怎么这么不听话呢。
”还有频数分布，这就像是给小怪兽们分房子。
按照不同的特征，把相似的小怪兽都放在一个房子里，然后看看哪个房子里的小怪兽最多，哪个最少。
这就像把爱吃糖果的、爱睡觉的、爱蹦跶的小怪兽们都分开住，统计一下每种小怪兽的数量。
统计学里的图表更是像一幅幅魔法画卷。
柱状图就像一个个高低不同的小塔，每个小塔代表一种数据，一目了然。
折线图就像小怪兽们爬山的路线，起起伏伏的，能看出它们的变化趋势。
饼图呢，那就是一块美味的披萨，每个扇形就是一种配料，展示着不同配料的比例。
峰峰值与均方差的关系
峰峰值与均方差的关系峰值与均方差是统计学中常用的两个指标，用于描述一组数据的分布特征和波动程度。
峰值表示数据分布的集中程度，均方差则衡量数据的离散程度。
它们之间存在一定的关系，下面将通过一个故事来说明这个关系。
故事开始在一个小镇上，镇上的居民们每天都会去购买自己所需的物品。
假设我们想了解居民们每天购买的物品数量的分布情况，并通过峰值和均方差来分析。
我们首先来看一天中购买物品数量的分布。
早上，人们陆续来到镇上唯一的小卖部购买各种物品，比如食品、饮料、日用品等等。
在一天的时间内，购买物品的数量是不断变化的，有的人一次只买一件物品，有的人则购买多件物品。
当我们记录下每个人购买物品的数量后，就可以绘制出一个关于购买物品数量的分布图。
在这个图中，横轴表示购买物品的数量，纵轴表示该数量的人数。
图中的曲线形状是由购买数量不同的人数决定的。
我们来看一下峰值。
峰值反映的是数据分布的集中程度。
当我们观察这个分布图时，可以看到曲线中的最高峰，它代表了购买物品数量最集中的人群。
如果峰值较高，说明大部分人购买的物品数量相对集中，居民们的购买行为比较一致；反之，峰值较低，则说明购买物品数量分散，居民们的购买行为多样化。
接下来，我们来看一下均方差。
均方差衡量的是数据的离散程度。
在这个分布图中，我们可以观察到曲线的宽度，宽度越大则说明数据的离散程度越大，居民们购买物品的数量差异较大；反之，宽度越小则说明数据的离散程度越小，居民们购买物品的数量差异较小。
通过观察这个分布图，我们可以发现峰值和均方差之间的关系。
当峰值较高时，曲线比较陡峭，说明购买物品数量相对集中，此时均方差较小；反之，当峰值较低时，曲线比较平缓，说明购买物品数量分散，此时均方差较大。
峰值与均方差之间存在一定的关系。
峰值反映了数据分布的集中程度，而均方差衡量了数据的离散程度。
当峰值较高时，均方差较小；当峰值较低时，均方差较大。
这个关系可以帮助我们更好地理解数据的分布特征和波动程度，从而进行更准确的统计分析。