新初中数学方程与不等式之分式方程技巧及练习题附解析

新初中数学方程与不等式之分式方程技巧及练习题附解析
一、选择题
1．把分式方程
11122x x x --=--，的两边同时乘以x-2，约去分母，得（ ） A ．1-(1-x)=1
B ．1+(1-x)=1
C ．1-(1-x)=x-2
D ．1+(1-x)=x-2 【答案】D
【解析】
【分析】
本题需要注意的有两个方面：①、第二个分式的分母为2－x ，首先要化成x －2；②、等式右边的常数项不要漏乘．
【详解】
解： 11122x x x
--=-- 11+122
x x x -=-- 两边同时乘以x-2，约去分母，得1+(1-x)=x-2
故选：D
【点睛】
本题考查解分式方程．
2．关于x 的方程m 3+=1x 11x
--解为正数，则m 的范围为（ ） A ．m 2m 3≥≠且
B ． 2 B 3m m >≠
C ．m<2m 3≠且
D ．m>2 【答案】B
【解析】
【分析】
首先解分式方程，然后令其大于0即可，注意还有1x ≠.
【详解】
方程两边同乘以()1x -，得2x m =-
∴210x m x =-⎧⎨-≠⎩
解得2m >且3m ≠
故选：B.
【点睛】
此题主要考查根据分式方程的解求参数的取值范围，熟练掌握，即可解题.
3．解分式方程11222x x x
-+=--的结果是（ ）
A ．x="2"
B ．x="3"
C ．x="4"
D ．无解
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】 解：去分母得：1﹣x+2x ﹣4=﹣1，
解得：x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解．
故选D ．
考点：解分式方程．
4．下列说法中正确的是（ ）
A ．顺次连接一个四边形四边中点得到的四边形是平行四边形
B ．9的平方根为3
C ．抛物线21(1)32
y x =-++的顶点坐标为(1，3) D ．关于x 的分式方程
121
m x -=-的解为非负数，则m 的取值范围是m≥-1 【答案】A
【解析】
【分析】 根据各个选项中的说法，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】
A 、顺次连接一个四边形四边中点得到的四边形是平行四边形，该选项正确；
B 、9的平方根是±3，该选项错误；
C 、抛物线21(1)32y x =-
++的顶点坐标为(-1，3) ，该选项错误； D 、由方程121
m x -=-去分母得：12m x +=， ∵关于x 的分式方程的解为非负数， ∴102m +≥且112
m x +=≠， 解得：1m ≥-且1m ≠，该选项错误；
故选：A ．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质、平方根、平行四边形的判定、中点四边形、解分式方程，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的说法是否正确．解分式方程要注意分母不能为0这个条件．
5．甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600kg ，甲搬运5000kg 所用的时间与乙搬运8000kg 所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少千克货物．设甲每小时搬运xkg 货物，则可列方程为
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】
甲种机器人每小时搬运x 千克，则乙种机器人每小时搬运（x+600）千克， 由题意得：
， 故选B.
【点睛】本题考查了列分时方程解实际问题的运用，解答时根据甲搬运5000kg 所用时间与乙搬运8000kg 所用时间相等建立方程是关键．
6．若 x=3 是分式方程2102a x x --=- 的根，则 a 的值是 A ．5
B ．-5
C ．3
D ．-3 【答案】A
【解析】
把x=3代入原分式方程得，
210332
a --=-，解得，a=5，经检验a=5适合原方程. 故选A.
7．如果关于x 的分式方程11222a x x
-+=--有整数解，且关于x 的不等式组43(1)211(1)22x x x x a ≥-⎧⎪⎨-+<-⎪⎩
有且只有四个整数解，那么符合条件的所有整数a 的和是（ ） A ．4
B ．-2
C ．-3
D ．2 【答案】A
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，表示出整数方程的解，不等式组整理后，由解只有四个整数解，确定出a 的值，求出之和即可．
【详解】
解：分式方程去分母得：1-a+2x-4=-1，
解得：22a x +=，且222
a +≠，a 为偶数， 即2a ≠，a 为偶数，
不等式组整理得：34x a x ≥-⎧⎪⎨⎪⎩
＜， 由不等式组只有四个整数解，得到x=-3，-2，-1，0，
可得0＜
4
a ≤1，即0＜a≤4，即a=1，2，3，4， 经检验a=4，
则和为4，
故选：A ．
【点睛】 此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．从4-，2-，1-，0，1，2，4，6这八个数中，随机抽一个数，记为a ．若数a 使关于x 的一元二次方程()22
240x a x a --+=有实数解．且关于y 的分式方程1311y a y y
+-=--有整数解，则符合条件的a 的值的和是（ ） A ．6-
B ．4-
C ．2-
D ．2
【答案】C
【解析】
【分析】
由一元二次方程()22240x a x a --+=有实数解，确定a 的取值范围，由分式方程1311y a y y
+-=--有整数解，确定a 的值即可判断． 【详解】
方程()22
240x a x a --+=有实数解， ∴△=4(a −4)2−4a 2⩾0，
解得a ⩽2
∴满足条件的a 的值为−4，−2，−1，0，1，2 方程1311y a y y
+-=-- 解得y=2
a +2 ∵y 有整数解
∴a=−4，0，2，4，6
综上所述，满足条件的a 的值为−4，0，2，
符合条件的a 的值的和是−2
故选：C
本题考查了一元二次方程根据方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围；以及分式方程解的定义：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫分式方程的解．
9．中秋节是我国的传统节日，人们素有吃月饼的习俗．汾阳月饼不仅汾阳人爱吃，而且风靡省城市场．省城某商场在中秋节来临之际购进A、B两种汾阳月饼共1500个，已知购进A种月饼和B种月饼的费用分别为3000元和2000元，且A种月饼的单价比B种月饼单价多1元．求A、B两种月饼的单价各是多少？设A种月饼单价为x元，根据题意，列方程正确的是( )
A．30002000
1500
1
x x
+=
+
B．
20003000
1500
1
x x
+=
+
C．30002000
1500
1
x x
+=
-
D．
20003000
1500
1
x x
+=
-
【答案】C
【解析】
【分析】
设A种月饼单价为x元，再分别表示出A种月饼和B种月饼的个数，根据“购进A、B两种汾阳月饼共1500个”，列出方程即可.
【详解】
设A种月饼单价为x元，则B种月饼单价为(x-1)元，
根据题意可列出方程30002000
1500
1
x x
+=
-
，
故选C.
【点睛】
本题考查分式方程的应用，读懂题意是解题关键.
10．风筝会期间,几名同学租一辆面包车前去观看开幕式,面包车的租价为180元,出发时又增加两名同学,结果每人比原来少摊了3元钱车费，设前去观看开幕式的同学共x人，则所列方程为（）
A．180180
3
2
x x
-=
+
B．
180180
3
2
x x
-=
+
C．180180
3
2
x x
-=
-
D．
180180
3
2
x x
-=
-
【解析】
【分析】
先用x 表示出增加2名同学前和增加后每人分摊的车费钱，再根据增加后每人比原来少摊了3元钱车费列出方程即可.
【详解】
解：设前去观看开幕式的同学共x 人，根据题意，得：
18018032x x
-=-. 故选：D.
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，解题的关键是弄清题意、找准等量关系，易错点是容易弄错增加前后的人数.
11．甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x 个零件，下列方程正确的是（ ）
A ．1201508
x x =- B ．1201508x x =+ C ．1201508x x =- D ．1201508
x x =+ 【答案】D
【解析】
【分析】 首先用x 表示甲和乙每小时做的零件个数，再根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等即可列出一元一次方程.
【详解】
解：∵甲每小时做x 个零件，∴乙每小时做（x+8）个零件，
∵甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，∴
1201508
x x =+， 故选D.
【点睛】
本题考查了分式方程的实际应用，熟练掌握是解题的关键.
12．若关于x 的方程
244x a x x =+--有增根，则a 的值为（ ） A ．-4
B ．2
C ．0
D ．4
【答案】D
【解析】
【分析】
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．让最简公分母x-4=0，得到x=4．再将x=4代入去分母后的方程即可求出a=4.
【详解】
解：由分式方程的最简公分母是x-4，
∵关于x 的方程
244
x a x x =+--有增根， ∴x-4=0，
∴分式方程的增根是x=4． 关于x 的方程
244
x a x x =+--去分母得x=2(x-4)+a, 代入x=4得a=4
故选D ．
【点睛】 本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
13．若关于x 的方程333x m m x x
++--=3的解为正数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜
92
B ．m ＜92且m≠32
C ．m ＞﹣94
D ．m ＞﹣94且m≠﹣34 【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】 解：去分母得：x+m ﹣3m=3x ﹣9，
整理得：2x=﹣2m+9，解得：x=
292m -+， 已知关于x 的方程333x m m x x
++--=3的解为正数， 所以﹣2m+9＞0，解得m ＜
92， 当x=3时，x=292m -+=3，解得：m=32
， 所以m 的取值范围是：m ＜
92
且m≠32． 故答案选B ．
14．已知甲车行驶35千米与乙车行驶45千米所用时间相同，且乙车每小时比甲车多行驶
15 千米，设甲车的速度为x 千米/小时，依据题意列方程正确的是
A ．354515
x x =- B ．3545+15x x = C ．3545-15x x = D ．3545+15
x x = 【答案】D
【解析】
【分析】 首先根据甲车的速度为x 千米/小时，表示出乙车的速度为（x+15）千米/小时，再根据关键是语句“甲车行驶35千米与乙车行驶45千米所用时间相同”列出方程即可．
【详解】
解：设甲车的速度为x 千米/小时，则乙车的速度为（x+15）千米/小时，由题意得： 3545+15
x x =， 故选D ．
【点睛】
此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，表示出甲乙两车的速度，再根据关键是语句列出方程即可．此题用到的公式是：路程÷速度=时间．
15．若关于x 的分式方程2233
x m x x -=--有增根，则m 的值为（ ）． A ．3
B ．3
C 3
D ．3±【答案】D
【解析】 解关于x 的方程2233
x m x x -=--得：26x m =-， ∵原方程有增根，
∴30x -=，即2630m --=，解得：3m =
故选D.
点睛：解这类题时，分两步完成：（1）按解一般分式方程的步骤解方程，用含待定字母的式子表示出方程的根；（2）方程有增根，则把（1）中所得的结果代入最简公分母中，最简公分母的值为0，由此即可求得待定字母的值.
16．解分式方程
21211
x x =--时，去分母化为一元一次方程，正确的是（ ） A ．x +1＝2（x ﹣1） B ．x ﹣1＝2（x +1） C ．x ﹣1＝2 D ．x +1＝2
【答案】D
【解析】
【分析】
先确定分式方程的最简公分母，然后左右两边同乘即可确定答案；
【详解】
解：由题意可得最简公分母为（x+1）（x-1）
去分母得：x+1＝2，
故答案为D．
【点睛】
本题考查了分式方程的解法，解答的关键在于最简公分母的确定.
17．若关于x的分式方程
3
2
22
x m m
x x
+
+=
--
有增根，则m的值为（）
A．1-B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2＝0，得到x＝2，然后代入化为整式方程的方程，满足即可．
【详解】
解：方程两边都乘x﹣2，
得x+m﹣3m＝2（x﹣2），
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣2＝0，
解得x＝2，
当x＝2时，2+m﹣3m＝0，
∴m＝1，
故选：C．
【点睛】
本题考查了分式方程的增根，难度适中．确定增根可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定可能的增根；
②化分式方程为整式方程；
③把可能的增根代入整式方程，使整式方程成立的值即为分式方程的增根．
18．某农场开挖一条480米的渠道，开工后，实际每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么所列方程正确的是（）
A．480
x
＋
480
+20
x
＝4 B．
480
x
－
480
+4
x
＝20 C．
480
x
－
480
+20
x
＝4 D．
480
4
x-
－
480
x
＝20
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意列出方程即可．【详解】
由题意得
480x －480+20
x ＝4 故答案为：C ．
【点睛】
本题考查了分式方程的实际应用，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
19．初二18班为课外体育活动购买了实心球和跳绳．已知跳绳的单价比实心球的单价贵40元，购买实心球总花费为1610元，购买跳绳总花费为1650元，购买实心球的数量比跳绳的数量多8个，求实心球的单价．设实心球单价为x 元，所列方程正确的是（ ） A ．
16501610840x x -=+ B ．16501610840x x -=+ C ．16101650840
x x -=+ D ．16101650840x x -=+ 【答案】C
【解析】
【分析】
设实心球单价为x 元，则跳绳单价为()40x +元，根据“购买实心球的数量比跳绳的数量多
8个”即可得到方程．
【详解】 解：设实心球单价为x 元，则跳绳单价为()40x +元，根据题意得，
16101650840
x x -=+． 故选：C
【点睛】
本题考查了分式方程的实际应用，解答本题的关键是审清题意，找到等量关系即可得解．
20．方程
22111x x x x -=-+的解是（ ） A ．x ＝12 B ．x ＝15 C ．x ＝14 D ．x ＝14
【答案】B
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
解：去分母得：2x 2+2x ＝2x 2﹣3x+1，
解得：x＝1
5
，
经检验x＝1
5
是分式方程的解，
故选B．
【点睛】
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．。